Mode and Arithmetic Mean in Statistics

Mathematics Satyam November 15, 2023 Statistics No Comments

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1 1.सांख्यिकी में बहुलक और समान्तर माध्य (Mode and Arithmetic Mean in Statistics),सांख्यिकी में बहुलक और मध्यका (Mode and Median in Statistics):

1.1 2.सांख्यिकी में बहुलक और समान्तर माध्य के साधित उदाहरण (Mode and Arithmetic Mean in Statistics Solved Examples):

1.2 3.सांख्यिकी में बहुलक और समान्तर माध्य पर आधारित सवाल (Questions Based on Mode and Arithmetic Mean in Statistics):

1.2.1 4.सांख्यिकी में बहुलक और समान्तर माध्य (Frequently Asked Questions Related to Mode and Arithmetic Mean in Statistics),सांख्यिकी में बहुलक और मध्यका (Mode and Median in Statistics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.2.2 प्रश्न:1.प्रथम व अन्तिम वर्ग में बहुलक होने पर कैसे ज्ञात करते हैं? (How to Find out When Mode is Present in the First and Last Class?):

1.2.3 प्रश्न:2.समान्तर माध्य मध्यका तथा बहुलक के मध्य सम्बन्ध पर टिप्पणी लिखो। (Write a Note on the Relationship Between Arithmetic Mean Median and Mode):

1.2.4 प्रश्न:3.बहुलक और मध्यका ज्ञात करने के सूत्र लिखो। (Write the Formula for Finding the Mode and Median):

1.2.4.1 Mode and Arithmetic Mean in Statistics

2 सांख्यिकी में बहुलक और समान्तर माध्य (Mode and Arithmetic Mean in Statistics)

2.1 Mode and Arithmetic Mean in Statistics

1.सांख्यिकी में बहुलक और समान्तर माध्य (Mode and Arithmetic Mean in Statistics),सांख्यिकी में बहुलक और मध्यका (Mode and Median in Statistics):

Mode and Arithmetic Mean in Statistics

सांख्यिकी में बहुलक और समान्तर माध्य (Mode and Arithmetic Mean in Statistics) के इस आर्टिकल में बहुलक,मध्यका तथा समान्तर माध्य पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.सांख्यिकी में बहुलक और समान्तर माध्य के साधित उदाहरण (Mode and Arithmetic Mean in Statistics Solved Examples):

Example:49.निम्नलिखित समंकों से समान्तर माध्य,मध्यका तथा बहुलक ज्ञात कीजिए:
(Find out Mean,Median and Mode from the following data):

$\begin{array}{|p{2cm}|p{2cm}|} \hline Marks out of 30 & No. of students \\ \hline 6-10 & 20 \\ \hline 11-15 & 30 \\ \hline 16-20 & 50 \\ \hline 21-25 & 40 \\ \hline 26-30 & 10 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation Table of Mean,Median and Mode

$\begin{array}{|p{1.5cm}|p{2cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1cm}|p{1cm}|} \hline Marks & No. of students (f) & Mid values (x) & dx' i=5, A=18 & fdx' & cf \\ \hline 5.5-10.5 & 20 & 8 & -2 & -40 & 20 \\ \hline 10.5-15.5 & 30 & 13 & -1 & -30 & 50 \\ \hline 15.5-20.5 & 50 & 18 & 0 & 0 & 100 \\ \hline 20.5-25.5 & 40 & 23 & 1 & 40 & 140 \\ \hline 25.5-30.5 & 10 & 28 & 2 & 20 & 150 \\ \hline Total & 150 & & & -10 &\\ \hline \end{array}$
समान्तर माध्य

$(\overline{X})=A+\frac{\Sigma f d x^{\prime}}{\Sigma f} \times i \\ =18-\frac{10}{150} \times 5 \\ =18-\frac{1}{3} \\ =18-0.333 \\ =17.667 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 17.67 \\ m=\frac{N}{2} \\ \Rightarrow m=\frac{150}{2} \Rightarrow 75$
It falls in 15.5-20.5 group
f=18, l_1=15.5, i=20.5-15.5=5, c=50[/katex]
मध्यका

