Introduction to Trigonometry Class 10
1.त्रिकोणमिति का परिचय कक्षा 10 (Introduction to Trigonometry Class 10),त्रिकोणमिति कक्षा 10 (Trigonometry Class 10):
त्रिकोणमिति का परिचय कक्षा 10 (Introduction to Trigonometry Class 10) में त्रिकोणमितीय अनुपात तथा उस पर आधारित सवालों के बारे में बताया गया है।
त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios) :
\sin A=\frac{\text { कोण A की सम्मुख भुजा }}{\text { कर्ण }}=\frac{B C}{A C}\\ \cos A=\frac{\text { कोण A की संलग्न भुजा }}{\text { कर्ण }}=\frac{A B}{A C}\\ \tan A=\frac{\text { कोण A की सम्मुख भुजा }}{\text { कोण A की संलग्न भुजा }}=\frac{B C}{A B}\\ \operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}=\frac{\text { कर्ण }}{\text { कोण A की सम्मुख भुजा }}=\frac{A C}{B C}\\ \sec A=\frac{1}{\cos A}= \frac{\text { कर्ण } }{\text { कोण A की संलग्न भुजा }}=\frac{A C}{A B}\\ \cot A=\frac{1}{\tan A}=\frac{\text { कोण A की संलग्न भुजा }}{\text { कोण A की सम्मुख भुजा }}=\frac{AB}{BC}\\ \tan A=\frac{\sin A}{\cos A} ; \cot A=\frac{\cos A}{\sin A}
त्रिकोणमितीय अनुपातों में पारस्परिक सम्बन्ध (Relation Among Trigonometric Ratios):
\sin \theta=\frac{1}{\operatorname{cosec} \theta}, \operatorname{cosec} \theta=\frac{1}{\sin \theta }, \sin \theta \operatorname{cosec} \theta=1 \\ \cos \theta=\frac{1}{\sec \theta} , \sec \theta=\frac{1}{\cos \theta} , \sec \theta \cos \theta=1 \\ \tan \theta=\frac{1}{\cot \theta }, \cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}, \tan \theta \cot \theta=1
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2.त्रिकोणमिति का परिचय कक्षा 10 के साधित उदाहरण (Introduction to Trigonometry Class 10 Solved Examples):
Example:1. \triangle ABC में जिसका कोण B समकोण है,AB=24 और BC=7cm है।निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
1(i). \sin A, \cos A
Solution:1(i). \text { कर्ण }=\sqrt{\text { लम्ब }^{2}+\text { आधार }^{2}} \\ \text { कर्ण } =\sqrt{(24)^{2}+(7)^{2}} \\ =\sqrt{576+49} \\ =\sqrt{625} \\ \Rightarrow \text { कर्ण } =25 \\ \sin A =\frac{\text { लम्ब }}{कर्ण}=\frac{B C}{A C}=\frac{7}{25} \\ \cos A =\frac{\text { आधार }}{\text { कर्ण }}=\frac{A B}{A C}=\frac{24}{75}
1(ii). \sin C, \cos C
Solution:1(ii). \sin C, \cos C \\ \sin C=\frac{\text { लम्ब }}{\text { कर्ण }}=\frac{A B}{A C}=\frac{24}{25} \\ \cos C=\frac{\text { आधार }}{\text { कर्ण }}=\frac{B C}{A C}=\frac{7}{25}
Example:2.आकृति में \tan P-\cot P का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:आधार Q R=\sqrt{\text { कर्ण }^{2}-\text { लम्ब }^{2}} \\ =\sqrt{13^{2}-12^{2}} \\ =\sqrt{169-144} \\ =\sqrt{25} \\ \text { आधार }=5 \\ \tan P-\cot R \\ =\frac{5}{12}-\frac{5}{12}=0
Example:3.यदि \sin A=\frac{3}{4} तो \cos A और \tan A का मान परिकलित कीजिए।
Solution: \sin A=\frac{3}{4}=\frac{\text { लम्ब }}{\text { कर्ण }} \\ \text { आधार }=\sqrt{\text { कर्ण }^{2}-\text { लम्ब }^{2}}\\ =\sqrt{(4)^{2}-(3)^{2}}\\ =\sqrt{16-9}\\ \text { आधार }=\sqrt{7}\\ \cos A=\frac{\text { आधार }}{\text { कर्ण }}=\frac{\sqrt{7}}{4}\\ \tan A=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }}=\frac{3}{\sqrt{7}}
