1.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को सिम्पलेक्स विधि द्वारा कैसे हल करें? (How to Solve LPP by Simplex Method?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को सिम्पलेक्स विधि द्वारा हल करना (To Solve LPP by Simplex Method):

How to Solve LPP by Simplex Method?

रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को सिम्पलेक्स विधि द्वारा कैसे हल करें? (How to Solve LPP by Simplex Method) इसके बारे में कुछ सवालों को हल करके जानने का प्रयास करेंगे।रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं का सिम्पलेक्स विधि से हल ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को सिम्पलेक्स विधि द्वारा कैसे हल करें के साधित उदाहरण (How to Solve LPP by Simplex Method Solved Examples):

निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को सिम्पलेक्स विधि द्वारा हल कीजिए:
(Solve the following L.P.P. by Simplex Method):
Example:5.अधिकतम (max.) z=3 x_1+2 x_2+5 x_3
प्रतिबन्ध (s.t.) x_1+2 x_2+x_3 \leq 430 \\ 3 x_1+2 x_3 \leq 460 \\ x_1+4 x_2 \leq 420
तथा (and) x_1, x_2, x_3 \geq 0
Solution:प्रतिबन्ध असमिकाओं में न्यूनतापूरक चरों x_4, x_5, x_6  को सम्मिलित करने से समस्या का मानक रूप होगा: 

\max z=3 x_1+2 x_2+5 x_3+0 x_4+0 x_5+0 x_6 \\ \text { s.t. } \quad x_1+2 x_2+x_3+x_4+0 x_5+0 x_6=430 \\ 3 x_1+0 x_2+2 x_3+0 x_4+x_5+0 x_6=460 \\ x_1+4 x_2+0 x_3+0 x_4+0 x_5+x_6=420
तथा (and) x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \geq 0
प्रतिबन्ध निकाय का गुणांक मैट्रिक्स
A=\left[\begin{array}{llllll}1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5 \alpha_6\right) (मान लो)
\therefore \left(\alpha_4 \alpha_5 \alpha_6\right)=I_3, अतः प्रारम्भिक आधार B=\left(\alpha_4 \alpha_5 \alpha_6\right) एवं प्रारम्भिक सारणी निम्न होगी:
प्रथम सिम्पलैक्स सारणी

\begin{array}{|ccc|c|cccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 3 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 \\ \hline 0 & \alpha_4 & x_4 & 430 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & \alpha_5 & x_5 & 460 & 3 & 0 & \fbox{2} & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & \alpha_6 & x_6 & 420 & 1 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline & & & Z_{j}-C_{j} & -3 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 \\ \hline & & & & & & \uparrow & & \downarrow & \end{array}
Z_{j}-C_{j} के कुछ मान ऋणात्मक होने के कारण आधारी हल इष्टतम हल नहीं है। Z_{3}-C_{3}=-5 निम्नतम है अतः नवीन आधारी हल हेतु प्रवेशी सदिश होगा एवं
\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 3}}, y_{i 3}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{430}{1}, \frac{460}{2}\right\} \\ =\frac{460}{2}=\frac{x_{B 2}}{y_{23}} \\ \therefore y_{23} अर्थात् 2 मुख्य अवयव (key element) तथा \alpha_5 अपगामी सदिश होगा।अतः अन्य रूपान्तरणों द्वारा नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
द्वितीय सिम्पलैक्स सारणी को तैयार करने की विधि (working rule):
मुख्य अवयव वाली पंक्ति:मुख्य अवयव वाली पंक्ति प्रथम सारणी की द्वितीय पंक्ति है।अतः प्रथम सारणी की द्वितीय पंक्ति के अवयवों में मुख्य अवयव 2 का भाग देने पर द्वितीय सारणी की द्वितीय पंक्ति तैयार होगी:

