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Prime Numbers in Complex Domains Are Actually Quite Simple

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Prime Numbers in Complex Domains Are Actually Quite Simple

1.सम्मिश्र डोमेन में प्राइम नंबर वास्तव में काफी सरल हैं का परिचय (Introduction of Prime Numbers in Complex Domains Are Actually Quite Simple)-
इस आर्टिकल में अभाज्य संख्याओं के और सम्मिश्र संख्याओं के बारे में बताया गया है।

(1.)अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers) –

वे पूर्ण संख्याएँ जिनके स्वयं और 1 के अतिरिक्त कोई गुणनखण्ड नहीं होते हैं अर्थात् जो संख्याएं केवल 1 से व स्वयं से विभाजित होती हो तथा अन्य किसी भी संख्या से विभाजित न होती हो अभाज्य संख्याएँ कहलाती है। संख्या 1 न तो भाज्य संख्या है और न अभाज्य संख्या है। ऐसी संख्या जो अभाज्य संख्या हो सम संख्या हो वह केवल 2 है। वे दो अभाज्य संख्याएँ जिनके बीच केवल एक सम संख्या होती है अभाज्य जोड़ा कहलाती है जैसे 5 व 7,3व 5,11व 13, 17व 19,29 व 31इत्यादि।

(2.)सह-अभाज्य संख्याएँ (Co-Prime Numbers) –

दो संख्याएँ जिनमें 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड न हो अर्थात् जिसमें 1 के अतिरिक्त स्वयं से विभाजित होने के अतिरिक्त अलग-अलग किसी अन्य संख्या से विभाजित हो सकती हो परन्तु दोनों केवल 1 से विभाजित हो तो ऐसी संख्याएँ सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती है।

(3.)सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers) –

  सम्मिश्र संख्याओं का जनक वास्तविक संख्याएँ होती है। इसलिए सम्मिश्र संख्याओं का अध्ययन करने से पूर्व पाठक को वास्तविक संख्याओं तथा उसके गुणधर्मों जैसे क्रमीकरण, उच्चक, निम्नक, पूर्णता आदि के बारे में परिचित हो जाना चाहिए। सम्मिश्र संख्याओं पर कई प्रकार से विचार किया जाता है। (1.)एक क्षेत्र के अवयव के रूप में (2.)एक समतल के बिन्दु के रूप में (3.)एक द्विविम सदिश के रूप में। तीनों ही रूप में सम्मिश्र संख्या निकाय अपने जनक वास्तविक संख्या निकाय से मिलते जुलते है।
इसका साधारण उदाहरण है x^2+1=0।इस प्रकार के बहुपद का हल ज्ञात करने के लिए ऐसे क्षेत्र की खोज की जाए जिसमें Rअन्तर्विष्ट हो तथा बीजत: संवृत्त (Algebraiccally closed) हो। ऐसा क्षेत्र जो उपर्युक्त प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करता है, R का विस्तार क्षेत्र कहलाता है। इसे C से व्यक्त करते हैं और यह सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र कहलाता है। इसे C से व्यक्त करते हैं और यह सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र कहलाता है। इस क्षेत्र के अवयवों को सबसे सरल तथा युक्ति संगत माँग में वास्तविक संख्याओं के क्रम युग्म (Ordered Pairs) से व्यक्त करते हैं अर्थात् C=R x R
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2.सम्मिश्र  डोमेन में प्राइम नंबर वास्तव में काफी सरल हैं(Prime Numbers in Complex Domains Are Actually Quite Simple)-

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Q (√−35) के बीजगणितीय पूर्णांकों की वलय  में कुछ प्राइम्स। बाईं ओर खोखली हरी बिंदी −5 है, सबसे बायीं पूर्ण सियान बिंदी /9/2 + (√−35)/2 है। यह आरेख अलोनसो डेल अर्टे द्वारा जावा प्रोग्राम के संस्करण 0.95 द्वारा निर्मित किया गया था।

एक से अधिक मौकों पर मैंने कहा है कि तथाकथित “सम्मिश्र ” संख्याएँ बिल्कुल भी सम्मिश्र नहीं हैं।
ऐसा ही एक अवसर था जब मैं अपने प्रशिक्षक और सहपाठियों को इंटीग्रेट डेट्रायट में अपने जावा कार्यक्रम को दिखा रहा था जो द्विघात काल्पनिक रिंगों में अभाज्य संख्याओं के आरेख बनाता है।
“हम क्या देख रहे हैं?” वॉन वॉकर, मेरे सहपाठियों में से एक ने पूछा (हमने कुछ सप्ताह पहले स्नातक किया था)। यह एक वैध प्रश्न था जिसे मैंने ठीक से संबोधित नहीं किया था। हालांकि मुझे लगता है कि मैं कम से कम यह कह सकता था कि इसे सम्मिश्र समतल  में अभाज्य संख्याओं के साथ करना है।
यह कुछ ऐसा नहीं है जिसे मैं 30 सेकंड या उससे कम समय में समझा सकता हूं। और यहां तक ​​कि अगर मैं इसे इतने कम समय में समझा सकता हूं, तो स्पष्टीकरण में अभी भी कुछ बुनियादी गणित पृष्ठभूमि की आवश्यकता होती है जो स्पष्टीकरण सुनने वाले व्यक्ति को हाई स्कूल गणित से याद नहीं हो सकती है।
या बिल्कुल भी नहीं पढ़ाया गया होगा। अब मैं उस पृष्ठभूमि का संक्षिप्त विवरण देने की कोशिश करूँगा और फिर यह स्पष्टीकरण कि यह क्या है कि मेरा जावा प्रोग्राम चित्र बनाता है।
मैं इसे 30 सेकंड में समझा नहीं सकता, लेकिन शायद मैं इसे 30 मिनट में समझा सकता हूं। अगर मैं इसे अच्छी तरह से समझाता हूं, तो आप यह सोचकर दूर चले जाएंगे कि हालांकि यह एक अपरिचित अवधारणा है, यह वास्तव में काफी सरल है।

