1.बौधायन प्रमेय (Baudhayan Theorem),बौधायना प्रमेय (Baudhayana Theorem):

बौधायन प्रमेय (Baudhayan Theorem) से हमें समकोण त्रिभुज पर एक बहुत महत्त्वपूर्ण परिणाम प्राप्त होता है।यह प्रयेय पाइथागोरस प्रमेय(Pythagoras Theorem) के नाम से भी विख्यात है।
प्रमेय (Theorem):1.किसी समकोण त्रिभुज में कर्ण पर बना वर्ग अन्य दोनों भुजाओं पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।

Baudhayan Theorem

दिया है (Given):\triangle ABC में , \angle C समकोण है और भुजाओं AB,BC और CA पर बने वर्ग क्रमशः ADEB,CBFG और ACHK हैं।
सिद्ध करना है (To Prove):वर्ग ADEB=वर्ग ACHK+वर्ग CBFG
रचना (Construction):C से BE के समान्तर रेखा CM खींची जो AB को L पर प्रतिच्छेद करती है।BK एवं CD को मिलाया।
उपपत्ति (Proof):\angle BAD=\angle CAK=90^{\circ}
दोनों पक्षों में \angle CAB जोड़ने पर:

\angle BAD + \angle CAB=\angle CAK+\angle CAB \\ \Rightarrow \angle CAD=\angle BAK \cdots(1)
अब \triangle BAK और  \triangle CAD में
AB=CD [वर्ग ABED की भुजाएं]
\angle BAK=\angle CAD[(1) से]
AK=AC [वर्ग ACHK की भुजाएं]
भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से (By SAS Congruence Property)

\triangle BAK \cong  \triangle CAD \cdots(2)
पुनः \angle BCA=\angle ACH=90^{\circ} \\ \angle BCA+\angle ACH=180^{\circ}
अर्थात् BCH एक सरल रेखा है।
CH \parallel AK (वर्ग ACHK की सम्मुख भुजाएं)
\triangle BAK और वर्ग ACHK एक ही आधार AK तथा समान्तर रेखाओं AK एवं BH के मध्य स्थित हैं।
अतः \triangle BAK =\frac{1}{2} \text { वर्ग } ACHK \cdots(3)
इसी प्रकार \triangle ADC और आयत ADML एक ही आधार AD और समान्तर रेखाओं AD एवं CM के मध्य स्थित हैं,अतः
\triangle CAD =\frac{1}{2} \text { आयत } ADML \cdots(3) 
समीकरण (2),(3) और (4) से:
\triangle CAD=\triangle BAK =\frac{1}{2} \text { वर्ग } ACHK \\=\frac{1}{2} \text { आयत } ADML
\therefore  वर्ग ACHK=आयत ADML       …….(5)
इसी प्रकार वर्ग CBFG=आयत LMEB       ……..(6)
(5) और (6) से:
आयत ADML+आयत LMEB=वर्ग ACHK+वर्ग CBFG
वर्ग ADEB=वर्ग ACHK+वर्ग CBFG
प्रमेय (Theorem):2.(बौधायन प्रमेय का विलोम) (Converse of Baudhayan Theorem):
किसी त्रिभुज में यदि एक भुजा का वर्ग अन्य दोनों भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो तो इस भुजा के सामने का कोण समकोण होता है।

Baudhayan Theorem

दिया है (Given):\triangle ABC में,AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}
सिद्ध करना है (To Prove):\angle B=90^{\circ}
रचना (Construction):\triangle PQR इस प्रकार बनाया कि \angle Q=90^{\circ} हों और PQ=AB एवं QR=BC हों।
उपपत्ति (Proof): \triangle PQR में बौधायन प्रमेय (Baudhayan Theorem) से

PR^{2}=PQ^{2}+QR^{2}
परन्तु PQ=AB और QR=BC
अतः PR^{2}=AB^{2}+BC^{2} \cdots(1)
दिया हुआ है कि

AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}
समीकरण (1) और (2) से:
PR=AC
अब \triangle ABC एवं  \triangle PQR में
PQ=AB (रचना से)
QR=BC (रचना से)
PR=AC [(3) से]
भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से (By SSS Congruence Property)

\triangle ABC \cong  \triangle PQR अतः \angle B=\angle Q=90^{\circ}
अर्थात् \angle B=90^{\circ}
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2.बौधायन प्रमेय के उदाहरण (Baudhayan Theorem Examples):

Example:1.\triangle ABC में,E माध्यिका AD का मध्य-बिन्दु है।दर्शाइए कि ar ( BED)=\frac{1}{4} ar(ABC)
Solution:दिया है (Given):\triangle ABC में,E माध्यिका AD का मध्य-बिन्दु है।
सिद्ध करना है (To Prove): ar( BED)=\frac{1}{4} ar(ABC)