Example:4.यदि 15 \cot A=8 हो तो \sin A और \sec A का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:15 \cot A=8 \\ \Rightarrow \cot A =\frac{8}{15}=\frac{\text { आधार }}{\text { लम्ब }} \\ \text { कर्ण } =\sqrt{\text { आधार }^{2}+\text { लम्ब }^{2}} \\ =\sqrt{8^{2}+15^{2}} \\ =\sqrt{64+225} \\ =\sqrt{289} \\ \Rightarrow \text { कर्ण } =17 \\ \sin A =\frac{\text { लम्ब }}{\text { कर्ण }}=\frac{15}{17} \\ \sec A =\frac{\text { कर्ण }}{\text { आधार }}=\frac{17}{8}
Example:5.यदि \sec A=\frac{13}{12} हो तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।
Solution: \sec A=\frac{13}{12}=\frac{\text { कर्ण }}{\text { आधार }} \\ \text { लम्ब } =\sqrt{\text { कर्ण }^{2}-(\text { आधार } )^{2}} \\ =\sqrt{(13)^{2}-(12)^{2}}\\ =\sqrt{165-144}\\ =\sqrt{25}\\ \text { लम्ब }=5 \\ \sin A=\frac{\text { लम्ब }}{\text { कर्ण }}=\frac{5}{13}\\ \cos A=\frac{ \text { आधार }}{\text { कर्ण }}=\frac{12}{13}\\ \tan A= \frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }}=\frac{5}{12}\\ \cot A=\frac{\text { आधार }}{\text { लम्ब }}=\frac{12}{5}\\ \operatorname{cosec} A=\frac{\text { कर्ण }}{\text { लम्ब }}=\frac{13}{5}
Example:6.यदि \angle A और \angle B न्यूनकोण हो जहाँ \cos A=\cos B तो दिखाइए कि \angle A = \angle B
Solution: \cos A=\frac{A C}{A R} \\ \cos B=\frac{B Q}{B P} \\ \Rightarrow \frac{A C}{A R}=\frac{B Q}{B P}=K \cdots(1) \\ \Rightarrow AC=k \cdot AR , BQ=k \cdot BP
\triangle ARC में पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem) से:
CR=\sqrt{A R^{2}-A C^{2}} \\ CR =\sqrt{A R^{2}-k^{2} A R^{2}} \\ CR =\sqrt{1-k^{2}} AR \\ PQ =\sqrt{B P^{2}-B Q^{2}} \\ =\sqrt{B P^{2}-k^{2} B P^{2}} \\ =\sqrt{1-k^{2}} BP \\ \frac{C R}{P Q} =\frac{\sqrt{1-k^{2}} A R}{\sqrt{1-k^{2}} B P} \\ \Rightarrow \frac{C R}{P Q} =\frac{A R}{B P} \cdots(2)(1) से:- \frac{A C}{B Q}=\frac{A R}{B P} \cdots(3)
(2) (3) से \frac{A C}{B Q}=\frac{A R}{B P}=\frac{C R}{P Q} \\ \therefore \triangle ACR \sim \triangle BQP \\ \angle A=\angle B
Example:7.यदि \cot \theta=\frac{7}{8} तो
(i) \frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)} (ii)\cot ^{2} \theta का मान निकालिए:
Solution:7(i). \frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)} \\ \Rightarrow \frac{1-\sin ^{2} \theta}{1-\cos ^{2} \theta} \\ \Rightarrow \frac{\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta} \\ \Rightarrow \cot^{2} \theta \\ \Rightarrow \left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}
7(ii). \cot ^{2} \theta \\ =\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}
Example:8.यदि 3 \cot A=4 तो जाँच कीजिए कि \frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\cos ^{2} A-\sin ^{2} A
Solution: \frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\cos ^{2} A-\sin ^{2} A \\ 3 \cot A=4 \\ \cot A=\frac{4}{3}=\frac{\text { आधार }}{\text { लम्ब }} \\ \text { कर्ण } =\sqrt{\text { आधार }^{2}+\text { लम्ब }^{2}} \\ =\sqrt{4^{2}+3^{2}} \\ =\sqrt{16+9}=\sqrt{25} \\ \text { कर्ण } =5 Hrs.
