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Sum of first n term of an AP

1.समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योगफल का परिचय (Introduction to Sum of first n term of an AP)-

समान्तर श्रेढ़ी  के प्रथम n पदों का योगफल (Sum of first n term of an AP) के बारे में इस आर्टिकल में अध्ययन करेंगे।
AP के n पदों का योग अंकगणितीय अनुक्रम के पहले n पदों का योग (जोड़) है।यह n को 2 से विभाजित करने तथा जो पहले पद के दो बार के योग -‘a’ और दूसरे और पहले पद के बीच के अंतर ‘-d’ जिसको सार्व अंतर भी कहा जाता है, और (n-1) [जहाँ n जोड़े जाने वाले शब्दों की संख्या है] के गुणा के बराबर है।
समान्तर श्रेढ़ी के गुणधर्म (Properties of AP)-
(1.)यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी के प्रत्येक पद में एक निश्चित संख्या जोड़ी या घटाई जाए तो प्राप्त श्रेढ़ी भी समान्तर श्रेढ़ी होगी।
(2.)यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी के प्रत्येक पद को एक निश्चित अशून्य संख्या से गुणा या भाग दिया जाए तो प्राप्त श्रेढ़ी भी समान्तर श्रेढ़ी होगी।
(3.)किसी परिमित समान्तर श्रेढ़ी में प्रारम्भ तथा अन्त से समान दूरी वाले पदों का योग अचर होता है तथा यह पहले तथा अन्तिम पदों के योग के बराबर होता है।
(4.)किसी समान्तर श्रेढ़ी का प्रत्येक पद (प्रथम व अन्तिम पद को छोड़कर) उससे समान दूरी पर स्थित दो पदों के योग का आधा होता है।
(5.)यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी में पदों की संख्या विषम हो तो इस श्रेढ़ी का योगफल,मध्य पद तथा पदों की संख्या के गुणनफल के बराबर होता है।
(6.)यदि
अलग-अलग सार्वअन्तर वाली समान्तर श्रेढ़ी हो तो दोनों श्रेढ़ी के योगफल या अन्तर से प्राप्त श्रेढ़ी भी समान्तर श्रेढ़ी होगी।
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2.समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योगफल (Sum of first n term of an AP)-

(1.)समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योगफल से व्यक्त किया जाता है।माना कि दी हुई समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a,सार्वअन्तर d तथा n वां पद l है।श्रेढ़ी के पद क्रमशः a,a+d,a+2d,……..,l-2d,l-d,lहोंगे। अतः
{ S }_{ n }=a+(a+d)+(a+2d)+………+(l-2d)+(l-d)+l …..(1)
पदों को विपरीत क्रम में लिखने पर-
{ S }_{ n }=l+(l-d)+(l-2d)+…….+((a+2d)+(a+d)+a ……(2)
(1) व (2) के संगत पदों का योग करने पर-
2{ S }_{ n }=((a+l)+(a+l)+(a+l)+………+(a+l)+(a+l)
=n(a+l)

{ S }_{ n }=\frac { n }{ 2 } (a+l)
या { S }_{ n }=\frac { n }{ 2 } [a+a+(n-1)d] [katex] \because l={ T }_{ n }=a+(n-1)d[/katex]
या { S }_{ n }=\frac { n }{ 2 } [2a+(n-1)d]
(2.)समान्तर श्रेढ़ी के n पदों के योगफल सूत्र में चार राशियां हैं, इनमें से कोई तीन ज्ञात हों तो शेष चौथी राशि की गणना की जा सकती है।
(3.)समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योगफल हो तो उसका n वां पद सूत्र{ T }_{ n }={ S }_{ n }-{ S }_{ n-1 } से ज्ञात किया जा सकता है।
(4.)यदि समान्तर श्रेढ़ी के पदों का योगफल दिया हुआ हो तो पदों का चयन निम्न प्रकार से करना चाहिए।
विषम पद-
3 पद : a-d,a,a+d
5 पद : a-2d,a-d,a+d,a+2d
सम पद-
4 पद : a-3d,a-d,a+d,a+3d
6 पद : a-5d,a-3d,a-d,a+d,a+3d,a+5d