3.अभाज्य सँख्या(Prime numbers)-

उम्मीद है कि यह पढ़ने वाला हर कोई जानता है कि सम्मिश्र संख्याएं क्या हैं, और कम से कम मूल परिभाषा को जानता है। लेकिन यहां भी कुछ अपरिचित बारीकियां हैं।

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पूर्णांकों का डोमेन,…, −3, ,2, ,1, 0, 1, 2, 3,… को गणितज्ञों द्वारा Z (एक बोल्ड कैपिटल जेड, एक ब्लैकबोर्ड बोल्ड जेड का उपयोग भी किया जा सकता है) के रूप में नोट किया गया है।
Z में एक नंबर p, −1 या 1 के अलावा, एक अभाज्य संख्या है, यदि यह केवल −p,1और p से ही विभाज्य है, और Z से कोई अन्य पूर्णांक नहीं है। उदाहरण के लिए, -103 इसलिए प्राइम है क्योंकि यह केवल विभाज्य है -103, −1, 1 और 103 तक।
एक मजबूत परिभाषा के लिए यह आवश्यक है कि यदि p ,a × b (या ab को विभाजित करता है, जैसा कि गणितज्ञ इसे लिखना पसंद करते हैं),  तोa या  b को p से विभाज्य होना चाहिए (वे दोनों p से विभाज्य हो सकते हैं, महत्वपूर्ण बात यह है कि कम से कम उनमें से एक है)।
उदाहरण के लिए, 2 एक अभाज्य संख्या है, क्योंकि a और b के किसी भी संभावित विकल्प के लिए ऐसा है कि ab एक सम संख्या है, हम पाएंगे कि या तो a या b सम भी है, शायद दोनों।
उदाहरण के लिए, −2 × −7 = 14, जो 2 से विभाज्य है, और यद्यपि −7, 2 या −2   से विभाज्य नहीं है। एक बिल्कुल आसान और स्पष्ट तथ्य।
इसके विपरीत, हम देखते हैं कि 4 एक अभाज्य संख्या नहीं है, उदाहरण के लिए, हालाँकि 2 × 14 = 28 ,4 से विभाज्य है, न तो 2 और न ही 14 ,4 से विभाज्य है।
यह अभी भी आवश्यक है कि p, −1 या 1 न हो। भले ही हम इनमें से किस परिभाषा के अनुसार चलें, 1 एक अभाज्य संख्या नहीं है। यह पूरी तरह से उन संख्याओं के आंतरिक गुणों के कारण है, न कि सामान्य रूप से अज्ञात कारणों के लिए जो आमतौर पर ट्राउट किए गए हैं।
बात यह है कि −1 और 1 इकाइयाँ हैं। इकाइयों द्वारा गुणा करने से अलग-अलग कारक नहीं बनते हैं।
उदाहरण के लिए −28 का अभाज्य गुणनखण्ड , 2² × (−7) or (−1) × 2² × 7 or (−2)² × −7 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है या जो भी अन्य संयोजन हमें −28 देगा, लेकिन वे सभी को हमारे चयन के एक विहित रूप में उबाला जा सकता है।
यह अद्वितीय कारक का सिद्धांत है, और इसका मतलब है कि Z एक अद्वितीय कारक है। विहित रूप एक मानव आविष्कार है, जो हमारे सनक पर परिवर्तन के अधीन है, लेकिन अंतर्निहित सिद्धांत शाश्वत है।
अभाज्य संख्याओं के लिए यहाँ दी गई पहली परिभाषा वास्तव में अप्रासंगिक संख्याओं के लिए एक परिभाषा है, जो कुछ डोमेन में वास्तव में दूसरी परिभाषा के अनुसार नहीं हो सकती है। कम से कम Z में, यह एक अंतर के बिना एक अंतर है।

