Standard Deviation by Short-cut Method
1.लघुरीति द्वारा प्रमाप विचलन (Standard Deviation by Short-cut Method),पद विचलित रीति से प्रमाप विचलन (Standard Deviation by Step Deviation Method):
लघुरीति द्वारा प्रमाप विचलन (Standard Deviation by Short-cut Method) तब ज्ञात करना सही रहता है जब माध्य पूर्णांक में न होकर दशमलव में हो।अन्यथा माध्य पूर्णांक में होने पर प्रत्यक्ष रीति से ज्ञात करना सरल होता है।
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2.लघुरीति द्वारा प्रमाप विचलन पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Standard Deviation by Short-cut Method),पद विचलित रीति से प्रमाप विचलन पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Standard Deviation by Step Deviation Method):
Example:1.निम्न आवृत्ति वितरण से समान्तर माध्य,प्रमाप विचलन तथा उसके गुणांक की गणना कीजिए:
(Find out arithmetic mean,standard deviation and its coefficient from the following data):
Weekly wages | Frequency |
10-15 | 2 |
15-20 | 8 |
20-25 | 6 |
25-30 | 12 |
30-35 | 7 |
35-40 | 6 |
40-45 | 4 |
45-50 | 3 |
50-55 | 1 |
55-60 | 1 |
Solution:
Calculation of Standard Deviation by Step Deviation Method (Assume A=37.5)
Weekly wages | Mid value(X) | Frequency(f) | Deviation(dx’) | fdx’ | fd^{2} x' |
10-15 | 12.5 | 2 | -5 | -10 | 50 |
15-20 | 17.5 | 8 | -4 | -32 | 128 |
20-25 | 22.5 | 6 | -3 | -18 | 54 |
25-30 | 27.5 | 12 | -2 | -24 | 48 |
30-35 | 32.5 | 7 | -1 | -7 | 7 |
35-40 | 37.5 | 6 | 0 | 0 | 0 |
40-45 | 42.5 | 4 | 1 | 4 | 4 |
45-50 | 47.5 | 3 | 2 | 6 | 12 |
50-55 | 52.5 | 1 | 3 | 3 | 9 |
55-60 | 57.5 | 1 | 4 | 4 | 16 |
Total | 50 | -74 | 328 |
प्रमाप विचलन \sigma=i \sqrt{\frac{\Sigma f d^{2} x^{\prime}}{N}-\left(\frac{\Sigma f d x^{\prime}}{N}\right)^{2}} \\ =5 \sqrt{\frac{328}{50}-\left(\frac{-74}{50}\right)^{2}} \\ =\sqrt{\frac{328}{50}-\frac{5476}{2500}} \\ =5 \sqrt{6.56-2.19041} \\ =\sqrt{4.3696} \\ \sigma=5 \times 2.09035 \\ =10.45175 \approx 10.45 \\ \bar{X} =A+\frac{\sum f d x^{\prime}}{N} \times i \\ =37.5-\frac{74 \times 5}{50} \\ =37.5-7.4 \\ \Rightarrow \bar{X} =30.10
coefficient of \sigma=\frac{\sigma}{\bar{X}}=\frac{10.45}{30.10} \approx 0.35
Example:2.निम्न समंकों से लघुरीति द्वारा प्रमाप विचलन की गणना कीजिए:
(Calculate the standard deviation from the following data,using the short-cut method):
Age(yeras) | Frequency |
10-19 | 3 |
20-29 | 61 |
30-39 | 223 |
40-49 | 137 |
50-59 | 53 |
60-69 | 19 |
70-79 | 4 |
Solution:सर्वप्रथम समावेशी श्रेणी को अपवर्जी श्रेणी में परिवर्तित करेंगे।
Calculation of Standard Deviation by Step Deviation Method(Assume A=44.5)
Age(years) | Mid value(X) | Frequency(f) | Deviation(dx’) | fdx’ | fd^{2} x' |
9.5-19.5 | 14.5 | 3 | -3 | -9 | 27 |
19.5-29.5 | 24.5 | 61 | -2 | -122 | 244 |
29.5-39.5 | 34.5 | 223 | -1 | -223 | 223 |
39.5-49.5 | 44.5 | 137 | 0 | 0 | 0 |
