1.15 सरल रेखा के निबन्धात्मक सवाल हल सहित (15 Straight Line Descriptive Questions with Solution):

15 Straight Line Descriptive Questions with Solution

15 सरल रेखा के निबन्धात्मक सवाल हल सहित (15 Straight Line Descriptive Questions with Solution) के इस आर्टिकल में सरल रेखा के कुछ विशिष्ट सवालों को हल करना सीखेंगे।ये सवाल काॅम्पीटेटिव एग्जाम के दृष्टिकोण से भी महत्त्वपूर्ण है।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- 33 Straight Line MCQs with Solutions

2.सरल रेखा के महत्त्वपूर्ण तथ्य (Important Facts of Related to Straight Line):

(1.)दो रेखाओं y=m_1 x +c_1 तथा y=m_2 x +c_2 के मध्य कोण \theta हो,तो \tan \theta= \pm \left[ \frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2} \right] होगा।यदि रेखाएँ समान्तर है तो m_1=m_2 तथा लम्ब हो तो m_1 m_2=-1 अर्थात् m_1=-\frac{1}{m_2} एवं दोनों रेखाएँ सम्पाती होंगी यदि m_1=m_2 तथा c_1=c_2
(2.)दो रेखाओं के समीकरण व्यापक रूप a_1 x +b_1 y+c_1=0 तथा a_2 x +b_2 y+c_2=0 में दिए हो तथा उन रेखाओं के मध्य का कोण \theta हो,तो \tan \theta= \pm \left[ \frac{a_2 b_1-a_1 b_2}{a_1 a_2+b_1 b_2} \right]  ,दोनों रेखाओं के समान्तर होने के लिए \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} ,लम्ब होने के लिए a_1 a_2+b_1 b_2=0 तथा सम्पाती होने के \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2} लिए होता है।
(3.)प्रायः दो रेखाओं के मध्य का कोण ज्ञात करते समय उनके मध्य का न्यूनकोण ज्ञात करते हैं।जिसके लिए \tan \theta का चिह्न धनात्मक लेते हैं।
(4.)दो रेखाओं के समीकरण  a_1 x +b_1 y+c_1=0 एवं a_2 x +b_2 y+c_2=0 में से एक रेखा y-अक्ष के समान्तर हो तो उनके मध्य कोण ज्ञात करने हेतु उक्त सूत्र का प्रयोग नहीं करते क्योंकि इस स्थिति में \tan \theta का मान अनिर्धाय होता है।इस स्थिति में रेखाओं के मध्य का कोण \tan \theta= \pm \left[ \frac{b_1}{a_1} \right]  से ज्ञात करते हैं।
(5.)रेखा a_1 x +b_1 y+c_1=0 के समान्तर रेखा का समीकरण a_2 x +b_2 y+c_2=0 होता है जहाँ c_2 अचर पद है जिसका मान दी गई अन्य शर्त के अनुसार ज्ञात करते हैं।
(6.)रेखा a_1 x +b_1 y+c_1=0 के लम्बवत रेखा का समीकरण a_2 x +b_2 y+c_2=0 जहाँ c_2 अचर पद है जिसका मान दी गई शर्त के अनुसार ज्ञात करते हैं।

3.15 सरल रेखा के निबन्धात्मक सवाल (15 Straight Line Descriptive Questions):