4.बीजगणितीय पूर्णांक(Algebraic integers)-

आप उच्च विद्यालय बीजगणित में सरल द्विघात समीकरणों को हल करने की अस्पष्ट याद रख सकते हैं। समीकरण जैसे x² – 2 = 0।
आप शायद पहले से ही उस एक का जवाब जानते हैं, लेकिन हो सकता है कि होमवर्क या परीक्षा के संदर्भ में आपको कदम दिखाने की उम्मीद की गई हो।
तो शायद पहले आप दोनों पक्षों को 2 जोड़ते हैं, समीकरण को x² = 2 में बदल देते हैं। फिर, दोनों पक्षों के वर्गमूल लेते हुए, आपको x = √2, लगभग 1.4 मिलता है।
दूसरे समाधान को प्राप्त करने के लिए -1 से गुणा करें, x =−√2, लगभग 1.4। फिर, इस तथ्य को याद करते हुए कि एक ऋणात्मक संख्या एक ऋणात्मक संख्या एक धनात्मक   संख्या है, हम पाते हैं कि -1.4 × -1.4 = 1.96, जो कि 2 के 0.04 छोटा है।
इस बिंदु पर मैं संख्यात्मक परिशुद्धता के बारे में बहुत चिंतित नहीं हूं। यदि मुझे अधिक दशमलव स्थानों की आवश्यकता है, तो मैं इसे केवल एक कैलकुलेटर में पंच करूंगा।
यहां थोड़ा और कठिन है: x² + 2x – 1 = 0. दोनों पक्षों को 1 जोड़कर, हम x² + 2x = 1. प्राप्त करते हैं और अब कृपया मुझे विनोद करें, चलो फिर से दोनों पक्षों को 1 जोड़ दें, जिससे हमारा समीकरण x² + 2x  + 1 = 2हो जाएगा।
यह अगला चरण थोड़ा जादुई लग सकता है: बाएं हाथ को फिर से लिखना (x + 1)².।आपको इसके लिए मेरा शब्द नहीं लेना है, आप इसे FOIL (First Product + Outer Product + Inner Product + Last Product) का उपयोग करके सत्यापित कर सकते हैं। सत्यापित करें कि (x + 1) (x + 1) =x² + x + x + 1 = x² + 2x + 1।
तो हमारा समीकरण अब (x + 1)² = 2. दोनों पक्षों के वर्गमूल को लेते हुए, हमें x + 1 = √2 मिलता है। फिर समाधान x = +1 + √2प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों से 1 घटाएं। अन्य समाधान को “संयुग्मी ” कहा जाता है: x = -1 – √2।
बहुपद x² − 2 और  x² + 2x − 1 एक जैसे हैं कि वे दोनों को ax² + bx + c के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। पहले बहुपद में ,  b= 0 और c = -2, जबकि बाद के बहुपद में, b = 2 और c = −1। लेकिन दोनों में a = 1।
इसलिए यदि a, b और c, Z से सभी पूर्णांक हैं, तो संबंधित संख्या x बीजीय डिग्री 2 के साथ बीजीय संख्याएं हैं (2 बहुपद में सबसे अधिक प्रतिपादक है)।
और यदि a = 1 है, तो x बीजीय डिग्री 2 का बीजगणितीय पूर्णांक है। इसका मतलब है कि संख्या −√2, √2, -1 + √2 और -1 – √2, Z से पूर्णांक नहीं हैं, लेकिन वे बीजगणितीय पूर्णांक हैं, जिनमें बीजगणितीय डिग्री 2 है।
इसके अलावा, वे Z [√2] नामक संख्याओं के एक डोमेन का हिस्सा होते हैं, जिसमें m + n√2, जिसमें m और n दोनों ही Z से पूर्णांक होते हैं, की संख्या शामिल होती है।
Z [√2] से किसी भी दो बीजगणितीय पूर्णांकों को जोड़ें या गुणा करें और परिणाम Z [√2] से एक और बीजगणितीय पूर्णांक है। Z [√2] से एक बीजगणितीय पूर्णांक को दूसरे से विभाजित करें और परिणाम Z [√2] में भी हो सकता है या नहीं भी हो सकता है, इसलिए Z में विभाजन की अवधारणा Z [√2] में उसी तरह लागू होती है जिस तरह से यह Z में होता है।
जर्मन गणितज्ञ जेड [√2] “रिंग्स” जैसे डोमेन को कहते हैं, इस तथ्य को उजागर करते हुए कि वे इसके अलावा बंद हैं (इसे भी घटाव का मतलब समझा जाता है) और गुणा, हालांकि जरूरी नहीं कि विभाजन द्वारा।
उदाहरण के लिए, √2 + (−1 +√2) = -1 + 2√2, जो x² + 2x − 7 = 0. और √2 (−1 + √2) = 2 – √2 का हल है जो x² – 4x + 2 = 0 का हल है।
Z के परिचित पूर्णांक भी बीजीय पूर्णांक हैं। उदाहरण के लिए, x = −7, x + 7 = 0. का एकमात्र हल है। बीजगणितीय डिग्री 1 है (घातांक 1 छोड़ दिया गया है लेकिन संदर्भ से समझा जाता है)।
और Z, Z[ √2] जैसे डोमेन के भीतर समाहित है, ऐसे में Z की संख्या अभी भी m + n √2 के रूप में है, केवल n = 0।
1/2 (एक आधा) की तरह एक संख्या एक बीजीय संख्या है लेकिन एक बीजीय पूर्णांक नहीं है। हम देखते हैं कि x = 1/2, 2x – 1 का एक समाधान है, और इसलिए उच्चतम घातांक के साथ x से जुड़ा गुणांक 2 है, 1 नहीं।
हालांकि, 1/2 + (√5) / 2 जैसी संख्या एक बीजीय पूर्णांक हो सकती है। वह विशेष रूप से x² – x – 1. दो समाधानों में से एक है। यह x एक विशेष संख्या है जिसे स्वर्ण अनुपात कहा जाता है और जिसे आमतौर पर ग्रीक अक्षर φ  (लोअरकेस फाई ) द्वारा दर्शाया जाता है। लेकिन यह एक और दिन के लिए एक विषय है।
अब तक आप बिना किसी समस्या के एक विशिष्ट वैज्ञानिक कैलकुलेटर के साथ पीछा कर सकते थे। अगर आप चाहते थे।
यद्यपि आप कभी-कभार मशीन की शुद्धता का नुकसान देख सकते हैं, उदाहरण के लिए, 0.99999999 या 1.00000001 जब आप बिल्कुल 1 की उम्मीद करते हैं (यही कारण है कि जावा यूनिट परीक्षण ढाँचा JUnit आपको एक स्वीकार्य विचरण निर्दिष्ट करता है, जब फ़्लोटिंग पॉइंट संख्या बराबर होती है)।
बीजगणितीय पूर्णांकों के अगले समूह के लिए, हालांकि, आपको आसपास कुछ काम करने की आवश्यकता होगी यदि आप ऊपर दिए गए चित्र की तरह एक कैलकुलेटर पर चलना चाहते हैं।