49.5-59.5 | 54.5 | 53 | 1 | 53 | 53 |
59.5-69.5 | 64.5 | 19 | 2 | 38 | 76 |
69.5-79.5 | 74.5 | 4 | 3 | 12 | 36 |
Total | 500 | -251 | 659 |
प्रमाप विचलन
\sigma=i \sqrt{\frac{\Sigma f d^{2} x^{\prime}}{N}-\left(\frac{\sum f d x^{\prime}}{N}\right)^{2}} \\ =10 \sqrt{\frac{659}{500}-\left(\frac{-251}{500}\right)^{2}} \\ =10 \sqrt{1.318-\frac{63001}{250000}} \\ =10 \sqrt{1.318-0.252004} \\ =10 \times \sqrt{1.065996} \\ =10 \times 1.03247 \\ =10.3247 \\ \sigma=10.32 \text { years }
Example:3.निम्न समंकों से प्रमाप विचलन तथा उसके गुणक की गणना कीजिए:
(Calculate the standard deviation and its coefficient from the following data):
Tem. C | No. of days |
-40 to -30 | 10 |
-30 to -20 | 28 |
-20 to -10 | 30 |
-10 to 0 | 42 |
0 to 10 | 65 |
10 to 20 | 180 |
20 to 30 | 10 |
Solution:Calculation of Standard Deviation by Step Deviation Method
Tem. c | X | frequency(f) | dx’ | fdx’ | fd^{2} x' |
-40 to -30 | -35 | 10 | -3 | -30 | 90 |
-30 to -20 | -25 | 28 | -2 | -56 | 112 |
-20 to -10 | -15 | 30 | -1 | -30 | 30 |
-10 to 0 | -5 | 42 | 0 | 0 | 0 |
0 to 10 | 5 | 65 | 1 | 65 | 65 |
10 to 20 | 15 | 180 | 2 | 360 | 720 |
20 to 30 | 25 | 10 | 3 | 30 | 90 |
Total | 365 | 339 | 1107 |
प्रमाप विचलन (S.D.) \sigma=i \sqrt{\frac{\Sigma f d^{2} x^{\prime}}{N}-\left(\frac{\Sigma f d x^{\prime}}{N}\right)^{2}} \\ =10 \sqrt{\frac{1107}{365}-\left(\frac{339}{365}\right)^{2}}\\ =\sqrt{3.03287-\frac{114921}{133225}}\\ =10 \sqrt{3.03287-0.86265}\\ =10 \sqrt{2.17022} \\ =10 \times 1.47316\\ =14.7316 \\ \Rightarrow \sigma \approx 14.73
Coefficient of \sigma=\frac{\sigma}{\bar{X}}\\ =\frac{14.73}{4.29} \approx 3.43
Example:4.निम्न आंकड़ों से माध्य विचलन तथा प्रमाप विचलन की गणना कीजिए:
(Calculate the mean deviation and the standard deviation from the following data):
Units | Frequency |
Exceeding 7.5 but not Exceeding 8.5 | 2 |
Exceeding 8.5 but not Exceeding 9.5 | 4 |
Exceeding 9.5 but not Exceeding 10.5 | 5 |
Exceeding 10.5 but not Exceeding 11.5 | 7 |
Exceeding 11.5 but not Exceeding 12.5 | 9 |
Exceeding 12.5 but not Exceeding 13.5 | 3 |
Exceeding 13.5 but not Exceeding 14.5 | 1 |
Solution:Calculation of Standard Deviation and Mean Deviation(Assume A=11)
Units | Mid value | frequency (f) |
Deviation(dx’) |
(fdx)’ | fd^{2} x' |
7.5-8.5 | 8 | 2 | -3 | -6 | 18 |
8.5-9.5 | 9 | 4 | -2 | -8 | 16 |
9.5-10.5 | 10 | 5 | -1 | -5 | 5 |
10.5-11.5 | 11 | 7 | 0 | 0 | 0 |
11.5-12.5 | 12 | 9 | 1 | 9 | 9 |
12.5-13.5 | 13 | 3 | 2 | 6 | 12 |
13.5-14.5 | 14 | 1 | 3 | 3 | 9 |
Total | 31 | -1 | 69 |
and
cf | |dm|=|X-M| | f|dx| |
2 | |8-11.14|=3.14 | 6.28 |
6 | |9-11.14|=2.14 | 8.56 |
11 | |10-11.14|=1.14 | 5.70 |
18 | |11-11.14|=0.14 | 0.98 |
27 | |12-11.14|=0.86 | 7.74 |
30 | |13-11.14|=1.86 | 5.58 |
31 | |14-11.14|=2.86 | 2.86 |
37.7 |
माध्यिका वर्ग 10.5-11.5,f=7,cf=11,l=10.5
