1.सांख्यिकी में प्रतीपगमन समीकरण (Regression Equations in Statistics),सांख्यिकी में प्रतीपगमन गुणांक (Regression Coefficient in Statistics):

Regression Equations in Statistics

सांख्यिकी में प्रतीपगमन समीकरण (Regression Equations in Statistics) के इस आर्टिकल में प्रतीपगमन समीकरण,प्रतीपगमन गुणांक,कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक का अध्ययन करेंगे।
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2.सांख्यिकी में प्रतीपगमन समीकरण के साधित उदाहरण (Regression Equations in Statistics Solved Examples):

Example:13.निम्नलिखित समंकों से प्रतीपगमन गुणांक एवं सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिए:
(Find out the regression coefficient of correlation from the following data):

Solution:Calculation Table of Regression Coeffocient

Mean values of series ‘X’ and series ‘Y’
\bar{X}=\frac{\Sigma X}{N}=\frac{150}{5}=30 \\ \bar{Y}=\frac{\Sigma Y}{N}=\frac{250}{5}=50
Regression coefficiont X on Y :
b_{xy}=\frac{\Sigma d x d y}{\Sigma d^2 y}=\frac{1300}{2600}=0.5
Y on X:
b_{yx}=\frac{\Sigma dx dy}{\Sigma d^2 x}=\frac{1300}{1000}=1.3
coefficient of correlation:
r=\sqrt{(b_{xy})(b_{yx})}=\sqrt{0.5 \times 1.3} \\ r=+0.8062 \\ \Rightarrow r \approx+0.806
Example:14.निम्न सूचनाओं से प्रतीपगमन समीकरण बनाइए तथा y का मूल्य ज्ञात कीजिए जब x=20 हो तथा x का मूल्य बताइए जब y=25 हो:
(Obtain two regression equations of the following information and find out the value of y when x=20 and the value x when y=25):

Solution:Calculation Table of Regression Equations

\bar{X}=\frac{\Sigma X}{N}=\frac{90}{5}=18 \\ \bar{Y}=\frac{\Sigma Y}{N}=\frac{124}{5}=24.8
Regression coefficient X on Y
b_{xy}=\frac{N \cdot \Sigma d x d y-(\Sigma d x)(\Sigma d y)}{N \cdot \Sigma d^2 y-(\Sigma d y)^2} \\ =\frac{5 \times 136-(0)(-6)}{5 \times 188-(-6)^2} \\ =\frac{680}{940-36}=\frac{680}{904}=+0.7522 \\ \Rightarrow b_{xy}=+0.7522 \\ Y on X \\ b_{yx}=\frac{N \cdot \Sigma d x d y-(\Sigma d x)(\Sigma d y)}{N \cdot \Sigma d^2 x-(\Sigma d x)^2} \\ =\frac{5 \times 136-(0)(-6)}{5 \times 104-(0)^2} \\ =\frac{680}{520}=1.30769 \\ b_{yx} \approx+1.3077
Regression Equation X on Y
X-\overline{X}=b_{xy}(Y-\overline{Y}) \\ \Rightarrow X-18=0.7522(Y-24.8) \\ \Rightarrow X=0.7522 Y-18.65456+18 \\ \Rightarrow X=0.7522 Y-0.655
जब y=25 तब X=0.7522 \times 25-0.655 \\ \Rightarrow X=18.805-0.655=18.15
Regression Equation Y on X
Y-\overline{Y}=b_{yx}(X-\overline{X}) \\ \Rightarrow Y-24.8=1.3077(X-18) \\ \Rightarrow Y=1.3077 X-23523.5386+24.8 \\ \Rightarrow Y=1.3077 X+1.2614
जब X=20 तो Y=1.3077 \times 20+1.2614 \\ Y=26.154+1.2614 \\ \Rightarrow Y=27.4154
Example:15.निम्नलिखित प्रस्तुत समंकों से कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक तथा दोनों प्रतीपगमन समीकरण की गणना कीजिए:
(Calculate Karl Pearson’s coefficient of correlation and the two regression equations from the following data):