Baudhayan Theorem

उपपत्ति :-\triangle ABC में चूंकि AD माध्यिका है

ar(\triangle ABD)=ar(\triangle ACD)=\frac{1}{2} ar(\triangle ABC) \cdots(1)
(\because  त्रिभुज की माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभजों में विभाजित करतीं है)
\triangle ABD में चूंकि BE एक माध्यिका है।

ar(\triangle BED)=ar(\triangle BEA)=\frac{1}{2} ar(\triangle ABD) \cdots(2)
(\because त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है)
समीकरण (1) से:

ar(\triangle BED)=\frac{1}{2} ar(\triangle ABD) \\ =\frac{1}{2} .\frac{1}{2} ar(\triangle ABC) \\ \Rightarrow ar(\triangle BED)=\frac{1}{4} ar(\triangle ABC)
Example:2.चित्र में ABCD और EFGD दो समान्तर चतुर्भुज हैं तथा G भुजा CD का मध्य-बिन्दु है।तब ar(DPC)=ar(EFGD) है।
Solution:दिया है (Given):ABCD और EFGD दो समान्तर चतुर्भुज है तथा G भुजा CD का मध्य-बिन्दु है।

Baudhayan Theorem

उपपत्ति (Proof):\triangle DPC तथा समान्तर चतुर्भुज  एक ही आधार DC तथा समान भुजाओ AB व CD के मध्य स्थित है 
अतः ar(\triangle DPC)=\frac{1}{2} ar(ABCD) \cdots(1)
समान्तर चतुर्भुज ABCD और EFGD का आधार क्रमशः DC व DG है जहाँ G,DC का मध्य-बिन्दु है तथा दोनों समान समान्तर भुजाओं के मध्य स्थित हैं अतः

ar(\triangle EFGD)=\frac{1}{2} ar(ABCD) \cdots(2)
(1) व (2) से:

ar(\triangle DPC)=ar( EFGD)
Example:3.एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD में AB \parallel DC तथा L भुजा BC का मध्य-बिन्दु है।L से होकर एक रेखा खींची PQ \parallel AD गई है जो AB को  P पर और बढ़ाई गई DC को Q पर मिलती है।सिद्ध कीजिए कि ar(ABCD)=ar(APQD)
Solution:दिया है (Given):समलम्ब चतुर्भुज ABCD में AB \parallel DC तथा PQ \parallel AD है।साथ ही PL=QL है।

Baudhayan Theorem

सिद्ध करना है (To Prove):ar(ABCD)=ar(APQD)
उपपत्ति (Proof):\triangle PBL तथा \triangle QCL में
PL=QL (दिया है)
\angle BPL=\angle CQL(एकान्तर कोण)
\angle BLP=\angle CLQ(शीर्षाभिमुख कोण)
कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता गुणधर्म से (By ASA Congruence property)

\triangle PBL \cong \triangle QCL \\ ar(\triangle PBL)=ar(\triangle CQL) \cdots(1)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान होते हैं)
ar(ABLQDA)=ar(ABLQDA)    …….(2)
(2) में से (1) घटाने पर:
ar(ABLQDA)-ar(\triangle PBL)=ar(ABLQDA)-ar(\triangle CQL) \\ \Rightarrow ar(APQD)=ar(ABCD)
Example:4.यदि किसी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को क्रम से मिलाया जाता है तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दिए हुए चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
Solution:दिया है (Given):चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर समान्तर चतुर्भुज PFRS है।

Baudhayan Theorem

सिद्ध करना है (To Prove):\frac{1}{2} ar(ABCD)=ar(PFRS)
रचना (Construction):BD को मिलाया तथा BD पर लम्ब AL खींचा।
उपपत्ति (Proof):\triangle ABD में S व R मध्य-बिन्दु है अतः
SR \parallel BD, SR=\frac{1}{2} BD तथा ML=\frac{1}{2} AL \cdots(1)
\triangle ABD \text{ का क्षेत्रफल }=\frac{1}{2} \times \text{ आधार } \times \text{ ऊँचाई } \\ ar(\triangle ABD) =\frac{1}{2} \times BD \times AL \cdots(2)
समान्तर चतुर्भुज STUR का क्षेत्रफल=आधार × ऊँचाई
=TU × ML
=\frac{1}{2} BD \times \frac{1}{2} AL[(1) से]

ar(STUR)=\frac{1}{4} BD \times AL
(1) व (2) से:

\frac{1}{2} ar(\triangle ABD)=ar(STUR) \cdots(4)
इसी प्रकार \frac{1}{2} ar(\triangle PCF)=ar(PFUT) \cdots(5)
(4) व (5) को जोड़ने पर:

\frac{1}{2} ar(\triangle ABD)+ \frac{1}{2} ar(\triangle PCF)=ar(STUR)+ar(PFUT) \\ \Rightarrow \frac{1}{2} ar(ABCD)=ar(PFRS)
Example:5.एक समबाहु त्रिभुज \triangle ABC में,AD भुजा BC पर लम्बवत हो तो सिद्ध कीजिए कि 3AB^{2}=4 AD^{2}
Solution:दिया है (Given):\triangle ABC समबाहु त्रिभुज है अर्थात् AB=BC=AC तथा AD \perp BC है।