M=l+\left(\frac{\frac{N}{2}-cf}{f}\right) \times i \\ =10.5+\frac{(15.5-11)}{7} \times 1 \\ =10.5+\frac{4.5}{7}\\=10.5+0.642 \approx 11.14
पद विचलन रीति से प्रमाप विचलन (S.D.)\sigma=i \times \sqrt{\frac{\Sigma d^{2} x^{\prime}}{N}-\left( \frac{\Sigma f d x^{\prime}}{N}\right)^{2}} \\ =1 \times \sqrt{\frac{69}{31}-\left(\frac{-1}{31}\right)^{2}} \\ =\sqrt{2.2258-0.0010} \\ \sigma=\sqrt{2.2248} \approx 1.49 \text { units }
माध्य विचलन (Mean Deviation) \left(\delta_{m}\right)=\frac{\Sigma f|d m|}{N}=\frac{37.7}{31}\\ \approx 1.296 \approx 1.22
Example:5.निम्न समंकों से माध्य विचलन तथा प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए:
(Calculate mean deviation and standard deviation from the following data):
Profit in Rs. | No. of times |
5000 to 6000 | 10 |
4000 to 5000 | 15 |
3000 to 4000 | 30 |
2000 to 3000 | 10 |
1000 to 2000 | 5 |
0 to 1000 | 4 |
-1000 to 0 | 6 |
-2000 to -1000 | 8 |
-3000 to -2000 | 10 |
Total | 98 |
Solution:Calculation of Standard Deviation and Mean Deviation(Assume A=1500)
Profit in Rs. | Mid value | frequency(f) | Deviation(dx’) | fdx’ | fd^{2} x' |
5000 to 6000 | 5500 | 10 | \frac{5500-1500}{1000}=4 | 40 | 160 |
4000 to 5000 | 4500 | 15 | \frac{4500-1500}{1000}=3 | 45 | 135 |
3000 to 4000 | 3500 | 30 | \frac{3500-1500}{1000}=2 | 60 | 120 |
2000 to 3000 | 2500 | 10 | \frac{2500-1500}{1000}=1 | 10 | 10 |
1000 to 2000 | 1500 | 5 | \frac{1500-1500}{1000}=0 | 0 | 0 |
0 to 1000 | 500 | 4 | \frac{500-1500}{1000}=-1 | -4 | 4 |
-1000 to 0 | -500 | 6 | \frac{-500-1500}{1000}=-2 | -12 | 24 |
-2000 to -1000 | -1500 | 8 | \frac{-1500-1500}{1000}=-3 | -24 | 72 |
-3000 to -2000 | -2500 | 10 | \frac{2500-1500}{1000}=-4 | -40 | 160 |
Total | 98 | 75 | 685 |
and
cf | |dm|=|X-M| | f|dm| | |d\bar{X}|=|X-\bar{X}| | f|d\bar{X}| |
10 | 2300 | 23000 | 3234.69 | 32346.9 |
25 | 1300 | 19500 | 2234.69 | 33520.35 |
55 | 300 | 9000 | 1234.69 | 37040.7 |
65 | 700 | 7000 | 234.69 | 2346.9 |
70 | 1700 | 8500 | 765.31 | 3826.5 |
74 | 2700 | 10800 | 1765.31 | 7061.24 |
80 | 3700 | 22200 | 2765.31 | 16591.86 |
88 | 4700 | 37600 | 3765.31 | 30122.48 |
98 | 5700 | 57000 | 4765.31 | 47653.1 |
194600 | 210510.08 |
अत: माध्यिका वर्ग 3000 to 4000,f=30,cf=25,i=1000,l=4000
माध्यिका M=l+\frac{(\frac{N}{2}-cf)}{f} \times i \\ =4000+\frac{49-25}{30} \times 1000 \\ =4000+\frac{24 \times 1000}{30} \\ =4000-800 \\ \Rightarrow M=3200
प्रमाप विचलन (S.D.) \sigma==i \times \sqrt{\frac{\Sigma d^{2} x^{\prime}}{N}-\left(\frac{\Sigma f d x^{\prime}}{N}\right)^{2}} \\ =1000 \sqrt{\frac{685}{98}-\left(\frac{75}{98}\right)^{2}} \\ =1000 \sqrt{6.989796-\frac{5625}{9604}} \\ \sigma =1000 \sqrt{6.989796-0.585693 }\\ =1000 \times \sqrt{6.404103} \\ =1000 \times 2.53063 \\ \sigma \approx 2530.63
