1.लघुगणकीय अवकलन के सवाल:साधित उदाहरण और सूत्र (Logarithmic Differentiation Questions:Solved Examples and Formulas):

Logarithmic Differentiation Questions

प्रैक्टिस लघुगणकीय अवकलन के सवाल विस्तृत स्टेप-बाइ-स्टेप हल (Practice Logarithmic Differentiation Questions with detailed step-by-step solutions) लाॅग गुणधर्मों का प्रयोग करके फलनों की जटिल घातों और गुणा का कैसे अवकलन करें,सीखें।

आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Derivative of Function of Function

2.लघुगणकीय अवकलन क्या है? (What is Logarithmic Differentiation?):

जब फलन \left[ f(x)\right]^{\phi(x)} के रूप के हों,तो ऐसे फलन का अवकलन ज्ञात करने के लिए सर्वप्रथम फलन का लघुगणक (Logarithm) लेते हैं और इससे प्राप्त परिणाम का अवकलन करते हैं।इस विधि को लघुगणकीय अवकलन कहते हैं।यदि फलन गुणनखण्डों का गुणनफल हों,तब भी यह विधि उपयोगी सिद्ध होती है।

Logarithmic Differentiation Questions

माना कि y=u^v जहाँ u तथा v,x के फलन हैं।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log_e y=\log_e (u^v) \\ \Rightarrow \log_e y=v\log_e u
अब x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = v\cdot \frac{1}{u}\frac{du}{dx} +\log_e u \cdot \frac{dv}{dx} \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=y \left[ \frac{v}{u} \cdot \frac{du}{dx} +\log_e u \cdot \frac{dv}{dx} \right] \\ \frac{dy}{dx}= u^v \left[ \frac{v}{u} \cdot \frac{du}{dx} + \log_e u \cdot \frac{dv}{dx} \right]
Note:चूँकि \log_e (a+b) \neq \log_e a +\log_e b
अतः y=x^n+(\sin x)^x+x^{\log_e x}
इस प्रकार के फलनों में सीधा लघुगणक लेना सम्भव नहीं है।
(2.)\frac{d}{dx}\left[f(x)\right]^{g(x)}=f(x)^{g(x)} \left[g^{\prime}(x) \cdot f(x)+\frac{g(x) \cdot f^{\prime}(x)}{f(x)}\right]

Logarithmic Differentiation Questions

(3.)\frac{d}{dx}\log(u \cdot v)=\frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} +\frac{1}{v} \cdot \frac{dv}{dx} \\ (4.) \frac{d}{dx}\log(u^n) = \frac{n}{u} \frac{du}{dx}
Note:लघुगणक का आधार e होने पर ही अवकलन किया जाता है

3.अवकलन के लिए मुख्य लघुगणकीय नियम (Key Logarithm Rules for Differentiation):

Rules :-
(1.) \log(abc)=\log a+\log b+\log c
(2.) \log a^b=b\log a
(3.) \log\left(\frac{a}{b}\right)=\log a-\log b
(4.) \log\left(\frac{a}{b}\right)^m= m\log a-m\log b
(5.) e^{\log_e a}=a
(6.) \log_a b=\frac{\log_e b}{\log_e a}

4.कक्षा 12 के लिए लघुगणकीय अवकलन के साधित सवाल (Solved Logarithmic Differentiation for Class 12):