L.H.S. \frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\frac{1-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}{1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} \\ =\frac{1-\frac{9}{16}}{1+\frac{9}{16}} \\=\frac{16-9}{\frac{16+9}{16}}=\frac{7}{25}
R.H.S. \cos^{2} A-\sin ^{2} A \\ =\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-\left(\frac{3}{5}\right)^{2} \\ = \frac{16}{25}-\frac{9}{25} \\ = \frac{16-9}{25} \\ = \frac{7}{25}
L.H.S.=R.H.S.
Example:9.त्रिभुज ABC में जिसका कोण B समकोण है यदि \tan A=\frac{1}{\sqrt{3}} तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) \sin A \cos C+\cos A \sin C (ii) \cos A \cos C-\sin A \sin C
Solution:9(i). \sin A \cos C+\cos A \sin C\\ \tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }}\\ \text { कर्ण }=\sqrt{\text { (लम्ब) }^{2}+(\text { आधार })^{2}}\\ =\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(1)^{2}}\\ =\sqrt{3+1}\\ \text { कर्ण }=2\\ \sin A \cos C+\cos A \sin C\\ =\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\\ =\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\\ =\frac{1+3}{4}=\frac{4}{4}=1
Solution:9(ii). \cos A \cos C-\sin A \sin C \\ =\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2}-\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\=\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}=0
Example:10. \triangle PQR में जिसका कोण Q समकोण है, PR+QR=25 cm और PQ=5cm है।\sin P, \cos P और \tan P के मान ज्ञात कीजिए।
Solution:PR+QR=25
PQ=5
माना PR=x, QR=25-x
समकोण \triangle PQR में पाइथागोरस प्रमेय से:
\text{ कर्ण }^{2}=\text{ लम्ब }^{2}+\text{ आधार }^{2} \\ P R^{2}=P Q^{2}+Q R^{2} \\ x^{2}=5^{2}+(25-x)^{2} \\ \Rightarrow x^{2}=25+625-50 x+x^{2} \\ \Rightarrow 50 x=650 \\ \Rightarrow x=\frac{650}{50} \\ \Rightarrow x=13
PR=13,QR=25-13=12,PQ=5
\sin P=\frac{\text { लम्ब }}{\text { कर्ण }}=\frac{Q R}{P R}=\frac{12}{13} \\ \cos P=\frac{\text { आधार }}{\text { कर्ण }}=\frac{P Q}{P R}=\frac{5}{13} \\ \tan P=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }}=\frac{12}{5}
Example:11.बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य।कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
11(i). \tan A का मान सदैव 1 से कम होता है।
Solution:11(i). \tan A=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }} \\ \tan A का मान 1 से कम तभी हो सकता है जब लम्ब आधार से छोटा हो परन्तु ऐसा सदैव सत्य नहीं होता।
अतः कथन असत्य है।
11(ii).कोण A के किसी मान के लिए
\sec A=\frac{12}{5}
Solution:11(ii). \sec A=\frac{12}{5} होना सदैव आवश्यक नहीं है।परन्तु किसी कोण के लिए ऐसा सम्भव है।
अतः कथन सत्य है।
11(iii) \cos A,कोण A के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।
Solution:11(iii). \cos A कोण A की cosine का संक्षिप्त रूप है।
अतः दिया हुआ कथन असत्य है।
11(iv). \cot A, cot और A का गुणनफल होता है।
Solution:11(iv). \cot A में cot का स्वतन्त्र रूप से कोई अस्तित्व नहीं है। अतः \cot A, cot और A का कभी भी गुणनफल नहीं होता है।
फलतः कथन असत्य है।
11(v).किसी भी कोण \theta के लिए \sin \theta=\frac{4}{3}
Solution:11(v).\sin \theta=\frac{4}{3}=\frac{\text{ लम्ब }}{\text{ कर्ण }}
परन्तु समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे बड़ी भुजा होती है जबकि इसमें कर्ण का मान छोटा है।
अतः कथन असत्य है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिकोणमिति का परिचय कक्षा 10 (Introduction to Trigonometry Class 10),त्रिकोणमिति कक्षा 10 (Trigonometry Class 10) को समझ सकते हैं।
3.त्रिकोणमिति का परिचय कक्षा 10 की समस्याएँ (Introduction to Trigonometry Class 10 Problems):
(1.)यदि \sin \theta=\frac{12}{13} तो \tan \theta का मान क्या होगा?
(2.)यदि \tan \theta=\frac{1}{\sqrt{3}} तो \sin \theta का मान क्या होगा?