माध्य विचलन (Mean Deviation) \delta_{M}=\frac{\Sigma f|dM|}{N} \\ =\frac{194600}{98}\\ \Rightarrow \delta_{M}=1985.71\\ \delta_{\bar{x}}=\frac{\Sigma f|d \bar{x}|}{N}\\ =\frac{210510.08}{98}\\ \Rightarrow \delta_{\bar{x}}=2148.06
Example:6.एक पुण्यार्थ संस्था ने 60 वर्ष से अधिक आयु वालों के लिए वृद्धावस्था पेंशन देने का निश्चय किया।पेंशन के मापदण्ड निम्न प्रकार निर्धारित किए गए:
(An association doing charity work decided to give old age pension to people over sixty years age.The scales of pension were fixed as follows):
Age group 60 to 65 | Rs. 25 per month |
Age group 65 to 70 | Rs. 30 per month |
Age group 70 to 75 | Rs. 35 per month |
Age group 75 to 80 | Rs. 40 per month |
Age group 80 to 85 | Rs. 45 per month |
पच्चीस व्यक्तियों की आयु जिन्होंने पेन्शन प्राप्त करने का अधिकार उपलब्ध कर लिया है, निम्नलिखित है:
(The age of 25 persons who secured the pension right are given below):
74,62,84,72,61,67,74,66,64,79,83,73,72,75,81,76,64,69,71,68,63,78,61,67,60
Solution:Calculation of Standard Deviation by Step Deviation Method(Assume A=35)
Pension per month | No. of persons(f) | Deviation(dx’) | fdx’ | fd^{2} x' |
25 | 7 | -2 | -14 | 28 |
30 | 5 | -1 | -5 | 5 |
35 | 6 | 0 | 0 | 0 |
40 | 4 | 1 | 4 | 4 |
45 | 3 | 2 | 6 | 12 |
Total | 25 | -9 | 49 |
प्रमाप विचलन
(S.D.) =i \times \sqrt{\frac{\Sigma f d^{2} x^{\prime}}{N}-\left(\frac{\Sigma f d x^{\prime}}{N}\right)^{2}} \\ =5 \sqrt{\frac{49}{25}-\left(\frac{-9}{25}\right)^{2}}=5 \sqrt{1.96-0.1296} \\ =5 \times \sqrt{1.8304}=5 \times 1.3529 \\ \sigma \approx 6.76
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा लघुरीति द्वारा प्रमाप विचलन (Standard Deviation by Short-cut Method),पद विचलित रीति से प्रमाप विचलन (Standard Deviation by Step Deviation Method) को समझ सकते हैं।
3.लघुरीति द्वारा प्रमाप विचलन पर आधारित सवाल (Questions Based on Standard Deviation by Short-cut Method):
(1.)निम्न सारणी में प्रस्तुत समंकों से प्रमाप विचलन एवं उसके गुणक का परिकलन कीजिए:
(Calculate standard deviation and its coefficient from the data given in the following table):
Lengths(cms) | No. of wires |
72.0-73.9 | 7 |
74.0-75.9 | 31 |
76.0-77.9 | 42 |
78.0-79.9 | 54 |
80.0-81.9 | 33 |
82.0-83.9 | 24 |
84.0-85.9 | 22 |
86.0-87.9 | 8 |
88.0-89.9 | 4 |
(2.)निम्न समंकों से प्रमाप विचलन तथा उसके गुणक की परिगणना कीजिए:
(Calculate standard deviation and its coefficient from the following data):
Marks out of 10 | No. of students |
0-2 | 2 |
2-4 | 5 |
4-6 | 15 |
6-8 | 7 |
8-10 | 1 |
Total | 30 |
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर लघुरीति द्वारा प्रमाप विचलन (Standard Deviation by Short-cut Method),पद विचलित रीति से प्रमाप विचलन (Standard Deviation by Step Deviation Method) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.लघुरीति द्वारा प्रमाप विचलन (Standard Deviation by Short-cut Method),पद विचलित रीति से प्रमाप विचलन (Standard Deviation by Step Deviation Method) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.खण्डित श्रेणी में लघुरीति से प्रमाप विचलन ज्ञात करने की क्रियाविधि लिखो। (Write down the procedure for finding the standard deviation by short-cut method in discrete series) :
