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Probability Class 9

1.प्रायिकता कक्षा 9 (Probability Class 9),प्रायिकता कक्षा 9 अतिरिक्त सवाल (Probability Class 9 Extra Questions):

प्रायिकता कक्षा 9 (Probability Class 9) के सवालों में संभवत,संदेह,संभावना,संयोग इत्यादि अनिश्चितता के शब्दों का प्रयोग किया जाता है।इनका संख्यात्मक रूप से मापन किया जा सकता है। यद्यपि प्रायिकता की उत्पत्ति जुए के खेल से हुई थी फिर भी इसका व्यापक प्रयोग भौतिक विज्ञान,वाणिज्य,जैविक विज्ञान,आयुर्विज्ञान,मौसम का पूर्वानुमान आदि क्षेत्रों में हो रहा है।
मान लीजिए अभिप्रयोगों की कुल संख्या n है। घटना E के घटने की आनुभविक प्रायिकता (Empirical Probability) निम्न से परिभाषित है:
P(E)=\frac{\text{अभिप्रयोगों की संख्या जिसमें घटना घटी है }}{\text{अभिप्रयोगों की कुल संख्या }}
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2.प्रायिकता कक्षा 9 के साधित उदाहरण (Probability Class 9 Solved Examples):

Example:1.एक क्रिकेट मैच में,एक महिला बल्लेबाज खेली गई 30 गेंदों में 6 बार चौका मारती है। चौका न मारे जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:बल्लेबाज द्वारा खेली गई गेंदों की संख्या=30
गेंदों की संख्या जिन पर चौका मारा गया=6
चौकों की संख्या जिन पर चौका नहीं लगा= 30-6=24
P(अगली गेंद जिस पर चौका नहीं मारा जाएगा)=\frac{\text{गेदों की संख्या जिन पर चौका नहीं लगा}}{\text{बल्लेबाज द्वारा खेली गई गेंदों की कुल संख्या}} \\ =\frac{24}{30} \\ =\frac{4}{5}
Example:2.2 बच्चों वाले परिवार का यादृच्छया चयन किया गया है और निम्नलिखित आंकड़ें लिख लिए गए हैं:

परिवारों में लड़कियों की संख्या210
परिवारों की संख्या475814211

यादृच्छया चुने गए उस परिवार की प्रायिकता ज्ञात कीजिए जिसमें
(i)दो लड़कियाँ हों
(ii)एक लड़की हो
(iii)कोई लड़की न हो
साथ ही यह भी ज्ञात कीजिए कि इन प्रायिकताओं का योग 1 है या नहीं।
Solution:(i)परिवारों की कुल संख्या=1500
2 लड़कियों वाले परिवारों की संख्या=475
P(2 लड़कियों वाले परिवार)=\frac{\text{2 लड़कियों वाले परिवारों की संख्या}}{\text{परिवारों की कुल संख्या}} \\ =\frac{475}{150} \\ =\frac{19}{60}
(ii)1 लड़की वाले परिवारों की संख्या=814
P(1 लड़की वाले परिवार)=\frac{\text{1 लड़की वाले परिवारों की संख्या}}{\text{परिवारों की कुल संख्या}} \\ =\frac{814}{1500} \\ =\frac{407}{750}
(iii)परिवारों की संख्या जिनमें कोई लड़की नहीं है=211
P(परिवार की जिनमें कोई लड़की नहीं)=\frac{\text{परिवारों की संख्या जिनमें कोई लड़की नहीं है}}{\text{परिवारों की कुल संख्या}} \\ =\frac{211}{1500}
प्रायिकताओं का योग=\frac{19}{60}+\frac{407}{750}+\frac{211}{1500} \\ =\frac{475+814+211}{1500} =\frac{1500}{1500}=1
अतः सभी प्रायिकताओं का योग 1 है।
Example:3.अध्याय 14 के अनुच्छेद 14.4 का उदाहरण 5 लीजिए। कक्षा के किसी एक विद्यार्थी का जन्म अगस्त में होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:अध्याय 14 के अनुच्छेद 14.4 का उदाहरण 5 के अनुसार 9वीं कक्षा के विद्यार्थी की कुल संख्या=40
अगस्त में जन्में विद्यार्थियों की संख्या=6
P(अगस्त में जन्मा विद्यार्थी)=\frac{\text{अगस्त में जन्में विद्यार्थियों की संख्या}}{\text{विद्यार्थी की कुल संख्या}} \\ =\frac{6}{40}=\frac{3}{20}
Example:4.तीन सिक्कों को एक साथ 200 बार उछाला गया है तथा इनमें विभिन्न परिणामों की बारम्बारताएँ ये हैं:

परिणाम3 चित्त2 चित्त1 चित्तकोई भी चित्त नहीं
बारम्बारता23727728

यदि तीनों सिक्कों को पुनः एक साथ उछाला जाए तो दो चित्त के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:2 चित्त आने की बारम्बारता=72
तीन सिक्कों कुल जितनी बार उछाला गया=200
P(चित्त आना)=\frac{\text{चित्त आने की बारम्बारता}}{\text{तीन सिक्कों कुल जितनी बार उछाला गया}} \\=\frac{72}{200}\\=\frac{9}{25}
Example:5.एक कम्पनी ने यदृच्छया 2400 परिवार चुनकर एक घर की आय स्तर और वाहनों की संख्या के बीच सम्बन्ध स्थापित करने के लिए उनका सर्वेक्षण किया गया। एकत्रित किए गए आंकड़ें नीचे सारणी में दिए गए हैं:

मासिक आय (रु. में)प्रति परिवार वाहनों की संख्या
0122 से अधिक
7000 से कम10160250
7000-100000305272
10000-130001535291
13000-1600024695925
16000 या इससे अधिक15798288

मान लीजिए कि एक परिवार चुना गया है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुने गए परिवार
(i) की आय 10000-13000 रु. प्रतिमाह है और उसके पास ठीक-ठीक दो वाहन है।
(ii)की आय प्रतिमाह 16000 रु. या इससे अधिक है और उसके पास ठीक 1 वाहन है।
(iii) की आय 7000 रु. प्रतिमाह से कम है और उसके पास कोई वाहन नहीं है।
(iv) की आय 13000-16000 रु प्रति माह है और उसके पास 2 से अधिक वाहन है।
(v) जिसके पास 1 से अधिक वाहन नहीं है।
Solution:(i)10000-13000 रु. प्रतिमाह आय वाले और ठीक-ठीक दो वाहन रखनेवाले परिवारों की संख्या=29
कुल परिवारों की संख्या=2400
10000-13000 रु. प्रतिमाह आय वाले और ठीक-ठीक दो वाहन रखनेवाले परिवारों की प्रायिकता=\frac{29}{2400}
(ii)16000 रु. या अधिक प्रतिमाह आय वाले और ठीक-ठीक एक वाहन रखनेवाले परिवारों की संख्या=579
16000 रु. या अधिक प्रतिमाह आय वाले और ठीक-ठीक एक वाहन रखनेवाले परिवारों की प्रायिकता=\frac{579}{2400}
(iii)7000 रु. प्रतिमाह से कम आय है और कोई वाहन न रखनेवाले परिवारों की संख्या=10
P(7000 रु. प्रतिमाह से कम आय है और कोई वाहन न रखनेवाला परिवार)=\frac{10}{2400} \\ =\frac{1}{240}
(iv)13000-16000 रु प्रति माह आय वाले और 2 से अधिक वाहन रखनेवाले परिवारों की संख्या=25
P(13000-16000 रु प्रति माह आय और 2 से अधिक वाहन रखनेवाले)=\frac{25}{2400}=\frac{1}{96}
(v)परिवारों की संख्या जिसके पास 1 से अधिक वाहन नहीं है=कोई वाहन न रखनेवाले परिवारों की संख्या +केवल 1 वाहन रखनेवाले परिवारों की संख्या
=(10+0+1+2+1)+(160+305+535+469+579)
=14+2048
=2062
P(जिसके पास 1 से अधिक वाहन नहीं है)=\frac{2062}{2400} \\ =\frac{1031}{1200}
Example:6.अध्याय 14 की सारणी 14.7 लीजिए।
(i) गणित की परीक्षा में एक विद्यार्थी द्वारा 20% कम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(ii) एक विद्यार्थी द्वारा 60 या इससे अधिक अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:(i) अध्याय 14 की सारणी 14.7 निम्न है:

अंकविद्यार्थियों की संख्या
0-207
20-3010
30-4010
40-5020
50-6020
60-7015
70 और उससे अधिक8
कुल योग90