$(M)=l_1+\frac{i}{f}(m-c) \\ =15.5+\frac{5}{50}(75-50) \\=15.5+\frac{5}{50} \times 25 \\=15.5+ \frac{125}{50} \\=15+2.5 \\ =18 \\ M \approx 18$
निरीक्षण के द्वारा बहुलक वर्ग 15.5-20.5
$l_1=15.5, i=20.5-15.5=5 \\ f_1=50, f_0=30, f_2=40 \\\Delta_1=f_1-f_0=50-30=20 \\ \Delta_2=f_1-f_2=50-40=10$
बहुलक

$(Z)=l_1+\frac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2} \times i \\ =15.5+\frac{20}{20+10} \times 5 \\ =15.5+\frac{100}{30} \\ =15.5+3.333 \\ =18.833 \\ z \approx 18.83$
समूहीकरण द्वारा

$\begin{array}{|p{2cm}|p{2cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|} \hline Marks & Frequency (f) & \multicolumn{2}{|c|}{\text{Grouping by two's}} & \multicolumn{3}{|c|}{\text{Grouping by Three's}} & \multicolumn{2}{|c|}{\text{Analysis No. of itmes}} \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \multicolumn{2}{|c|} {7} \\ \hline 5.5-10.5 & 20 & 50 & & 100 & & & I & 1\\ \cline{1-2} \cline{4-4} \cline{6-9} 10.5-15.5 & 30 & & 80 & & 120 & & III & 3\\ \cline{1-3} \cline{7-9} 15.5-20.5 & 50 & 90 & & & & 100 & IIIIII & 6 \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{8-9} 20.5-25.5 & 40 & & 50 & & & & III & 3\\ \cline{1-3} \cline{6-6} \cline{8-9} 25.5-30.5 & 10 & & & & & & I & 1 \\ \hline \end{array}$
उपर्युक्त विश्लेषण से भी बहुलक वर्ग 15.5-20.5 है।
अतः बहुलक $z \approx 18.83$
Example:50.द्वितीय वर्ष वाणिज्य के 254 विद्यार्थियों द्वारा सांख्यिकी विषय में प्राप्त अंकों का वितरण निम्नवत है।समान्तर माध्य,मध्यका तथा बहुलक वर्ग का निर्धारण कीजिए:
(The following is the distribution of marks obtained by 254 students of T.D.C. II year commerce in statistics.Determine Mean,Median and Modal marks):

$\begin{array}{|p{2cm}|p{2cm}|} \hline Marks Below & No. of students \\ \hline 10 & 15 \\ \hline 20 & 35 \\ \hline 30 & 60 \\ \hline 40 & 84 \\ \hline 50 & 96 \\ \hline 60 & 127 \\ \hline 70 & 198 \\ \hline 80 & 254 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation Table of Mean,Median and Mode

$\begin{array}{|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|} \hline Marks Below & No. of students & Mid values (x) & dx' ,i=10 ,A=45 & fdx' & cf \\ \hline 0-10 & 15 & 5 & -4 & -60 & 15 \\ \hline 10-20 & 20 & 15 & -3 & -60 & 35 \\ \hline 20-30 & 25 & 25 & -2 & -50 & 60 \\ \hline 30-40 & 24 & 35 & -1 & -24 & 84 \\ \hline 40-50 & 12 & 45 & 0 & 0 & 96 \\ \hline 50-60 & 31 & 55 & 1 & 31 & 127 \\ \hline 60-70 & 71 & 65 & 2 & 142 & 198 \\ \hline 70-80 & 56 & 75 & 3 & 168 & 254 \\ \hline Total & 254 & & & 147 & \\ \hline \end{array}$
समान्तर माध्य

$(\overline{X}) =A+\frac{\Sigma f d x^{\prime}}{\Sigma f} \times i \\ =45+\frac{147}{254} \times 10 \\=45+5.787 \\ =50.787 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 50.79 \\ m=\frac{N}{2}=\frac{254}{2} =127$
It falls in 50-60 group
$l_1=50, i=60-50=10, f=31, c=96$
मध्यका $(M)=l_1+\frac{i}{f}(m-c) \\=50+\frac{10}{31}(127-96) \\ =50+\frac{10}{31} \times 31 \\ =50+10 \\ \Rightarrow M=60$
निरीक्षण द्वारा बहुलक वर्ग 60-70
$l_1=60, i=70-60=10 \\ f_1=71, f_0=31, f_2=56 \\ \Delta_1=f_1-f_0=71-31=40 \\ \Delta_2=f_1-f_2=71-56=15$
बहुलक $(Z)=l_1+\frac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2} \times i \\ =60+\frac{40}{40+15} \times 10 \\ =60+\frac{400}{55} \\ =60+\frac{80}{11} \\ =60+7.272 \\ =67.272 \\ Z \approx 67.27 \text { marks }$
समूहीकरण द्वारा

