1.त्रिभुज का क्षेत्रफल कक्षा 9वीं (Area of Triangles Class 9th),समतलीय आकृतियों का क्षेत्रफल (Area of Plane Figures):

Area of Triangles Class 9th

त्रिभुज का क्षेत्रफल कक्षा 9वीं (Area of Triangles Class 9th) के इस आर्टिकल में त्रिभुजों,समचतुर्भुज व चतुर्भुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.त्रिभुज का क्षेत्रफल कक्षा 9वीं पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Area of Triangles Class 9th):

Example:1.समबाहु त्रिभुज की एक भुजा a है,तो इसका परिमाप है:
(a)3a (b)2a (c)4a (d)5a
Solution:विकल्प (a) सही है।
Example:2.यदि s=66 सेमी,a=60 सेमी,b=61 सेमी व c=11 सेमी हो तो त्रिभुज का क्षेत्रफल हैः
(a) 240 सेमी {}^2 (b) 330 सेमी {}^2 (c) 316 सेमी {}^2 (d) 310 सेमी {}^2
Solution:त्रिभुज का क्षेत्रफल=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ =\sqrt{66(66-60)(66-61)(66-11)} \\ =\sqrt{66 \times 6 \times 5 \times 55} \\ =\sqrt{11 \times 6 \times 6 \times 5 \times 5 \times 11} \\ =11 \times 6 \times 5=330
विकल्प (b) सही है।
Example:3.हीरो का सही सूत्र है:
(a) \sqrt{s(s+a) (s+b)(s+c)}
(b) \sqrt{s(s \times a)(s \times b)(s \times c)}
(c) \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
(d) \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}
Solution:विकल्प (c) सही है।
Example:4.समद्विबाहु त्रिभुज का अर्द्धपरिमाप है:
(a) (2 a \times b) (b)(2 a+b) (c) \left(\frac{2 a \times b}{3}\right) (d)\left(\frac{2 a+b}{3}\right)
Solution:समद्विबाहु त्रिभुज का अर्द्धपरिमाप \left(\frac{2 a+b}{3}\right) होता है।
विकल्प (d) सही है।
Example:5.एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 6 सेमी है,त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा:
(a) 6 \sqrt{5} वर्गसेमी (b) 9 \sqrt{3} वर्गसेमी (c) 16 \sqrt{3} वर्गसेमी (d)3 \sqrt{3} वर्गसेमी
Solution:समबाहु त्रिभुज की भुजा a=6 सेमी
त्रिभुज का क्षेत्रफल=\frac{\sqrt{3}}{4} a^2=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 6 \times 6=9 \sqrt{3} वर्गसेमी
विकल्प (b) सही है।
Example:6.एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा यदि इसकी समान भुजा 6 सेमी एवं अन्य भुजा 8 सेमी हो:
(a) 8 \sqrt{5} वर्गसेमी (b) 5 \sqrt{8} वर्गसेमी (c) 3 \sqrt{55} वर्गसेमी (d) 3 \sqrt{8} वर्गसेमी
Solution:समान भुजा a=6 सेमी,अन्य भुजा (b)=8 सेमी
समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल=\frac{b}{4} \sqrt{4 a^2-b^2} \\ =\frac{8}{4} \sqrt{4 \times 6^2-8^2} \\ =2 \sqrt{144-64}=2 \sqrt{80} \\ =2 \sqrt{16 \times 5}=8 \sqrt{5} वर्गसेमी
विकल्प (a) सही है।
Example:7.किसी त्रिभुज का आधार 8 सेमी तथा ऊँचाई 4 सेमी है,तो उसका क्षेत्रफल वर्गसेमी में होगा:
(a)4 (b)8 (c)16 (d) 32
Solution:त्रिभुज का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} \times आधार×ऊँचाई \\ =\frac{1}{2} \times 8 \times 4=16
विकल्प (c) सही है।
Example:8.एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 25 वर्गसेमी है यदि समकोण बनाने वाली एक भुजा 5 सेमी हो,तो उसकी दूसरी भुजा होगी:
(a)5 (b) 10 (c) 20 (d)25
Solution:समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} \times आधार×ऊँचाई
\Rightarrow \frac{1}{2} \times 5 \times \text { ऊँचाई }=25 \\ \text { ऊँचाई }=\frac{25 \times 2}{5}=10
विकल्प (b) सही है।