Example:1. y= \frac{(x^2+1)^3\sqrt{x-1}}{x^4}

Logarithmic Differentiation Questions

Solution: y= \frac{(x^2+1)^3\sqrt{x-1}}{x^4}
Taking log both sides,we get
\log y = \log\left( \frac{(x^2+1)^3\sqrt{x-1}}{x^4} \right) \\ = \log (x^2+1)^3 + \log \sqrt{x-1}- \log x^4 \\ \Rightarrow \log y = 3\log(x^2+1) + \frac12\log(x-1) - 4 \log x
Differentiate both sides w.r.t. x,we get
\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{3}{x^2+1} \frac{d}{dx}(x^2+1) + \frac1{2(x-1)} - \frac{4}{x} \\ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{3}{x^2+1}(2x) + \frac1{2(x-1)} - \frac{4}{x} \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx} =y \left[ \frac{6x}{x^2+1} + \frac1{2(x-1)} -\frac{4}{x} \right] \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{(x^2+1)^3\sqrt{x-1}}{x^4} \left[ \frac{6x}{x^2+1} + \frac1{2(x-1)} - \frac4x \right]
Example:2. y= \frac{(x-1)^3\sqrt{x+2}}{\sin^2 x}
Solution: y= \frac{(x-1)^3\sqrt{x+2}}{\sin^2 x}
Taking log both sides,we get
\log y= \log \left[\frac{(x-1)^3\sqrt{x+2}}{\sin^2 x}\right] \\ =\log \left[(x-1)^3\sqrt{x+2} \right]- \log \left( \sin^2 x \right) \\ = \log (x-1)^3 + \log \sqrt{x+2}-2 \log \left( \sin x \right) \\ \Rightarrow \log y = 3 \log (x-1) + \frac{1}{2} \log (x+2)-2 \log \left( \sin x \right)
Differentiate both sides w.r.t. x,we get
\log y = 3\log(x-1) + \frac12\log(x+2) - 2\log(\sin x) \\ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac3{x-1} + \frac1{2(x+2)}-\frac{2}{\sin x} \frac{d}{dx} (\sin x) \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=y \left[ \frac3{x-1} +\frac1{2(x+2)}-\frac{2 \cos x}{\sin x} \right] \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx} =\frac{(x-1)^3\sqrt{x+2}}{\sin^2 x} \left[ \frac3{x-1} + \frac1{2(x+2)} - \frac{2 \cos x}{\sin x}\right]
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन ज्ञात कीजिए:
Example:3. (x^x)^x
Solution: (x^x)^x
Let y=(x^x)^x \\ y=x^{(x) (x)} \\ y=x^{x^2}
Taking log both sides,we get
\log y=x^2 \log x
Differentiate both sides w.r.t. x,we get
\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}=x^2 \cdot \frac{1}{x}+2x\log x\\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}= y \left[2x\log x+x \right] \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx} = (x^x)^x \left( 2x\log_e x+x \right)
Example:4. y=x^{x^x}
Solution: Let y=x^{x^x}
Taking log both sides,we get
\log y=x^x\log x^{x^x} \\ \Rightarrow \log y=x^x \log x
Again taking logarithm:
\log (\log y) = \log \left( x^x \log x \right) \\ = \log x^x + \log (\log x) \\ \Rightarrow \log (\log y) = x \log x + \log (\log x)
Differentiate both sides w.r.t. x,we get
\frac{1}{\log y} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{1}{x} + 1 \cdot \log x + \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx} = y \log y \left[ 1 + \log x + \frac{1}{x \log x} \right] \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx} = (x)^{x^x} \cdot x^x \log x \left[\log_e e +\log_e x + \frac{1}{x \log x} \right] \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx} =(x)^{x^x} \cdot x^x \left[\log_e (ex) + \log x + \frac{1}{x} \right] \left[\because \log_e e=1 \right]
Example:5. (\log x)^x + x^{\log x}
Solution: Let y=(\log x)^x+x^{\log x} \\ y=u+v \\ \left[ \text{where } u=(\log x)^x,\; v=x^{\log x} \right]
Differentiate w.r.t. x both sides, we get
\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} \cdots(1) \\ u=(\log x)^x
Taking log both sides,we get
\log u=\log\left((\log x)^x\right) \\ \Rightarrow \log u = x\log(\log x)
Differentiate both sides w.r.t. x,we get
\frac{1}{u}\frac{du}{dx} = 1 \cdot \log(\log x) + x\cdot\frac{1}{\log x}\cdot \frac{d}{dx}(\log x) \\ \Rightarrow \frac{du}{dx} = u\left[ \log(\log x) + \frac{x}{\log x} \cdot \frac{1}{x} \right] \\ \Rightarrow \frac{du}{dx} =(\log x)^x \left[ \log(\log x) + \frac{1}{\log x} \right] \\ v=x^{\log_e x}
Taking log both sides,we get
\log v =\log_e x\cdot\log_e x \\ \Rightarrow \log v=(\log_e x)^2
Differentiate both sides w.r.t. x,we get
\frac{1}{v}\frac{dv}{dx} =\frac{d}{dx}(\log_e x)^2 \\ \Rightarrow \frac{dv}{dx}= v \left[ 2(\log_e x) \frac{d}{dx}(\log_e x) \right] \\ \Rightarrow \frac{dv}{dx} = x^{\log_e x} \left( \frac{2\log_e x}{x} \right)
\frac{du}{dx} व \frac{dv}{dx} का मान (1) में रखने परः
\frac{dy}{dx} = (\log x)^x \left[ \log(\log x) + \frac{1}{\log x} \right] + x^{\log_e x} \left( \frac{2\log_e x}{x} \right)