3.समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योगफल (Sum of first n term of an AP) पर आधारित सवाल-

Question-1.समान्तर श्रेढ़ी \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } +1 } +\sqrt { 2 } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } -1 } +........6 पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए।
Solution-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } +1 } +\sqrt { 2 } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } -1 } +........\\ a=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } +1 } \\ d=\sqrt { 2 } -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } +1 } \\ =\sqrt { 2 } -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } +1 } \times \frac { \sqrt { 2 } -1 }{ \sqrt { 2 } -1 } \\ =\sqrt { 2 } -\frac { \sqrt { 2 } -1 }{ 2-1 } \\ =\sqrt { 2 } -\sqrt { 2 } +1\\ =1\\ n=6\\ { S }_{ n }=\frac { n }{ 2 } [2a+(n-1)d]\\ { S }_{ 6 }=\frac { 6 }{ 2 } \left[ 2(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } +1 } )+(6-1)(1) \right] \\ =3\left[ 2(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } +1 } \times \frac { \sqrt { 2 } -1 }{ \sqrt { 2 } -1 } )+5 \right] \\ =3\left[ 2(\frac { \sqrt { 2 } -1 }{ 2-1 } )+5 \right] \\ =3\left[ 2(\sqrt { 2 } -1)+5 \right] \\ =3\left[ 2\sqrt { 2 } -2+5 \right] \\ =3\left[ 2\sqrt { 2 } +3 \right]
Question-2.यदि n पदों वाली m समान्तर श्रेढ़ियों के योगफल { S }_{ 1 },{ S }_{ 2 },{ S }_{ 3 },......,{ S }_{ n } हैं।इनके प्रथम पद क्रमशः 1,2,3,……..,m तथा सार्वअन्तर क्रमशः 1,3,5,…….,(2m-1) है तो सिद्ध कीजिए:{ S }_{ 1 }+{ S }_{ 2 }+{ S }_{ 3 },......+{ S }_{ n }=\frac { mn }{ 2 } \left( mn+1 \right)
Solution{ S }_{ n }=\frac { n }{ 2 } [2a+(n-1)d]\\ { S }_{ 1 }=\frac { n }{ 2 } [2(1)+(n-1)1]\\ { S }_{ 1 }=\frac { n }{ 2 } [2+n-1]\\ { S }_{ 1 }=\frac { n }{ 2 } [n+1]...(1)\\ { S }_{ 2 }=\frac { n }{ 2 } [2(2)+(n-1)3]\\ =\frac { n }{ 2 } [4+3n-3]\\ =\frac { n }{ 2 } [3n+1]....(2)\\ { S }_{ 3 }=\frac { n }{ 2 } [2(3)+(n-1)5]\\ =\frac { n }{ 2 } [6+5n-5]\\ =\frac { n }{ 2 } [5n+1]...(3)\\ { S }_{ 4 }=\frac { n }{ 2 } [2(4)+(n-1)7]\\ =\frac { n }{ 2 } [8+7n-7]\\ =\frac { n }{ 2 } [7n+1]....(4)\\ ...................\\ ..................\\ .................\\ { S }_{ m }=\frac { n }{ 2 } [2(m)+(n-1)(2m-1)]\\ =\frac { n }{ 2 } [2m+2mn-n-2m+1]\\ =\frac { n }{ 2 } \left[ 2mn-n+1 \right] ....(5)
समीकरण (1),(2),(3),(4) व (5) को जोड़ने पर-

{ S }_{ 1 }+{ S }_{ 2 }+{ S }_{ 3 },......+{ S }_{ n }=\frac { n }{ 2 } [n+1]+\frac { n }{ 2 } [3n+1]+\frac { n }{ 2 } [5n+1]+\frac { n }{ 2 } [7n+1]+....+\frac { n }{ 2 } \left[ 2mn-n+1 \right] \\ =\frac { n }{ 2 } [n+1+3n+1+5n+1+7n+1+2mn-n+1]\\ =\frac { n }{ 2 } [n+3n+5n+7n....+2mn-n+1+1+1+1+1.....n\quad times]\\ =\frac { n }{ 2 } [\frac { m }{ 2 } \{ 2n+2mn-2n\} +m]\\ =\frac { n }{ 2 } [\frac { m }{ 2 } .2mn+m]\\ =\frac { n }{ 2 } [{ m }^{ 2 }n+m]\\ =\frac { mn }{ 2 } [{ m }n+1]

