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Kinds of Sets

1.समुच्चयों के प्रकार (Kinds of Sets),समुच्चय कक्षा 11 (Sets Class 11):

समुच्चयों के प्रकार (Kinds of Sets) में एकल समुच्चय,परिमित समुच्चय,अपरिमित समुच्चय (अनन्त समुच्चय),समान समुच्चय,रिक्त समुच्चय, उपसमुच्चय,उचित उपसमुच्चय,सार्वत्रिक समुच्चय (समष्टीय समुच्चय),पूरक समुच्चय,अन्तर समुच्चय,तुल्य समुच्चय,घात समुच्चय इत्यादि का अध्ययन किया जाता है।
(1.)रिक्त समुच्चय (Void or The Empty Set):
परिभाषा (Definition):एक समुच्चय जिसमें एक भी अवयव नहीं होता है रिक्त समुच्चय या शून्य समुच्चय कहलाता है।रिक्त समुच्चय को प्रतीक अथवा { } से प्रदर्शित किया जाता है।उदाहरणार्थ:
(i)A={x:\frac{1}{4}<x<\frac{1}{2},x एक प्राकृत संख्या है}यहाँ A एक रिक्त समुच्चय है क्योंकि \frac{1}{4} और \frac{1}{2} के मध्य कोई प्राकृत संख्या नहीं होती है।
(ii)B={x: x^{2}-5=0 और x एक परिमेय संख्या है} यहाँ B रिक्त समुच्चय है क्योंकि समीकरण x^{2}-5=0,x के किसी भी परिमेय मान से सन्तुष्ट नहीं होता है।
(2.)परिमित और अपरिमित समुच्चय (Finite and Infinite Sets):
परिभाषा (Definition):एक समुच्चय जो रिक्त है अथवा जिसके अवयवों की संख्या निश्चित होती है परिमित समुच्चय कहलाता है अन्यथा समुच्चय अपरिमित समुच्चय कहलाता है।समुच्चय के अवयवों की संख्या से अभिप्राय समुच्चय के भिन्न अवयवों की संख्या से है और इसे S के अवयवों को निम्न प्रतीक द्वारा प्रदर्शित करते हैं n(S)।
उदाहरण:
(i)M={x:x वर्ष के महीनों के नाम हैं} यहाँ M वर्ष के महीनों का समुच्चय है,अतः M परिमित समुच्चय है।
(ii)कुछ विशिष्ट प्रकार के अपरिमित समुच्चय (Some Specific Infinite Sets):
प्राकृत संख्याओं का समुच्चय (Set of Natural Numbers):
N={1,2,3,4,…}
पूर्ण संख्याओं का समुच्चय (Set of Whole Numbers):
W={0,1,2,3,4,…}
पूर्णांकों का समुच्चय (Set of Integers):
Z={…-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
परिमेय संख्याओं का समुच्चय (Set of Rational Numbers):

Q={\frac{p}{q}: q \neq 0,p,q \in Z }
अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय (Set of Irrational Numbers):
ऐसी संख्याओं का समुच्चय जो परिमेय नहीं है उन्हें अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय कहते हैं।जैसे 2^{\frac{1}{3}},\sqrt{2},\sqrt{5}…….इत्यादि अपरिमेय संख्याएँ हैं।
वास्तविक संख्याओं का समुच्चय (Set of Real Numbers):
परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के संघ (Union) को अर्थात् परिमेय एवं अपरिमेय संख्याओं दोनों संख्याओं के समुच्चय को वास्तविक संख्याओं का समुच्चय कहते हैं।
सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय (Set of Complex Numbers):

C={a+ib:a,b \in R,i=\sqrt{-1}}
किसी अपरिमित समुच्चय के सभी अवयवों को कोष्ठक { } के भीतर लिखना सम्भव नहीं है क्योंकि ऐसे समुच्चय के अवयवों की संख्या सीमित नहीं होती है।अतः हम किसी अपरिमित समुच्चय को रोस्टर रूप में प्रकट करने के लिए उसके कम से कम इतने अवयवों को लिखते हैं जिससे उस समुच्चय की संरचना स्पष्ट हो सके और उसके पश्चात् तीन बिन्दु लगाते हैं।उदाहरणार्थ {1,2,3,…} प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है।
टिप्पणी:सभी अपरिमित समुच्चय का वर्णन रोस्टर रूप में नहीं किया जा सकता है।उदाहरण के लिए वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का वर्णन इस रूप में नहीं किया जा सकता है क्योंकि इस समुच्चय के अवयवों का कोई विशेष (प्रतिमान) नहीं होता है।
(3.)समान समुच्चय (Equal Sets):
दो दिए गए समुच्चयों A और B में यदि A का प्रत्येक अवयव B का भी अवयव है तथा B का प्रत्येक अवयव A का भी अवयव है तो समुच्चय A और B समान समुच्चय कहलाते हैं।स्पष्टतया दोनों में तथ्यतः समान अवयव होते हैं।
परिभाषा (Definition):दो समुच्चय A और B समान कहलाते हैं यदि उनमें तथ्यतः समान अवयव हों और हम लिखते हैं A=B अन्यथा समुच्चय असमान कहलाते हैं और हम लिखते हैं
उदाहरण:A={\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2}} और B={\frac{5}{2},\frac{3}{2},2,1,\frac{1}{2}} तो A=B
टिप्पणी:यदि किसी समुच्चय के एक या एक से अधिक अवयवों की पुनरावृत्ति होती है तो समुच्चय बदलता नहीं है।उदाहरण के लिए समुच्चय A={1,2,3} और B={2,2,1,3,3} समान हैं क्योंकि A का प्रत्येक अवयव B में है और इसका विलोम भी सत्य है।इसी कारण हम प्रायः किसी समुच्चय का वर्णन करते समय उसके अवयवों की पुनरावृत्ति नहीं करते हैं।
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2.समुच्चयों के प्रकार पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Kinds of Sets):

Example:1.निम्नलिखित में से कौनसे रिक्त समुच्चय के उदाहरण हैं?
(i)2 से भाज्य विषम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय।
(ii)सम अभाज्य संख्याओं का समुच्चय।
(iii){x:x एक प्राकृत संख्या है,x<5 और साथ ही x>7}
(iv){y:y किन्हीं भी दो समान्तर रेखाओं का उभयनिष्ठ बिन्दु है}
Solution:(i)2 से भाज्य विषम प्राकृत संख्याएँ नहीं होती है।अतः रिक्त समुच्चय है।
(ii)2 सम अभाज्य संख्या है।अतः यह रिक्त समुच्चय नहीं है।
(iii)5 से छोटी तथा 7 से बड़ी प्राकृत संख्या का एक साथ होना सम्भव नहीं है।अतः यह रिक्त समुच्चय है।
(iv)समान्तर रेखाएँ आपस में नहीं मिलती हैं।अतः रिक्त समुच्चय है।
Example:2.निम्नलिखित समुच्चयों में से कौन परिमित और कौन अपरिमित है?
(i)वर्ष के महीनों का समुच्चय।
(ii){1,2,3,..}
(iii){1,2,3,…,99,100}
(iv)100 से बड़े धन पूर्णांकों का समुच्चय।
(v)99 से छोटे अभाज्य पूर्णांकों का समुच्चय।
Solution:(i)वर्ष में 12 माह होते हैं।अतः परिमित समुच्चय है।
(ii)प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में अवयव असीमित होते हैं।अतः अपरिमित समुच्चय है।
(iii)1 से 100 तक प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में अवयवों की संख्या निश्चित है।अतः परिमित समुच्चय है।
(iv)100 से बड़े धन पूर्णांकों की संख्या असीमित है।अतः अपरिमित समुच्चय है।
(v)99 से छोटे अभाज्य पूर्णांकों का समुच्चय में अवयव निश्चित हैं।अतः परिमित समुच्चय है।