5.काल्पनिक और जटिल संख्या(Imaginary and complex numbers)-

यदि x² − 2 = 0 को हल करना आसान है, x² + 2= 0 को हल करना भी आसान होना चाहिए, है ना? X² = -2 प्राप्त करने के लिए दोनों ओर से 2 घटाएं। यदि आपने, √−2 को पंच किया है, तो आपका कैलकुलेटर स्वयं नष्ट नहीं होगा, लेकिन यह सबसे अधिक संभावना है कि एक त्रुटि स्थिति में लॉक होगा।

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ऐसा लगता है कि कोई वास्तविक संख्या अपने आप से गुणा नहीं होगी, एक ऋणात्मक संख्या होगी। हमने पहले देखा था कि -1.4 × −1.4 = +1.96, .-1.96 नहीं। संख्यात्मक परिशुद्धता में कोई वृद्धि हमें -2 के करीब कुछ भी नहीं देगी।
बीजगणित में अक्सर यह याद रखना उपयोगी होता है कि √(ab) = (√a)(√b)। आपको यह हाई स्कूल बीजगणित से याद हो सकता है। दुर्भाग्य से यहाँ कोई मदद नहीं है: √−2 = (√−1)(√2, इसलिए हम अभी भी एक नकारात्मक संख्या के वर्गमूल के साथ काम कर रहे हैं।
गणितज्ञों ने चार शताब्दियों पहले इस तरह की समस्याओं से निपटा था। जिस समाधान के साथ वे आए थे, वह कल्पना करना था कि समाधान x² = −2 जैसे समीकरणों के लिए मौजूद हैं।
उन्होंने इन संख्याओं के प्रमुख को बुलाया जिन्हें उन्होंने “काल्पनिक” इकाई की कल्पना की और इसे प्रतीक i दिया।i² = −1 के बाद से, यह निम्नानुसार है कि √−2 = i√2 अर्थात, i से लगभग 1.4 गुणा।
फिर समीकरण x² = −2 के दो समाधान हैं, i√2और -i√2, जैसे x² = 2 के दो समाधान हैं, √2 और −√2। संख्यात्मक रूप से, i√2 लगभग 1.4142i है और -i√2 लगभग −1.4142i है।
और इसलिए उन्होंने कहा कि −1 और √2 जैसी संख्याएं वास्तविक हैं, लेकिन मैं और √−2  जैसी संख्याएं काल्पनिक हैं, भले ही वे संख्याओं की एक पूरी तरह से सुसंगत प्रणाली की ओर ले जाती हैं।
यहां मनोवैज्ञानिक कठिनाई यह है कि वास्तविक संख्याएं ठोस चीजों को मापती हैं, लेकिन काल्पनिक संख्याएं उन चीजों को मापती हैं जिन्हें हम अभी भी पूरी तरह से नहीं समझते हैं, जैसे कि उप-परमाणु कणों की स्पिन।
यह सब महान गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस से पहले एक सदी के बारे में था, जिन्होंने महसूस किया कि तथाकथित काल्पनिक संख्याएं “वास्तविक” संख्याओं के समान वास्तविक हैं।
अब हमारे पास यह बताने के लिए इंजीनियर और भौतिक विज्ञानी हैं कि काल्पनिक संख्या वास्तव में वास्तविक हैं। और मीडियम की अपनी ब्रेट बेरी भी, जिन्होंने एक साल पहले के एक लेख में इसे बहुत अच्छी तरह से समझाया था।
हालांकि, दुर्भाग्यपूर्ण शब्दावली और संकेतन अटक गए हैं, यहां तक ​​कि महान बुद्धि के लोगों को भी लगता है कि काल्पनिक और सम्मिश्र  संख्या किसी भी तरह उनकी समझ से परे हैं।
जैसा कि यह पता चला है, काल्पनिक और सम्मिश्र  संख्याओं के बारे में अच्छे सौदे को समझने के लिए सिर्फ आधा याद किया गया हाई स्कूल बीजगणित पर्याप्त है।
एक “सम्मिश्र ” संख्या बस एक “वास्तविक” भाग और एक “काल्पनिक” भाग के साथ एक संख्या है। काल्पनिक भाग वास्तविक भाग में जोड़ा जाता है, या इसके विपरीत।
बीजगणितीय रूप से, यदि m और n “वास्तविक” संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो ni (काल्पनिक इकाई i से गुणा n) एक विशुद्ध रूप से “काल्पनिक” संख्या का प्रतिनिधित्व करता है और m + ni एक “सम्मिश्र ” संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।
सम्मिश्र  संख्याओं के लिए,मैं उपयोग करूँगा समीकरण x² + 2x + 3 = 0 का हल है। पहले की तरह, हम “c” शब्द को दूसरी तरफ स्विच करते हैं: x² + 2x = −3।
अब पहले की तरह, मुझे दोनों पक्षों में 1 जोड़ने के लिए प्रेरित करें:x² + 2x + 1 = −2। यह हमें पहले की तरह ही “जादुई” पुनर्लेखन करने में सक्षम बनाता है: (x + 1)² = −2। दोनों पक्षों के वर्गमूल को लेना और दोनों पक्षों से 1 को घटाना हमें एक समाधान देता है: x = −1 + √−2।
दूसरा समाधान है, पहले की तरह, संयुग्म, अर्थात् x = x = −1 – √−2। इन दोनों समाधानों में, वास्तविक भाग ,1 है। एक समाधान में, काल्पनिक भाग √−2 या i√2 है, दूसरे समाधान में काल्पनिक भाग or −√−2या -i √2 है।
जैसे 1/2 एक बीजीय संख्या है, लेकिन एक बीजीय पूर्णांक नहीं, i / 2 भी एक बीजीय संख्या है, लेकिन एक बीजीय पूर्णांक नहीं है। बाद वाली संख्या समीकरण 4x² + 1 = 0 के समीकरण का हल है।
लेकिन −1/2 + (√−3)/2, x² + x + 1 = 0. का एक समाधान है। यह x³ – 1 = 0 का एक हल भी है (किसी विशेष डिग्री का बीजगणितीय पूर्णांक समीकरणों का हल हो सकता है। उच्च बीजीय डिग्री), और इस तरह यह एक विशेष संख्या है जिसे कभी-कभी ग्रीक अक्षर ω (लोअरकेस ओमेगा, डब्ल्यू के साथ भ्रमित नहीं) द्वारा दर्शाया जाता है।