Question-3.यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम p,q,r पदों का योगफल क्रमशः a,b,c है तो सिद्ध कीजिए:\frac { a }{ p } \left( q-r \right) +\frac { b }{ q } \left( r-p \right) +\frac { c }{ r } \left( p-q \right) =0
Solution{ S }_{ n }=\frac { n }{ 2 } [2a+(n-1)d]\\ { S }_{ p }=\frac { p }{ 2 } [2A+(p-1)d]=a\\ \frac { 1 }{ 2 } \left( 2A+pd-d \right) =\frac { a }{ p } ...(1)\\ { S }_{ q }=\frac { q }{ 2 } [2A+(q-1)d]=b\\ \frac { 1 }{ 2 } \left( 2A+qd-d \right) =\frac { a }{ q } ...(2)\\ { S }_{ r }=\frac { r }{ 2 } [2A+(r-1)d]=C\\ \frac { 1 }{ 2 } \left( 2A+rd-d \right) =\frac { C }{ q } ...(3)\\ \frac { a }{ p } \left( q-r \right) +\frac { b }{ q } \left( r-p \right) +\frac { c }{ r } \left( p-q \right) =0

L.H.S.

\frac { a }{ p } \left( q-r \right) +\frac { b }{ q } \left( r-p \right) +\frac { c }{ r } \left( p-q \right)

समीकरण (1),(2),(3) से मान रखने पर-

\Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } \left( 2A+pd-d \right) \left( q-r \right) +\frac { 1 }{ 2 } \left( 2A+qd-d \right) \left( r-p \right) +\frac { 1 }{ 2 } \left( 2A+rd-d \right) \left( p-q \right) \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } [2Aq+pqd-dq-2Ar-pdr+rd+2Ar+qrd-rd-2Ap-pqd+pd+2Ap+rpd-pd-2Aq-qrd+qd]\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } \left( 0 \right) \\ \Rightarrow 0=R.H.S.
Question-4.यदि x,y,z समान्तर श्रेढ़ी में हैं तो सिद्ध कीजिए कि y+z,z+x,x+y समान्तर श्रेढ़ी में हैं।
Solution-x,y,z समान्तर श्रेढ़ी में हैं अतः
2y=x+z
y+z,z+x,x+y समान्तर श्रेढ़ी में होंगे यदि
2(z+x)=y+z+x+y समान्तर श्रेढ़ी में होंगे
\Rightarrow 2z+2x=2y+z+x समान्तर श्रेढ़ी में होंगे
\Rightarrow 2y=z+x समान्तर श्रेढ़ी में हैं
अतः y+z,z+x,x+y समान्तर श्रेढ़ी में हैं।
Question-5.यदि x,y,z समान्तर श्रेढ़ी में हों तो सिद्ध कीजिए किxy+yz+zx=\frac { { x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+4xz }{ 2 }
Solution-x,y,z समान्तर श्रेढ़ी में हैं अतः
2y=x+z ……..(1)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर-

\Rightarrow 4{ y }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+2xz

दोनों पक्षों में 2xz जोड़ने पर-

\Rightarrow 4{ y }^{ 2 }+2xz={ x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+2xz+2xz\\ \Rightarrow 2y(2y)+2xz={ x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+4xz...(2)
समीकरण (1) से 2y का मान समीकरण (2) में रखने पर-