Illustration:1.उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2,3) से गुजरती है तथा x-अक्ष से 45° का कोण बनाती है।
Solution:सरल रेखा जो (2,3) से गुजरती है,का समीकरण
y-y_1=m\left(x-x_1\right) \\ \Rightarrow y-3=\tan 45^{\circ}(x-2) \\ \Rightarrow y-3=1(x-2) \\ \Rightarrow y-3=x-2 \\ \Rightarrow x-y+1=0
Illustration:2.उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-3,2) से गुजरती है तथा अक्षों से बराबर तथा विपरीत चिह्नों वाले अन्तःखण्ड काटती है।
Solution:सरल रेखा का अन्तःखण्ड रूप
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \\ a=-b \\ \Rightarrow \frac{x}{-b}+\frac{y}{b}=1
यह (-3,2) से गुजरती है अतः
\Rightarrow \frac{-3}{-b}+\frac{2}{b}=1 \\ \Rightarrow \frac{3}{b}+\frac{2}{b}=1 \\ \Rightarrow \frac{5}{b}=1 \\ \Rightarrow b=5 \\ \frac{x}{-5}+\frac{y}{5}=1 \\ \Rightarrow x-y+5=0
Illustration:3.यदि मूलबिन्दु से सरल रेखा 4x+3y+a=0 पर डाले गए लम्ब की लम्बाई 2 हो तो a का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:मूलबिन्दु (0,0) से 4x+3y+a=0 रेखा पर लम्ब की लम्बाई
=\frac{4(0)+3(0)+a}{\sqrt{4^2+3^2}}=2 \\ \Rightarrow \frac{a}{\sqrt{16+9}}=2 \\ \Rightarrow \frac{a}{\sqrt{25}}=2 \\ \Rightarrow \quad \frac{a}{5}=2 \Rightarrow a=10
Illustration:4.यदि किसी रेखा का अक्षों के मध्य अन्तःखण्ड बिन्दु (5,2) पर समद्विभाजित होता है,तो रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:माना अक्षों पर अन्तःखण्ड a व b है।x-अक्ष पर निर्देशांक (a,0) तथा y-अक्ष पर निर्देशांक (0,b)
m_1: m_2=1: 1 \\ x=\frac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2} \\ \Rightarrow 5=\frac{(1) 0+(1)(a)}{1+1} \Rightarrow a=10 \\ y=\frac{m_1 y_2+m_2 y_1}{m_1+m_2} \\ \Rightarrow 2=\frac{(1) b+(1)(0)}{1+1} \Rightarrow b=4
अतः रेखा का समीकरण
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \Rightarrow \frac{x}{10}+\frac{y}{4}=1 \\ \Rightarrow \frac{2 x+5 y}{20}=1 \Rightarrow 2 x+5 y=20
Illustration:5.उस रेखा का समीकरण लिखिए जो बिन्दु (0,1) से होकर जाती है तथा रेखा द्वारा x-अक्ष पर काटा गया अन्तःखण्ड y-अक्ष पर काटे गए अन्तःखण्ड का तिगुना हो।
Solution:दिया है a=3b
रेखा का अन्तःखण्ड रूप
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \\ \Rightarrow \frac{x}{3 b}+\frac{y}{b}=1
यह (0,1) से गुजरती है अतः
\frac{0}{3 b}+\frac{1}{b}=1 \Rightarrow b=1
a=3b=3(1)=3
रेखा का समीकरण
\frac{x}{3}+\frac{y}{1}=1 \quad \Rightarrow x+3 y=3
Illustration:6.निम्नलिखित सरल रेखाओं के मध्य का कोण ज्ञात कीजिए।
Illustration:6(i). y=(2-\sqrt{3}) x+5 तथा y=(2+\sqrt{3}) x-7
Solution: y=(2-\sqrt{3}) x+5, y=(2+\sqrt{3}) x-7 \\ m_1=2-\sqrt{3}, m_2=2+\sqrt{3} \\ \tan \theta = \pm \frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2} \\ = \pm \frac{(2-\sqrt{3})-(2+\sqrt{3})}{1+(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} \\ =\pm \frac{2-\sqrt{3}-2-\sqrt{3}}{1+4-3} \\ =\pm \frac{(-2 \sqrt{3})}{2} \\ \Rightarrow \tan \theta= \pm \sqrt{3} \\ \Rightarrow \tan \theta=\tan 60^{\circ}, \tan 120^{\circ} \\ \Rightarrow \theta=60^{\circ}, 120^{\circ}
Illustration:6(ii).2y-3x+5=0 तथा 4x+5y+8=0
Solution: 2y-3 x+5=0,4 x+5 y+8=0 \\ \Rightarrow y=\frac{3}{2} x-\frac{5}{2}, y=-\frac{4}{5} x-\frac{8}{4} \\ m_1=\frac{3}{2}, m_2=-\frac{4}{5} \\ \tan \theta= \pm \frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2} \\ =\pm \frac{\frac{3}{2}+\frac{4}{5}}{1+\frac{3}{2} \times\left(\frac{-4}{5}\right)} \\ =\pm \left(\frac{\frac{15+8}{10}}{1-\frac{6}{5}}\right) \\ =\pm \frac{\frac{23}{10}}{-\frac{1}{5}}= \pm \frac{23}{10} \times\left(\frac{-5}{1}\right) \\ =\pm \frac{23}{2} \\ \theta=\tan ^{-1}\left(-\frac{23}{2}\right)
Illustration:6(iii). \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 तथा \frac{x}{b}-\frac{y}{a}=1
Solution: \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1, \frac{x}{b}-\frac{y}{a}=1 \\ \Rightarrow y=-\frac{b}{a} x+b, y=\frac{a}{b} x-a \\ m_1=-\frac{b}{a}, m_2=\frac{a}{b} \\ \tan \theta= \pm \frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2} \\ =\pm \frac{\left(-\frac{b}{a}-\frac{a}{b}\right)}{1+\left(\frac{-b}{a}\right)\left(\frac{a}{b}\right)} \\ =\pm \frac{\left(\frac{-a^2-b^2}{a b}\right)}{1-1} \\ =\pm \frac{\frac{a^2+b^2}{a b}}{0} \\ \Rightarrow \tan \theta=\tan \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2}

15 Straight Line Descriptive Questions with Solution

Illustration:7.सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित सरल रेखाएँ समान्तर हैं।
Illustration:7(i).2y=mx+c तथा 4y=2mx
Solution: 2y=mx+c तथा 4y=2mx
\Rightarrow y =\frac{m}{2} x+\frac{c}{2}, y=\frac{m}{2} x \\ m_1=\frac{m}{2}, m_2=\frac{m}{2} \\ \tan \theta = \pm \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \\=\pm \frac{\dfrac{m}{2} - \dfrac{m}{2}}{1 + \dfrac{m}{2}\cdot \dfrac{m}{2}} \\ = \pm \frac{0}{1 + \dfrac{m^2}{4}} \\ \Rightarrow \tan \theta = 0 \\ \Rightarrow \theta = 0
रेखाओं के मध्य कोण शून्य है अतः रेखाएँ समान्तर है साथ m_1=m_2
Illustration:7(ii). x \cos \alpha + y \sin \alpha =p तथा x + y \tan \alpha = 5 \tan \alpha
Solution: x \cos\alpha + y\sin\alpha = p , x + y\tan\alpha = 5\tan \alpha \\ y = -\frac{x\cos\alpha}{\sin\alpha} + \frac{p}{\cos\alpha} ,y=-\frac{x}{\tan\alpha} + 5 \\ m_1 = -\cot\alpha,\quad m_2 = -\cot\alpha \\ m_1 = m_2
अतः रेखाएँ समान्तर हैं।
Illustration:8.सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ जिनके समीकरण 4x+5y+7=0 तथा 5x-4y-11=0 है परस्पर लम्बवत हैं।
Solution: 4x+5y+7 = 0,\quad 5x-4y-11=0 \\ \Rightarrow y=-\frac{4}{5}x - \frac{7}{5}, \quad y=\frac{5}{4}x - \frac{11}{4} \\ m_1 = -\frac{4}{5}, \quad m_2 = \frac{5}{4} \\ m_1m_2 =\left(-\frac{4}{5}\right)\times\left(\frac{5}{4}\right) =-1
अतः रेखाएँ परस्पर लम्बवत हैं।
Illustration:9.उन सरल रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो
Illustration:9(i).बिन्दु (4,5) से गुजरती है तथा 2x-3y-5=0 रेखा के समान्तर है।
Solution:2x-3y-5=0
रेखा की प्रवणता (m)=-\frac{\text{x का गुणांक}}{\text{y का गुणांक}} \\ =-\frac{2}{-3} =\frac{2}{3}
समान्तर रेखाओं की प्रवणता समान होती है अतः रेखा की समीकरण
y-y_1 =m(x-x_1) \\ \Rightarrow y-5 = \frac{2}{3}(x-4) \\ \Rightarrow 3y-15=2x-8 \\ \Rightarrow 2x-3y+7=0
Illustration:9(ii).बिन्दु (1,2) से गुजरती है तथा रेखा 4x+3y+8=0 के लम्बवत है।
Solution:4x+3y+8=0 रेखा की प्रवणता
m_1=-\frac{\text{x का गुणांक}}{\text{y का गुणांक}} =-\frac{4}{3}
लम्बवत होने का प्रतिबन्ध m_1m_2 = -1 \\ \Rightarrow \left(-\frac{4}{3}\right)m_2 = -1 \\ \Rightarrow m_2=\frac{3}{4}
लम्बवत रेखा की समीकरण जो (1,2) से गुजरती है:
y-y_1 = m_2(x-x_1) \\ \Rightarrow y - 2 = \frac{3}{4}(x - 1) \\ \Rightarrow 4y-8=3x-3 \\ \Rightarrow 3x-4y+5=0
Illustration:9(iii).रेखा 2x+5y=7 के समान्तर है तथा बिन्दुओं (2,7) तथा (-4,1) को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिन्दु से होकर जाती है।
Solution:(2,7) व (-4,1) के मध्य बिन्दु के निर्देशांक
\left( \frac{2-4}{2}, \frac{7+1}{2} \right)=(-2,4)
2x+5y=7 के समान्तर रेखा का समीकरण
2x + 5y + \lambda = 0
यह (-2,4) से गुजरती है:
2(-2) + 5(4) + \lambda = 0 \\ \Rightarrow -4 + 20 + \lambda = 0 \\ \Rightarrow \lambda = -16
अतः अभीष्ट रेखा का समीकरण:
2x+5y-16=0
Illustration:9(iv).बिन्दुओं (-3,7) तथा (5,-4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 4:7 के अनुपात में विभाजित करती है तथा इस पर लम्ब है।
Solution:रेखाखण्ड की प्रवणता
m_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ \Rightarrow m_1=\frac{-4-7}{5+3} = -\frac{11}{8}
लम्बवत रेखा की प्रवणता=m_2 \\ m_1m_2=-1 \\ \Rightarrow \left(-\frac{11}{8}\right)m_2=-1 \\ \Rightarrow m_2=\frac{8}{11}
4:7 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक
x= \frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2} \\ =\frac{4\times 5+7\times(-3)}{4+7} \qquad [\because m_1:m_2=4:7] \\ \Rightarrow x= \frac{20-21}{11} =-\frac{1}{11} \\ y= \frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2} = \frac{4\times(-4)+7\times 7}{4+7} = \frac{-16+49}{11} \\ \Rightarrow y=\frac{33}{11}=3
\therefore \left(-\frac{1}{11},3\right) से गुजरने वाली तथा प्रवणता वाली रेखा की समीकरण m_2=\frac{8}{11} \\ y-y_1=m_2(x-x_1) \\ \Rightarrow y-3=\frac{8}{11}\left(x+\frac{1}{11}\right) \\ \Rightarrow 11y-33=8x+\frac{8}{11} \\ \Rightarrow 121y-363=88x+8 \\ \Rightarrow 88x-121y+363+8=0 \\ \Rightarrow 88x-121y+371=0