6.Irreducible का अर्थ हमेशा अभाज्य  नहीं होता है(Irreducible does not always mean prime)-

Z [√2] में एक संख्या को Z [√2] में एक अन्य संख्या से विभाज्य कहा जाता है, यदि विभाजन का परिणाम Z [√2] में भी एक संख्या है। इसी तरह, Z [√ -2] में एक संख्या को Z [√-2] में एक अन्य संख्या से विभाज्य कहा जाता है, यदि विभाजन का परिणाम Z [√ -2] में भी एक संख्या है।
इसका अर्थ है कि Z में अभाज्य संख्याएँ Z [√2], Z [√−2] या बीजगणितीय पूर्णांकों के अन्य डोमेन में आवश्यक नहीं हैं।
विशेष रूप से, x को x² + bx + c = 0के हल के रूप में Z में एक अभाज्य के रूप में दिया जाता है, यह पता चलता है कि c प्रासंगिक द्विघात पूर्णांक रिंग में x द्वारा विभाज्य है।
उदाहरण के लिए, Z [√2] में, हम देखते हैं कि 2 ,√2 से विभाज्य है, क्योंकि 2 को √2 द्वारा विभाजित किया गया है, [2 है। इसी प्रकार, Z [√−2] में, हम देखते हैं कि 2 ,√−2 से विभाज्य है, क्योंकि 2 को √−2 से विभाजित किया गया है, -√−2 है।
इसलिए दोनों डोमेन में, 2 न तो अप्रासंगिक है और न ही अभाज्य  है। दोनों √2 और √-2 उनके संबंधित डोमेन में अभाज्य  हैं, जैसे कि संख्या 1 + √-2 और 3 – √2हैं (पूर्व में x² − 2x + 3और पूर्णांक 3 से मेल खाती है, x² − 6x + 7के बाद वाले और पूर्णांक 7)।
Z [√2] और Z [[√-2] दोनों ही अनोखे कारक डोमेन हैं, और आदर्श डोमेन भी हैं। “आदर्शों” की अवधारणा भी एक सरल अवधारणा है जो मुझे समझाने में आधे घंटे से अधिक समय लेगी।
यहाँ यह कहना पर्याप्त है कि इसका अर्थ है कि इन दोनों डोमेन में सभी अभाज्य संख्याएँ अपरिमेय हैं और सभी अपरिमेय संख्याएँ भी अभाज्य हैं। ठीक उसी तरह जैसे Z।
लेकिन काल्पनिक द्विघात  पूर्णांक रिंगों के विशाल बहुमत में, कई संख्याओं में एक से अधिक भिन्न-भिन्न गुणनखण्ड  हैं। वास्तव में, Z [√−2] एक अलग अल्पसंख्यक में है, केवल नौ रिंगों में से एक है।
विशुद्ध रूप से असली वलयों  के बीच Z [√2] के लिए, यह एक खुला प्रश्न है जो मुझे यहाँ नहीं मिला।
एक काल्पनिक द्विघात पूर्णांक रिंग में कई अलग-अलग कारकों का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण Z [√−5] में 6 है, जहां हमारे पास (1 -√−5) (1 + √−5) = 6. लेकिन 2 और 3 भी हैं Z [√−5] में, और यह भी सच है कि 2 × 3 = 6।
हम सत्यापित करते हैं कि इस रिंग में 1 + √−5 या तो 2 या 3 से विभाज्य नहीं है: 1/2 +√−5) / 2 के लिए न्यूनतम बहुपद 2x² – 2x + 3 और 1/3+√−5 के लिए न्यूनतम बहुपद है 3x² − 2x + 2 है।
यह वैसा ही है जैसे 6 ,Z में 4 से विभाज्य नहीं है। लेकिन Z में, 4 और 6 दोनों 2 से विभाज्य है, और 6, 3 से विभाज्य है।