\frac{460}{2}=230, \frac{3}{2}, \frac{0}{2}=0, \frac{2}{2}=1, \frac{0}{2}=0, \frac{1}{2} , \frac{0}{2}=0
प्रथम पंक्ति:प्रथम सारणी की प्रथम पंक्ति में से द्वितीय सारणी की द्वितीय पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) के अवयवों को अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को प्रथम सारणी के मुख्य अवयव के संगत प्रथम पंक्ति के अवयव अर्थात् 1 से गुणा करके घटा देंगे:
430-230 \times 1=200,1-\frac{3}{2} \times 1=-\frac{1}{2}, 2-0 \times 1=2 \\ 1- 1 \times 1=0,1-0 \times 1=1,0-\frac{1}{2} \times 1=-\frac{1}{2},0-0 \times 1=0
तृतीय पंक्ति:प्रथम सारणी की तृतीय पंक्ति के अवयवों में से उपर्युक्त तैयार की गई मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों को प्रथम सारणी के मुख्य अवयव के संगत तृतीय पंक्ति के अवयव अर्थात् 0 से गुणा करके घटा देंगे:
420-230 \times 0=420,1-\frac{3}{2} \times 0=1,4-0 \times 0=4, \\ 0-1 \times 0=0,0-1 \times 0=0,0-\frac{1}{2} \times 0=0,1-0 \times 0=1
द्वितीय सिम्पलैक्स सारणी

\begin{array}{|ccc|c|cccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 3 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 \\ \hline 0 & \alpha_4 & x_4 & 200 & -\frac{1}{2} & \fbox{2} & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & 0 \\ \hline 5 & \alpha_3 & x_3 & 230 & \frac{3}{2} & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ \hline 0 & \alpha_6 & x_6 & 420 & 1 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline & & & Z_{j}-C_{j} & \frac{9}{2} & -2 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & 0 \\ \hline & & & & & \uparrow & & \downarrow & \end{array}
Z_{j}-C_{j} के कुछ मान ऋणात्मक होने के कारण आधारी हल इष्टतम हल नहीं है। Z_{2}-C_{2}=-2 निम्नतम है अतः नवीन आधारी हल हेतु \alpha_2 प्रवेशी सदिश होगा एवं
\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 2}}, y_{i 2}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{200}{2}, \frac{420}{4}\right\} \\ =\frac{200}{2}=\frac{x_{B 1}}{y_{12}} \\ \therefore y_{12}
अर्थात् 2 मुख्य अवयव (key element) तथा \alpha_4 अपगामी सदिश होगा।अतः अन्य रूपान्तरणों द्वारा नवीन सारणी निम्न होगी:

\frac{200}{2}=100, \frac{-\frac{1}{2}}{2}=-\frac{1}{4}, \frac{2}{2}=1, \frac{0}{2}=0 \\ \frac{1}{2}=\frac{1}{2}, \frac{\frac{1}{2}}{2}=-\frac{1}{4} ,\frac{0}{2}=0
तृतीय सिम्पलैक्स सारणी को तैयार करने की विधि (working rule):
मुख्य अवयव वाली पंक्ति:मुख्य अवयव वाली पंक्ति द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति है।अतः द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति के अवयवों में मुख्य अवयव 2 का भाग देने पर तृतीय सारणी की प्रथम पंक्ति तैयार होगी:
द्वितीय पंक्ति:द्वितीय सारणी की द्वितीय पंक्ति के अवयवों में से तृतीय सारणी की प्रथम पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को द्वितीय सारणी के मुख्य अवयव के संगत द्वितीय पंक्ति के अवयव अर्थात् 0 से गुणा करके घटा देते हैं:
230-100 \times 0=230, \frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{4}\right) \times 0=\frac{3}{2}, 0-1 \times 0=0 \\ 1-0 \times 0=1,0-\frac{1}{2} \times 0=0, \frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{4}\right) \times 0=\frac{1}{2}, 0-0 \times 0=0
तृतीय पंक्ति:द्वितीय सारणी की तृतीय पंक्ति के अवयवों को द्वितीय सारणी के मुख्य अवयव के संगत तृतीय पंक्ति के अवयव अर्थात् 4 से गुणा करके घटा देते हैं:
420-100 \times 4=20,1-\left(-\frac{1}{4}\right) \times 4=2,4-1 \times 4=0 \\ 0-0 \times 4=0,0-\frac{1}{2} \times 4=-2, 0-\left(-\frac{1}{4}\right) \times 4=+1,1-0 \times 4=1
तृतीय सिम्पलैक्स सारणी

