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Rationalization of denominator

1.कक्षा 9 में हर का परिमेयकरण (Rationalization of denominator in class 9),परिमेयकरण (Rationalization)-

कक्षा 9 में हर का परिमेयकरण (Rationalization of denominator in class 9),परिमेयकरण (Rationalization) कैसे किया जाता है,इसके बारे में अध्ययन करेंगे।कक्षा 9 में हर का परिमेयकरण (Rationalization of denominator in class 9),परिमेयकरण (Rationalization) करने के लिए कुछ बातों का ध्यान रखना होगा।
(1.)एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या को जोड़ने या घटाने पर एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।
(2.)एक अपरिमेय संख्या के साथ शून्येत्तर (Nonzero) परिमेय संख्या का गुणनफल या भागफल से एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।
(3.)यदि हम दो अपरिमेय संख्या को जोड़ें, घटाएं,गुणा करें या एक अपरिमेय संख्या में दूसरी अपरिमेय संख्या का भाग दें तो परिणाम परिमेय या अपरिमेय कुछ भी हो सकता है।
(4.)माना a तथा ‌b धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं-

(i)\sqrt { ab } =\sqrt { a } \sqrt { b } \\ (ii)\sqrt { \frac { a }{ b } } =\frac { \sqrt { a } }{ \sqrt { b } } \\ (iii)(\sqrt { a } +\sqrt { b } )(\sqrt { a } -\sqrt { b } )=a-b\\ (iv)(\sqrt { a } +\sqrt { b } )(\sqrt { c } -\sqrt { d } )=\sqrt { ac } -\sqrt { ad } +\sqrt { bc } -\sqrt { bd } \\ (v){ (\sqrt { a } +\sqrt { b } ) }^{ 2 }=a+2\sqrt { ab } +b\\ (vi)\frac { 1 }{ a+\sqrt { b } } =\frac { a-\sqrt { b } }{ { a }^{ 2 }-b } \\ (vii)\frac { 1 }{ a+b\sqrt { x } } =\frac { a-b\sqrt { x } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }x } जहां x एक प्राकृत संख्या है।
(viii)\frac { 1 }{ \sqrt { x } +\sqrt { y } } =\frac { \sqrt { x } -\sqrt { y } }{ x-y } जहां x तथा y प्राकृत संख्या है।
उपर्युक्त दी गई सर्वसमिकाओं का उपयोग कक्षा 9 में हर का परिमेयकरण (Rationalization of denominator in class 9),परिमेयकरण (Rationalization) में किया जाएगा।
जब एक व्यंजक के हर में वर्गमूल वाला एक पद होता है या कोई संख्या करणी चिन्ह के अन्दर हो तब ऐसे तुल्य व्यंजक में हर को परिमेय संख्या में परिवर्तित करने की क्रियाविधि को हर का परिमेयकरण (Rationalization of denominator) कहा जाता है।
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2.कक्षा 9 में हर का परिमेयकरण के उदाहरण (Rationalization of denominator in class 9 Examples)-

(1.) निम्नलिखित संख्याओं में से परिमेय और अपरिमेय संख्याएं बताइए।

Example-1.(i) 2-\sqrt { 5 } अपरिमेय संख्या है।
(ii) (3+\sqrt { 23 } )-\sqrt { 23 } \\ =3+\sqrt { 23 } -\sqrt { 23 } \\ =3 परिमेय संख्या है।
(iii) \frac { 2\sqrt { 11 } }{ 7\sqrt { 11 } } \\ =\frac { 2 }{ 7 } परिमेय संख्या है।
(iv) \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } अपरिमेय संख्या है।

(2.) निम्नलिखित के हरों का परिमेयकरण कीजिए:
(Rationalize denominator of following:)