(3.)यदि \operatorname{cosec} A=\frac{13}{5} हो तो अन्य त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करो।
उत्तर (Answers):(1.) \tan \theta=\frac{12}{5} (2.) \sin \theta=\frac{1}{2} (3.) \sin A=\frac{5}{13}, \cos A=\frac{12}{13}, \tan A=\frac{5}{12}, \cot A=\frac{12}{5} , \sec A=\frac{13}{12}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिकोणमिति का परिचय कक्षा 10 (Introduction to Trigonometry Class 10),त्रिकोणमिति कक्षा 10 (Trigonometry Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.त्रिकोणमिति का परिचय कक्षा 10 (Introduction to Trigonometry Class 10),त्रिकोणमिति कक्षा 10 (Trigonometry Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.जे एफ हर्बर्ट के अनुसार त्रिकोणमिति की परिभाषा क्या है? (What is Definition of Trigonometry According to J F Herbart?):
उत्तर:There is nothing which so occupies the middle position of mathematics as trigonometry.
(संभवतः त्रिकोणमिति के अतिरिक्त गणित की कोई ऐसी शाखा नहीं है जो उसकी मध्य स्थिति का स्थान ले सके।)
प्रश्न:2.ज्या या कोज्या की व्याख्या कीजिए। (Explain sine and cosine):
उत्तर:\sin A का प्रयोग कोण A के sin के संक्षिप्त रूप में किया जाता है। यहाँ \sin A, sin और A का गुणनफल नहीं होता है।A से अलग रहकर का कोई अर्थ नहीं होता।इसी प्रकार \cos A, cos और A का गुणनफल नहीं है।इस प्रकार की व्याख्या अन्य त्रिकोणमितीय अनुपातों के साथ भी की जाती है।
समकोण त्रिभुज का कर्ण,त्रिभुज की सबसे लम्बी भुजा होता है इसलिए \sin A और \cos A का मान सदा ही 1 से कम होता है (या विशेष स्थिति में 1 के बराबर होता है।)
प्रश्न:3.त्रिकोणमिति की व्युत्पत्ति के बारे में बताएँ। (Tell us About Derived of Trigonometry):
उत्तर:अंग्रेजी शब्द ‘trigonometry’ की व्युत्पत्ति ग्रीक शब्दों ‘tri’ (जिसका अर्थ है तीन), ‘gon’ (जिसका अर्थ है भुजा) और ‘metron’ (जिसका अर्थ है माप) से हुई है।वस्तुतः त्रिकोणमिति में एक त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच सम्बन्धों का अध्ययन किया जाता है।प्राचीनकाल में त्रिकोणमिति पर किए गए कार्य का उल्लेख मिस्र और बेबीलाॅन में मिलता है।प्राचीन काल के खगोलविद त्रिकोणमिति का प्रयोग पृथ्वी से तारों और ग्रहों की दूरियाँ मापने में करते थे।आज भी इंजीनियरिंग और भौतिक विज्ञान में प्रयुक्त अधिकांश प्रौद्योगिकीय उन्नत विधियाँ त्रिकोणमितीय संकल्पनाओं पर आधारित है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा त्रिकोणमिति का परिचय कक्षा 10 (Introduction to Trigonometry Class 10),त्रिकोणमिति कक्षा 10 (Trigonometry Class 10) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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त्रिकोणमिति का परिचय कक्षा 10
(Introduction to Trigonometry Class 10)
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त्रिकोणमितीय अनुपात तथा उस पर आधारित सवालों के बारे में बताया गया है।
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Satyam
Lekhak Ke Baare Mein (About the Author) **Satyam Narain Kumawat** **Website Name:Satyam Mathematics** *Owner:satyamcoachingcentre.in* *Sthan:Manoharpur,Jaipur (Rajasthan)* **Teaching Mathematics aur Anya Anubhav** ***Shiksha:**B.sc.,B.Ed.,(M.sc. star Ke Mathematics Ko Padhane ka Anubhav),B.com.,M.com. Ke vishayon Ko Padhane ka Anubhav,Philosophy,Psychology,Religious,sanskriti Mein Gahri Ruchi aur Adhyayan ***Anubhav:**phichale 23 varshon se M.sc.,M.com.,Angreji aur Vigyan Vishayon Mein Shikshaka Ka Lamba Anubhav ***Visheshagyata:*Maths,Adhyatma (spiritual),Yog vishayon ka vistrit Gyan* ****In Brief:I have read about M.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 23 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