Area of Triangles Class 9th

Example:9.किसी चतुर्भुज का क्षेत्रफल 40 वर्गमीटर हो तथा अन्तर्लम्बों का योग 10 सेमी हो,तो विकर्ण होगाः
(a) 4 सेमी ( b) 8 सेमी ( c ) 10 सेमी (d) 20 सेमी
Solution:चतुर्भुज का क्षेत्रफल =\frac{1}{2} \times \text { विकर्ण } \times \text { अन्तर्लम्बों का योग } \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \times \text { विकर्ण } \times 10=40 \\ \Rightarrow \text { विकर्ण }=\frac{40 \times 2}{10}=8 \text { सेमी }
विकल्प (b) सही है।
Example:10.किसी समान्तर चतुर्भुज का आधार 10 सेमी और ऊँचाई 7.5 सेमी हो,तो उसका क्षेत्रफल होगा:
(a) 7.5 वर्गसेमी (b) 10 वर्गसेमी (c) 37.5 वर्गसेमी (d) 75 वर्गसेमी
Solution:समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल=आधार × ऊँचाई
=10×7.5=75 वर्गसेमी
विकल्प (d) सही है।
Example:11.एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 24 वर्गसेमी हो तथा एक विकर्ण 6 सेमी हो तो दूसरा विकर्ण होगा:
(a) 4 सेमी (b) 6 सेमी (c) 8 सेमी (d) 12 सेमी
Solution:समचतुर्भुज का क्षेत्रफल= \frac{1}{2} \times विकर्णों का गुणनफल=24
\Rightarrow \frac{1}{2} \times 6 \times \text { दूसरा विकर्ण }=24 \\ \Rightarrow \text { दूसरा विकर्ण }=\frac{24 \times 2}{6}=8
विकल्प (c) सही है।
Example:12.किसी आयत की लम्बाई 5.4 सेमी और क्षेत्रफ़ल 27 वर्गसेमी हो तो उसकी चौड़ाई होगी:
(a) 5 सेमी (b) 5.4 सेमी (c) 10 सेमी (d) 10.8 सेमी
Solution:आयत का क्षेत्रफल=लम्बाई × चौड़ाई
\Rightarrow 5.4×चौड़ाई=27
\Rightarrow \text { चौड़ाई }=\frac{27}{5.4}=5
चौड़ाई=5 सेमी
विकल्प (a) सही है।
Example:12.एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 8 सेमी है।त्रिभुज का क्षेत्रफल हैः
(a) 24 \sqrt{3} सेमी { }^2 (b) 20 सेमी { }^2  (c) 16 \sqrt{3} सेमी { }^2 (d) 12 सेमी { }^2
Solution:समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल=\frac{\sqrt{3}}{4} \text { भुजा }{ }^2=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 8 \times 8=16 \sqrt{3}
विकल्प (c) सही है।
Example:13.एक त्रिभुज की भुजाएँ 5 सेमी,12 सेमी तथा 13 सेमी है,त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
(a) 65 \sqrt{3} सेमी { }^2 (b) 60 सेमी { }^2 (c) 45 \sqrt{3} सेमी { }^2 (d) 30 सेमी { }^2
Solution:a=5,b=12,c=13
s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+12+13}{2}=\frac{30}{2}=5
हीरोन के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल
=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ =\sqrt{15 \times(15-5)(15-12)(15-13)} \\ =\sqrt{15 \times 10 \times 3 \times 2} \\ =\sqrt{5 \times 3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 2} \\ =5 \times 3 \times 2=30 वर्गसेमी
विकल्प (d) सही है।
Example:14.किसी वर्ग की भुजा 3 सेमी है तो परिमाप होगा:
(a) 3 सेमी (b) 6 सेमी (c) 5 सेमी (d) 12 सेमी
Solution:वर्ग का परिमाप= 4a =4×3=12
विकल्प (d) सही है।