Logarithmic Differentiation Questions

Example:6. (\sin x)^{\tan x} + (\tan x)^{\sin x}
Solution: y = (\sin x)^{\tan x} + (\tan x)^{\sin x}
Let y=u+v \left[\text{where } u=(\sin x)^{\tan x}, v=(\tan x)^{\sin x} \right]
Differentiate both sides w.r.t. x,we get
\frac{dy}{dx}= \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} \cdots(1) \\ u=(\sin x)^{\tan x}
Taking log both sides,we get
\log u =\log (\sin x)^{\tan x} \\ \Rightarrow \log u = \tan x \log(\sin x)
Differentiate both sides w.r.t. x,we get
\frac{1}{u}\frac{du}{dx} = \tan x \cdot \frac{d}{dx} \log (\sin x) + \log(\sin x)\cdot \frac{d}{dx}(\tan x) \\ \Rightarrow \frac{1}{u}\frac{du}{dx} = \tan x \cdot \frac{1}{\sin x}\frac{d}{dx}(\sin x) + \log(\sin x)\cdot \sec^2 x \\ \Rightarrow \frac{du}{dx} =u\left[ \tan x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} + \sec^2 x \log(\sin x) \right] \\ = u \left[ 1 + \sec^2 x \log(\sin x) \right] \\ \Rightarrow \frac{du}{dx} = (\sin x)^{\tan x} \left[ 1 + \sec^2 x \log(\sin x) \right] \\ v = (\tan x)^{\sin x}
Taking log both sides,we get
\log v = \log (\tan x)^{\sin x} \\ \Rightarrow \log v =\sin x \log(\tan x) \\ \Rightarrow \log v = \sin x \log(\tan x)
Differentiate both sides w.r.t. x,we get
\frac{1}{v}\frac{dv}{dx} = \sin x \, \frac{d}{dx}\log(\tan x) + \log(\tan x)\frac{d}{dx}(\sin x) \\ \Rightarrow \frac{dv}{dx} = v \left[ \sin x \cdot \frac{1}{\tan x}\frac{d}{dx}(\tan x) + \log(\tan x)\cdot \cos x \right] \\ \Rightarrow \frac{dv}{dx} = (\tan x)^{\sin x} \left[ \sin x \cdot \frac{\sec^2 x}{\tan x} + \log(\tan x)\cos x \right] \\ \Rightarrow \frac{dv}{dx} = (\tan x)^{\sin x} \left[ \sec x + \cos x \log(\tan x) \right]
\frac{du}{dx} व \frac{dv}{dx} का मान (1) में रखने परः
\frac{dy}{dx}= (\sin x)^{\tan x} \left[ 1+\sec^2 x \log_e(\sin x) \right] + (\tan x)^{\sin x} \left[ \sec x + \cos x \log_e(\tan x) \right]
Example:7. e^x + a^x + x^n + x^x
Solution:Let y=e^x+a^x+x^n+x^x \\ \Rightarrow y=u+v+w+t \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}+ \frac{dv}{dx} + \frac{dw}{dx} + \frac{dt}{dx} \cdots(1)
where u=e^x, \quad v=a^x, \quad w=x^n, \quad t=x^x
Now, \frac{du}{dx}=e^x , \frac{dv}{dx}=a^x\log_e a , \frac{dw}{dx}=nx^{n-1} , t=x^x
Taking log both sides,we get
\log t=x\log x
Differentiate both sides w.r.t. x,we get
\frac{1}{t} \frac{dt}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \frac{dt}{dx} = t \left[ 1+\log x \right] \\ \Rightarrow \frac{dt}{dx}= x^x \left[ \log_e e+\log_e x \right] \left[\because \log_e e=1 \right] \\ \Rightarrow \frac{dt}{dx} = x^x \log_e (ex)
\frac{du}{dx} व \frac{dv}{dx} का मान (1) में रखने परः
\frac{dy}{dx} = e^x + a^x\log_e a + nx^{n-1} + x^x\log_e(ex)
Example:8. \sqrt{ \frac{(x-a)(x-b)} {(x-p)(x-q)} }
Solution:Let y=\sqrt{ \frac{(x-a)(x-b)} {(x-p)(x-q)} }
Taking log both sides,we get
\log y =\log \sqrt{ \frac{(x-a)(x-b)} {(x-p)(x-q)} } =\frac{1}{2} \log \left( \frac{(x-a)(x-b)} {(x-p)(x-q)} \right) \\ =\frac{1}{2} \left[ \log\big((x-a)(x-b)\big) -\log\big((x-p)(x-q)\big) \right] \\ \Rightarrow \log y = \frac{1}{2} \left[ \log(x-a) + \log(x-b)-\log(x-p)-\log(x-q)\right]
Differentiate both sides w.r.t. x,we get
\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}= \frac{1}{2}\left[ \frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b} -\frac{1}{x-p} - \frac{1}{x-q} \right] \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y}{2} \left[ \frac{1}{x-a} + \frac{1}{x-b} - \frac{1}{x-p} - \frac{1}{x-q} \right] \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{(x-a)(x-b)} {(x-p)(x-q)}} \left[ \frac{1}{x-a} + \frac{1}{x-b} - \frac{1}{x-p} -\frac{1}{x-q} \right]
Example:9.यदि x^y=e^{x-y} तो सिद्ध कीजिए
\frac{dy}{dx}=\frac{\log_e x}{\left(1+\log_e x\right)^2}
Solution: x^y=e^{x-y}
Taking log both sides,we get
\log x^y = \log e^{x-y} \\ \Rightarrow y\log x=(x-y)\log_e e \\ \Rightarrow y\log x = x-y \quad \left[ \because \log_e e=1 \right] \cdots(1)
Differentiate both sides w.r.t. x,we get
\frac{dy}{dx}\log x + y\cdot\frac{1}{x} = 1-\frac{dy}{dx} \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx}\log x = 1-\frac{y}{x} \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx} \left( 1+\log_e x \right)=\frac{x-y}{x} \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x-y}{x(1+\log_e x)} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{ x-\dfrac{x}{1+\log_e x}}{x(1+\log_e x)} [From (1) y=\frac{x}{1+\log_e x}]
=\frac{ x(1+\log_e x)-x }{x(1+\log_e x)^2}\\ =\frac{ x+x\log_e x-x }{x(1+\log_e x)^2} \\ =\frac{x\log_e x} {x(1+\log_e x)^2} \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{\log_e x}{(1+\log_e x)^2}