7.चित्र बनाना(Drawing the diagrams)-

हाई स्कूल से आपको शायद वास्तविक संख्या रेखा याद है। यह लगभग हमेशा क्षैतिज होता है, अक्सर केंद्र में 0 के साथ नकारात्मक संख्या 0 के बाईं ओर और दाईं ओर धनात्मक  संख्या होती है।
आम तौर पर वास्तविक संख्या रेखा को केंद्र में 0 के साथ दिखाया जाता है। हम लाइन पर देख सकते हैं, उदाहरण के लिए, -3, ,-2,-1, 0, 1, 2, 3. काल्पनिक संख्या रेखा को केंद्र में 0 के साथ भी दिखाया जा सकता है। उदाहरण के लिए,-3i, −2i, ,-i, 0, i, 2i, 3i।
चूँकि 0 विशुद्ध रूप से वास्तविक और विशुद्ध रूप से काल्पनिक दोनों है, यह केवल इसके लिए वास्तविक और काल्पनिक संख्या रेखाओं का जंक्शन होना मायने रखता है। और उन्हें लंबवत रेखाओं के रूप में जुड़ने के लिए, ताकि 1, i से 90 डिग्री पर हो।
फिर गुणा को सम्मिश्र समतल  में रोटेशन के रूप में देखा जा सकता है। 90 डिग्री को स्थानांतरित करने के लिए मुझे i गुणा करें। पूण: और 90 डिग्री स्थानांतरित करने के लिए मैं फिर से  iगुणा करता हूं। 180 डिग्री स्थानांतरित करने के लिए -1 से गुणा करें। और 360 डिग्री को स्थानांतरित करने के लिए 1 से गुणा करें और वापस शुरू करें जहां आपने शुरू किया था।
हम अब काल्पनिक संख्या रेखा पर विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्याओं का पता लगा सकते हैं, उसी प्रकार हम वास्तविक संख्या रेखा पर विशुद्ध रूप से वास्तविक संख्याओं का पता लगा सकते हैं। यहाँ उदाहरण के लिए √−2 है:
मजेंटा डॉट √−2 का अनुमानित स्थान देता है।
ऊपर दिए गए आरेख में, मैंने एक माउस के साथ क्लिक किया जहां मुझे लगा कि √−2के लिए डॉट को जाना चाहिए। यहां तक ​​कि कुछ खराबी के लिए अनुमति देते हुए, यह सही नहीं दिखता है, यह 1.4 की तुलना में 1.3 की तरह दिखता है। इसे थोड़ा नंगा करने की जरूरत है।
“सम्मिश्र ” संख्याएँ, गैर-वास्तविक भाग और ग़ैर-काल्पनिक काल्पनिक भाग वाली संख्याएँ कहाँ हैं? आसान: वास्तविक और काल्पनिक कुल्हाड़ियों पर उचित बिंदुओं से खींची गई लंबवत रेखाओं के चौराहे पर।
उदाहरण के लिए, यहां हम 1 + √2 का पता लगाते हैं:
मजेंटा डॉट 1 + √−2 का अनुमानित स्थान देता है।
मुझे इस बात का पूरा भरोसा है कि मैंने 1 से निकलने वाली ब्लू वर्टिकल लाइन को कहाँ रखा है, लेकिन √−2 के लिए ब्लू लाइन का मेरा स्थान निशान से थोड़ा कम हो गया।
पिछले दो पूर्ववर्ती आरेख दोनों को एक TeX फ़ाइल की पीडीएफ के आधार पर फ़ोटोशॉप एलिमेंट्स में बनाया गया था। अधिकांश तत्व कंप्यूटर द्वारा रखे गए थे, लेकिन दोनों आरेखों में “मैन्युअल रूप से” तत्व शामिल हैं।
यह एक ग्रिड खींचने के लिए अधिक मज़बूती से सटीक होगा जिसमें ऊर्ध्वाधर लाइनें एक इकाई को अलग-अलग और क्षैतिज रेखाओं को अलग-अलग √2 इकाइयों में विभाजित किया जाता है। यदि हमारी इकाई 40 पिक्सेल है, तो √2 इकाइयाँ 56 या 57 पिक्सेल हो सकती हैं (कोई भी प्रदर्शन वास्तव में 56.5685424949238 पिक्सेल नहीं कर सकता है)।
और फिर मैं यूनिटों के लिए डॉट्स और प्राइम नंबरों के लिए, एक-एक करके, हाथ से क्लिक करता हूँ?
मैंने वास्तव में Z [i], Z [√−2] और Z [ω] के लिए किया था। जैसे ही मैं उन कार्यों के साथ आगे बढ़ा, मेरे लिए यह स्पष्ट हो गया कि मैं अपने कंप्यूटर की नंबर-क्रंचिंग पावर का उपयोग कर रहा था।

8.आरेखों को खींचने के लिए कंप्यूटर पर प्रोग्रामिंग करना(Programming the computer to draw the diagrams)-