$\begin{array}{|p{2.5cm}|p{2cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|} \hline Class intervals & Frequency (f) & \multicolumn{2}{|c|}{\text{Grouping by two's}} & \multicolumn{3}{|c|}{\text{Grouping by Three's}} & \multicolumn{2}{|c|}{\text{Analysis No. of itmes}} \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \multicolumn{2}{|c|} {7} \\ \hline 0-10 & 15 & 35 & & 60 & & & & \\ \cline{1-2} \cline{4-4} \cline{6-9} 10-20 & 20 & & 45 & & 69 & & & \\ \cline{1-3} \cline{7-9} 20-30 & 25 & 49 & & & & 61 & I & 1\\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{8-9} 30-40 & 24 & & 36 & 67 & & & II & 2\\ \cline{1-3} \cline{6-6} \cline{8-9} 40-50 & 12 & 43 & & & 114 & & II & 2 \\ \cline{1-2} \cline{4-4} \cline{7-9} 50-60 & 31 & & 102 & & & 158 & IIII & 4\\ \cline{1-3} \cline{5-5} \cline{8-9} 60-70 & 71 & 127 & & & & & IIIII & 5 \\ \cline{1-2} \cline{4-4} \cline{6-6} \cline{8-9} 70-80 & 56 & & & & & & II & 2 \\ \hline \end{array}$
उपर्युक्त विश्लेषण से स्पष्ट है कि 60-70 वर्ग पाँच बार (सबसे अधिक बार) आवृत्त होता है जो बहुलक वर्ग है।अतः निरीक्षण और समूहीकरण दोनों से बहुलक वर्ग समान है।

$Z \approx 67.27 \text { marks }$
Example:51.निम्नलिखित समंक एक विशेष प्रकार के कोयले के 280 वैगन में परीक्षण के फलस्वरूप राख की प्रतिशत मात्रा को प्रदर्शित करते हैं।वितरण का समान्तर माध्य,मध्यका तथा बहुलक ज्ञात कीजिए:
(The following data show the percentage of ash content in 280 wagons test of a certain kind of coal.Find Mean,Median and Mode of the distribution):

$\begin{array}{|p{2cm}|p{2cm}|} \hline Percentage of Ash contents & Frequency \\ \hline 3.0-3.9 & 1 \\ \hline 4.0-4.9 & 7 \\ \hline 5.0-5.9 & 28 \\ \hline 6.0-6.9 & 78 \\ \hline 7.0-7.9 & 84 \\ \hline 8.0-8.9 & 45 \\ \hline 9.0-9.9 & 28 \\ \hline 10.0-10.9 & 7 \\ \hline 11.0-11.9 & 2 \\ \hline Total & 280 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation Table of Mean,Median and Mode

$\begin{array}{|p{2cm}|p{2cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1cm}|p{1cm}|} \hline Percentage of Ash contents & Frequency (f)& Mid values (x)& dx' ,i=1 ,A=7.45 & fdx' & cf \\ \hline 2.95.0-3.95 & 1 & 3.45 & -4 & -4 & 1\\ \hline 3.95-4.95 & 7 & 4.45 & -3 & -21 & 8\\ \hline 4.95-5.95 & 28 & 5.45 & -2 & -56 & 36 \\ \hline 5.95-6.95 & 78 & 6.45 & -1 & -78 & 114 \\ \hline 6.95-7.95 & 84 & 7.45 & 0 & 0 & 198 \\ \hline 7.95-8.95 & 45 & 8.45 & 1 & 45 & 243\\ \hline 8.95-9.95 & 28 & 9.45 & 2 & 56 & 271 \\ \hline 9.95-10.95 & 7 & 10.45 & 3 & 21 & 278 \\ \hline 10.95-11.95 & 2 & 11.45 & 4 & 8 & 280\\ \hline Total & 280 & & & -29 & \\ \hline \end{array}$
समान्तर माध्य