Example-2.\frac { 1 }{ 5+3\sqrt { 7 } }
Solution\frac { 1 }{ 5+3\sqrt { 7 } } \\ =\frac { 1 }{ 5+3\sqrt { 7 } } \times \frac { 5-3\sqrt { 7 } }{ 5-3\sqrt { 7 } } \\ =\frac { 5-3\sqrt { 7 } }{ 25-63 } \\ =\frac { 5-3\sqrt { 7 } }{ -38 } \\ =-\frac { 1 }{ 38 } (5-3\sqrt { 7 } )
Example-3.\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } +\sqrt { 3 } }
Solution\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } +\sqrt { 3 } } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } +\sqrt { 3 } } \times \frac { \sqrt { 2 } -\sqrt { 3 } }{ \sqrt { 2 } -\sqrt { 3 } } \\ =\frac { \sqrt { 2 } -\sqrt { 3 } }{ 2-3 } \\ =\frac { \sqrt { 2 } -\sqrt { 3 } }{ -1 } \\ =-(\sqrt { 2 } -\sqrt { 3 } )
Example-4.\frac { 1 }{ \sqrt { 7 } -2 }
Solution\frac { 1 }{ \sqrt { 7 } -2 } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 7 } -2 } \times \frac { \sqrt { 7 } +2 }{ \sqrt { 7 } +2 } \\ =\frac { \sqrt { 7 } +2 }{ 7-4 } \\ =\frac { \sqrt { 7 } +2 }{ 3 } \\ =\frac { 1 }{ 3 } (\sqrt { 7 } +2)
Example-5.\frac { 1 }{ \sqrt { 5 } +\sqrt { 7 } }
Solution\frac { 1 }{ \sqrt { 5 } +\sqrt { 7 } } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 7 } +\sqrt { 5 } } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 7 } +\sqrt { 5 } } \times \frac { \sqrt { 7 } -\sqrt { 5 } }{ \sqrt { 7 } -\sqrt { 5 } } \\ =\frac { \sqrt { 7 } -\sqrt { 5 } }{ 7-5 } \\ =\frac { \sqrt { 7 } -\sqrt { 5 } }{ 2 } \\ =\frac { 1 }{ 2 } (\sqrt { 7 } -\sqrt { 5 } )
Example-6.\frac { 1 }{ 9+3\sqrt { 7 } }
Solution\frac { 1 }{ 9+3\sqrt { 7 } } \\ =\frac { 1 }{ 9+3\sqrt { 7 } } \times \frac { 9-3\sqrt { 7 } }{ 9-3\sqrt { 7 } } \\ =\frac { 9-3\sqrt { 7 } }{ 81-63 } \\ =\frac { 9-3\sqrt { 7 } }{ 18 } \\ =\frac { 1 }{ 18 } (9-3\sqrt { 7 } )

Example-7.\frac { 1 }{ 2+\sqrt { 3 } }
Solution\frac { 1 }{ 2+\sqrt { 3 } } \\ =\frac { 1 }{ 2+\sqrt { 3 } } \times \frac { 2-\sqrt { 3 } }{ 2-\sqrt { 3 } } \\ =\frac { 2-\sqrt { 3 } }{ 4-3 } \\ =2-\sqrt { 3 }
Example-8.\frac { 7 }{ \sqrt { 3 } -\sqrt { 5 } }
Solution\frac { 7 }{ \sqrt { 3 } -\sqrt { 5 } } \\ =\frac { 7 }{ \sqrt { 3 } -\sqrt { 5 } } \times \frac { \sqrt { 3 } +\sqrt { 5 } }{ \sqrt { 3 } -\sqrt { 5 } } \\ =\frac { 7(\sqrt { 3 } +\sqrt { 5 } ) }{ 3-5 } \\ =-\frac { 7 }{ 2 } (\sqrt { 3 } +\sqrt { 5 } )
Example-9.\frac { 2 }{ 7+3\sqrt { 2 } }
Solution-\frac { 2 }{ 7+3\sqrt { 2 } } \\ =\frac { 2 }{ 7+3\sqrt { 2 } } \times \frac { 7-3\sqrt { 2 } }{ 7-3\sqrt { 2 } } \\ =\frac { 2(7-3\sqrt { 2 } ) }{ 49-18 } \\ =\frac { 2(7-3\sqrt { 2 } ) }{ 31 }
Example-10.यदि \frac { 3+2\sqrt { 2 } }{ 3-\sqrt { 2 } } जहां a और ‌b परिमेय है तब a और b का मान ज्ञात कीजिए।
Solution\frac { 3+2\sqrt { 2 } }{ 3-\sqrt { 2 } } \\ \frac { 3+2\sqrt { 2 } }{ 3-\sqrt { 2 } } =a+b\sqrt { 2 } \\ \Rightarrow \frac { 3+2\sqrt { 2 } }{ 3-\sqrt { 2 } } \times \frac { 3+\sqrt { 2 } }{ 3+\sqrt { 2 } } =a+b\sqrt { 2 } \\ \Rightarrow \frac { 9+3\sqrt { 2 } +6\sqrt { 2 } +4 }{ 9-2 } =a+b\sqrt { 2 } \\ \Rightarrow \frac { 13+9\sqrt { 2 } }{ 7 } =a+b\sqrt { 2 }
तुलना करने पर-