Solution:Calculation Table of Regression Equations

Mean values of series ‘X’ and series ‘Y’
\overline{X}=\frac{\overline{X}}{N}=\frac{600}{10}=60 \\ \overline{Y}=\frac{\overline{Y}}{N}=\frac{81}{10}=8.1
Regression coefficent X on Y
b_{xy}=\frac{N \Sigma d x d y-(\Sigma d x)(\Sigma d y)}{N \cdot \Sigma d^2 y-(\Sigma d y)^2} \\ =\frac{10 \times 460-(-200)(-9)}{10 \times 73-(-9)^2} \\ =\frac{4600-1800}{730-81}=\frac{2800}{649}=4.3143 \\ \Rightarrow b_{xy} \approx+4.31
Y on X
b_{yx}=\frac{N \cdot \Sigma d x d y-(\Sigma d x)(\Sigma d y)}{N \cdot \Sigma d^2 x-(\Sigma d x)^2} \\ =\frac{10 \times 460-(-200)(-9)}{10 \times 6400-(-200)^2} \\ =\frac{4600-1800}{64000-40000} \\ =\frac{2800}{24000}=0.1166 \\ \Rightarrow b_{yx} \approx+0.117
Regression Equation X on Y
X-\bar{X}=b_{xy}(Y-\bar{Y}) \\ \Rightarrow X-60=4.31(Y-8.1) \\ \Rightarrow X=4.3(Y-34.911+60 \\ \Rightarrow X=4.31 Y+25.089
Y on X
Y-\bar{Y}=b_{yx}(X-\bar{X}) \\ \Rightarrow Y-8.1=0.117(X-60) \\ \Rightarrow Y=0.117 C-7.02+8.1 \\ \Rightarrow Y=0.117 x+1.08
coefficient of correlation
r=\sqrt{(b_{xy} \times b_{yx})} \\ =\sqrt{(4.31 \times 0.117)}=0.7101 \\ \Rightarrow r \approx+0.71

Regression Equations in Statistics

Example:16.दो निर्णायक P व Q ने स्वतन्त्र रूप से नाटकीय दक्षता में सात समूहों को निम्न प्रकार अंक दिए:
(A panel of two Judges P and Q graded seven groups in dramatic performance by independently awarding marks as follows):
आठवें समूह की दक्षता जिसको कि P निर्णायक नहीं देख सके,Q निर्णायक ने 37 अंक दिये।यदि Q निर्णायक उपस्थित नहीं होते तो P निर्णायक द्वारा आठवें समूह को कितने अंक देने की सम्भावना थी?
(The performance of eighth group which Judge P could not attend, was awarded 37 marks by Judge Q.If Judge Q had also not been present,how many marks would be expected to have been awarded by him to the eighth group?):

Solution:Calculation Table of Regression Equations

Mean values of series ‘P’ and series ‘Q’
\overline{P}=\frac{\Sigma P}{N}=\frac{301}{7}=43 \\ \overline{Q}=\frac{\sum Q}{N}=\frac{266}{7}=38
Regression coeffient X on Y
b_{xy}=\frac{\Sigma d x d y}{\Sigma d^2 y} 0 \\ = \frac{21}{28}=0.75 \\ \Rightarrow b_{xy}=0.75
Y on X
b_{yx}=\frac{\Sigma dx dy}{\Sigma d^2 x}=\frac{21}{28}=0.75 \\ b_{yx}=+0.75
Regression Equation X on Y
X-\overline{P}=b_{xy}(Y-\overline{Q})^3 \\ \Rightarrow X-43=0.75(Y-38) \\ \Rightarrow x=0.75 Y-28.5+43 \\ \Rightarrow x=0.75 Y+14.5
Y on X
Y-\overline{Q}=b_{yx}(X-\overline{P}) \\ \Rightarrow Y-38=0.75(X-43) \\ \Rightarrow Y=0.75 x-32.25+38 \\ \Rightarrow Y=0.75 x+5.75 \\ x=0.75 \times+14.5 \\ Q=Y=37 \\ X=0.75 \times 37+14.5 \\ \Rightarrow X=27.75+14.5 \\ \Rightarrow x=42.25 \\ \Rightarrow X=P=42.25
Example:17.निम्न सारणी 50 नव विवाहित युगलों (पति-पत्नी) की आयु के समंक प्रस्तुत करती है।दोनों प्रतीपगमन रेखाएँ ज्ञात कीजिए तथा निम्न अनुमान भी लगाइए:(अ)पति की आयु जबकि पत्नी की आयु 20 वर्ष हो, (ब)पत्नी की आयु जबकि पति की आयु 30 वर्ष हो:
(Following table gives the ages of husbands and wives for 50 newly married couples.Find the two regression lines. Also estimate
(a)the age of husband when wife is 20 years, and (b)age of wife when husband is 30 years):