$(\overline{X})=A+\frac{\Sigma f x}{\Sigma f} \times i \\=7.45-\frac{29}{280} \times 1 \\ =7.45-0.1035 \\ =7.3465 \\ (\overline{X}) \approx 7.35 \% \\ m=\frac{N}{2}=\frac{280}{2}=140$
It falls in 6.95-7.95 group
$l_1=6.95, i=7.95-6.95=1, f=84, c=114$
मध्यका $(M)=l_1+\frac{i}{f}(m-c) \\ =6.95+\frac{1}{84}(140-114) \\ =6.95+\frac{26}{84} \\ =6.95+0.3095 \\ =7.2595 \\ \Rightarrow M \approx 7.26 \%$
निरीक्षण द्वारा बहुलक वर्ग 6.95-7.95 है
अतः $l_1=6.95, i=7.95-6.95=1 \\ f_1=84, f_0=78, f_2=45 \\ \Delta_1=f_1-f_0=84-78=6 \\ \Delta_2=f_1-f_2=84-45=39$
बहुलक $(Z)=l_1+\frac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2} \times i \\ =6.95+\frac{6}{6+39} \\ =6.95+\frac{6}{45} \\ =6.95+0.133 \\ =7.083 \\ Z \approx 7.08 \%$
समूहीकरण द्वारा

$\begin{array}{|p{2.5cm}|p{2cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|} \hline Class intervals & Frequency (f) & \multicolumn{2}{|c|}{\text{Grouping by two's}} & \multicolumn{3}{|c|}{\text{Grouping by Three's}} & \multicolumn{2}{|c|}{\text{Analysis No. of itmes}} \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \multicolumn{2}{|c|} {7} \\ \hline 2.95.0-3.95 & 1 & 8 & & 36 & & & & \\ \cline{1-2} \cline{4-4} \cline{6-9} 3.95-4.95 & 7 & & 35 & & 113 & & & \\ \cline{1-3} \cline{7-9} 4.95-5.95 & 28 & 106 & & & & 190 & I & 1\\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{8-9} 5.95-6.95 & 78 & & 162 & 207 & & & III & 3\\ \cline{1-3} \cline{6-6} \cline{8-9} 6.95-7.95 & 84 & 129 & & & 157 & & IIIIII & 6 \\ \cline{1-2} \cline{4-4} \cline{7-9} 7.95-8.95 & 45 & & 73 & & & 83 & III & 3\\ \cline{1-3} \cline{5-5} \cline{8-9} 8.95-9.95 & 28 & 35 & & 37 & & & I & 1 \\ \cline{1-2} \cline{4-4} \cline{6-6} \cline{8-9} 9.95-10.95 & 7 & & 9 & & & & & \\ \cline{1-3} \cline{7-9} 10.95-11.95 & 2 & & & & & & & \\ \hline \end{array}$
उपर्युक्त विश्लेषण से स्पष्ट है कि 6.95-7.95 वर्ग 6 बार (सबसे अधिक बार) आवृत्त होता है जो बहुलक वर्ग है।अतः निरीक्षण और समूहीकरण दोनों से बहुलक समान है। $Z \approx 7.08 \%$

Mode and Arithmetic Mean in Statistics

Example:52.निम्नलिखित समंकों से समान्तर माध्य,मध्यका तथा बहुलक का निर्धारण कीजिए:
(Calculate Arithmetic Mean,Median and Mode of the following data):

$\begin{array}{|p{2.5cm}|p{2cm}|} \hline Temp. in {}^{\circ} C & No. of Days \\ \hline -40 to -30 & 10 \\ \hline -30 to -20 & 28 \\ \hline -20 to -10 & 30 \\ \hline -10 to 0 & 42 \\ \hline 0 to 10 & 65 \\ \hline 10 to 20 & 180 \\ \hline 20 to 30 & 10 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation Table of Mean,Median and Mode