Example:15.किसी समलम्ब चतुर्भुज की समान्तर भुजाएँ 4 सेमी और 3 सेमी है यदि उनके बीच की दूरी 2 सेमी हो तो क्षेत्रफल होगा:
(a) 7 वर्गसेमी (b) 12 वर्गसेमी (c) 14 वर्गसेमी (d) 24 वर्गसेमी
Solution:समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} \times समान्तर भुजाओं का योग×उनके बीच की दूरी
\Rightarrow \frac{1}{2} \times(4+3) \times 2=\frac{1}{2} \times 7 \times 2=7
विकल्प (a) सही है।
Example:16.एक त्रिभुज की भुजाएँ 40 सेमी,70 सेमी एवं 50 सेमी है,त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा:
(a)600 \sqrt{5} वर्गसेमी (b) 500 \sqrt{6} वर्गसेमी (c) 482 \sqrt{5} वर्गसेमी (d) 60 \sqrt{5} वर्गसेमी
Solution:त्रिभुज का परिमाप
s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{40+70+90}{2}=\frac{200}{2}=100
हीरोन के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल
=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ =\sqrt{100(100-40)(100-70)(100-90)} \\ =\sqrt{100 \times 60 \times 30 \times 10} \\ =\sqrt{100 \times 100 \times 3 \times 2 \times 3 \times 5 \times 2} \\ =100 \times 3 \times 2 \sqrt{5}=600 \sqrt{5} वर्गसेमी
विकल्प (a) सही है।
Example:17.समबाहु त्रिभुज का परिमाप 60 सेमी हो तो उसका क्षेत्रफल होगा:
(a) 400 \sqrt{3} वर्गसेमी ( b ) 100 \sqrt{3} वर्गसेमी (c) 50 \sqrt{3} वर्गसेमी (d) 200 \sqrt{3} वर्गसेमी
Solution:समबाहु त्रिभुज की भुजा (a)=\frac{\text { परिमाप }}{3}=\frac{60}{3}=20
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल =\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \\ =\frac{\sqrt{3}}{4} \times 20 \times 20 \\ =100 \sqrt{3} वर्गसेमी
विकल्प (b) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिभुज का क्षेत्रफल कक्षा 9वीं (Area of Triangles Class 9th),समतलीय आकृतियों का क्षेत्रफल (Area of Plane Figures) को समझ सकते हैं।

3.त्रिभुज का क्षेत्रफल कक्षा 9वीं की समस्याएँ (Area of Triangles Class 9th Problems):

Area of Triangles Class 9th

(1.)एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ क्रमशः 8 सेमी,15 सेमी एवं 17 सेमी हो।
(2.)एक समद्विबाहु त्रिभुज की दो समान भुजाएँ प्रत्येक 7 सेमी एवं तीसरी भुजा 6 सेमी हो तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)60 वर्गसेमी (2.)वर्गसेमी
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिभुज का क्षेत्रफल कक्षा 9वीं (Area of Triangles Class 9th),समतलीय आकृतियों का क्षेत्रफल (Area of Plane Figures) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.त्रिभुज का क्षेत्रफल कक्षा 9वीं (Frequently Asked Questions Related to Area of Triangles Class 9th),समतलीय आकृतियों का क्षेत्रफल (Area of Plane Figures) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

त्रिभुज का क्षेत्रफल कक्षा 9वीं (Area of Triangles Class 9th) के इस आर्टिकल में त्रिभुजों,
समचतुर्भुज व चतुर्भुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने
का प्रयास करेंगे।