\Rightarrow 2y(x+z)+2xz={ x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+4xz\\ \Rightarrow 2(xy+yz+zx)={ x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+4xz\\ \Rightarrow xy+yz+zx=\frac { { x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+4xz }{ 2 }
Question-6.समान्तर श्रेढ़ी{ a }_{ 1 },{ a }_{ 2 },{ a }_{ 3 }......,{ a }_{ 30 } का योगफल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है { a }_{ 1 }+{ a }_{ 7 }+{ a }_{ 10 }+{ a }_{ 21 }+{ a }_{ 24 }+{ a }_{ 30 }=540
Solution{ a }_{ n }=a+(n-1)d\\ { a }_{ 1 }=a...(1)\\ { a }_{ 7 }=a+(7-1)d\\ { a }_{ 7 }=a+6d..(2)\\ { a }_{ 10 }=a+(10-1)d\\ { a }_{ 10 }=a+9d..(3)\\ { a }_{ 21 }=a+(21-1)d\\ { a }_{ 21 }=a+20d..(4)\\ { a }_{ 24 }=a+(24-1)d\\ { a }_{ 24 }=a+23d..(5)\\ { a }_{ 30 }=a+(30-1)d\\ { a }_{ 30 }=a+29d..(6)\\ { a }_{ 1 }+{ a }_{ 7 }+{ a }_{ 10 }+{ a }_{ 21 }+{ a }_{ 24 }+{ a }_{ 30 }=540
में समीकरण (1),(2),(3),(4),( 5) व (6) से मान रखने पर-

\Rightarrow a+a+6d+a+9d+a+20d+a+23d+a+29d=540\\ \Rightarrow 6a+87d=540\\ \Rightarrow 3(2a+29d)=540\\ \Rightarrow 2a+29d=180\\ \Rightarrow \frac { 30 }{ 2 } (2a+29d)=180\times 15\\ \Rightarrow { S }_{ 30 }=2700
इस प्रकार उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योगफल (Sum of first n term of an AP) को समझा जा सकता है।

4.जब प्रथम और अंतिम पद दिया जाता है तो समान्तर श्रेढ़ी का योगफल (Sum of ap when first and last term is given)-

Formula
(1.)General Form of AP- a, a + d, a + 2d, a + 3d, . . .
(2.)The nth term of AP- { a }_{ n } = a + (n – 1) × d
(3.)Sum of n terms in AP- { S }_{ n }=\frac { n }{ 2 } [2a+(n-1)d]
(4.)Sum of all terms in a finite AP with the last term as ‘l’ – n/2(a + l)

5.एक AP व्युत्पत्ति के पहले n पदों का योग (Sum of first n terms of an ap derivation)-

हम जानते हैं कि एक समान्तर श्रेढ़ी के पहले n पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र है
{ S }_{ n }=\frac { n }{ 2 } [2a+(n-1)d]
यहां S ,समान्तर श्रेढ़ी के n पदों का योगफल,n समान्तर श्रेढ़ी के पदों की संख्या,a समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद,d समान्तर श्रेढ़ी का सार्वअन्तर है।

6.प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग (Sum of first n natural numbers)-

पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग
हम प्राकृतिक संख्या के लिए 1+ 2+ … + n = n (n + 1) / 2 का सूत्र सिद्ध करते हैं।इस परिणाम के आगमन प्रमाण का सार दिखाने वाला एक सरल एप्लेट है।

7.जीपी में n पदों का योग (Sum of n terms in GP)-

GP श्रृंखला का n वां पद { T }_{ n }=a{ r }^{ n-1 } है, जहाँ a = पहला पद और r = सार्व अनुपात = \frac { { T }_{ n } }{ { T }_{ n-1 } } है।GP श्रृंखला के अनंत पदों का योग { S }_{ \infty }=\frac { a }{ 1-r } जहां 0 <r <1 है।m पदों से मिलकर, फिर अंत से  { n }^{ th }पद =a{ r }^{ m-n } होगा।

8.समान्तर श्रेढ़ी (AP) का n वां पद (nth term of ap)-

(1.)एपी(समान्तर श्रेढ़ी) का n वां पद { a }_{ n }= a + (n – 1) × d।
(2.)AP में n पदों का योग { S }_{ n }=\frac { n }{ 2 } [2a+(n-1)d]
AP में परिमित पदों के योग में अंतिम पद ‘l’ के रूप में है।

9.पहले n पदों का योग कैसे ज्ञात करें? (How to find the sum of the first n terms)-

सूत्र का कहना है कि हमारे अंकगणितीय अनुक्रम के पहले n पदों का योग बराबर है, n को 2 से विभाजित करने पर प्राप्त संख्या को, प्रथम पद a को 2 से गुणा करके उसमें , और d अर्थात् सार्व अन्तर को (n-1)से गुणा करके जोड़ने से प्राप्त संख्या को गुणा करते हैं जहां n पदों की संख्या है।

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