$\begin{array}{|p{2.5cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{1cm}|p{1cm}|} \hline Temp. in {}^{\circ} C & No. of Days (f) & Mid Values (x) & dx' ,i=10 , A=-5 & fdx' & cf \\ \hline -40 to -30 & 10 & -35 & -3 & -30 & 10 \\ \hline -30 to -20 & 28 & -25 & -2 & -56 & 38 \\ \hline -20 to -10 & 30 & -15 & -1 & -30 & 68 \\ \hline -10 to 0 & 42 & -5 & 0 & 0 & 110 \\ \hline 0 to 10 & 65 & 5 & 1 & 65 & 175 \\ \hline 10 to 20 & 180 & 15 & 2 & 360 & 355 \\ \hline 20 to 30 & 10 & 25 & 3 & 30 & 365 \\ \hline Total & 365 & & & 339 & \\ \hline \end{array}$
समान्तर माध्य

$(\overline{X}) =A+\frac{\Sigma fx}{N} \times i \\ =-5+\frac{339}{365} \times 10 \\ =-5+9.2876 \\ =4.2876 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 4.29^{\circ} \mathrm{C} \\ m=\frac{N}{2}=\frac{365}{2}=182.5$
It falls in 10 to 20 group
$l_1=10, \quad i =20-10=10, f=180, c=175$

मध्यका $(M)=l_1+\frac{i}{f}(m-c) \\ =10+\frac{10}{180}(182.5-175) \\ =10+\frac{1}{18} \times 7.5 \\ =10+0.466 \\=10.4166 \\ \Rightarrow M \approx 10.42^{\circ} \mathrm{C}$
मध्यका निरीक्षण द्वारा बहुलक वर्ग 10 to 20 है अतः
$l_1=10, i=20-10=10 \\ f_1=180, f_0=65, f_2=10 \\ \Delta_1=f_1-f_0=1.80-65=115 \\ \Delta_2=f_1-f_2=180-10=170$
बहुलक $(Z)=l_1+\frac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2} i \\ =10+\frac{115}{115+170} \times 10 \\ =10+\frac{1150}{285} \\ =10+4.035 \\ =14.035 \\ \Rightarrow Z \approx 14.04{ }^{\circ} \mathrm{C}$
समूहीकरण द्वारा

$\begin{array}{|p{2.5cm}|p{2cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|} \hline Temp. & No. of Days (f) & \multicolumn{2}{|c|}{\text{Grouping by two's}} & \multicolumn{3}{|c|}{\text{Grouping by Three's}} & \multicolumn{2}{|c|}{\text{Analysis No. of itmes}} \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \multicolumn{2}{|c|} {7} \\ \hline -40 to -30 & 10 & 38 & & 68 & & & & \\ \cline{1-2} \cline{4-4} \cline{6-9} -30 to -20 & 28 & & 58 & & 100 & & & \\ \cline{1-3} \cline{7-9} -20 to -10 & 30 & 72 & & & & 137 & I & 1\\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{8-9} -10 to 0 & 42 & & 107 & 287 & & & II & 2\\ \cline{1-3} \cline{6-6} \cline{8-9} 0 to 10 & 65 & 245 & & & 255 & & IIII & 4 \\ \cline{1-2} \cline{4-4} \cline{7-9} 10 to 20 & 180 & & 190 & & & & IIIII & 5 \\ \cline{1-3} \cline{5-5} \cline{8-9} 20 to 30 & 10 & & & & & & II & 2\\ \hline \end{array}$
उपर्युक्त विश्लेषण से स्पष्ट है कि 10 to 20 वर्ग 5 बार (सबसे अधिक बार) आवृत्त होता है जो बहुलक वर्ग है।अतः निरीक्षण और समूहीकरण दोनों से बहुलक समान है।

$Z \approx 14.04 { }^{\circ} \mathrm{C}$
Example:53.कुछ विद्यार्थियों द्वारा एक परीक्षा में प्राप्तांकों का वितरण निम्न सारणी में प्रस्तुत है:
(The following table gives the distribution of marks secured by some students in an examination):