Solution:Calculation Table of Regression Equations

प्रतीपगमन गुणांक (Regression Coefficient):
X का Y पर प्रतीपगमन

b_{xy}=\frac{i_x\left[\Sigma f d x d y \cdot N-\Sigma f d x \Sigma d y\right]}{i_{y}\left[\Sigma f d^{2}y \cdot N-(\Sigma f dy)^{2} \right]} \\ =\frac{4[16 \times 50-(-16)(-5)]}{5\left[25 \times 50-(-5)^2\right]} \\ =\frac{4[800-80]}{5(1250-25)}=\frac{4 \times 720}{5 \times 1225} \\ =\frac{2880}{6125}=0.4702 \\ b_{xy} \approx+0.47
Y का X पर प्रतीपगमन

b_{yx}=\frac{i_y\left[\Sigma f d x d y \cdot N-\Sigma f d x \Sigma d y\right]}{i_{y}\left[\Sigma f d^{2}x \cdot N-(\Sigma f dx)^{2} \right]} \\ =\frac{4[16 \times 50-(-16)(-5)]}{5\left[30 \times 50-(-16)^2\right]} \\ =\frac{5[800-80]}{4(1500-256)}=\frac{5 \times 720}{4 \times 1244} \\ =\frac{3600}{4976}=0.7234\\ b_{xy} \approx+0.72
समान्तर माध्य (Mean):

\bar{x} =A_{x}+\frac{\Sigma f d x}{N} \times i \\ =22-\frac{16}{50} \times 4 \\=22-\frac{64}{50} \\=22-1.28 \\ \bar{X} =20.72 \\ \bar{Y} =A_{y}+\frac{\Sigma f d y}{N} \\ =27.5-\frac{5}{50} \times .5 \\ =27.5-0.5 \\ \bar{Y} =27
प्रतीपगमन समीकरण (Regression Equation):
X का Y पर (X on Y):

\Rightarrow X-\bar{X}=b_{xy}(Y-\bar{Y}) \\ \Rightarrow x-20.72=0.47(Y-27) \\ \Rightarrow X=0.47 Y-12.69+20.72 \\ \Rightarrow X=0.47 Y+8.03
(b)पति की आयु Y=30 वर्ष हो तो
x=0.47×30+8.03
=14.1+8.03
x=22.13 years
Y का X पर (Y on X):

Y-\bar{Y}=B_{yx}(X-\bar{X}) \\ \Rightarrow Y-27=0.72(X-20.72) \\ \Rightarrow y=0.72 X-14.984+27 \\ \Rightarrow y=0.72 X+12.0816
(a)जब पत्नी की आयु 20 वर्ष हो तो
y=0.72×20+12.0816
y=14.4+12.0816
y=26.4816
y=26.48 years
Example:18.निम्न सारणी से 100 पिताओं एवं पुत्रों की आयु के मध्य सहसम्बन्ध गुणांक तथा दोनों प्रतीपगमन रेखाएँ ज्ञात कीजिए:
(From the following table calculate coefficient of correlation and the two regression lines):

Solution:Calculation Table of Regression Lines

समान्तर माध्य (Mean):