a=\frac { 13 }{ 7 } ,b=\frac { 9 }{ 7 }
उपर्युक्त के उदाहरणों के हल द्वारा कक्षा 9 में हर का परिमेयकरण (Rationalization of denominator in class 9),परिमेयकरण (Rationalization) को समझा जा सकता है।

3.गणित में परिमेयकरण की समस्याएं (Rationalization Math Problems)-

(i)\frac { 1 }{ 2+\sqrt { 3 } } \\ (ii)\frac { 3-\sqrt { 2 } }{ 3+\sqrt { 2 } } \\ (iii)\frac { 1 }{ \sqrt { 7 } -\sqrt { 6 } } \\ (iv)\frac { 11 }{ 7+3\sqrt { 2 } } \\ (v)\frac { 5 }{ \sqrt { 3 } -\sqrt { 5 } }

उत्तर-(i)2-\sqrt { 3 } \\ (ii)\frac { 1 }{ 7 } (11-6\sqrt { 2 } )\\ (iii)\sqrt { 7 } +\sqrt { 6 } \\ (iv)\frac { 11 }{ 31 } (7-3\sqrt { 2 } )\\ (v)-\frac { 5 }{ 2 } (\sqrt { 3 } +\sqrt { 5 } )
इन समस्याओं को हल करने पर कक्षा 9 में हर का परिमेयकरण (Rationalization of denominator in class 9),परिमेयकरण (Rationalization) ओर ठीक से समझ में आ जाएगा।

4.आप कैसे भाजक को परिमेय बनाते हैं? (How do you rationalize the denominator?)-

इसलिए, हर को परिमेय बनाने के लिए, हमें उन सभी रेडिकल से छुटकारा पाना होगा जो हर में हैं।
चरण 1: अंश और हर को रेडिकल से गुणा करें जो हर के रेडिकल से छुटकारा मिलेगा।
चरण 2: सुनिश्चित करें कि सभी रेडिकल सरल हो गए हैं।
चरण 3: यदि आवश्यक हो तो अंश को सरल बनाएं।

5.आप एक द्विपद हर को कैसे परिमेय बनाते हैं? (How do you rationalize a binomial denominator?)-

एक रेडिकल अभिव्यक्ति को परिमेय बनाने के लिए, हर के गुणक के संयुग्मी द्वारा हर अंश और हर को गुणा करें।एक द्विपद का संयुग्म इसके बीच के चिन्ह को बदलकर प्राप्त किया जाता है।
उपर्युक्त उदाहरणों, समस्याओं को हल करने तथा प्रश्नों के उत्तर द्वारा कक्षा 9 में हर का परिमेयकरण (Rationalization of denominator in class 9),परिमेयकरण (Rationalization) को भली-भांति समझ सकते हैं।

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