$\begin{array}{|p{2cm}|p{2cm}|} \hline Marks & No. of Students \\ \hline 0-20 & 42 \\ \hline 21-30 & 38 \\ \hline 31-40 & 120 \\ \hline 41-50 & 84 \\ \hline 51-60 & 48 \\ \hline 61-70 & 36 \\ \hline 71-80 & 31 \\ \hline \end{array}$
निम्नलिखित ज्ञात कीजिए (calculate):
(i)मध्यका प्राप्तांक (Median marks),
(ii)अनुत्तीर्ण हुए विद्यार्थियों का प्रतिशत,यदि उत्तीर्ण होने हेतु न्यूनतम प्राप्तांक 36 है।
(The percentage of failures if the minimum for a pass is 36 marks)
Solution:(i)Calculation Table of Median

$\begin{array}{|p{2cm}|p{2cm}|p{1cm}|} \hline Marks & No. of Students & cf \\ \hline 0-20.5 & 42 & 42 \\ \hline 20.5-30.5 & 38 & 80 \\ \hline 30.5-40.5 & 120 & 200 \\ \hline 40.5-50.5 & 84 & 284\\ \hline 50.5-60.5 & 48 & 332 \\ \hline 60.5-70.5 & 36 & 368 \\ \hline 70.5-80.5 & 31 & 399 \\ \hline \end{array}$

$m=\frac{N}{2}=\frac{399}{2}=199.5$
It falls in 30.5-40.5 group
$l_1=30.5, i=40.5-30.5=10 , f=120, c=80$
मध्यका $(M)=l_1+\frac{i}{f}(m-c) \\ =30.5+\frac{10}{120}(199.5-80) \\ =30.5+\frac{1}{12} \times 119.5 \\ =30.5+9.9583 \\ =40.4583 \\ \Rightarrow M \approx 40.46 \text { marks }$
(ii)36 प्राप्तांक वर्ग 30.99-40.99 में सम्मिलित है
अतः $l_1=30.99, i=40.99-30.99=10,f =120, c=80 \\ l_1+\frac{i}{f}\left(P_x-C\right)=36 \\ \Rightarrow 30.99+\frac{10}{120}\left(P_x-80\right)=36 \\ \Rightarrow \frac{1}{12}\left(P_x-80\right)=36-30.99 \\ =P_x-80=5.01 \times 12 \\ \Rightarrow P_x=80+60.12 \\ \Rightarrow P_x=140.12$
अतः अनुत्तीर्ण अर्थात् 36 प्राप्तांक से कम प्राप्तांक वाले छात्रों का प्रतिशत = $\frac{140.12 \times 100}{399}=35.117 \\ =35.1 \%$
Example:54.निम्नलिखित समंकों से समान्तर माध्य,मध्यका तथा बहुलक ज्ञात कीजिए:
(From the following data find the Mean,Median and Mode):

$\begin{array}{|p{2cm}|p{2cm}|} \hline Marks (Not more than) & No. of Students \\ \hline 7 & 26 \\ \hline 14 & 57 \\ \hline 21 & 92 \\ \hline 28 & 134 \\ \hline 35 & 216 \\ \hline 42 & 287 \\ \hline 49 & 341 \\ \hline 56 & 360 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation Table of Mean,Median and Mode

$\begin{array}{|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|} \hline Marks (Not more than) & No. of Students & Mid values (x) & dx' ,A=24.5 & fdx & cf \\ \hline 0-7 & 26 & 3.5 & -21 & -546 & 26 \\ \hline 7-14 & 31 & 10.5 & -14 & -434 & 57 \\ \hline 14-21 & 35 & 17.5 & -7 & -245 & 92 \\ \hline 21-28 & 42 & 24.5 & 0 & 0 & 134 \\ \hline 28-35 & 82 & 31.5 & 7 & 574 & 216 \\ \hline 35-42 & 71 & 38.5 & 14 & 994 & 287 \\ \hline 42-49 & 54 & 45.5 & 21 & 1134 & 341 \\ \hline 49-56 & 19 & 52.5 & 28 & 532 & 360 \\ \hline Total & 360 & & & 2009 &\\ \hline \end{array}$
समान्तर माध्य

$(\overline{X})=A+\frac{\Sigma f d x}{N} \\ =24.5+\frac{2009}{360} \\ =24.5+5.5805 \\ =30.0805 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 30.08 \text { marks } \\ m=\frac{100}{2}=\frac{360}{2}=180$
It falls in 28-35 group
$l_1=28, i=35-28=7 ,f=82, c=134$

