1.दो सदिशों का सदिश गुणनफल कक्षा 12 (Vector Product of Two Vectors Class 12),कक्षा 12 में सदिश गुणनफल (Cross Product of Two Vectors in Class 12):

Vector Product of Two Vectors Class 12

दो सदिशों का सदिश गुणनफल कक्षा 12 (Vector Product of Two Vectors Class 12) के इस आर्टिकल में दो सदिशों का सदिश गुणनफल,मात्रक सदिश,त्रिभुज व चतुर्भुज का क्षेत्रफल सदिश गुणनफल के द्वारा ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.दो सदिशों का सदिश गुणनफल कक्षा 12 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Vector Product of Two Vectors Class 12):

Example:1.यदि \vec{a}=\hat{i}-7 \hat{j}+7 \hat{k} और \vec{b}= 3 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k} तो |\hat{a} \times \vec{b}| ज्ञात कीजिए।
Solution: \vec{a}=\hat{i}-7 \hat{j}+7 \hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k} \\ \vec{a} \times \vec{b}= (\hat{i} -7 \hat{j}+7 \hat{k}) \times(3 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}) \\ =-2(\hat{i} \times \hat{j})+2(\hat{i} \times \hat{k})-21(\hat{j} \times \hat{i})-14(\hat{j} \times \hat{k})+2(\hat{k} \times \hat{i})-14(\hat{k} \times \hat{j}) \\ \left[ \because \hat{i} \times \hat{i}=\hat{j} \times \hat{j}=\hat{k} \times \hat{k}=0\right] \\ =-2 \hat{k}-2 \hat{j}+21 \hat{k}-14 \hat{i}+2 \hat{j}+14 \hat{i} \\ \left[\hat{i} \times \hat{j}=\hat{k}, \hat{i} \times \hat{k}=-\hat{j}, \hat{j} \times \hat{i}=-\hat{k}, \hat{j} \times \hat{k}= \hat{i},\hat{k} \times \hat{i}=\hat{j}, \hat{k} \times \hat{j}=-\hat{i}\right] \\ =19 \hat{j}+19 \hat{k} \\ \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b}=19 \hat{j}+19 \hat{k} \\ |\vec{a} \times \vec{b}|=\sqrt{(19)^2+(19)^2} \\ =\sqrt{361+361} \\ =\sqrt{722} \\ \Rightarrow |\vec{a} \times \vec{b}|=19 \sqrt{2}
Example:2.सदिश \vec{a}+\vec{b} और \vec{a}-\vec{b} की लम्ब दिशा में मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए,जहाँ \vec{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k} और \vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k} है।
Solution: \vec{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k} \\ \vec{a}+\vec{b} =3 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k} \\ \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}=4 \hat{i}+4 \hat{j} \\ \vec{a}-\vec{b}=(3 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})-(\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}) \\ \Rightarrow \vec{a}-\vec{b}=2 \hat{i}+4 \hat{k} \\ |\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{(4)^2+(4)^2}=\sqrt{16+16} \\ \Rightarrow|\vec{a}+ \vec{b}| =4 \sqrt{2} \cdots(1) \\ |\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{(2)^2+(4)^2}=\sqrt{4+16} \\ \Rightarrow|\vec{a}-\vec{b}|=2 \sqrt{5} \cdots(2) \\ (\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})=(4 \hat{i}+4 \hat{j}) \times(2 \hat{i}+4 \hat{k}) \\ =16(\hat{i} \times \hat{k})+8(\hat{j} \times \hat{i})+16(\hat{j} \times k) \\ {[\because \hat{i} \times \hat{i}=0]} \\ =-16 \hat{j}-8 \hat{k}+16 \hat{i} \\ {[\because \hat{i} \times \hat{k}=-\hat{j}, \hat{j} \times \hat{i}=-\hat{k}, \hat{j} \times \hat{k}=\hat{i}]} \\ \Rightarrow(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})=-16 \hat{j}-8 \hat{k}+16 \hat{i} \cdots(3) \\ \Rightarrow(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})=16 \hat{i}-16 \hat{j}-8 \hat{k} \\ (\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}+\vec{b}||\vec{a}-\vec{b}| \sin \theta \hat{n}
\theta=90 तथा (1), (2),)3) से मान रखने परः