कार्यक्रम के लिए स्पष्ट पसंद पहले वुल्फराम मैथमेटिका में था। आखिरकार, वो जो गॉर्सियन प्रिम्स (Z [i] में primes) और Eisenstein primes (Z [ω] में प्राइम) के बारे में वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड पेज के लिए इस्तेमाल करते हैं।
और निश्चित रूप से मैं मैथवर्थ के पन्नों पर लोगों की तुलना में अधिक रंगीन चित्र बनाने के लिए गणितज्ञ कार्यक्रम कर सकता था। लेकिन मेरे लिए सबसे बड़ी समस्या यह थी कि मेरे घर के कंप्यूटर पर वुल्फराम मैथमेटिका वास्तव में कभी नहीं थी।
दूसरी ओर, जावा को लगभग किसी भी कंप्यूटर पर स्थापित किया जा सकता है (हालांकि कुछ कैविएट क्षितिज पर लूम कर सकते हैं)। समस्या यह है कि जटिल संख्या से निपटने के लिए इसमें कोई सहज सुविधा नहीं है।
फोरट्रान(FORTRAN) की तरह, C #, सम्मिश्र  संख्याओं के समर्थन के साथ बनाया गया है। लेकिन संख्याओं का प्रतिनिधित्व “बीजगणितीय” के बजाय “संख्यात्मक रूप से” किया जाता है। इसका संभावित अर्थ यह हो सकता है कि, उदाहरण के लिए, जब हम 3 ठीक अपेक्षा करते हैं, तो हमें 2.99999999 + 0.00000001i मिलते हैं।
इसलिए मैंने इन नंबरों का प्रतिनिधित्व करने के लिए जावा में वस्तुओं का एक पदानुक्रम बनाने का फैसला किया “प्रतीकात्मक रूप से,” इस तरह का गणित कैसे करता है।
तो 1 + √−2, 1.00000000 + 1.41421356i नहीं है, लेकिन पूर्णांक 1 के बराबर “नियमित” भाग के साथ एक वस्तु, और एक “surd” भाग भी पूर्णांक 1 के बराबर है, जो वर्गमूल द्वारा गुणा किया जाता है – 2।
गणना बीजगणितीय पूर्णांक वस्तुओं के “फ़ील्ड” पर की जाती है (यहां मेरा अर्थ “प्रोग्रामिंग अर्थ में” फ़ील्ड “है, गणितीय अर्थ नहीं है), और फ़्लोटिंग पॉइंट संख्याओं के जोड़े में रूपांतरण केवल तभी होता है जब बिल्कुल आवश्यक हो।
आरेखों के वास्तविक आरेखण के लिए, मुझे एहसास हुआ कि मुझे पहिया को फिर से आविष्कार करने की आवश्यकता नहीं है, हालांकि, किसी कारण से मैं अब काफी स्पष्ट नहीं कर सकता, मैंने फैसला किया कि मैं शुद्ध जावा एडब्ल्यूटी का उपयोग करूंगा, कोई जावा स्विंग नहीं।
कुछ अप्रत्याशित समस्याओं और बदसूरत कीचड़ से निपटने के बाद, मैंने सभी के बाद जावा स्विंग का उपयोग करने का फैसला किया। पिक्सर भले ही ज्यादा स्विंग के बारे में न सोचे, लेकिन मेरे उद्देश्य के लिए, यह पर्याप्त से अधिक है।
जहां मुझे इन आरेखों को खींचने में घंटों या दिन लग सकते हैं, मेरा जावा प्रोग्राम उन्हें सेकंड में आकर्षित कर सकता है, या मिलीसेकंड की तुलना में अधिक संभावना है। कुछ दूसरों की तुलना में अधिक दिलचस्प हैं, लेकिन निश्चित रूप से इनमें से किसी एक पर कुछ सीपीयू घड़ी चक्र खर्च करने में दुख नहीं होता है।
यहां Z [√−5] का उदाहरण दिया गया है, प्रति यूनिट अंतराल पर 22 पिक्सेल और इसके बारे में एक डॉट व्यास है।