(i)20% से कम अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या=7
विद्यार्थियों की कुल संख्या=90
P(20% से कम अंक प्राप्त करने वाला विद्यार्थी)=\frac{20 \% \text{से कम अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या}}{\text{विद्यार्थियों की कुल संख्या}}=\frac{7}{90}
(ii)60 या इससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या=60-70 अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या+70 और उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या
=15+8=23
P(60 या अधिक अंक प्राप्त करने वाला विद्यार्थी)=\frac{\text{60 या इससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या}}{\text{विद्यार्थियों की कुल संख्या}}=\frac{23}{90}
Example:7.सांख्यिकी के बारे में विद्यार्थियों का मत जानने के लिए 200 विद्यार्थियों का सर्वेक्षण किया गया।प्राप्त आंकड़ों को नीचे दी गई सारणी में लिख लिया गया है:

मतविद्यार्थियों की संख्या
पसन्द करते हैं135
पसन्द नहीं करते हैं65

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यदृच्छया चुना गया विद्यार्थी
(i) सांख्यिकी पसन्द करता है
(ii) सांख्यिकी पसन्द नहीं करता है
Solution:विद्यार्थियों की संख्या जो सांख्यिकी पसन्द करते हैं=135
विद्यार्थियों की संख्या जिन पर सर्वेक्षण किया गया=200
P(विद्यार्थी सांख्यिकी पसन्द करता है)=\frac{\text{सांख्यिकी पसन्द करने वाले विद्यार्थियों की संख्या}}{\text{कुल विद्यार्थियों की संख्या}}\\=\frac{135}{200}=\frac{27}{40}
(ii)P(विद्यार्थी सांख्यिकी पसन्द नहीं करता है)=\frac{\text{सांख्यिकी पसन्द नहीं करने वाले विद्यार्थियों की संख्या}}{\text{कुल विद्यार्थियों की संख्या}} \\ =\frac{65}{200}=\frac{13}{40}

Example:8.प्रश्नावली 14.2 का प्रश्न 2 देखिए।इसकी आनुभविक प्रायिकता क्या होगी कि इंजीनियर
(i) अपने कार्यस्थल से 7km से कम दूरी पर रहता है?
(ii)अपने कार्यस्थल से 7km या इससे अधिक दूरी पर रहता है?
(iii)अपने कार्यस्थल से \frac{1}{2} km या इससे कम दूरी पर रहता है? 
Solution:(i)कुल इंजीनियरों की संख्या=42
अपने कार्यस्थल से 7km से कम दूरी पर रहने वाले इंजीनियरों की संख्या=9
P(इंजीनियर जो अपने कार्यस्थल से 7km से कम दूरी पर रहता है)= \frac{\text{अपने कार्यस्थल से 7km से कम दूरी पर रहने वाले इंजीनियरों की संख्या}}{\text{कुल इंजीनियरों की संख्या}}\\ =\frac{9}{40}
(ii)अपने कार्यस्थल से 7km या इससे अधिक दूरी पर रहने वाले इंजीनियरों की संख्या=31
P(इंजीनियर जो अपने कार्यस्थल से 7km या इससे अधिक दूरी पर रहता है)=\frac{7 km \text{ या इससे अधिक दूरी पर रहने वाले इंजीनियरों की संख्या}}{\text{कुल इंजीनियरों की संख्या}}\\=\frac{31}{40}
(iii)अपने कार्यस्थल से \frac{1}{2} km या इससे कम दूरी पर रहने वाले इंजीनियरों की संख्या=0
P(इंजीनियर जो अपने कार्यस्थल से \frac{1}{2} km या इससे कम दूरी पर रहता है)=\frac{\frac{1}{2} \text{km या इससे कम दूरी पर रहने वाले इंजीनियरों की संख्या}}{\text{कुल इंजीनियरों की संख्या}}\\ =\frac{0}{40} \\ =0
Example:9.क्रियाकलाप:अपने विद्यालय के गेट के सामने एक समय-अन्तराल में गुजरनेवाले दो पहिया,तीन पहिया और चार पहिया वाहनों की बारम्बारता लिख लीजिए।आप द्वारा देखे गए वाहनों में से किसी वाहन का दो पहिया होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:माना विद्यालय के गेट के बाहर समय अन्तराल 10 से 11 के बीच गुजरने वाले वाहनों को देखा है।
माना वाहनों की बारम्बारता नीचे सारणी में दी गई है:

वाहन का प्रकार वाहनों की बारम्बारता
दो पहिया250
तीन पहिया60
चार पहिया40

इस अन्तराल में वाहन का दो पहिया होने की प्रायिकता=\frac{\text{समय अन्तराल में देखे गए दो पहिया वाहनों की संख्या}}{\text{वाहनों की कुल संख्या}} \\ =\frac{250}{350} \\ =\frac{5}{7}
Example:10.क्रियाकलाप:आप अपनी कक्षा के विद्यार्थियों से एक 3 अंक वाली संख्या लिखने के लिए कहिए। आप कक्षा से एक विद्यार्थी यदृच्छया चुन लीजिए।इस बात की क्या प्रायिकता है कि उसके द्वारा लिखी गई संख्या 3 से भाज्य है? याद रखिए कि कोई संख्या 3 से भाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से भाज्य हो।
Solution:माना कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या=36
माना प्रत्येक विद्यार्थी द्वारा लिखे गए 3 अंकवाली संख्याएँ हैं:
937,173,842,272,123,507,431,938,201,402,567,717,812,645,999,825,625,302,414,702,843,613,727,426,325,626,729,417,717,315,420,213,303,606,708,171
3 से विभाजित होनेवाली संख्याएँ:123,507,201,402,567,717,645,999,825,414,702,843,426,729,417,717,315,420,213,303,606,708,171
3 से विभाजित होनेवाली संख्याओं की संख्या=23
P(3 अंकों वाली 3 से विभाजित होनेवाली संख्याएँ)=\frac{\text{3 से विभाजित होनेवाली संख्याओं की संख्या}}{\text{कक्षा में विद्यार्थियों की कुल संख्या}} \\=\frac{23}{36}
Example:11.आटे की उन ग्यारह थैलियों में जिन पर 5kg अंकित है वास्तव में आटे के निम्नलिखित भार (kg में) हैं:
4.97,5.05,5,08,5.03,5.00,5.06,5.08,4.98,5.04,5.07,5.00
यदृच्छया चुनी गई एक थैली में 5kg से अधिक होने की प्रायिकता क्या होगी?
Solution:आटे की कुल थैलियों की संख्या=11
5 किलो से अधिक आटा वाली थैलियों की संख्या=7
P(5 किलो से अधिक आटा)=\frac{\text{5 किलो से अधिक आटा वाली थैलियों की संख्या}}{\text{कुल थैलियों की संख्या}} \\=\frac{7}{11}
Example:12.प्रश्नावली 14.2 के प्रश्न 5 में आपसे 30 दिनों तक नगर की प्रति वायु में सल्फर डाई-आॅक्साइड की भाग प्रति मिलयन में सान्द्रता से सम्बन्धित एक बारम्बारता बंटन सारणी बनाने के लिए कहा गया था। इस सारणी की सहायता से इनमें से किसी एक दिन अन्तराल (0.12-0.16) में सल्फर डाइ आॅक्साइड के सांद्रण होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:

(ppm) में सल्फर डाइ आॅक्साइड के सांद्रणबारम्बारता
0.00-0.044
0.04-0.089
0.08-0.129
0.12-0.162
0.16-0.204
0.20-0.242
कुल30

प्रश्नावली 14.2 के प्रश्न 5 के अनुसार अन्तराल (0.12-0.16) की बारम्बारता=2
कुल दिनों की संख्या=30
किसी एक दिन अन्तराल (0.12-0.16) में सल्फर डाई आॅक्साइड के सान्द्रण होने की प्रायिकता=\frac{\text{अन्तराल (0.12-0.16) की बारम्बारता}}{\text{कुल दिनों की संख्या}} \\ =\frac{2}{30}=\frac{1}{15}
Example:13.प्रश्नावली 14.2 के प्रश्न 1 में आपने एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त-समूह से सम्बन्धित बारम्बारता बंटन सारणी बनाने के लिए कहा गया था। इस सारणी की सहायता से इस कक्षा से यादृच्छया चुने गए एक विद्यार्थी का रक्त समूह AB होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:

रक्त समूहविद्यार्थियों की संख्या
A9
B6
O12
AB3
कुल30

प्रश्नावली 14.2 के प्रश्न के अनुसार कुल विद्यार्थियों की संख्या=30
रक्त समूह AB वाले विद्यार्थियों की संख्या=3
चुने गए एक विद्यार्थी का रक्त समूह AB होने की प्रायिकता=\frac{\text{रक्त समूह AB वाले विद्यार्थियों की संख्या}}{\text{कुल विद्यार्थियों की संख्या}} \\ =\frac{3}{30}=\frac{1}{30}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रायिकता कक्षा 9 (Probability Class 9),प्रायिकता कक्षा 9 अतिरिक्त सवाल (Probability Class 9 Extra Questions) को समझ सकते हैं।