\begin{array}{|ccc|c|cccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 3 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 \\ \hline 2 & \alpha_2 & x_2 & 100 & -\frac{1}{4} & 1 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & 0 \\ \hline 5 & \alpha_3 & x_3 & 230 & \frac{3}{2} & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ \hline 0 & \alpha_6 & x_6 & 20 & 2 & 0 & 0 & -2 & 1 & 1 \\ \hline & & & Z_{j}-C_{j} & 4 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ \hline & & & & & \uparrow & & \downarrow & \end{array}
उपर्युक्त सारणी में Z_{j}-C_{j} के सभी मान धनात्मक (\geq 0) हैं,अतः इसका आधारी हल इष्टतम होगा जो निम्न प्रकार है: 

x_1=0, x_2=100, x_3=230
अतः दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम हल है:

x_1=0, x_2=100, x_3=230
तथा अधिकतम (Max.) Z=3 x_1+2 x_2+5 x_3 \\ =3 \times 0+2 \times 100+5 \times 200 \\ =0+200+1150 \\ =1350 

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को सिम्पलेक्स विधि द्वारा कैसे हल करें? (How to Solve LPP by Simplex Method?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को सिम्पलेक्स विधि द्वारा हल करना (To Solve LPP by Simplex Method) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
Example:6.अधिकतम (max.) Z=2 x_1+10 x_2
प्रतिबन्ध (s.t.) 2 x_1+x_2 \leq 50 \\ 2 x_1+5 x_2 \leq 100 \\ 2 x_1+3 x_2 \leq 90 \\ x_1, x_2 \geq 0

तथा (and)  x_1, x_2 \geq 0
Solution:प्रतिबन्ध असमिकाओं में न्यूनतापूरक चरों x_3, x_4 तथा x_5 को सम्मिलित करने से समस्या का मानक रूप होगा:

Z=4 x_1+10 x_2+0 x_3+0 x_4+0 x_5 \\ 2 x_1+x_2+x_3+0 x_4+0 x_5=50 \\ \text { s.t. } 2 x_1+5 x_2+0 x_3+0 x_4+0 x_5=100 \\ 2 x_1+3 x_2+0 x_3+0 x_4+x_5=90
तथा x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0
प्रतिबन्ध निकाय का गुणांक मैट्रिक्स
A=\left[\begin{array}{lllll} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5\right) (मानलो)
\therefore\left(\alpha_3 \alpha_4 \alpha_5\right)=I_3, अतः प्रारम्भिक आधार B=\left(\alpha_3 \alpha_4 \alpha_5 \right) एवं प्रारम्भिक सारणी निम्न होगी:
प्रथम सिम्पलैक्स सारणी

\begin{array}{|ccc|c|ccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 4 & 10 & 0 & 0 & 0 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 \\ \hline 0 & \alpha_3 & x_3 & 50 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & \alpha_4 & x_4 & 100 & 2 & \fbox{5} & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & \alpha_5 & x_5 & 90 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ \hline & & & Z_{j}-C_{j} & -4 & -10 & 0 & 0 & 0 \\ \hline & & & & & \uparrow & & \downarrow & \end{array}
Z_{j}-C_{j} के कुछ मान ऋणात्मक होने के कारण आधारी हल इष्टतम हल नहीं है। Z_{2}-C_{2}=-10 निम्नतम है अतः नवीन आधारी हल हेतु \alpha_2 प्रवेशी सदिश होगा एवं
\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 2}}, y_{i 2}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{50}{1}, \frac{100}{5}, \frac{90}{3}\right\} \\ =\frac{100}{5}=\frac{x_{B 2}}{y_{22}} \\ \therefore y_{22} अर्थात् 5 मुख्य अवयव (key element) तथा \alpha_4 अपगामी सदिश होगा।अतः अन्य रूपान्तरणों द्वारा नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
द्वितीय सिम्पलैक्स सारणी

