1.प्रतिलोम प्रायिकता कक्षा 12 (Reverse Probability Class 12),बेज प्रमेय कक्षा 12 (Bayes’ Theorem Class 12):

Reverse Probability Class 12

प्रतिलोम प्रायिकता कक्षा 12 (Reverse Probability Class 12) के इस आर्टिकल में प्रतिलोम प्रायिकता के सवालों को सप्रतिबन्ध प्रायिकता के प्रयोग से हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.प्रतिलोम प्रायिकता कक्षा 12 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Reverse Probability Class 12):

Example:1.एक कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं।यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है,इसका रंग नोट करने के बाद पुनः कलश में रख दी जाती है।पुनः निकाले गए रंग की 2 अतिरिक्त गेंदें कलश में रख दी जाती है तथा कलश में से एक गेंद निकाली जाती है।दूसरी गेंद की लाल होने की प्रायिकता क्या है?
Solution:माना पहली गेंद लाल निकालने की घटना E_1 तथा पहली गेंद काली निकालने की घटना E_2 है।
P\left(E_1\right)=\frac{5}{10}, P\left(E_2\right)=\frac{5}{10} \\ P\left(\frac{E}{E_1}\right)=\frac{7}{12}, P\left(\frac{E}{E_2}\right)=\frac{5}{12}
दूसरी गेंद लाल निकालने की घटना E है।
सम्पूर्ण प्रायिकता प्रमेय से दूसरी गेंद लाल होने की प्रायिकता
P(E)=P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_2}\right) \\ =\frac{5}{10} \times \frac{7}{12}+\frac{5}{10} \times \frac{5}{12}=\frac{35}{120}+\frac{25}{120} \\ \Rightarrow P(E)=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}
Example:2.एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं और एक अन्य थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदें हैं।दोनों थैलों में से एक को यादृच्छया चुना जाता है और उसमें एक गेंद निकाली जाती है जो कि लाल है।इस बात की क्या प्रायिकता है कि गेंद पहले थैले से निकाली गई है?
Solution:माना पहला तथा दूसरा थैला चुनाव करने की घटना क्रमशः E_1 व E_2 हैं।
P\left(E_1\right)=P\left(E_2\right)=\frac{1}{2}
माना लाल गेंद निकालने की घटना E है।
P\left(\frac{E}{E_1}\right)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}, P\left(\frac{E}{E_2}\right)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4} \\ P\left(\frac{E_1}{E}\right)=\frac{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_2}\right)} \\ =\frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+\frac{1}{8}} \\ =\frac{\frac{1}{4}}{\frac{2+1}{8}}=\frac{1}{4} \times \frac{8}{3} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_1}{E}\right)=\frac{2}{3}
Example:3.यह ज्ञात है कि एक महाविद्यालय के छात्रों में से 60% छात्रावास में रहते हैं और 40% छात्रावास में नहीं रहते हैं।पूर्ववर्ती वर्ष के परिणाम सूचित करते हैं कि छात्रावास में रहने वाले छात्रों में से 30% और छात्रावास में न रहने वाले छात्रों में से 20% छात्रों ने A-ग्रेड लिया।वर्ष के अंत में महाविद्यालय के एक छात्र को यादृच्छया चुना गया और यह पाया गया कि उसे A-ग्रेड मिला है।इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह छात्रावास में रहने वाला है?
Solution:माना छात्रावास में रहने वाले तथा छात्रावास में न रहने वाले छात्रों की घटनाएँ क्रमशः E_1 व E_2 हैं।
P\left(E_1\right)=\frac{60}{100}=\frac{3}{5}, P\left(E_2\right)=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}
माना A-ग्रेड पाने की घटना E है।
P\left(\frac{E}{E_1}\right)=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}, P\left(\frac{E}{E_2}\right)=\frac{20}{100}=\frac{1}{5} \\ P\left(\frac{E_1}{E}\right)=\frac{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_2}\right)} \\ =\frac{\frac{3}{5} \times \frac{3}{10}}{\frac{3}{5} \times \frac{3}{10}+\frac{2}{5} \times \frac{1}{5}} \\ =\frac{\frac{9}{50}}{\frac{9}{50}+\frac{2}{25}}=\frac{\frac{9}{50}}{\frac{9+4}{50}} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_1}{E}\right)=\frac{9}{13}
Example:4.एक बहुविकल्पी प्रश्न का उत्तर देने में एक विद्यार्थी या तो प्रश्न का उत्तर जानता है या वह अनुमान लगाता है।मान लें कि उसके उत्तर जानने की प्रायिकता \frac{3}{4} है और अनुमान लगाने की प्रायिकता \frac{1}{4} है।मान लें कि छात्र के प्रश्न के उत्तर का अनुमान लगाने पर सही उत्तर देने की प्रायिकता \frac{1}{4} है तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि कोई छात्र प्रश्न का उत्तर जानता है यदि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है?
Solution:माना विद्यार्थी उत्तर जानता है और अनुमान लगाता है की घटनाएँ क्रमशः E_1 व E_2 हैं।
P\left(E_1\right)=\frac{3}{4}, P\left(E_2\right)=\frac{1}{4}
माना सही उत्तर देने की घटना E है।
P\left(\frac{E}{E_1}\right)=1, P\left(\frac{E}{E_2}\right)=\frac{1}{4} \\ P\left(\frac{E_1}{E}\right) =\frac{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right) +P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_2}\right)} \\ =\frac{\frac{3}{4} \times 1}{\frac{3}{4} \times 1+\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}} \\=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}+\frac{1}{16}} \\ =\frac{\frac{3}{4}}{\frac{12+1}{16}}=\frac{3}{4} \times \frac{16}{13} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_1}{E}\right)=\frac{12}{13}
Example:5.किसी विशेष रोग के सही निदान के लिए रक्त की जाँच 99% असरदार है,जब वास्तव में रोगी उस रोग से ग्रस्त होता है।किन्तु 0.5% बार किसी स्वस्थ व्यक्ति की रक्त जाँच करने पर निदान गलत रिपोर्ट देता है यानी व्यक्ति को रोग से ग्रस्त बतलाता है।यदि किसी जनसमुदाय में 0.1% लोग उस रोग से ग्रस्त है तो क्या प्रायिकता है कि कोई यादृच्छया चुना गया व्यक्ति उस रोग से ग्रस्त होगा यदि उसके रक्त की जाँच में यह बताया जाता है कि उसे यह रोग है?
Solution:माना रोग से ग्रस्त होने तथा न होने की घटनाएँ क्रमशः E_1 व E_2 हैं।
P\left(E_1\right)=6 \cdot 1 \%=\frac{1}{1000} \\ P\left(E_2\right)=100 \%-0.1 \%=99.9 \%=\frac{999}{1000}
माना रक्त की जाँच में रोग से ग्रस्त बताने की घटना E है।
P\left(\frac{E}{E_1}\right)=99 \%=\frac{99}{100}, P\left(\frac{E}{E_2}\right)=0.5 \%=\frac{1}{200} \\ P\left(\frac{E_1}{E}\right)=\frac{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_2}\right)} \\ =\frac{\frac{1}{1000} \times \frac{99}{100}}{\frac{1}{1000} \times \frac{99}{100}+\frac{999}{1000} \times \frac{1}{200}} \\ =\frac{\frac{99}{100000}}{\frac{99}{100000}+\frac{999}{200000}} \\ =\frac{\frac{99}{100000}}{\frac{198+999}{200000}} =\frac{99 \times 2}{1197} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_1}{E}\right)=\frac{198}{1197}
Example:6.तीन सिक्के दिए गए हैं।एक सिक्के के दोनों और चित ही है।दूसरा सिक्का अभिनत है जिसमें चित 75% बार प्रकट होता है और तीसरा अनभिनत सिक्का है।तीनों में से एक सिक्के को यादृच्छया चुना गया और उसे उछाला गया है।यदि सिक्के पर चित प्रकट हो,तो क्या प्रायिकता है कि वह दोनों चित वाला सिक्का है?
Solution:तीनों सिक्कों में एक सिक्का चुनने की घटनाएँ क्रमशः E_1,E_2 तथा E_3 हैं।
P\left(E_1\right)=P\left(E_2\right)=P\left(E_3\right)=\frac{1}{3}
माना चित प्रकट होने की घटना E है।
P\left(\frac{E}{E_1}\right)=1, P\left(\frac{E}{E_2}\right)=75 \%=\frac{3}{4}, P\left(\frac{E}{E_3}\right)= \frac{1}{2} \\ P\left(\frac{E_1}{E}\right)=\frac{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_2}\right) +P\left(E_3\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_3}\right)} \\ =\frac{\frac{1}{3} \times 1}{\frac{1}{3} \times 1+\frac{1}{3} \times \frac{3}{4}+\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}} \\ =\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{4+3+2}{12}} \\ =\frac{\frac{1}{3}}{\frac{9}{12}}=\frac{1}{3} \times \frac{12}{9} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_1}{E}\right)=\frac{4}{9}
Example:7.एक बीमा कम्पनी 2000 स्कूटर चालकों,4000 कार चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है।दुर्घटनाओं की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.01,0.03 और 0.15 है।बीमाकृत व्यक्तियों (चालकों) में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है।उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता क्या है?
Solution:माना स्कूटर चालक,कार चालक व ट्रक चालक के बीमाकृत होने की घटनाएँ E_1,E_2 तथा E_3 हैं।
P\left(E_1\right)=\frac{2000}{12000}=\frac{1}{6} \\ P\left(E_2\right)=\frac{4000}{12000}=\frac{1}{3} \\ P\left(E_3\right)=\frac{6000}{12000}=\frac{1}{2}
माना व्यक्ति के दुर्घटनाग्रस्त होने की घटना E है।
P\left(\frac{E}{E_1}\right)=0.01, P\left(\frac{E}{E_2}\right)=0.03, P\left(\frac{E}{E_3}\right)=0.15 \\ P\left(\frac{E_1}{E}\right)=\frac{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_2}\right)+P\left(E_3\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_3}\right)} \\ =\frac{\frac{1}{6} \times 0.01}{\frac{1}{6} \times 0.01+\frac{1}{3} \times 0.03+\frac{1}{2} \times 0.15} \\ =\frac{\frac{0.01}{6}}{\frac{0.01}{6}+\frac{0.03}{3}+\frac{0.15}{2}} \\ =\frac{\frac{0.01}{6}}{\frac{0.01+0.06+0.45}{6}}=\frac{\frac{0.01}{6}}{\frac{0.52}{6}} \\ =\frac{0.01}{0.52} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_1}{E}\right)=\frac{1}{52}

Reverse Probability Class 12

Example:8.एक कारखाने में A और B दो मशीने लगी हैं।पूर्व विवरण से पता चलता है कि कुल उत्पादन का 60% मशीन A और 40% मशीन B द्वारा किया जाता है।इसके अतिरिक्त मशीन A का 2% और मशीन B का 1% उत्पादन खराब है।यदि कुल उत्पादन का एक ढेर बना लिया जाता है और उस ढेर से यादृच्छया निकाली गई वस्तु खराब हो,तो इस वस्तु के ‘मशीन B’ द्वारा बने होने की प्रायिकता क्या होगी?
Solution:माना वस्तु के मशीन A व B द्वारा बने होने की घटनाएँ क्रमशः E_1 व E_2 हैं।
P\left(E_1\right)=\frac{60}{100}=\frac{3}{5}, P\left(E_2\right)=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}
माना वस्तु के खराब होने की घटना E है।
P\left(\frac{E}{E_1}\right)=2 \%=\frac{2}{100}, P\left(\frac{E}{E_2}\right)=1 \%=\frac{1}{100} \\ P\left(\frac{E_2}{E}\right)=\frac{P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_2}\right)}{P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_2}\right)+P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right)} \\ =\frac{\frac{2}{5} \times \frac{1}{100}}{\frac{2}{5} \times \frac{1}{100}+\frac{3}{5} \times \frac{2}{100}} \\ =\frac{\frac{1}{250}}{\frac{1}{250}+\frac{3}{250}}=\frac{\frac{1}{250}}{\frac{4}{250}} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_2}{E}\right)=\frac{1}{4}
Example:9.दो दल एक निगम के निदेशक मण्डल में स्थान पाने की प्रतिस्पर्धा में हैं।पहले तथा दूसरे दल के जीतने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.6 तथा 0.4 हैं।इसके अतिरिक्त यदि पहला दल जीतता है तो नए उत्पाद के प्रारम्भ होने की प्रायिकता 0.7 है और यदि दूसरा दल जीतता है तो इस बात की संगत प्रायिकता 0.3 है।इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि नया उत्पादन दूसरे दल द्वारा प्रारम्भ किया गया था।
Solution:माना पहले तथा दूसरे दल के जीतने की घटनाएँ क्रमशः E_1 व E_2 हैं।
P\left(E_1\right)=0.6, P\left(E_2\right)=0.4
माना नया उत्पाद प्रारम्भ करने की घटना E है।
P\left(\frac{E}{E_1}\right)=0.7, P\left(\frac{E}{E_2}\right)=0.3 \\ P\left(\frac{E_2}{E}\right) =\frac{P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_2}\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right) +P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_2}\right)} \\ =\frac{0.4 \times 0.3}{0.6 \times 0.7+0.4 \times 0.3} \\ =\frac{0.12}{0.42+0.12}=\frac{0.12}{0.54} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_2}{E}\right)=\frac{2}{9}
Example:10.मान लीजिए कि कोई लड़की एक पासा उछालती है।यदि उसे 5 या 6 की संख्या प्राप्त होती है तो वह एक सिक्के को तीन बार उछालती है और ‘चितो’ की संख्या नोट करती है।यदि उसे 1,2,3 या 4 की संख्या प्राप्त होती है तो वह एक सिक्के को एक बार उछालती है और यह नोट करती है कि उस पर ‘चित’ या ‘पट’ प्राप्त हुआ।यदि उसे ठीक एक चित प्राप्त होता है,तो उसके द्वारा उछाले गए पासे पर 1,2,3 या 4 प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?
Solution:माना पासे पर 5,6 तथा 1,2,3,4 प्रकट होने की घटनाएँ क्रमशः E_1 व E_2 हैं।
P\left(E_1\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}, P\left(E_2\right)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}
माना ठीक एक चित प्रकट होने की घटना E है।
जब लड़की 5,6 प्राप्त करती है तो सिक्का तीन बार उछालती है।
{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}
P\left(\frac{E}{E_1}\right)=\frac{3}{8}
जब लड़की 1,2,3,4 प्राप्त करती है तो सिक्का एक बार उछालती है {H,T}
P\left(\frac{E}{E_2}\right)=\frac{1}{2} \\ P\left(\frac{E_2}{E}\right)=\frac{P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_2}\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_2}\right)} \\ =\frac{\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{3} \times \frac{3}{8}+\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}} \\ =\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{8}+\frac{1}{3}} \\=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{3+8}{24}} \\ =\frac{1}{3} \times \frac{24}{11} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_2}{E}\right)=\frac{8}{11}
Example:11.एक व्यावसायिक निर्माता के पास A,B तथा C मशीन ऑपरेटर हैं।प्रथम ऑपरेटर A 1% खराब सामग्री उत्पादित करता है तथा ऑपरेटर B और C क्रमशः 5% और 7% खराब सामग्री उत्पादित करता है।कार्य पर A कुल समय का 50% लगाता है,B कुल समय का 30% तथा C कुल समय का 20% लगाता है।यदि एक खराब सामग्री उत्पादित है तो इसे A द्वारा उत्पादित किए जाने की प्रायिकता क्या है?
Solution:माना A,B तथा C मशीन ऑपरेटर द्वारा उत्पादित सामग्री की घटनाएँ क्रमशः E_1,E_2 तथा E_3 हैं।
P\left(E_1\right)=50 \%=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}, \\ P\left(E_2\right)=30 \%=\frac{30}{100}=\frac{3}{10} \\ P\left(E_3\right)=20 \%=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}
माना खराब सामग्री उत्पादित होने की घटना E है।
P\left(\frac{E}{E_1}\right)=\frac{1}{100}, P\left(\frac{E}{E_2}\right)=\frac{5}{100}=\frac{1}{20}, P\left(\frac{E}{E_3}\right)=\frac{7}{100} \\ P\left(\frac{E_1}{E}\right)=\frac{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_2}\right)+P\left(E_3\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_3}\right)} \\ =\frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{100}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{100}+\frac{3}{10} \times \frac{1}{20}+\frac{1}{5} \times \frac{7}{100}}\\ =\frac{\frac{1}{200}}{\frac{1}{200}+\frac{3}{200}+\frac{7}{500}} \\=\frac{\frac{1}{200}}{\frac{5+15+14}{1000}} \\ =\frac{1}{200} \times \frac{1000}{34} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_1}{E}\right)=\frac{5}{34}
Example:12.52 ताशों की गड्डी से एक पत्ता खो जाता है।शेष पत्तों से दो पत्ते निकाले जाते हैं जो ईंट के पत्ते हैं।खो गए पत्ते की ईंट होने की प्रायिकता क्या है?
Solution:माना खो गया पत्ता ईंट का होना तथा न होने की घटनाएँ क्रमशः E_1 तथा E_2 हैं।
P\left(E_1\right)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}, P\left(E_2\right)=\frac{39}{52}=\frac{3}{4}
माना दो पत्ते ईंट के निकाले जाने की घटना E है।
P\left(\frac{E}{E_1}\right)=\frac{12}{51} \times \frac{11}{50}=\frac{22}{425} \\ P\left(\frac{E}{E_2}\right)=\frac{13}{51} \times \frac{12}{50}=\frac{26}{425} \\ P\left(\frac{E_1}{E}\right)= \frac{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right) +P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_2}\right)} \\ =\frac{\frac{1}{4} \times \frac{22}{425}}{\frac{1}{4} \times \frac{22}{425}+ \frac{3}{4} \times \frac{26}{425}} \\ =\frac{\frac{11}{850}}{\frac{11}{850}+\frac{39}{850}} \\ =\frac{\frac{11}{850}}{\frac{50}{850}} \\ =\frac{11}{850} \times \frac{850}{50} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_1}{E}\right)=\frac{11}{50}
Example:13.A द्वारा सत्य बोलने की प्रायिकता \frac{4}{5} है।एक सिक्का उछाला जाता है तथा A बताता है कि चित प्रदर्शित हुआ।वास्तविक रूप में चित प्रकट होने की प्रायिकता है:
(A) \frac{4}{5} (B) \frac{1}{2} (C) \frac{1}{5} (D)\frac{2}{5}
Solution:माना चित प्रकट होने तथा न होने की घटना क्रमशः E_1 तथा E_2 हैं।
P\left(E_1\right)=P\left(E_2\right)=\frac{1}{2}
A द्वारा चित बताने की घटना E है।
P\left(\frac{E}{E_1}\right)=\frac{4}{5}, P\left(\frac{E}{E_2}\right)=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5} \\ P\left(\frac{E_1}{E}\right)=\frac{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_2}\right)} \\ =\frac{\frac{1}{2} \times \frac{4}{5}}{\frac{1}{2} \times \frac{4}{5}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{5}}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5}+\frac{1}{10}} \\ =\frac{\frac{2}{5}}{\frac{4+1}{10}}=\frac{2}{5} \times \frac{10}{5}=\frac{4}{5} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_1}{E}\right)=\frac{4}{5}
विकल्प (A) सही है।
Example:14.यदि A और B ऐसी घटनाएँ हैं कि A \subset B तथा P(B) \neq 0 तो निम्न में से कौन ठीक है:
(A) P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{P(B)}{P(A)} (B) P\left(\frac{A}{B}\right)< P(A)
(C) P\left(\frac{A}{B}\right) \geq P(A) (D) इनमें से कोईनहीं
Solution: A \subset B \Rightarrow P(A \cap B)=P(A)\\ P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ \Rightarrow P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{P(A)}{P(B)}
परन्तु  P(B) \neq 0 \Rightarrow P(B) \leq 1 \\ \Rightarrow \frac{1}{P(B)} \geq 1 \Rightarrow P\left(\frac{A}{B}\right) \geq P(A)
विकल्प (C) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रतिलोम प्रायिकता कक्षा 12 (Reverse Probability Class 12),बेज प्रमेय कक्षा 12 (Bayes’ Theorem Class 12) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

3.प्रतिलोम प्रायिकता कक्षा 12 के सवाल (Reverse Probability Class 12 Questions):

Reverse Probability Class 12

(1.)किसी कक्षा के दो तिहाई विद्यार्थी लड़के है तथा शेष लड़कियाँ है।किसी लड़की के प्रथम श्रेणी प्राप्त करने की प्रायिकता 0.25 व लड़के के प्रथम श्रेणी प्राप्त करने की प्रायिकता 0.28 है।तब यादृच्छया चुने गए किसी विद्यार्थी के प्रथम श्रेणी प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(2.)एक व्यक्ति के बारे में ज्ञात है कि वह 4 में से 3 बार सत्य बोलता है।वह एक पासे को उछालता है और बतलाता है कि उस पर आने वाली संख्या 6 है।इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पासे पर आने वाली संख्या वास्तव में 6 है।
उत्तर (Answers):(1.)0.27 (2.) \frac{3}{8}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रतिलोम प्रायिकता कक्षा 12 (Reverse Probability Class 12),बेज प्रमेय कक्षा 12 (Bayes’ Theorem Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रतिलोम प्रायिकता कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Reverse Probability Class 12),बेज प्रमेय कक्षा 12 (Bays’ Theorem Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रतिलोम प्रायिकता कक्षा 12 (Reverse Probability Class 12) के इस आर्टिकल में प्रतिलोम
प्रायिकता के सवालों को सप्रतिबन्ध प्रायिकता के प्रयोग से हल करके समझने का प्रयास करेंगे।