Baudhayan Theorem

सिद्ध करना है (To Prove):3AB^{2}=4 AD^{2}
उपपत्ति (Proof):समकोण \triangle ABD में
AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}(बौधायन प्रमेय से)
\Rightarrow AB^{2}=AD^{2}+\left ( \frac{AB}{2} \right )^{2}(BD=DC)
[समबाहु त्रिभुज का शीर्षलम्ब सम्मुख भुजा को समद्विभाजित करता है)

\Rightarrow AB^{2}=AD^{2}+\frac{AB^{2}}{4} \\ \Rightarrow AB^{2}-\frac{AB^{2}}{4}=AD^{2} \\ \Rightarrow \frac{4 AB^{2}-AB^{2}}{4}=AD^{2} \\ \Rightarrow \frac{3 AB^{2}}{4}=AD^{2} \\ \Rightarrow 3 AB^{2}=4 AD^{2}
Example:6.एक अधिककोण \triangle ABC  में कोण C अधिक कोण हैं।AD \perp BC है और BC को आगे बढ़ाने पर D पर मिलता है।सिद्ध कीजिए कि AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}+2 BC \cdot CD
Solution:दिया है (Given): \triangle ABC अधिक कोण त्रिभुज है तथा है।

Baudhayan Theorem

सिद्ध करना है (To Prove):AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}+2 BC \cdot CD
उपपत्ति (Proof):\triangle ADB एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण D समकोण है।अतः
AB^{2}=AD^{2}+DB^{2} (By Baudhayan Theorem)

=AD^{2}+(DC+BC)^{2} \\ AB^{2}=AD^{2}+DC^{2}+BC^{2}+2BC \cdot CD \cdots(1)

समकोण \triangle ADB में

AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}(By Baudhayan Theorem)….(2)
(1) व (2) से:

AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}+2 BC  \cdot CD
Example:7.आयत ABCD के अन्दर कोई बिन्दु O है।सिद्ध कीजिए कि OB^{2}+OD^{2}=OA^{2}+OC^{2}
Solution:दिया है (Given):O एक बिन्दु आयत ABCD के अन्तर्गत है।

Baudhayan Theorem

सिद्ध करना है (To Prove):OB^{2}+OD^{2}=OA^{2}+OC^{2}
रचना (Construction):PQ \parallel BC खींचा।
उपपत्ति (Proof):ABCD एक आयत है।

\angle B=\angle C=90^{\circ}
AD \parallel BC तथा AB \parallel DC
PQ \parallel BC (रचना से)

PQ \parallel AD \parallel BC
BC \perp AB और BC \parallel PQ \\ PQ \perp AB
इसी प्रकार PQ \perp DC \\ \angle APO=\angle BPO =\angle CQO=\angle DQO=90^{\circ}
APQD और BPQL एक आयत है।
AP=DQ और BP=CQ
समकोण \triangle BPO में OB^{2}=OP^{2}+BP^{2}(By Baudhayan Theorem)

OB^{2}=OP^{2}+CQ^{2} (\because  BP=CQ) \cdots(1)
समकोण \triangle DQO  में OD^{2}=OQ^{2}+DQ^{2} (By Baudhayan Theorem)
OD^{2}=OQ^{2}+AP^{2} (\because  DQ=AP) \cdots(2)
समकोण \triangle APO में OA^{2}=OP^{2}+AP^{2}(By Baudhayan Theorem) ….(3)
समकोण \triangle CQO में OC^{2}=OQ^{2}+CQ^{2} (By Baudhayan Theorem)….(4)
(1) और (2) को जोड़ने पर:

OB^{2}+OD^{2}=OP^{2}+CQ^{2}+OQ^{2}+AP^{2} \\ =(OP^{2}+AP^{2})+(CQ^{2}+OQ^{2}) \\ \Rightarrow OB^{2}+OD^{2}=OA^{2}+OC^{2}[(3) और (4) से ]
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बौधायन प्रमेय (Baudhayan Theorem),बौधायना प्रमेय (Baudhayana Theorem) को समझ सकते है।

3.बौधायन प्रमेय की समस्याएं (Baudhayan Theorem Problems):

(1.) एक व्यक्ति 10 मीटर पूर्व की ओर जाता है और तब 30 मीटर उत्तर की ओर जाता है।उसकी प्रारंभिक स्थान से दूरी ज्ञात कीजिए।
(2.)एक सीढ़ी दीवार के साथ इस प्रकार रखी हुई है कि इसका नीचे का सिरा दीवार से 7 मीटर दूर है।यदि इसका दूसरा सिरा 24 मीटर ऊंची एक खिड़की तक पहुंचे तो सीढ़ी की लंबाई ज्ञात कीजिए।
(3.)एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षलम्ब और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा की लंबाई a है।
(4.)एक वर्ग के विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए जिसकी प्रत्येक भुजा 4 मीटर है।
उत्तर( (Answers):(1) 10 \sqrt{10} \text { मीटर } \\  (2.)25 \text { मीटर } \\  (3)\frac{\sqrt{3}}{2} a ,\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} \\ (4) 4 \sqrt{2}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बौधायन प्रमेय (Baudhayan Theorem),बौधायना प्रमेय (Baudhayana Theorem) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.बौधायन प्रमेय (Baudhayan Theorem),बौधायना प्रमेय (Baudhayana Theorem) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न: