1.प्रायिकता कक्षा 12 (Probability Class 12),प्रायिकता (Probability):

Probability Class 12

प्रायिकता कक्षा 12 (Probability Class 12) के इस आर्टिकल में सप्रतिबन्ध प्रायिकता से सम्बन्धित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.प्रायिकता कक्षा 12 के साधित उदाहरण (Probability Class 12 Solved Examples):

Example:1.यदि E और F इस प्रकार की घटनाएँ हैं कि P(E)=0.6,P(F)=0.3 और,तो P\left(\frac{E}{F}\right) और P\left(\frac{F}{E}\right) ज्ञात कीजिए।
Solution:P(E)=0.6,P(F)=0.3 , P(E \cap F)=0.2
P\left(\frac{E}{F}\right) =\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \\ =\frac{0.2}{0.3} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E}{F}\right) =\frac{2}{3}
तथा P\left(\frac{F}{E}\right) =\frac{P(E \cap F)}{P(E)} \\ =\frac{0.2}{0.6} \\ \Rightarrow P\left(\frac{F}{E}\right) =\frac{1}{3}
Example:2. P\left(\frac{A}{B}\right) ज्ञात कीजिए,यदि P(B)=0.5 और P(A \cap B)=0.32
Solution: P(B)=0.5, P(A \cap B)=0.32\\ P\left(\frac{A}{B}\right) =\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ =\frac{0.32}{0.50} \\ \Rightarrow P\left(\frac{A}{B}\right) =\frac{16}{25}
Example:3.यदि P(A)=0.8,P(B)=0.5 और P\left(\frac{B}{A}\right)=0.4 ज्ञात कीजिए
Example:3(i). P(A \cap B)
Solution: P(A \cap B)=P\left(\frac{B}{A}\right) \cdot P(A) \\ =0.4 \times 0.8 \\ \Rightarrow P(A \cap B) =0.32
Example:3(ii). P\left(\frac{A}{B}\right)
Solution: P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ =\frac{0.32}{6.50} \\ \Rightarrow P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{16}{25}
Example:3(iii). P(A \cup B)
Solution: P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ =0.8+0.5-0.32 \\ =1.30-0.32 \\ \Rightarrow P(A \cup B)=0.98
Example:4. P(A \cup B) ज्ञात कीजिए यदि 2 P(A)=P(B)=\frac{5}{13} और P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{2}{5}
Solution: 2 P(A)=\frac{5}{13} \Rightarrow P(A)=\frac{5}{26} ,P(B)=\frac{5}{13}, P\left(\frac{A}{B}\right) =\frac{2}{5} \\ P(A \cap B)=P\left(\frac{A}{B}\right) \cdot P(B) \\ \Rightarrow P(A \cap B)=\frac{2}{5} \times \frac{5}{13}=\frac{2}{13} \\ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ =\frac{5}{26}+\frac{5}{13}-\frac{2}{13} \\ =\frac{5+10-4}{26} \\ \Rightarrow P(A \cup B)=\frac{11}{26}
Example:5.यदि P(A)=\frac{6}{11}, P(B)=\frac{5}{11} और P(A \cup B)=\frac{7}{11} तो ज्ञात कीजिए
Example:5(i). P(A \cap B)
Solution: P(A \cap B)=P(A)+P(B)-P(A \cup B) \\ =\frac{6}{11}+\frac{5}{11}-\frac{7}{11} \\ =\frac{11-7}{11} \\ \Rightarrow P(A \cap B)=\frac{4}{11}
Example:5(ii). P\left(\frac{A}{B}\right)
Solution: P\left(\frac{A}{B}\right) =\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ =\frac{\frac{4}{11}}{\frac{5}{11}} \\ \Rightarrow P\left(\frac{A}{B}\right) =\frac{4}{5}
Example:5(iii). P\left(\frac{B}{A}\right)
Solution: P\left(\frac{B}{A}\right) =\frac{P(A \cap B)}{P(A)} \\ =\frac{\frac{4}{11}}{\frac{6}{11}} \\ \Rightarrow P\left(\frac{B}{A}\right) =\frac{2}{3}
निम्नलिखित प्रश्न 6 से 9 तक ज्ञात कीजिए
Example:6.एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है:
Example:6(i).E:तीसरी उछाल पर चित F:पहली दोनों उछालों पर चित
Solution:E:तीसरी उछाल पर चित F:पहली दोनों उछालों पर चित
S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}
E={HTH,THH,HHH,TTH}
F={HHH,HHT}
(E \cap F)=\{H H H\} \\ n(E \cap F)=1, n(S)=8 \\ P(E \cap F)=\frac{1}{8} \\ P(F)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4} \\ P\left(\frac{E}{F}\right)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \\ \equiv \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{8} \times \frac{4}{1} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E}{F}\right)=\frac{1}{2}
Example:6(ii).E:न्यूनतम दो चित F:अधिकतम दो चित
Solution:E:न्यूनतम दो चित F:अधिकतम दो चित
E={HHH,HHT,HTH,THH},n(E)=4
F={HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}
n{F}=7
E \cap F=\{H H T, H T H, T H H\} \\ \eta(E \cap F)=3, \quad n(S)=8 \\ P(E \cap F)=\frac{3}{8}, P(F)=\frac{7}{8} \\ P\left(\frac{E}{F}\right)=\frac{P(E \cap F)}{P(E)} \\ =\frac{\frac{3}{8}}{\frac{7}{8}}=\frac{3}{8} \times \frac{8}{7} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E}{F}\right)=\frac{3}{7}
Example:6(iii).E:अधिकतम दो पट F:न्यूनतम एक पट
E={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH},n(E)=7
F={HTT,THT,TTH,TTT,HHT,HTH,THH},n(F)=7
E \cap F=\{HTT, THT, TTH, HHT,HTH,THH,TTT\} , n(F)=7\\ n(E \cap F)=6, n(S)=8 \\ \Rightarrow P(E \cap F)=\frac{6}{8}, P(F)=\frac{7}{8} \\ P\left(\frac{E}{F}\right)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \\ =\frac{\frac{6}{8}}{\frac{7}{8}}=\frac{6}{8} \times \frac{8}{7} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E}{F}\right)=\frac{6}{7}
Example:7.दो सिक्कों को एक बार उछाला गया है:
Example:7(i).E:एक सिक्के पर पट प्रकट होता है F:एक सिक्के पर चित प्रकट होता है
Solution:E:एक सिक्के पर पट प्रकट होता है F:एक सिक्के पर चित प्रकट होता है
S={HH,HT,TH,TT}
E={HT,TH},n(E)=2
F={HT,TH},n(F)=2
E \cap F=\{H T, T H\} \\ n(E \cap F)=2, n(S)=4 \\ P(E \cap F)=\frac{2}{4}, P(F)=\frac{2}{4} \\ P\left(\frac{E}{F}\right)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \\ =\frac{\frac{2}{4}}{\frac{2}{4}} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E}{F}\right)=1
Example:7(ii).E:कोई पट प्रकट होता है F:कोई चित प्रकट नहीं होता है
Solution:E:कोई पट प्रकट होता है F:कोई चित प्रकट नहीं होता है
E={HH},n(E)=1
F={TT},n(F)=1
E \cap F=\phi \\ n(E \cap F)=0, n(S)=4 \\ P(E \cap F)=\frac{0}{4}=0, P(F)=\frac{1}{4} \\ P\left(\frac{E}{F}\right)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \\ =\frac{0}{\frac{1}{4}} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E}{F}\right)=0
Example:8.एक पासे को तीन बार उछाला गया है
E:तीसरी उछाल पर संख्या 4 प्रकट होना
F:पहली दो उछालों पर क्रमशः 6 तथा 5 प्रकट होना
Solution:E:तीसरी उछाल पर संख्या 4 प्रकट होना
E={(1,1,4),(1,2,4),(1,3,4),(1,4,4),(1,5,4),(1,6,4),(2,1,4),(2,2,4),(2,3,4),(2,4,4),(2,5,4),(2,6,4),(3,1,4),(3,2,4),(3,3,4),(3,4,4),(3,5,4),(3,6,4),(4,1,4),(4,2,4),(4,3,4),(4,4,4),(4,5,4),(4,6,4),(5,1,4),(5,2,4),(5,3,4),(5,4,4),(5,5,4),(5,6,4),(6,1,4),(6,2,4),(6,3,4),(6,4,4),(6,5,4),(6,6,4)}
n(E)=36
F:पहली दो उछालों पर क्रमशः 6 तथा 5 प्रकट होना
F={(6,5,1),(6,5,2),(6,5,3),(6,5,4),(6,5,5),(6,5,6)}
n(F)=6