उत्तर:यदि समान्तर माध्य पूर्णांक में नहीं हो तो लघुरीति द्वारा प्रमाप विचलन की गणना करना अपेक्षाकृत सरल होता है।इसकी गणना क्रिया निम्न प्रकार है:
(1.)श्रेणी के किसी मूल्य को कल्पित माध्य (A) मान लेना चाहिए।कल्पित माध्य सबसे अधिक आवृत्ति वाले मूल्य को मानना उपयुक्त रहता है।
(2.)कल्पित माध्य (A) से विभिन्न मूल्यों के विचलन(dx=X-A) निकाल लिए जाते हैं।
(3.)विचलनों को उनसे सम्बन्धित आवृत्तियों से गुणा करके गुणनफल का योग(\Sigma f dx) प्राप्त कर लिया जाता है।
(4.)विचलनों व आवृत्तियों के गुणनफलों (\Sigma f dx) को फिर विचलनों से गुणा करके इन गुणनफलों (\Sigma f d^{2}x) का योग भी निकाल लिया जाता है।
(5.)अन्त में निम्न सूत्रों में से किसी एक का प्रयोग करके प्रमाप विचलन ज्ञात किया जा सकता है:
\text { (1.) } \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma f d^{2} x}{N}-\left(\frac{\Sigma f d x}{N}\right)^{2}} \\ \text { (2.) } \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma f d^{2} x}{N}-(\bar{x}-A)^{2}}\\ \text { (3.) } \sigma=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma f d^{2} x \cdot N-(\Sigma f d x)^{2}}\\ \text { (4.) } \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma f d^{2} x-N(\bar{X}-A)^{2}}{N}}
उपर्युक्त सूत्रों में तृतीय सूत्र का प्रयोग अपेक्षाकृत सरल है।प्रमाप विचलन मूल्यों के वर्ग निकालकर (अर्थात् A=0) मानकर भी ज्ञात किया जा सकता है, इसमें वे सभी क्रियायें करनी होती है जो व्यक्तिगत श्रेणी में आवश्यक है।केवल मूल्यों के वर्गों (X^{2}) को आवृत्तियों (f) से ओर गुणा करना होता है।इसका सूत्र निम्न प्रकार है:
\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma x^{2} f}{N}-(\bar{X})^{2}} \text { या } \sigma= \sqrt{\frac{\Sigma x^{2}}{N}-\left(\frac{\Sigma f x}{N}\right)^{2}}
प्रश्न:2.सतत श्रेणी में प्रत्यक्ष रीति तथा लघुरीति से प्रमाप विचलन ज्ञात करने की क्रियाविधि लिखो। (Write down the procedure to find out standard deviation by direct method and short-cut method in a continuous series):
उत्तर:सतत श्रेणी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation in Continuous Series):सतत श्रेणी में प्रमाप विचलन ज्ञात करने के लिए सर्वप्रथम विभिन्न वर्गों (Groups) के मध्य बिन्दु ज्ञात कर लिए जाते हैं।मध्य बिन्दुओं के परिकलन के पश्चात् सतत श्रेणी खण्डित श्रेणी में परिवर्तित हो जाती है।अतः शेष गणना क्रिया एवं सूत्र वही प्रयुक्त होते हैं जो खण्डित श्रेणी में प्रयुक्त किये जाते हैं।सतत श्रेणी में केवल एक अतिरिक्त सूत्र जो पद-विचलनों पर आधारित है, का भी प्रयोग किया जाता है।संक्षिप्त में प्रमाप विचलन ज्ञात करने की निम्न रीतियाँ हैं:
(अ)प्रत्यक्ष रीति (Direct Method)
(ब)लघुरीति (Short-cut Method)
(स)पद विचलन रीति (Step Deviation Method)
(द)आकलन या योग रीति
(अ)प्रत्यक्ष रीति (Direct Method):
इस रीति के अन्तर्गत पहले समंक श्रेणी का समान्तर माध्य ज्ञात कर लिया जाता है। इसके पश्चात प्रत्येक वर्ग के मध्य-मूल्य (M.V.) में से वास्तविक समान्तर (\bar{X}) माध्य घटाकर विचलन प्राप्त किए जाते हैं।शेष सभी गणन क्रिया वही होती है जो खण्डित श्रेणी में होती है:
\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma f d^{2}}{N}}
(ब)लघुरीति (Short-cut Method):
सतत श्रेणी में प्रमाप विचलन की गणना हेतु लघुरीति में उन्हीं सूत्र का प्रयोग किया जा सकता है जिनका प्रयोग खण्डित श्रेणी में किया जाता है।ये सूत्र निम्न हैं:
\text { (1.) } \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma f d^{2} x}{N}-\left(\frac{\Sigma f d x}{N}\right)^{2}} \\ \text { (2.) } \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma f d^{2} x}{N}-(\bar{x}-A)^{2}}\\ \text { (3.) } \sigma=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma f d^{2} x \cdot N-(\Sigma f d x)^{2}}\\ \text { (4.) } \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma f d^{2} x-N(\bar{X}-A)^{2}}{N}}
प्रश्न:3.व्यक्तिगत श्रेणी में प्रत्यक्ष रीति तथा लघुरीति से प्रमाप विचलन ज्ञात करने की क्रियाविधि लिखो। (Write down the procedure for finding standard deviation by direct method and short-cut method):
उत्तर:(1.)सर्वप्रथम श्रेणी का समान्तर माध्य \bar{X} ज्ञात किया जाता है।समान्तर माध्य पूर्व में बताए गए नियमों व सूत्रों के आधार पर ज्ञात करें।
(2.)समान्तर माध्य से विभिन्न पदों के विचलन (d) ज्ञात करें।
(3.)व्यक्तिगत श्रेणी में पदों के विचलन का वर्ग d^{2} करके उनका योग \Sigma d^{2} ज्ञात करें।
(4.)विचलन वर्गों के योग \Sigma d^{2} को पदों की संख्या से भाग दिया जाता है।(यह मूल्य ही द्वितीय अपकिरण या विचरण मापांक कहलाता है।) भाग देने पर जो भजनफल प्राप्त होता है उसका धनात्मक वर्गमूल ज्ञात करें।वास्तव में यही प्रमाप विचलन है।
(5.)सूत्र के रूप में प्रमाप विचलन: \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma d^{2}}{N}}
यहाँ \sigma=प्रमाप विचलन ,\Sigma d^{2}=माध्य से लिए गए विचलनों के वर्गों के योग
लघुरीति (Short-cut Method:
जब समान्तर माध्य (\bar{X}) पूर्णांक में न हो तो लघुरीति का प्रयोग सरल रहता है। इसकी गणना में निम्न क्रियाएं की जाती हैं:
(1.)प्रस्तुत मूल्यों में से किसी एक को कल्पित माध्य (A) मान लेते हैं।
(2.)कल्पित माध्य से विचलन (dx) ज्ञात कर उनका योग(\Sigma dx) करते हैं।
(3.)इन विचलनों (dx) के वर्ग ज्ञात कर उनका योग प्राप्त करते हैं।निम्नलिखित में से किसी सूत्र का प्रयोग करें:
1)\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma d^{2}x}{N}-\left(\bar{X}-A\right)^{2}} \\ (2) \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma d^{2}x}{N}-\left(\frac{\Sigma d x}{N}\right)^{2}} \\ \bar{X}-A=\frac{\Sigma d x}{N} के होता है।
\overline{X}-A=\frac{\sum d x}{N} के होता है। अतः अन्तर के एवज \frac{\sum d x}{N} का प्रयोग करने पर