मध्यका $(M)=l_1+\frac{i}{f}(m-c) \\ =28+\frac{7}{82}(180-134) \\=28+\frac{7}{82} \times 46 \\=28+\frac{322}{82} \\=28+3.9268 \\ =31.9268 \\ \Rightarrow M \approx 31.93 \text { marks }$
निरीक्षण द्वारा बहुलक वर्ग 28-35 है क्योंकि इसी वर्ग की बारम्बारता सबसे अधिक है।
$l_1=28, \quad i=35-28=7 \\ f_0=42, f_1=82, f_2=71 \\ \Delta_1=f_1-f_0=82-42=40 \\ \Delta_2=f_1-f_2 =82-71=11$
बहुलक $(Z)=l_1+\frac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2} \times i \\ =28+\frac{40}{40+11} \times 7 \\ =28+\frac{280}{51} \\ =28+5.4901 \\ =33.4901 \\ Z \approx 33.5 \text { marks }$
समूहीकरण द्वारा

$\begin{array}{|p{2.5cm}|p{2cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|} \hline Class intervals & Frequency (f) & \multicolumn{2}{|c|}{\text{Grouping by two's}} & \multicolumn{3}{|c|}{\text{Grouping by Three's}} & \multicolumn{2}{|c|}{\text{Analysis No. of itmes}} \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \multicolumn{2}{|c|} {7} \\ \hline 0-7 & 26 & 57 & & 92 & & & & \\ \cline{1-2} \cline{4-4} \cline{6-9} 7-14 & 31 & & 66 & & 108 & & & \\ \cline{1-3} \cline{7-9} 14-21 & 35 & 77 & & & & 159 & I & 1\\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{8-9} 21-28 & 42 & & 124 & 195 & & & II & 2\\ \cline{1-3} \cline{6-6} \cline{8-9} 28-35 & 82 & 153 & & & 207 & & IIIII & 5 \\ \cline{1-2} \cline{4-4} \cline{7-9} 35-42 & 71 & & 125 & & & 144 & IIII & 4 \\ \cline{1-3} \cline{5-5} \cline{8-9} 42-49 & 54 & 73 & & & & & II & 2\\ \cline{1-2} \cline{4-4} \cline{6-6} \cline{8-9} 49-56 & 19 & & & & & & & \\ \hline \end{array}$
उपर्युक्त विश्लेषण से स्पष्ट है कि वर्ग 28-35,5 बार (सबसे अधिक बार) आवृत्त होता है जो बहुलक है।अतः निरीक्षण और समूहीकरण दोनों से बहुलक समान है।

$Z \approx 33.5$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में बहुलक और समान्तर माध्य (Mode and Arithmetic Mean in Statistics),सांख्यिकी में बहुलक और मध्यका (Mode and Median in Statistics) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में बहुलक और समान्तर माध्य पर आधारित सवाल (Questions Based on Mode and Arithmetic Mean in Statistics):

Mode and Arithmetic Mean in Statistics

(1.)निम्न वितरण का बहुलक (mode) परिकलित कीजिए:
$\begin{array}{|r|r|} \hline \text{वर्गान्तर} & \text{आवृत्ति} \\ \hline 4-8 & 10 \\ \hline 8-12 & 12 \\ \hline 12-16 & 16 \\ \hline 16-20 & 14 \\ \hline 20-24 & 10 \\ \hline 24-28 & 8 \\ \hline 28-32 & 17 \\ \hline 32-36 & 5 \\ \hline 36-40 & 4 \\ \hline \end{array}$
(2.)निम्न सारणी से मध्यका ज्ञात कीजिए:
$\begin{array}{|r|r|} \hline \text{प्राप्तांक} & \text{विद्यार्थियों की संख्या} \\ \hline 1-5 & 7 \\ \hline 6-10 & 10 \\ \hline 11-15 & 16 \\ \hline 16-20 & 32 \\ \hline 21-25 & 24 \\ \hline 26-30 & 18 \\ \hline 31-35 & 10 \\ \hline 36-40 & 5 \\ \hline 41-45 & 1 \\ \hline \end{array}$
उत्तर (Answers):(1.)Z=14.67 (2.)M=19.95
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में बहुलक और समान्तर माध्य (Mode and Arithmetic Mean in Statistics),सांख्यिकी में बहुलक और मध्यका (Mode and Median in Statistics) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Mode and Median in Statistics