3.प्रायिकता कक्षा 9 पर आधारित सवाल (Questions Based on Probability Class 9):

(1.)एक अच्छी तरह फेंटी गई ताश की गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। पत्ता निकालने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए जिसमें
(i)एक सामने का पत्ता
(ii)एक लाल रंग का पत्ता।
(2.)एक थैली में 5 लाल रंग की गेंदें तथा कुछ नीली गेंदें हैं। यदि थैली में से नीली गेंद निकालने की प्रायिकता लाल गेंद निकालने की दुगुनी है तो नीली गेंदों की संख्या इस थैले में ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1)(i)\frac{4}{13} (ii) \frac{1}{2} (2.) 10 नीली गेंदें
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रायिकता कक्षा 9 (Probability Class 9),प्रायिकता कक्षा 9 अतिरिक्त सवाल (Probability Class 9 Extra Questions) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रायिकता कक्षा 9 (Probability Class 9),प्रायिकता कक्षा 9 अतिरिक्त सवाल (Probability Class 9 Extra Questions) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.प्रायिकता की संकल्पना का विकास कैसे हुआ? (How Concept of Probability Evolved?):

उत्तर:प्रायिकता (Probability) की संकल्पना का विकास एक आश्चर्यजनक ढंग से हुआ था। 1654 में शेवेलियर डि मेरे नाम जुआरी पासा सम्बन्धी कुछ समस्याओं को लेकर सत्रहवीं शताब्दी के एक सुप्रसिद्ध फ्रांसीसी दार्शनिक और गणितज्ञ ब्लेज पास्कल के पास पहुँचा। पास्कल को इन समस्याओं को हल करने में काफी रुचि आने लगी, वह इन समस्याओं पर अध्ययन करने लगा और एक अन्य फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे दि फर्मा के साथ चर्चा की। पास्कल और फर्मा ने इन समस्याओं को स्वतंत्र रूप से अलग-अलग किया। यह कार्य ही प्रायिकता सिद्धान्त (Probability Theory) का प्रारम्भ था।
इस विषय पर पहली पुस्तक का शीर्षक ‘Book on Games of Chance’ (Liber de Ludo Aleae) था जो कि 1663 में प्रकाशित हुई थी। इस विषय पर गणितज्ञों जे. बर्नूली (1654-1705) पी. लाप्लास (1749-1827), ए. ए. मार्कोव (1856-1922) और ए. एन. कोल्मोगोरोव (जन्म 1903) का भी महत्वपूर्ण योगदान रहा।

प्रश्न:2.पियरे साइमन लाप्लास के अनुसार प्रायिकता के बारे में क्या कहा? (What Pierre Simon Laplace said about probability?):

उत्तर:It is remarkable that a science, which began with the consideration of games of chance, should be elevated to the rank of the most important subject of human knowledge.
(उल्लेखनीय है कि वह विज्ञान जिसकी व्युत्पत्ति संयोग के खेल से हुई है, वह मानव ज्ञान के अति महत्वपूर्ण विषय की ऊँचाइयों तक पहुंच जाती है।

प्रश्न:3.आनुभविक प्रायिकता क्या है? (What is Empirical Probability?):

उत्तर:अभिप्रयोग एक क्रिया है जिससे एक या अधिक परिणाम प्राप्त होते हैं।अपने अभिप्रयोगों को सीधे देखने पर हम प्रायोगिक (experimental) या आनुभविक (empirical) प्रायिकता प्राप्त करते हैं।
P(E)=\frac{\text{अभिप्रयोगों की संख्या जिसमें घटना घटी है}}{\text{अभिप्रयोगों की कुल संख्या}}
अतः आनुभविक प्रायिकता किए गए अभिप्रयोगों की संख्या और उन अभिप्रयोगों से प्राप्त हुए परिणामों की संख्या पर निर्भर करती है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा प्रायिकता कक्षा 9 (Probability Class 9),प्रायिकता कक्षा 9 अतिरिक्त सवाल (Probability Class 9 Extra Questions) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

 

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प्रायिकता कक्षा 9 (Probability Class 9) के सवालों में संभवत,संदेह,संभावना,संयोग
इत्यादि अनिश्चितता के शब्दों का प्रयोग किया जाता है।इनका संख्यात्मक रूप से
मापन किया जा सकता है।

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