\bar{X}=A_{x}+\frac{\Sigma fdx}{N} \\=17.5+\frac{8}{100} \times 5 \\ =17.5+0.4 \\ \bar{X}=18.1 \\ \bar{Y}=A_{y}+\frac{\Sigma f d y}{N} \times i \\ =37.5-\frac{8}{100} \times 10 \\ =37.5-0.8 \\ \bar{Y} =36.7
प्रतीपगमन गुणांक (Regression Coefficient) X on y
b_{x y}=\frac{i_x\left[ \Sigma f dx dy \cdot N-\Sigma f d x \cdot \Sigma f dy \right]}{i_{y}\left[\Sigma f^2 y \cdot N-(\Sigma f d y)^2\right]} \\ b x y =\frac{5[98 \times 100-(-8) \times-8]}{10\left[122 \times 100-(-8)^2\right]} \\ =\frac{5(9800-64)}{10(12200-64)} \\=\frac{5 \times 9736}{10 \times 12136} \\ =\frac{4868}{12136}=0.4011 \\ b_{xy} \approx+0.401
प्रतीपगमन गुणांक (Regression Coefficient)  Y on X

b_{yx}=\frac{i_{y}[\Sigma f d x d y \cdot N- \Sigma fd x \cdot \Sigma f d y]}{i_{x}\left[\Sigma f d^2 x \cdot N-\left(\Sigma f d x\right)^2\right]} \\ =\frac{10[98 \times 100-(-8) \times(-8)]}{5\left[122 \times 100-(8)^2\right]} \\ =\frac{10[9800-64]}{5[12200-64]} \\ =\frac{10 \times 9736}{5 \times 12136} \\=\frac{9736}{6068} \\ =1.6044 \\ b_{yx} \approx 1.604
प्रतीपगमन रेखाएँ (Regression Lines)
X की Y पर (X on Y)

X-\bar{X}=b_{xy}(Y-\bar{Y}) \\ X-17.1=0.401(Y-36.7) \\ X=0.401 Y-14.7167+17.1 \\ \Rightarrow X=0.401 Y+2.3833
Y की X पर (Y on X)

coefficient of correlation

r=\sqrt{(b_{xy} \times b_{yx})}=\sqrt{(0.401 \times 1.609)} \\ \Rightarrow r =0.802 \approx+0.802
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में प्रतीपगमन समीकरण (Regression Equations in Statistics),सांख्यिकी में प्रतीपगमन गुणांक (Regression Coefficient in Statistics) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में प्रतीपगमन समीकरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Regression Equations in Statistics):

Regression Equations in Statistics

(1.)नीचे X और Y के कुछ अवलोकन दिए हुए हैं।Y का X पर रेखीय प्रतीपगमन प्रयोग करके, Y का X के कारण होने वाला स्पष्टीकृत प्रसरण का अनुपात अनुमानित कीजिए।Y के प्रसरण का वह अनुपात भी बताइए जो अस्पष्टीकृत रह जाता है:
(The following are some observations of X and Y. Using linear regression of Y on X estimate the proportion of variance of Y due to X. Also find out the proportion of variance of Y which remains unexplained):

(2.)निम्नलिखित प्रदत्त सामग्री से Y की X पर प्रतीपगमन रेखा ज्ञात कीजिए और Y के औसत मानों का अनुमान कीजिए जबकि X=8,16,24।आवश्यक अतिरिक्त गणना करके X का Y पर प्रतीपगमन गणना कीजिए:
(From the following data, find the line of regression of Y on X and estimate the average value of Y when X=8,16,24.Making additional calculations, obtain the regression of X on Y):

उतर (Answers): (1) Explained varianee =64 %, unexplained propation of varianec =36%
(2) Y=.0-81.25 8+3.375, Y=10.375,16.875,23.375, X=0-8125 Y+0.25
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में प्रतीपगमन समीकरण (Regression Equations in Statistics),सांख्यिकी में प्रतीपगमन गुणांक (Regression Coefficient in Statistics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सांख्यिकी में प्रतीपगमन समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Regression Equations in Statistics),सांख्यिकी में प्रतीपगमन गुणांक (Regression Coefficient in Statistics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सांख्यिकी में प्रतीपगमन समीकरण (Regression Equations in Statistics) के इस आर्टिकल में
प्रतीपगमन समीकरण,प्रतीपगमन गुणांक,कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक का अध्ययन करेंगे।