Example:3.निम्नलिखित समुच्चयों में से प्रत्येक के लिए बताइए कि कौन परिमित है और कौन अपरिमित है?
(i)x-अक्ष के समान्तर रेखाओं का समुच्चय।
(ii)अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों का समुच्चय।
(iii)उन संख्याओं का समुच्चय जो 5 के गुणज हैं।
(iv)पृथ्वी पर रहनेवाले जानवरों का समुच्चय।
(v)मूलबिन्दु (0,0) से होकर जानेवाले वृत्तों का समुच्चय।
Solution:(i)x-अक्ष के समान्तर अनन्त रेखाएँ हैं।अतः अपरिमित समुच्चय है।
(ii)अंग्रेजी में 26 अक्षर हैं।अतः परिमित समुच्चय है।
(iii)5 से गुणज संख्याएँ अनन्त हैं।अतः अपरिमित समुच्चय है।
(iv)पृथ्वी पर रहनेवाले जानवरों का समुच्चय सीमित है।अतः परिमित समुच्चय है।
(v)मूलबिन्दु (0,0) से होकर जानेवाले अनन्त वृत्त हैं।अतः अपरिमित समुच्चय है।
Example:4.निम्नलिखित में बताइए कि A=B है अथवा नहीं:

(i)A={a,b,c,d} B={d,c,b,a}
(ii)A={4,8,12,16}B={8,4,16,18}
(iii)A={2,4,6,8,10} B={x:x समधन पूर्णांक है और x \leq 10}
(iv)A={x:x संख्या 10 का गुणज है}B={10,15,20,25,30,…}

Solution:(i)A=B है।
(ii)A \neq B
(iii)A=B है।
(iv)A \neq B
Example:5.क्या निम्नलिखित समुच्चय युग्म समान है?कारण सहित बताइए।
(i)A={2,3} B={x:x समीकरण x^{2}+5x+6=0 का एक हल है}
Solution:x^{2}+5x+6=0 \\ \Rightarrow x^{2}+2x+3x+6=0 \\ \Rightarrow x(x+3)+2(x+3)=0 \\ \Rightarrow (x+2)(x+3)=0 \\ \Rightarrow x=-2,-3
अतः A \neq B क्योंकि B={-2,-3}
(ii)A={x:x शब्द ‘FOLLOW’ का एक अक्षर है} B={y:y शब्द ‘WOLF’ का एक अक्षर है}
Solution:A={F,O,L,W}  तथा B={W,O,L,F}
अतः A=B है क्योंकि दोनों में तथ्यतः समान अवयव है।
Example:6.नीचे दिए गए समुच्चयों में से समान समुच्चयों का चयन कीजिए:
A={2,4,8,12},B{1,2,3,4},C={4,8,12,14},D={3,1,4,2},E={-1,1},F={0,a},G={1,-1},H={0,1}
Solution:B=D={1,2,3,4} दोनों में तथ्यतः समान अवयव हैं।
E=G={1,-1} दोनों में तथ्यतः समान अवयव हैं।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समुच्चयों के प्रकार (Kinds of Sets),समुच्चय कक्षा 11 (Sets Class 11) को समझ सकते हैं।

3.समुच्चयों के प्रकार पर आधारित सवाल (Questions Based on Kinds of Sets):

(1.)निम्नलिखित में से कौन-से समुच्चय रिक्त हैं?
(i)अंग्रेजी वर्णमाला में z के बाद आनेवाले अक्षरों का समुच्चय।
(ii)शब्द satyam में व्यंजन का समुच्चय।
(iii)11 और 13 के मध्य विषम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय।
(2.)निम्नलिखित में से कौन-से समान समुच्चय हैं?
(i)A={a,b,e,f,g,h} B={g,h,f,e,b,a}
(ii)A={2,4,6,8} B={x:x सम संख्या है तथा x \leq 8 }
(iii)C={3,2} ,D={x: x^{2}-5x+6=0}
उत्तर (Answers):(1.)(i)(iii)रिक्त समुच्चय
(2.)(i)A=B
(2.)(ii)C=D
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समुच्चयों के प्रकार (Kinds of Sets),समुच्चय कक्षा 11 (Sets Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.समुच्चयों के प्रकार (Kinds of Sets),समुच्चय कक्षा 11 (Sets Class 11) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.एकल समुच्चय किसे कहते हैं? (What is a Singleton set called?):

उत्तर:जिस समुच्चय में केवल एक ही अवयव हो उसे एकल समुच्चय (Singleton Set) कहते हैं।जैसे {3},{a},{7} आदि।

प्रश्न:2.तुल्य समुच्चय किसे कहते हैं? (What is the equivalent set called?):

उत्तर:दो परिमित समुच्चय जिनमें अवयवों की संख्या समान हो तुल्य समुच्चय कहलाते हैं।जैसे:A={5,7,8} B={a,b,c} A व B तुल्य समुच्चय हैं।परन्तु A \neq B अर्थात् ये समान समुच्चय नहीं है।

प्रश्न:3.विषम उपसमुच्चय किसे कहते हैं? (What are the Improper subsets called?):

उत्तर:यदि समुच्चय A का प्रत्येक अवयव समुच्चय B में है तथा समुच्चय B का प्रत्येक अवयव समुच्चय A में है अर्थात् A \subset B तथा B \subset A है तब समुच्चय A,समुच्चय B का विषम उपसमुच्चय (improper subset) कहलाता है।इसे संकेत A \subseteq B से निरूपित करते हैं।अर्थात् \subseteq में ‘=’ को भी शामिल किया जाता है।अतः A=B यदि \Leftrightarrow A \subseteq B और B \subseteq A केवल यदि तथा
(ii)A \subseteq A \forall A (कोई भी समुच्चय) अर्थात् प्रत्येक समुच्चय स्वयं भी अपना उपसमुच्चय होता है क्योंकि \subseteq में ‘=’ में शामिल है।
(iii)\phi \subset A \forall A (कोई भी समुच्चय)अर्थात् रिक्त समुच्चय प्रत्येक समुच्चय A का उपसमुच्चय होता है।\phi तथा A स्वयं A के अनुचित अथवा विषम उपसमुच्चय कहलाते हैं।इनके अलावा अन्य उपसमुच्चय उचित उपसमुच्चय (proper sunset) कहलाते हैं।

प्रश्न:4.समुच्चय की कोटि किसे कहते हैं? (What is the order of the set called?):

उत्तर:समुच्चय में विद्यमान अवयवों की संख्या को समुच्चय की कोटि कहते हैं।इसे n(A) या O(A) से निरूपित करते हैं।
रिक्त समुच्चय की कोटि 0 होती है अर्थात् n{ }=0 लेकिन n{0}=1
इसी प्रकार अनन्त समुच्चय की कोटि अनन्त होती है।यदि B अपरिमित समुच्चय है तो n{B}= ∞
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समुच्चयों के प्रकार (Kinds of Sets),समुच्चय कक्षा 11 (Sets Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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समुच्चयों के प्रकार (Kinds of Sets)

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समुच्चयों के प्रकार (Kinds of Sets) में एकल समुच्चय,परिमित समुच्चय,अपरिमित समुच्चय
(अनन्त समुच्चय),समान समुच्चय,रिक्त समुच्चय, उपसमुच्चय,उचित उपसमुच्चय,सार्वत्रिक
समुच्चय (समष्टीय समुच्चय),पूरक समुच्चय,अन्तर समुच्चय,तुल्य समुच्चय,घात समुच्चय
इत्यादि का अध्ययन किया जाता है।

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