16 \hat{i}-16 \hat{j}-8 \hat{k}=(4 \sqrt{2})(2 \sqrt{5}) \sin 90 \hat{n} \\ \Rightarrow \hat{n}= \pm \frac{16 \hat{i}-16 \hat{j}-8 \hat{k}}{8 \sqrt{10}}
Example:3.यदि एक मात्रक सदिश \vec{a} ,\hat{i} के साथ \frac{\pi}{3} , \hat{j} के साथ \frac{\pi}{4} और \hat{k} के साथ एक न्यून कोण \theta बनाता है तो \theta का मान ज्ञात कीजिए और इसकी सहायता से \vec{a} के घटक भी ज्ञात कीजिए।
Solution:माना \vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{i}+a_3 \hat{k} \\ \left(a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}\right) \times \hat{i}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \sin \frac{\pi}{3} \hat{n} \\ \Rightarrow a_3 \hat{j}-a_2 \hat{k}=\frac{\sqrt{3} }{2} \hat{n}[ \because \vec{a} मात्रक सदिश है अतः a_1^2+a_2^2+a_3^2=1 ]
\sqrt{a_3^2+a_2^2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot|\hat{n}| \\ \Rightarrow a_3^2+a_2^2=\frac{3}{4} \cdots(1) \left[|\hat{n}|=1\right]
इसी प्रकार \left(a_1 \hat{i}+a_2 \hat{\jmath}+a_3 \hat{k}\right) \times \hat{j} =\left( \sqrt{a_1^2+a_2^2+ a_3^2}\right) \left( \sin \frac{\pi}{4} \right) \hat{n} \\ \Rightarrow-a_3 \hat{i}+a_1 \hat{k}=\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{n} \\ \Rightarrow a_3^2+a_1^2=\frac{1}{2} \cdots(2)
तथा \left(a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}\right) \times \hat{k}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \sin \theta \hat{n} \\ \Rightarrow a_2 \hat{i}-a_1 \hat{j}=\sin \theta \hat{n} \\ a_1^2+a_2^2=\sin ^2 \theta \cdots(3)
(1),(2) व (3) को जोड़ने परः
2\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2\right)=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}+\sin ^2 \theta \\ \Rightarrow 2-\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\sin ^2 \theta \\ \Rightarrow \frac{8-3-2}{4}=\sin ^2 \theta \\ \Rightarrow \sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \\ \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{3}
(1) में से (2) घटाने परः
a_2^2-a_1^2=\frac{1}{4} \cdots(4) \\ a_1^2+a_2^2=\frac{3}{4} \cdots(3)
(1) में से (4) घटाने परः
2 a_2^2=1 \Rightarrow a_2=\frac{1}{\sqrt{2}}
a_2 का मान (4) में रखने परः
\frac{1}{2}-a_1^2=\frac{1}{4} \Rightarrow a_1^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{4} \\ \Rightarrow a_1^2=\frac{1}{4} \Rightarrow a_1=\frac{1}{2}
(2) में a_{1} का मान रखने परः
a_3^2+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} \Rightarrow a_3^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4} \\ \Rightarrow a_3=\frac{1}{2} \\ \vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k} \\ \Rightarrow \vec{a}=\frac{1}{2} \hat{i} +\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}+\frac{1}{2} \hat{k}
\vec{a} के घटक \frac{1}{2} \hat{\imath}, \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{\jmath} तथा \frac{1}{2} \hat{k} हैं तथा \theta=\frac{\pi}{3} है।
Example:4.दर्शाइए कि (\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})=2(\vec{a} \times \vec{b})
Solution: (\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})=2(\vec{a} \times \vec{b}) \\ \text { L.H.S. }(\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b}) \\ =\vec{a} \times \vec{a}+\vec{a} \times \vec{b}-\vec{b} \times \vec{a}+\vec{b} \times \vec{b} \\ =\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{b} \\ \left[\because \vec{a} \times \vec{a}=\vec{b} \times \vec{b}=0 \text{ तथा }  \vec{b} \times \vec{a}=-\vec{a} \times \vec{b}\right]
=2(\vec{a} \times \vec{b})=R.H.S. 
Example:5. \lambda और \mu ज्ञात कीजिए,यदि
(2 \hat{i}+6 \hat{j}+27 \hat{k}) \times(\hat{i}+\lambda \hat{j}+\mu \hat{k})=\overrightarrow{0}
Solution: (2 \hat{i}+6 \hat{\jmath}+27 \hat{k}) \times(\hat{i}+\lambda \hat{j}+\mu \hat{k})= \overrightarrow{0} \\ \Rightarrow 2 \lambda(\hat{i} \times \hat{j})+2 \mu(\hat{i} \times \hat{k})+27(\hat{k} \times \hat{i})+27 \lambda(\hat{k} \times \hat{j})+6(\hat{j} \times \hat{i})+6 \mu(\hat{j} \times \hat{k})=0\\ \left[\because \hat{i} \times \hat{i}=\hat{j} \times \hat{j}=\hat{k} \times \hat{k}=0\right] \\ \Rightarrow 2 \lambda \hat{k}+2 \mu(-\hat{\jmath})+27 \hat{j}-27 \lambda \hat{i}-6 \hat{k}+6 \mu \hat{i}= \overrightarrow{0} \\ \left[\because \hat{i} \times \hat{j}=\hat{k}, \hat{i} \times \hat{k}=-\hat{j}, \hat{k} \times \hat{i}=\hat{j} , \hat{k} \times \hat{j}=-\hat{i}, \hat{j} \times \hat{i}=-\hat{k}, \hat{j} \times \hat{k}=\hat{i}\right] \\\Rightarrow(-27 \lambda+6 \mu) \hat{i}+(-2 \mu+27) \hat{j}+(2 \lambda-6) \hat{k}=0 \cdot \hat{i}+0 \cdot \hat{\jmath}+0 \cdot \hat{k}
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
-27 \lambda+6 \mu=0 \cdots{1}\\ -2 \mu+27=0 \cdots(2) \Rightarrow \mu=\frac{27}{2} \\ 2 \lambda-6=0 \\ \lambda=\frac{6}{2}=3
अतः \lambda=3 , \mu=\frac{27}{2}
Example:6.दिया हुआ है कि \vec{a} \cdot \vec{b}=0 और \vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0} सदिश \vec{a} और \vec{b} के बारे में आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?
Solution: \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \\ \Rightarrow|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta=0
अतः \vec{a}=\overrightarrow{0} या \vec{b}=\overrightarrow{0} या \vec{a} \bot \vec{b} \cdots(1) \\ \vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0} \\ \vec{a}=0 या \vec{b}=\overrightarrow{0} या \vec{a} \| \vec{b} \cdots(2)
(1) व (2) सेः
\vec{a} \perp \vec{b} तथा \vec{a} \| \vec{b} एक साथ सम्भव नहीं है अतः
\vec{a}=0 या \vec{b}=\overrightarrow{0}
Example:7.मान लीजिए सदिश \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} क्रमशः a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k} , b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}, c_1 \hat{i}+c_2 \hat{j}+c_3 \hat{k} के रूप में दिए हुए हैं तब दर्शाइए कि
\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{c}
Solution: \vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k},\vec{b}=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}, \vec{c}=c_i+c_2 \hat{j}+b \hat{k} \\ \vec{b}+\vec{c}=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}+c_1 \hat{i}+c_2 \hat{j}+c_3 \hat{k} \\ \Rightarrow \vec{b}+\vec{c}=\left(b_1+c_1\right) \hat{i}+\left(b_2+c_2\right) =\left(b_3+c_2\right) \hat{k} \\ \text{L.H.S. } \vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c}) \\ =\left(a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}\right) \times\left[\left(b_1+c_1\right) \hat{i}+\left(b_2+c_2\right) \hat{j} +\left(b_3+ c_3\right) \hat{k}\right] \\ =a_1\left(b_2+c_2\right)(\hat{i} \times \hat{j}) +a_1\left(b_3+c_3\right)(\hat{i} \times \hat{k})+a_2\left(b_1+c_1\right)(\hat{j} \times \hat{i})+a_2\left(b_3+c_3\right)(\hat{j} \times \hat{k})+a_3\left(b_1+c_1\right)(\hat{k} \times \hat{i})+a_3\left(b_2+c_2\right)(\hat{k} \times \hat{j}) \\ \left[\therefore \hat{i} \times \hat{i}=\hat{j} \times \hat{j}=\hat{k} \times \hat{k}=0\right] \\ =a_1\left(b_2 +c_2 \right) \hat{k}- a_1\left(b_3+c_3\right) \hat{\jmath}-a_2\left(b_1+a_{)}\right) \hat{k}+a_2 \left(b_3+c_3 \right) \hat{i}+a_3\left(b_1+c_1\right) \hat{j}-a_3\left(b_2+c_2\right) \hat{i} \\ \left[\because \hat{i} \times \hat{j}=\hat{k}, \hat{i} \times \hat{k}=-\hat{j},\hat{j} \times i=-\hat{k} , \hat{j} \times \hat{k}=\hat{i}, \hat{k} \times \hat{i}=\hat{j}, \hat{k} \times \hat{j}=\hat{i}\right] \\ \Rightarrow \vec{\alpha} \times(\vec{b}+ \vec{c}) =\left(a_2 b_3+a_2 c_3-a_3 b_2-a_3b_2-a_3c_2\right) \hat{i}+\left(-a_1 b_3+a_1 c_3+a_3 b_1+a_3 c_1\right) \hat{j}+\left(a_1 b_2+a_1 c_2-a_2 b_1-a_2 a_1\right) \hat{k} \cdots(1) \\ \vec{a} \times \vec{b} =\left(a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}\right) \times\left(b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}\right) \\=a_1 b_2(\hat{i} \times \hat{j})+a_1 b_3(\hat{i} \times \hat{k})+a_2 b_1(\hat{j} \times \hat{i})+a_2 b_3(\hat{j} \times \hat{k})+a_3 b_1(\hat{k} \times \hat{i})+a_3 b_2(\hat{k} \times \hat{j}) \\ \left[\because \hat{i} \times \hat{i}=\hat{k} \times \hat{k}=\hat{j} \times \hat{j}=0\right] \\ =a_1 b_2 \hat{k}-a_1 b_3 \hat{j}+a_2 b_2 \hat{k} +a_2 b_3 \hat{i}+a_3 b_1 \hat{j}-a_3 b_2 \hat{i} \\ \left[\because \hat{i} \times \hat{j}=\hat{k}, \hat{i} \times \hat{k}=-\hat{j}, \hat{j} \times \hat{i}=-\hat{k}, \hat{j} \times \hat{k}=\hat{i}, \hat{k} \times \hat{i}=\hat{j}, \hat{k} \times \hat{j}=-\hat{i}\right] \\ \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b}=\left(a_2 b_3-a_3 b_2\right) \hat{i}+\left(a_3 b_1-a_1 b_3\right) \hat{j} +\left(a_1 b_2-a_2 b_1\right) \hat{k} \cdots(2)
इसी प्रकार \overrightarrow{a} \times \vec{c}=\left(a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}\right) \times \left(c_1 \hat{\imath}+c_2 \hat{j}+c_3 \hat{k}\right) \\ =a_1 c_2(\hat{i} \times \hat{j})+a_1 c_3 \cdot(\hat{i} \times \hat{k})+a_2 c_1 (\hat{j} \times \hat{i})+a_2 c_3\left(\hat{j} \times \hat{k}\right)+a_3 c_1(\hat{k} \times \hat{i})+a_3 c_2(\hat{k} \times \hat{j}) \\ \left[\therefore \hat{i} \times \hat{i}=\hat{j} \times \hat{j} =\hat{k} \times \hat{k}=0\right] \\ =a_1 c_2 \hat{k}-a_1 c_3 \hat{j}-a_2 c_1 \hat{k}+a_2 c_3 \hat{i} +a_3 c_1 \hat{j}-a_3 c_2 \hat{i}\\ \Rightarrow \vec{a} \times \vec{c}=\left(a_2 c_3-a_3 c_2\right) \hat{i}+\left(a_3 c_1-a_1 c_3\right) \hat{j}+\left(a_1 c_2-a_2 c_1\right) \hat{k} \cdots(3)
R.H.S. (2) व (3) सेः
\text{R.H.S. } \vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{c} \\ =\left(a_2 b_3-a_3 b_2\right) \hat{i}+\left(a_3 b_1-a_1 b_3\right) \hat{j}+\left(a_1 b_2-a_2 b_1\right) \hat{k}+\left(a_2 c_3-a_3 c_2\right) \hat{i} +\left(a_3 a_1-a_1 c_3\right) \hat{j}+\left(a_1 c_2-a_2 c_1\right) \hat{k} \\ \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{c}=\left(a_2 b_3-a_3 b_2+a_2c_3-a_3 c_2\right) \hat{i}+\left(a_3 b_1-a_1 b_3+a_3 c_1 -a_1c_3\right) \hat{j}+\left(a_1 b_2-a_2 b_1+a_1 c_2-a_2 c_1\right) \hat{k} \cdots(4)
(1) व (4) सेः
\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{c}

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Example:8.यदि \vec{a}=\overrightarrow{0} अथवा \vec{b}=\overrightarrow{0} तब \vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0} होता है।क्या विलोम सत्य है? उदाहरण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
Solution:जब \vec{a}=\overrightarrow{0} तब |\vec{a}|=0 \\ \vec{a} \times \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \hat{n}=\overrightarrow{0}
जब \vec{b}=\overrightarrow{0} तब |\vec{b}|=0 \\ \vec{a} \times \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \hat{n}=\overrightarrow{0}
विलोमःयदि \vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k} \\ \overrightarrow{b_1}=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}
यदि \vec{a} \| \overrightarrow{b} अर्थात् \sin \theta=0
तब |\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \neq 0 \\ |\vec{b}|=\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2} \neq 0
परन्तु \vec{a} \times \vec{b} =|\vec{a}||\vec{b}| \sin 0 \hat{n} \\ =\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_3^2} (0) \hat{n} \\ \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} =\overrightarrow{0}
जबकि \vec{a} \neq 0, \vec{b} \neq 0
अतः विलोम सत्य नहीं है।
Example:9.एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष A(1,1,2),B(2,3,5) और C(1,5,5) हैं।
Solution: \triangle ABC के शीर्षों के स्थिति सदिश \overrightarrow{OA}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k} \\ \overrightarrow{OB}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}
तथा \overrightarrow{OC}=\hat{i}+5 \hat{j}+5 \hat{k} \\ \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{OA} \\ =(2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k})-(\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{A B}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} \\ \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{OA} \\ =\hat{i}+5 \hat{j}+5 \hat{k}-(\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{A C}=4 \hat{j}+3 \hat{k}
अतः \triangle ABC का क्षेत्रफल
=\frac{1}{2}|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{B C}|\\ \overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{AC}=\left|\begin{array}{lll}\hat{i} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right|  \\ =\hat{i}(6-12)-\hat{j}(1 \times 3+0 \times 3)+\hat{k}(1 \times 4-2 \times 0) \\ =-6 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}\\ \Rightarrow |\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{B C}| =\sqrt{(-6)^2+(-3)^2+(4)^2} \\=\sqrt{36+9+16} \\ \Rightarrow |\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{BC}| =\sqrt{61}
\triangle ABC का क्षेत्रफल =\frac{1}{2}|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{B C}| \\ =\frac{1}{2} \sqrt{61} वर्ग इकाई
Example:10.एक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्न भुजाएँ सदिश \vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k} और \vec{b}=2 \hat{i}-7 \hat{j}+\hat{k} द्वारा निर्धारित है।
Solution: \vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-7 \hat{j}+\hat{k} \\ \vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & -7 & 1 \end{array}\right| \\=\hat{i}(-1+21)-\hat{j}(1-6)+\hat{k}(-7+2) \\ \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b}=20 \hat{i}+5 \hat{j}-5 \hat{k}
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल=|\vec{a} \times \vec{b}| \\ =\sqrt{(20)^2+(5)^2+(-5)^2} \\ =\sqrt{400+25+25} \\ =\sqrt{450}=15 \sqrt{2} वर्ग इकाई
Example:11.मान लीजिए सदिश \vec{a} और \vec{b} इस प्रकार हैं कि |\vec{a}| =3 और |\vec{b}|=\frac{\sqrt{2}}{3} ,तब \vec{a} \times \vec{b} एक मात्रक सदिश है यदि \vec{a} और \vec{b} के बीच का कोण हैः
(A) \frac{\pi}{6} (B) \frac{\pi}{4} (C) \frac{\pi}{3} (D) \frac{\pi}{2}
Solution: \vec{a} \times \vec{b}=|\vec{\alpha}||\vec{b}| \sin \theta \hat{n}
यदि \vec{a} \times \vec{b} मात्रक सदिश है तो |\vec{a} \times \vec{b}|=1 \\ \Rightarrow |\vec{a} \times \vec{b}|=(3)\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right) \sin \theta|\hat{n}| \\ \Rightarrow 1=\sqrt{2} \sin \theta \cdot [ \because |\hat{n}|=1] \\ \Rightarrow \sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow \sin \theta=\sin \frac{\pi}{4}
अतः \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}
फलतः विकल्प (B) सही है।
Example:12.एक आयत शीर्षों A,B,C और D जिनके स्थिति सदिश क्रमशः -\hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}, \hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}, \hat{i}-\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k} और -\hat{i}-\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k} हैं का क्षेत्रफल हैः
(A)\frac{1}{2} (B) 1 (C) 2 (D) 4
Solution:आयत के शीर्षों के स्थिति सदिशः
\overrightarrow{O A}=-\hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}, \overrightarrow{O B}=\hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}, \overrightarrow{O C} =\hat{i}-\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}, \overrightarrow{OD}=-\hat{i}-\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k} \\ \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{OB} -\overrightarrow{O A} \\ \left(\hat{i}+\frac{1}{2}+4 \hat{k}\right)-\left(-\hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}\right) \\ \Rightarrow \overrightarrow{A B} =2 \hat{i} \Rightarrow|\overrightarrow{A B}|=|2 \hat{i}|=2 \\ \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B} \\ =\left(\hat{i}-\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}\right)-\left(\hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}\right) \\ \Rightarrow \overrightarrow{BC} =-\hat{j} \Rightarrow|\overrightarrow{B C}|=|-\hat{j}|=1
अतः आयत का क्षेत्रफल=|\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{B C}|
=(2) (1)
=2 वर्ग इकाई
अतः विकल्प (C) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा दो सदिशों का सदिश गुणनफल कक्षा 12 (Vector Product of Two Vectors Class 12),कक्षा 12 में सदिश गुणनफल (Cross Product of Two Vectors in Class 12) को समझ सकते हैं।

3.दो सदिशों का सदिश गुणनफल कक्षा 12 की समस्याएँ (Vector Product of Two Vectors Class 12 Problems):

Vector Product of Two Vectors Class 12

(1.) (2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}) \times(3 \hat{i}+4 \hat{j}-4 \hat{k}) का मान ज्ञात कीजिए।
(2.)यदि \vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k} तथा \vec{b}= 2 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k} हों,तो \vec{a} एवं \vec{b} दोनों के लम्बवत इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers): (1.) -4 \hat{i}+30 \hat{j}+17 \hat{k}
(2.) \frac{1}{\sqrt{26}}(3 \hat{i}-\hat{j}-4 \hat{k})
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर दो सदिशों का सदिश गुणनफल कक्षा 12 (Vector Product of Two Vectors Class 12),कक्षा 12 में सदिश गुणनफल (Cross Product of Two Vectors in Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.दो सदिशों का सदिश गुणनफल कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Vector Product of Two Vectors Class 12),कक्षा 12 में सदिश गुणनफल (Cross Product of Two Vectors in Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

दो सदिशों का सदिश गुणनफल कक्षा 12 (Vector Product of Two Vectors Class 12) के
इस आर्टिकल में दो सदिशों का सदिश गुणनफल,मात्रक सदिश,त्रिभुज व चतुर्भुज का क्षेत्रफल
सदिश गुणनफल के द्वारा ज्ञात करना सीखेंगे।