4.15 सरल रेखा के निबन्धात्मक सवाल की प्रैक्टिस प्राब्ल्मस (Practice Problems of 15 Straight Line Descriptive Questions):

15 Straight Line Descriptive Questions with Solution

(1.)रेखाओं 3x+y-7=0 और x+2y+9=0 के मध्य का कोण ज्ञात कीजिए।
(2.)उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (1,2) से गुजरती है तथा बिन्दु (4,-3) और (2,5) को मिलाने वाली रेखा के समान्तर है।
उत्तर (Answers):(1.)45°,135° (2.)y=-4

Also Read This Article:- General Equation of Straight Line

5.15 सरल रेखा के निबन्धात्मक सवाल हल सहित (Frequently Asked Questions Related to 15 Straight Line Descriptive Questions with Solution) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

*Students Se Ek Sawal*
“kya aapako saral rekha ke sawalo ko hal karare mein koi kathinai mahasoos hati hai?comment karake batayein ham yahain aapaki samasya hal karane Ke liye hai ya saral rekha mein kis tarah ke sawal aap hal nahi kar pate?”

15 सरल रेखा के निबन्धात्मक सवाल हल सहित (15 Straight Line Descriptive
Questions with Solution) के इस आर्टिकल में सरल रेखा के कुछ विशिष्ट सवालों
को हल करना सीखेंगे।ये सवाल काॅम्पीटेटिव एग्जाम के दृष्टिकोण से भी महत्त्वपूर्ण है।

Satyam Mathematics

About my self
Lekhak Ke Baare Mein (About the Author)
**Satyam Narain Kumawat**
**Website Name:Satyam Mathematics**
*Owner:satyamcoachingcentre.in*
*Sthan:Manoharpur,Jaipur (Rajasthan)*
**Teaching Mathematics aur Anya Anubhav**
***Shiksha:**B.sc.,B.Ed.,(M.sc. star Ke Mathematics Ko Padhane ka Anubhav),B.com.,M.com. Ke vishayon Ko Padhane ka Anubhav,Philosophy,Psychology,Religious,sanskriti Mein Gahri Ruchi aur Adhyayan
***Anubhav:**phichale 23 varshon se M.sc.,M.com.,Angreji aur Vigyan Vishayon Mein Shikshaka Ka Lamba Anubhav
***Visheshagyata:*Maths,Adhyatma (spiritual),Yog vishayon ka vistrit Gyan*
****In Brief:I have read about M.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 23 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.