1.सांख्यिकीय माध्य (Statistical Mean),सांख्यिकीय माध्य सूत्र (Statistical Mean Formula):

Statistical Mean

सांख्यिकीय माध्य (Statistical Mean):केन्द्रीय प्रवृत्ति:आँकडों में से किसी एक आँकड़ें के पास जाने की उनकी प्रवृत्ति को केन्द्रीय प्रवृत्ति कहते हैं।
(1.)समान्तर माध्य (Arithmetic Mean):वह मान है जो दिए हुए आँकडों के योगफल को, आँकड़ों की संख्या से भाग देने पर प्राप्त होता है।
यथा
प्राप्त आँकड़ों से समान्तर माध्य ज्ञात करना:इस प्रकार किसी चर राशि के n मान क्रमशः x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, \ldots, x_{n} हों तो उनका समान्तर माध्य=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots+x_{n}}{n} \\ \Rightarrow \bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}
प्रतीक:(i) \sum (सिग्मा ग्रीक वर्णमाला का एक अक्षर है और गणित में इसको योग या संकलन (Summation) की प्रक्रिया दर्शाने के लिए प्रयोग में लिया जाता है।
\sum_{i=1}^{n} x_{i}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots+x_{n} को प्रकट करता है।
(ii) \bar{x} [x bar] द्वारा समान्तर माध्य प्रकट किया जाता है।
(iii)समान्तर माध्य को संक्षेप में माध्य भी कहते हैं।
(2.)यदि आँकड़ें बारम्बारता सारणी के रूप में दिए हों तो माध्य का आकलन निम्न प्रकार किया जाता है:
(i)प्रत्यक्ष विधि (Direct Method)
(ii)कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method) या संक्षेप विधि (Short-Cut Method)
(iii)पद विचलन विधि (Step-deviation Method)
(i)प्रत्यक्ष रीति में निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग किया जाता है:
माध्य \bar{x}=\frac{\sum f_{i}x_{i}}{\sum f_{i}}
अवर्गीकृत बारम्बारता बंटन से समान्तर माध्य:
क्रिया पद (Working Steps):
पद:1.प्रत्येक विचर को उसकी बारम्बारता से गुणा  f_{i} x_{i} कीजिए।
पद:2.ऐसे सभी गुणनफलों का योगफल ज्ञात कीजिए।
पद:3.उपर्युक्त योगफल में बारम्बारता के योगफल का भाग दीजिए।
पद:4.इस प्रकार प्राप्त भागफल समान्तर माध्य होगा।
वर्गीकृत (समूहित) बारम्बारता बंटन से समान्तर माध्य:
क्रियापद (Working Steps):
पद:1.वर्गीकृत बंटन में प्रत्येक वर्ग के मध्यमानों को ज्ञातकर उन्हें विचर x से प्रदर्शित कीजिए।
वर्ग चिन्ह या मध्यमान (x)=\frac{\text{(उपरि वर्ग सीमा+निचली वर्ग सीमा)}}{2}
पद:2.प्रत्येक वर्ग के मध्यमान को उसके संगत बारम्बारता से गुणा कीजिए।(किसी वर्ग का मध्यमान उस वर्ग की निम्न और उपरि दोनों सीमाओं के योगफल का आधा होता है।)
पद:3.उपर्युक्त सभी गुणनफलों के योगफल में बारम्बारताओं के योगफल का भाग दीजिए।
पद:4.यह भागफल ही समान्तर माध्य होगा।
(ii)कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method) या संक्षेप विधि (Short-Cut Method):
समान्तर माध्य \bar{X}=A+\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}}
जहाँ d_{i}=x_{i}-A, A=कल्पित माध्य
\sum f_{i}=N=बारम्बारताओं का योग
(iii)पद-विचलन विधि (Step-Deviation Method):इस विधि में विचलनों d_{i}=x_{i}-A के सभी मानों को किसी एक उभयनिष्ठ संख्या (माना h) से भाग देते हैं।ऐसी स्थिति में इन सभी विचलनों  को h से विभाजित करते हुए नये विचलन u_{i}=\frac{x_{i}-A}{h} के रूप में लेते हैं।
समान्तर माध्य (\bar{X})=A+\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}} \times h  जहाँ u_{i}=\frac{x_{i}-A}{h}

या \bar{x}=a+h \bar{u} जहाँ \bar{u}=\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}}
A=कल्पित माध्य
h=वर्ग अन्तराल
\sum f_{i}=N=बारम्बारताओं का योग
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2.सांख्यिकीय माध्य के उदाहरण (Statistical Mean Examples)

Example:1.विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा पर्यावरण संचेतना अभियान के अन्तर्गत एक सर्वेक्षण किया गया जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से सम्बन्धित निम्नलिखित आँकड़ें एकत्रित किए।प्रति घर माध्य पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।

माध्य ज्ञात करने के लिए किस विधि का प्रयोग किया और क्यों?
Solution:

माध्य (\bar{x})=\frac{\sum f x}{\sum f} \\ \Rightarrow x=\frac{162}{20}=8.1
Example:2.किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए:

एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्टरी के श्रमिकों की दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिए।
Solution:दैनिक मजदूरी के लिए माध्य गणना सारणी

समान्तर माध्य (\bar{X})=\frac{\sum f x}{\sum f} \\ =\frac{7260}{50} \\ \bar{X}=145.20
Example:3.निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेब खर्च को दर्शाता है।माध्य जेब खर्च 18 रुपए है।लुप्त बारम्बारता f ज्ञात कीजिए।

Solution:दैनिक जेब भत्ता 

समान्तर माध्य (\bar{x})=\frac{\sum f x}{\sum f}\\ 18=\frac{752+20 f}{44+f}\\ 18(44+f)=752+20 f\\ \Rightarrow 792+18 f=752+20 f\\ \Rightarrow 18 f-20 f=752-792\\\Rightarrow-2 f=-40\\\Rightarrow f=20
Example:4.किसी अस्पताल में एक डाॅक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके हृदय स्पंदन (beat) की प्रति मिनट की संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई।उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट संख्या ज्ञात कीजिए।

Solution:प्रति मिनट हृदय के स्पंदन के माध्य हेतु गणना सारणी
माना कल्पित माध्य A=72.5

समान्तर माध्य \bar{X}=A+\frac{\sum f d}{\sum f} \\=72.5+\frac{102}{30} \\=72.5+3.4 \\ \bar{X}=75.9

Statistical Mean

Example:5.किसी फुटकर बाजार में एक विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे।इन पेटियों में आमों की संख्या भिन्न-भिन्न थी।पेटियों की संख्या के अनुसार आमों का बंटन निम्नलिखित था:

Solution:माना कल्पित माध्य (a)=60,h=3

समान्तर माध्य (\bar{X}) =a+\frac{\sum f u}{\sum f} \times h \\ =60-\frac{375}{400} \times 3 \\ =60-2.8125 \\ =57.1875 \\ \Rightarrow \bar{X} =57.19
Example:6.निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाता है:

Solution:-

समान्तर माध्य (\bar{X})=a+\frac{\sum fx}{\sum f} \times h \\ =275+\frac{(-32)}{25} \times 50 \\ =275-64 \\ \bar{X}=211
Example:7.वायु में सल्फर डाइ-आक्साइड की सान्द्रता (भाग प्रति मिलयन में) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के 30 मोहल्लों से आँकड़ें एकत्रित किए गए जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है:

वायु में सल्फर डाइ-आक्साइड की सान्द्रता का माध्य ज्ञात कीजिए।
Solution:वायु में सल्फर डाइ-आक्साइड की सान्द्रता का माध्य ज्ञात करने की सारणी

समान्तर माध्य (\bar{X})=\frac{\sum f x}{\sum f} \\ =\frac{2.96}{30} \\ =0.0986 \\ \bar{X}=0.099
Example:8.किसी कक्षा अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विद्यार्थियों की अनुपस्थिति निम्नलिखित में रिकाॅर्ड (Record) की।एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य ज्ञात कीजिए:

Solution:विद्यार्थियों की अनुपस्थिति के लिए माध्य गणना सारणी

समान्तर माध्य (\bar{X})=\frac{\sum f x}{\sum f} \\ =\frac{499}{40} \\ =12.475 \\ \Rightarrow \bar{X} =12.48
Example:9.निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत में) दर्शाती है।माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए:

Solution:पद विचलन विधि से (Step-Deviation Method):
माना कल्पित माध्य (a)=60
वर्ग अन्तराल (h)=10,u=\frac{x-a}{h}
माध्य साक्षरता दर की गणना सारणी

समान्तर माध्य (\bar{x}) =a+\frac{\sum f u}{\sum f} \times h \\=60+\frac{33}{35} \times 10 \\=60+\frac{330}{35} \\=60+9.4285 \\ \bar{X} =69.43 \%
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकीय माध्य (Statistical Mean),सांख्यिकीय माध्य सूत्र (Statistical Mean Formula) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकीय माध्य के की समस्याएं (Statistical Mean Problems):

Statistical Mean

(1.)एक कक्षा में छात्रों के भार निम्न सारणी में दिए गए हैं:

(2.)किसी कक्षा अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 70 विद्यार्थियों के प्राप्तांक निम्नलिखित रूप में रिकाॅर्ड हैं।प्राप्तांकों का माध्य ज्ञात कीजिए:

उत्तर (Answers):(1.)23.9 (2.)145.71
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकीय माध्य (Statistical Mean),सांख्यिकीय माध्य सूत्र (Statistical Mean Formula) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सांख्यिकीय माध्य(Statistical Mean) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

 

सांख्यिकीय माध्य (Statistical Mean):केन्द्रीय प्रवृत्ति:आँकडों में से किसी एक आँकड़ें के पास जाने की
उनकी प्रवृत्ति को केन्द्रीय प्रवृत्ति कहते हैं।