E \cap F=\{(6,5,4)\} \\ n(E \cap F)=1, n(S)=216 \\ P(E \cap F)=\frac{1}{216}, P(F)=\frac{6}{216} \\ P\left(\frac{E}{F}\right)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \\ =\frac{\frac{1}{216}}{\frac{6}{216}}=\frac{1}{216} \times \frac{216}{6} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E}{F}\right)=\frac{1}{6}
Example:9.एक पारिवारिक चित्र में माता,पिता व पुत्र यादृच्छया खड़े हैं:
E:पुत्र एक सिरे पर खड़ा है F:पिता मध्य में खड़े हैं
Solution:पारिवारिक चित्र में माता (M),पिता (F) व पुत्र (S) के खड़े होने की विधियाँ=3!=6
E:पुत्र एक सिरे पर खड़ा है
E={(S,M,F),(S,F,M),(M,F,S),(F,M,S)}
F:पिता मध्य में खड़े हैं
F={(S,F,M),(M,F,S)},n(F)=2
E \cap F=\{(S, F, M)(M, F, S)\} \\ n(E \cap F)=2, n(S)=6 \\ P(E \cap F)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}, P(F)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \\ P\left(\frac{E}{F}\right)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \\ =\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E}{F}\right) =1

Probability Class 12

Example:10.एक काले और एक लाल पासे को उछाला गया है:
Example:10(a).पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 9 से अधिक होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि काले पासे पर 5 प्रकट हुआ है।
Solution:दो पासों के फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि=6^2=36
E={दो पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 9 से अधिक हो}
E={(4,6),(5,6),(6,6),(6,4),(6,5),(5,5)}
F={काले पासे पर 5 प्रकट होना}
F={(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5)}
E \cap F=\{(5,5),(6,5)\} \\ n(E \cap F)=2, n(S)=36 \\ P(E \cap F)=\frac{2}{36}, P(F)=\frac{6}{36} \\ P\left(\frac{E}{F}\right)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \\ =\frac{\frac{2}{36}}{\frac{6}{36}}=\frac{2}{36} \times \frac{36}{6} \\ =\frac{2}{6} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E}{F}\right)=\frac{1}{3}
Example:10(b).पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 8 होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि लाल पासे पर संख्या 4 से कम है।
Solution:E={पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 8 होना}
E={(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)}
F={लाल पासे पर संख्या 4 से कम होना}
F={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)},n(F)=18
E \cap F=\{(2,6),(3,5)\} \\ n(E \cap F)=2, n(S)=36 \\ P(E \cap F)=\frac{2}{36}, P(F)=\frac{18}{36} \\ P\left(\frac{E}{F}\right)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \\ =\frac{\frac{2}{36}}{\frac{18}{36}}=\frac{2}{36} \times \frac{36}{18} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E}{F}\right)=\frac{1}{9}
Example:11.एक न्याय्य पासे को उछाला गया है।घटनाओं E={1,3,5},F={2,3} और G={2,3,4,5} के लिए निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
Example:11(i). P\left(\frac{E}{F}\right) और P\left(\frac{F}{E}\right)
Solution:S={1,2,3,4,5,6}
E={1,3,5},n(E)=3,F={2,3},n(F)=2
n(E \cap F)=\{3\} , \quad n(S)=6 \\ P(E \cap F)=\frac{1}{6}, P(E)=\frac{3}{6}, P(F)=\frac{2}{6} \\ P\left(\frac{E}{F}\right) =\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \\ =\frac{\frac{1}{6}}{\frac{2}{6}}=\frac{1}{6} \times \frac{6}{2} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E}{F}\right)=\frac{1}{2} \\ P\left(\frac{F}{E}\right) =\frac{P(E \cap F)}{P(E)} \\ =\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{6} \times \frac{6}{3} \\ \Rightarrow P\left(\frac{F}{E}\right)=\frac{1}{3}
Example:11(ii). P\left(\frac{E}{G}\right) और P\left(\frac{G}{E}\right)
Solution:E={1,3,5},n(E)=3
G={2,3,4,5},n(G)=4,n(S)=6
E \cap G=\{3,5\}, n(E \cap G)=2 \\ P(E \cap G)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \\ P(E)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, P(G)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \\ P\left(\frac{E}{G}\right) =\frac{P(E \cap G)}{P(G)} \\ =\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{3} \times \frac{3}{2} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E}{G}\right) =\frac{1}{2} \\ P\left(\frac{G}{E}\right) =\frac{P(E \cap G)}{P(E)} \\ =\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3} \times \frac{2}{1} \\ \Rightarrow P\left(\frac{G}{E}\right) =\frac{2}{3}
Example:11(iii). P\left(\frac{E \cup F}{G}\right) और P\left(\frac{E \cap F}{G}\right)
Solution:E={1,3,5},F={2,3},G={2,3,4,5}
E \cap F=\{3\}, F \cap G=\{2,3\}, E \cap G=\{3,5\} \\ E \cap F \cap G=\{3\}, n(S)=6 \\ P(F \cap G)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \\ P(E \cap G)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \\ P(E \cap F \cap G)=\frac{1}{6} \\ P\left(\frac{E \cup F}{G}\right)=P\left(\frac{E}{G}\right)+P\left(\frac{E}{G}\right)-P\left(\frac{E \cap F}{G}\right) \\=\frac{P(E \cap G)}{P(G)}+\frac{P(F \cap G)}{P(G)}-\frac{P(E \cap F \cap G)}{P(G)} \\ =\frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{6}}+\frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{6}}-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{4}{6}} \\ =\frac{1}{3} \times \frac{6}{4}+\frac{1}{3} \times \frac{6}{4}-\frac{1}{6} \times \frac{6}{4} \\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{2+2-1}{4}=\frac{3}{4} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E \cup F}{G}\right)=\frac{3}{4}
तथा P\left(\frac{E \cap F}{G}\right) =P\left(\frac{E \cap F \cap G}{G}\right) \\ =\frac{\frac{1}{6}}{\frac{4}{6}}=\frac{1}{6} \times \frac{6}{4}=\frac{1}{4} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E \cap F}{G}\right) =\frac{1}{4}
Example:12.मान लें कि जन्म लेने वाले बच्चे का लड़का या लड़की होना समसंभाव्य है।यदि किसी परिवार में दो बच्चे हैं,तो दोनों बच्चों के लड़की होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता क्या है,यदि यह दिया गया है कि (i)सबसे छोटा बच्चा लड़की है (ii)न्यूनतम एक बच्चा लड़की है।
Solution:माना लड़के B और लड़कियाँ G हैं।
S={(GG),(GB),(BG),(BB)}
E={दोनों बच्चों के लड़की होना}
E={(GG)}
F={सबसे छोटा बच्चा लड़की होना}
F={(GG),(BG)},n(F)=2
E \cap F=\{(G, G)\}, n(S)=4 \\ n(E \cap F)=1 \\ P(E \cap F)=\frac{1}{4}, P(F)=\frac{2}{4} \\ P\left(\frac{E}{F}\right)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \\ =\frac{\frac{1}{4}}{\frac{2}{4}} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E}{F}\right) =\frac{1}{2}
(ii).F={न्यूनतम एक बच्चा लड़की है}
F={(GG),(GB),(BG)},n(F)=3
E={(G G)}
E \cap F=\{(G G)\}, n(S)=4 \\ n(E \cap F)=1 \\ P(E \cap F)=\frac{1}{4}, P(F)=\frac{3}{4} \\ P\left(\frac{E}{F}\right) =\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \\ =\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{4} \times \frac{4}{3} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E}{E}\right)=\frac{1}{3}
Example:13.एक प्रशिक्षक के पास 300 सत्य/असत्य प्रकार के आसान प्रश्न 200 सत्य/असत्य प्रकार के कठिन प्रश्न,500 बहु-विकल्पीय प्रकार के आसान प्रश्न और 400 बहु-विकल्पीय प्रकार के कठिन प्रश्नों का संग्रह है।यदि प्रश्नों के संग्रह से एक प्रश्न यादृच्छया चुना जाता है,तो एक आसान प्रश्न के बहु-विकल्पीय होने की प्रायिकता क्या होगी?
Solution:   
 (True/False)  (Multiple Choice)
\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{प्रश्नों के प्रकार} & \text{आसान}  & \text{कठिन} & \text{योग } \\ \text{(Type of Questions)} & \text{(Easy)} & \text{(Difficult) } & \text{(Total)}\\ \hline \text{सत्य/असत्य} & & & \\  \text{True/ False} & 300 & 200 & 500 \\ \hline \text{बहु-विकल्पीय} & & & \\  \text{Multiple Choice} & 500 & 400 & 900 \\ \hline \text{Total} & 800 & 600 & 1400 \\ \hline \end{array}
E=आसान प्रश्नों की संख्या={300,500}=300+500=800
F=बहुविकल्पीय प्रश्नों की संख्या={500,400}=500+400=900
n(E \cap F)=500, \quad n(S)=1400 \\ P(E \cap F)=\frac{500}{1400}=\frac{5}{14} \\ P(F)=\frac{900}{1400} =\frac{9}{14} \\ P\left(\frac{E}{F}\right) =\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \\ =\frac{\frac{5}{14}}{\frac{9}{14}}=\frac{5}{14} \times \frac{14}{9} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E}{F}\right) =\frac{5}{9}
Example:14.यह दिया गया है कि दो पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याएँ भिन्न-भिन्न हैं।दोनों संख्याओं का योग 4 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:E={दो पासों पर भिन्न-भिन्न संख्या होना}
E={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),)5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}
n(E)=30
F={दोनों संख्याओं का योग 4 होना}
F={(1,3),(3,1),(2,2)},n(F)=3
E \cap F=\{(1,3),(3,1)\} \\ n(E \cap F)=2, n(S)=36 \\ P(E \cap F)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18} \\ P(E)=\frac{30}{36}=\frac{5}{6} \\ P\left(\frac{F}{E}\right)=\frac{P(E \cap F)}{P(E)}=\frac{\frac{1}{18}}{\frac{1}{6}} \\ \Rightarrow P\left(\frac{F}{E}\right)=\frac{1}{18} \times \frac{6}{5}=\frac{1}{15}
Example:15.एक पासे को फेंकने के परीक्षण पर विचार कीजिए।यदि पासे पर प्रकट संख्या 3 का गुणज है तो पासे को पुनः फेंके और यदि कोई अन्य संख्या प्रकट हो तो एक सिक्के को उछालें।’घटना एक पासे पर 3 प्रकट होना’ दिया गया है तो घटना ‘सिक्के पर पट प्रकट होने’ की सप्रतिबन्ध प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:S={(1,H),(1,T),(2,H),(2,T),(4,H),(4,T),(5,H),(5,T),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
(1,H),(1,T),(2,H),(2,T),(4,H),(4,T),(5,H),(5,T) प्रत्येक की प्रायिकता=\frac{1}{6}×\frac{1}{2}=\frac{1}{12}
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) प्रत्येक की प्रायिकता=\frac{1}{6}×\frac{1}{6}=\frac{1}{36}
माना E=न्यूनतम एक पासे पर संख्या 3 प्रकट होना={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}
P(E)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}
F=सिक्के पर पट प्रकट होना={(1,T),(2,T)(4,T),(5,T)}
E\cap F=\phi
P(\frac{F}{E})=\frac{E\cap F}{P(E)}=\frac{\phi}{\frac{1}{6}}=0
निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक में सही उत्तर चुनें।
Example:16.यदि P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=0 तब P\left(\frac{A}{B}\right) हैः
(A) 0  (B)\frac{1}{2} (C)परिभाषित नहीं (D) 1
Solution: P\left(\frac{A}{B}\right) =\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{P(A \cap B)}{0} \\ \Rightarrow P\left(\frac{A}{B}\right) =\infty (अपरिभाषित)
विकल्प (c) सही है।
Example:17.यदि A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P\left(\frac{A}{B}\right)=P\left(\frac{B}{A}\right) \neq 0 तब
(A) A \subset B (B)A=B (C)A \cap B=\phi (D) P(A)=P(B)
Solution:- P\left(\frac{A}{B}\right) =P\left(\frac{B}{A}\right) \\ \Rightarrow \frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{P(A \cap B)}{P(A)} \\ \Rightarrow P(A)=P(B)
विकल्प (D) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रायिकता कक्षा 12 (Probability Class 12),प्रायिकता (Probability) को समझ सकते हैं।

3.प्रायिकता कक्षा 12 पर आधारित सवाल (Questions Based on Probability Class 12):

Probability Class 12

(1.)किसी कक्षा में छात्रों की अंकतालिकाएँ देखने से ज्ञात हुआ कि 40% छात्र गणित विषय में उत्तीर्ण है।25% छात्र भौतिकी में उत्तीर्ण हैं एवं 15% छात्र गणित एवं भौतिकी दोनों में उत्तीर्ण हैं,कक्षा का एक छात्र यादृच्छया चुना जाता है।यदि यह छात्र गणित में उत्तीर्ण हो तब उसके भौतिकी में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(2.)A और B दो घटनाएँ है जिसमें P(A)=\frac{1}{3}, P(B)=\frac{1}{4} तथा P(A+B)=\frac{1}{12} है,तो P\left(\frac{B}{A}\right) ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers): (1.) P\left(\frac{B}{A}\right)=\frac{3}{8}
(2.) P\left(\frac{B}{A}\right)=\frac{1}{4}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रायिकता कक्षा 12 (Probability Class 12),प्रायिकता (Probability) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Equation of Plane in Class 12

4.प्रायिकता कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Probability Class 12),प्रायिकता (Probability) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रायिकता कक्षा 12 (Probability Class 12) के इस आर्टिकल में सप्रतिबन्ध
प्रायिकता से सम्बन्धित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।

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***Shiksha:**B.sc.,B.Ed.,(M.sc. star Ke Mathematics Ko Padhane ka Anubhav),B.com.,M.com. Ke vishayon Ko Padhane ka Anubhav,Philosophy,Psychology,Religious,sanskriti Mein Gahri Ruchi aur Adhyayan
***Anubhav:**phichale 23 varshon se M.sc.,M.com.,Angreji aur Vigyan Vishayon Mein Shikshaka Ka Lamba Anubhav
***Visheshagyata:*Maths,Adhyatma (spiritual),Yog vishayon ka vistrit Gyan*
****In Brief:I have read about M.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 23 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.