9.Z [√−5] में अपराधों का आरेख(Diagram of primes in Z[√−5])-

केंद्र में ब्लैक डॉट 0. है। अभी के लिए कार्यक्रम केवल शून्य-केंद्रित आरेख खींच सकता है। -1 और 1 की इकाइयाँ 0 के बाएँ और दाएँ सफेद बिंदु हैं।
खोखले हरे डॉट्स -2 और 2 हैं, जो −√−5 और √−5 (ऊपर और नीचे पूर्ण हरे रंग के डॉट्स) के लिए एक विशेष संबंध रखते हैं। 0 के बाईं और दाईं ओर पूर्ण हरा डॉट्स -5 और 5 हैं।
वास्तविक संख्या रेखा पर खोखले नीले डॉट्स (आप ऊपर दिए गए आरेख में उन्हें स्पष्ट रूप से नहीं देख सकते हैं या नहीं देख सकते हैं) वे संख्याएँ हैं जो Z में अभिलिखित हैं, लेकिन Z [√−5] में वे अप्रासंगिक हैं लेकिन अभाज्य नहीं हैं। 7 की तरह, चूंकि यह 14 को विभाजित करता है, लेकिन 3 नहीं 3 − √−5 और न ही 3 + √−5, जो दोनों x² − 6x + 14 = 0के समाधान हैं।
और पूर्ण सियान डॉट्स संख्याएँ हैं जो इस डोमेन में अप्रासंगिक और प्रमुख दोनों हैं। कार्यक्रम के साथ, आप 2 पिक्सेल प्रति यूनिट अंतराल के लिए सभी तरह से ज़ूम कर सकते हैं।
Z [√−5] में अपराधों का आरेख, प्रति यूनिट अंतराल में 2 पिक्सेल तक ज़ूम किया गया।
यदि आप के लिए आरेख देखना चाहते हैं, कहते हैं, Z [√−10], प्रोग्राम में आप Control-D या Command-D दबा सकते हैं और उस संख्या में दर्ज कर सकते हैं, (10 (आप 10 भी दर्ज कर सकते हैं और यह चुपचाप बदल जाएगा यह -10)।
कार्यक्रम का पता लगाने के लिए यहां एक दिलचस्प अनुक्रम है: −7, −11, ,19, −43, −67, −163:
Q(√−7) के बीजगणितीय पूर्णांकों की अंगूठी में अपराधों का आरेख।
वास्तव में अभी तक कुछ भी नहीं देख रहा है, है ना?
Q(√−11) के बीजीय पूर्णांक की वलय  में अपराधों का आरेख।
Q(√−19) के बीजगणितीय पूर्णांकों की वलय में अपराधों का आरेख।
Q(√−43) के बीजगणितीय पूर्णांकों की वलय में अपराधों का आरेख।
रुको, वहाँ कुछ है …
क्यू (√−67) के बीजगणितीय पूर्णांकों की अंगूठी में अपराधों का आरेख।
यह आरेख के बीच में इस पास्ता शेल (जैसे आप उनमें से एक रिकोटा पनीर के साथ भर सकते हैं) की तरह है, लेकिन इसके बजाय भरण स्लिट लंबाई-वार, भरण स्लिट चौड़ाई-वार है।
Q (√−163) के बीजीय पूर्णांक की वलय में अपराधों का आरेख।
एक व्यक्ति जिसे मैंने इन “स्टार वार्स डॉट्स” के नाम से दिखाया था, लेकिन चूंकि मेरे पास डिज्नी से लाइसेंस नहीं है, इसलिए मुझे लगता है कि मैं इसे कॉल नहीं कर सकता।
यह उनमें से आखिरी है। हो सकता है कि महान जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने दो दशक पहले अपने मन में इस चित्र को देखा हो, हालांकि अलग-अलग रंगों के साथ, लेकिन जहां तक ​​मुझे पता है कि उन्होंने कभी इसे आकर्षित नहीं किया और न ही इसे स्केच किया।
अन्य नकारात्मक संख्याएं हैं जो आरेख का उत्पादन करती हैं जो अन्य कारणों से दिलचस्प हैं।
कार्यक्रम के लिए निष्पादन योग्य जार मुश्किल से 100KB है, लेकिन यह मेगाबाइट के मूल्य के आरेख का उत्पादन कर सकता है। मैंने इनमें से बहुत सारे चित्र देखे हैं, लेकिन उनमें से शायद ही कोई हो। मुझे निश्चित रूप से उम्मीद है कि अन्य लोग मेरे कार्यक्रम का उपयोग उन दिलचस्प आरेखों को खोजने के लिए करेंगे जिनकी मैंने अनदेखी की है।
मैं इस परियोजना की कल्पना करता हूं कि अंततः पूरी टीम द्वारा काम किया जा रहा है, शायद संस्करण 3.0 या 2.0 तक। लेकिन वर्जन 1.0 मुझे दो या तीन चीजों को छोड़कर, वेब पर कॉपी किए गए सभी के लिए होगा।
सभी स्रोत कोड और यूनिट परीक्षण मेरे GitHub पेज से उपलब्ध हैं। वहां आपको एक निष्पादन योग्य JAR फ़ाइल (संस्करण 0.97, या यह 0.98 या 0.99 हो सकती है यदि यह अभी तक 1.0 नहीं है) और साथ ही कुछ नमूना आउटपुट भी।
यह परियोजना परीक्षण-संचालित विकास परियोजना के रूप में शुरू नहीं हुई थी, लेकिन मैंने धीरे-धीरे इसे उस प्रोग्रामिंग दर्शन में बदल दिया है। प्रत्येक नई सुविधा जिसे मैं प्रोग्राम में जोड़ता हूं (उन लोगों को छोड़कर जो एडब्ल्यूटी या स्विंग पर निर्भर हैं) एक स्टब, फिर एक परीक्षण और फिर वास्तविक विशेषता के साथ शुरू होता है।
अंतत: मैं विशुद्ध रूप से वास्तविक संख्याओं के डोमेन में अभाज्य संख्याओं के आरेख बनाने के लिए कार्यक्रम की क्षमता जोड़ूंगा। वे “जटिल” संख्या के डोमेन की तुलना में बहुत अधिक जटिल हो जाते हैं।
फ़ोटोशॉप तत्वों में चारों ओर क्लिक करके बनाए गए चित्र में यहाँ Z [√2] का स्वाद है:
Z [√2] में अभाज्य संख्याओं के आरेख पर “मैनुअल” प्रयास।
मैं इस आरेख की शुद्धता के लिए व्रत नहीं कर सकता।यहां कोई जटिल संख्या नहीं है, लेकिन जब मैं कार्यक्रम लिखने के लिए चारों ओर मिलता हूं, तो निश्चित रूप से निपटने के लिए जटिल मुद्दे होते हैं।
किसी दिए गए काल्पनिक डोमेन की जटिल संख्याओं के साथ यह बहुत आसान है क्योंकि संख्याओं को बड़े पैमाने पर जटिल विमान में जगह दी जाती है, बजाय एक वास्तविक रूप से यादृच्छिक पैटर्न में वास्तविक संख्या रेखा पर क्लस्टर किए।

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