\sigma=\sqrt{\frac{\sum d^{2} x- N(\overline{X}-A)^{2}}{N}}
प्रथम सूत्र में LCM लेने पर
\sigma=\sqrt{\frac{\sum d^{2} x \cdot N}{N^{2}}-\frac{\left(\sum d x\right)^{2}}{N^{2}}}
दूसरे सूत्र में \Sigma d^{2} x को व N दोनों
\sigma=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma d^{2} x \cdot N-(\Sigma d x)^{2}}
को N से गुणा करें तथा \frac{1}{ N^{2}} को वर्गमूल से बाहर निकालने पर
उपर्युक्त चारों सूत्रों में से चौथा सूत्र सबसे सरल तथा लोकप्रिय है। अतः इसी सूत्र का अधिकता प्रयोग किया जाता है। इन सूत्रों में प्रयुक्त संकेतों का स्पष्टीकरण निम्नवत् है-
\sigma= प्रमाप विचलन (Standard Deviation)
\sum d x= कल्पित समान्तर माध्य से लिये गये विचलनों के वर्गों का योग
(Sum of deviations from assumed mean)
\sum d^{2} x= कल्पित समान्तर माध्य से लिये गये विचलनों के वर्गों का योग
(Sum of squares of deviations from assumed mean)
N= मदों की कुल संख्या (Total number of items)
A= कल्पित माध्य (Assumed Arithmetic Mean)
वैकल्पिक रीति – व्यक्तिगत श्रेणो में प्रमाप विचलन व्यक्तिगत मूल्यों के आधार ( A=0 मानकर ) पर ज्ञात किया जा सकता है। इस रीति के अन्तर्गत सर्वप्रथम प्रत्येक मूल्य का वर्ग \left(X^{2}\right) ज्ञात कर लिया जाता है तथा उनका योग \left(\Sigma X^{2}\right) किया जाता है। वर्गों का माध्य ज्ञात करने के लिए वर्गों के योग \left(X^{2}\right) में मदों कों कुल संख्या (N) से विभाजित किया जाता है। इस प्रकार प्राप्त माध्य \frac{\sum X^{2}}{N} में से सरंक श्रेणी के माध्य का वर्ग (\bar{X})^{2} घटाकर प्राप्त संख्या का वर्गमूल निकाल लिया जाता है। यह वर्गमूल ही समंक श्रेणी का प्रमाप विचलन होता है। सूत्र रूप में :
\sigma=\sqrt{\frac{\sum X^{2}}{N}-\left(\frac{\sum X}{N}\right)^{2}} \text { or } \sqrt{\frac{\sum X^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}
सूत्र का आधार-सूत्र का आधार यह है कि यदि कल्पित माध्य (Assumed Mean) का मूल्य शून्य (0) मान लिया जाए तो समंक श्रेणी के प्रत्येक पद-मूल्य का विचलन वही होगा जो उनका मूल्य है। सूत्र निम्न रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है-
\sigma=\sqrt{\frac{\sum(X-0)^{2}}{N}-(\overline{X}-0)^{2}} \text { or } \sqrt{\left.\frac{\sum X^{2}}{N}-\overline{X}\right)^{2}} \quad \because A=0
इस सूत्र का प्रयोग हुत कम किया जाता है, क्योंकि इसकी परिगणना क्रिया अपेक्षाकृत जटिल है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा लघुरीति द्वारा प्रमाप विचलन (Standard Deviation by Short-cut Method),पद विचलित रीति से प्रमाप विचलन (Standard Deviation by Step Deviation Method)के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Standard Deviation by Short-cut Method
लघुरीति द्वारा प्रमाप विचलन
(Standard Deviation by Short-cut Method)
Standard Deviation by Short-cut Method
लघुरीति द्वारा प्रमाप विचलन (Standard Deviation by Short-cut Method) तब ज्ञात करना
सही रहता है जब माध्य पूर्णांक में न होकर दशमलव में हो।अन्यथा माध्य पूर्णांक में होने
पर प्रत्यक्ष रीति से ज्ञात करना सरल होता है।