5.लेख के लिए नमूने के सवाल की सारणी (Table of Sample Questions for the Article):

6.छात्र-छात्राओं के लिए अभ्यास सवाल (Practice Questions for Students):

Logarithmic Differentiation Questions

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन ज्ञात कीजिए:
(1.) x^x
(2.) (\sin x)^x
(3.) x^{\log_e x}
उत्तर (Answers): (1.)\frac{dy}{dx}=x^x\left[1+\log_e x\right]
(2.)\frac{dy}{dx}=(\sin x)^x\left[x\cot x+\log_e(\sin x)\right]
(3.)\frac{dy}{dx}=2x^{(\log_e x)-1}\log_e x

Also Read This Article:- Trig Transformation Derivation:Class 12

7.लघुगणकीय अवकलन के सवाल:साधित उदाहरण और सूत्र (Logarithmic Differentiation Questions:Solved Examples and Formulas) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Students ko Ek Sughav

Agar aap calculus ke kisi sawal mein dikkat mahasus karate hain to comment karake batayein.ye article kaisa laga apani rai batayein.

प्रैक्टिस लघुगणकीय अवकलन के सवाल विस्तृत स्टेप-बाइ-स्टेप हल (Practice Logarithmic
Differentiation Questions with detailed step-by-step solutions) लाॅग गुणधर्मों का
प्रयोग करके फलनों की जटिल घातों और गुणा का कैसे अवकलन करें,सीखें।

Satyam Mathematics

About my self
Lekhak Ke Baare Mein (About the Author)
**Satyam Narain Kumawat**
**Website Name:Satyam Mathematics**
*Owner:satyamcoachingcentre.in*
*Sthan:Manoharpur,Jaipur (Rajasthan)*
**Teaching Mathematics aur Anya Anubhav**
***Shiksha:**B.sc.,B.Ed.,(M.sc. star Ke Mathematics Ko Padhane ka Anubhav),B.com.,M.com. Ke vishayon Ko Padhane ka Anubhav,Philosophy,Psychology,Religious,sanskriti Mein Gahri Ruchi aur Adhyayan
***Anubhav:**phichale 23 varshon se M.sc.,M.com.,Angreji aur Vigyan Vishayon Mein Shikshaka Ka Lamba Anubhav
***Visheshagyata:*Maths,Adhyatma (spiritual),Yog vishayon ka vistrit Gyan*
****In Brief:I have read about M.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 23 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.