4.सांख्यिकी में बहुलक और समान्तर माध्य (Frequently Asked Questions Related to Mode and Arithmetic Mean in Statistics),सांख्यिकी में बहुलक और मध्यका (Mode and Median in Statistics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.प्रथम व अन्तिम वर्ग में बहुलक होने पर कैसे ज्ञात करते हैं? (How to Find out When Mode is Present in the First and Last Class?):

उत्तर:यदि बहुलक पहले वर्ग में ही आता है तो बहुलक वर्ग से पहले वाले वर्ग की आवृत्ति शून्य ली जायेगी।इसी प्रकार यदि श्रेणी का अन्तिम वर्ग बहुलक वर्ग हो तो उसके बाद वाले वर्ग की आवृत्ति को शून्य माना जायेगा।बहुलक वर्ग ज्ञात करने के लिए समूहीकरण विधि का प्रयोग करना चाहिए।सामान्यतः श्रेणी का प्रथम अथवा अन्तिम भूयिष्ठक (बहुलक) वर्ग नहीं होता।

प्रश्न:2.समान्तर माध्य मध्यका तथा बहुलक के मध्य सम्बन्ध पर टिप्पणी लिखो। (Write a Note on the Relationship Between Arithmetic Mean Median and Mode):

उत्तर:एक सम श्रेणी (symmetrical series) ऐसी श्रेणी होती है जिसमें समान्तर माध्य,मध्यका व बहुलक का एक ही मूल्य होता है।एक विषम श्रेणी में तीनों माध्य समान नहीं होते हैं परन्तु विषम श्रेणी में भी मध्यका,समान्तर माध्य व बहुलक के बीच औसत सम्बन्ध है।समान्तर माध्य तथा मध्यका के बीच की दूरी समान्तर माध्य व बहुलक के बीच की दूरी की औसत एक तिहाई होती है।इसका सूत्र निम्न प्रकार है:
बहुलक=समान्तर माध्य-3(समान्तर माध्य-मध्यका)
$Z=\overline{X}-3(\overline{X}-M) \\ \Rightarrow Z=3 M-2 \overline{X} \\ M=Z+\frac{2}{3}(\overline{X}-Z) \\ M=\overline{X}-\frac{1}{3}(\overline{X}-z) \\ \Rightarrow \overline{X}=\frac{1}{2}(3 M-Z)$

प्रश्न:3.बहुलक और मध्यका ज्ञात करने के सूत्र लिखो। (Write the Formula for Finding the Mode and Median):

उत्तर:बहुलक ज्ञात करने के सूत्र
(1.)व्यक्तिगत श्रेणी (Individual Observation)
सबसे अधिक बार आनेवाला मूल्य
(2.)खण्डित श्रेणी (Discrete series)
निरीक्षण द्वारा,समूहन द्वारा अधिकतम आवृत्ति का मूल्य
(3.)सतत श्रेणी (continuous series)
निरीक्षण द्वारा,समूहन द्वारा बहुलक वर्ग में
$Z=l_1+\frac{f_1-f_0}{2 f_1-f_0-f_2} \times i \\ Z=l_1+\frac{f_2}{f_2+f_1} \times i \\ Z=3 M-2 \overline{X}$ (अनुमानित)
मध्यका (Median) ज्ञात करने के सूत्र
(1.)व्यक्तिगत श्रेणी (Individual observation)
आरोही या अवरोही क्रम
M=size of $\left(\frac{N+1}{2}\right)$ item
(2.)खण्डित श्रेणी (Discrete Series)
संचयी आवृत्ति
M=size of $\left(\frac{N+1}{2}\right)$ item
(3.)सतत श्रेणी (continuous series)
संचयी आवृत्ति M=size of $\left(\frac{N}{2}\right)$ item
मध्यका वर्ग में $M=l_1+\frac{i}{f}(m-c)$
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सांख्यिकी में बहुलक और समान्तर माध्य (Mode and Arithmetic Mean in Statistics),सांख्यिकी में बहुलक और मध्यका (Mode and Median in Statistics) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Mode and Arithmetic Mean in Statistics

सांख्यिकी में बहुलक और समान्तर माध्य
(Mode and Arithmetic Mean in Statistics)