\begin{array}{|ccc|c|ccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 4 & 10 & 0 & 0 & 0 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 \\ \hline 0 & \alpha_3 & x_3 & 30 & \frac{8}{5} & 0 & 1 & -\frac{1}{5} & 0 \\ \hline 10 & \alpha_2 & x_2 & 20 & \frac{2}{5} & 1 & 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ \hline 0 & \alpha_5 & x_5 & 30 & \frac{4}{5} & 0 & 0 & -\frac{3}{5} & 1 \\ \hline & & & Z_{j}-C_{j} & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ \hline \end{array}
उपर्युक्त सारणी में Z_{j}-C_{j} के सभी मान धनात्मक (\geq 0) हैं अतः इसका आधारी हल इष्टतम होगा जो निम्न प्रकार है:

x_1=0, x_2=20
अतः दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम हल है:

x_1=0, x_2=20
तथा अधिकतम (max.) Z=4 x_1+10 x_2 \\=4(0)+10 \times 20 \\=2000

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को सिम्पलेक्स विधि द्वारा कैसे हल करें? (How to Solve LPP by Simplex Method?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को सिम्पलेक्स विधि द्वारा हल करना (To Solve LPP by Simplex Method) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

How to Solve LPP by Simplex Method?

Example:7.अधिकतम (max.) Z=2 x_1+4 x_2
प्रतिबन्ध (s.t.) 2 x_1+3 x_2 \leq 48 \\ x_1+3 x_2 \leq 42 \\ x_1+x_2 \leq 21
तथा (and) x_1, x_2 \geq 0
Solution:प्रतिबन्ध असमिकाओं में न्यूनतापूरक चरों x_3, x_4 तथा x_5 को सम्मिलित करने से समस्या का मानक रूप होगा:

max. Z=2 x_1+4 x_2+0 x_3+0 x_4+0 x_5 \\ \text { s.t. } 2x_1+3 x_2+x_3+0 x_4+0 x_5=48 \\ x_1+3 x_2+0 x_3+x_4+0 x_5=42 \\ x_1+x_2+0 x_3+0 x_4+x_5=21
तथा x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0
प्रतिबन्ध निकाय का गुणांक मैट्रिक्स

A=\left[\begin{array}{lllll} 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]=\left(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5\right) (मान लो)
\therefore\left(\alpha_3 \alpha_4 \alpha_5\right)=I_3 अतः प्रारम्भिक आधार B=\left(\alpha_3 \alpha_4 \alpha_5\right) एवं प्रारम्भिक सारणी निम्न होगी:
प्रथम सिम्पलैक्स सारणी

\begin{array}{|ccc|c|ccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 2 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 \\ \hline 0 & \alpha_3 & x_3 & 48 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & \alpha_4 & x_4 & 42 & 1 & \fbox{3} & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & \alpha_5 & x_5 & 21 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline & & & Z_{j}-C_{j} & -2 & -4 & 0 & 0 & 0 \\ \hline & & & & & \uparrow & & \downarrow & \end{array}
Z_{j}-C_{j} के कुछ मान ऋणात्मक होने के कारण आधारी हल इष्टतम हल नहीं है। Z_{2}-C_{2}=-4 निम्नतम है अतः नवीन आधारी हल हेतु \alpha_2 प्रवेशी सदिश होगा एवं
\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 2}}, y_{i 2}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{48}{3}, \frac{42}{3}, \frac{21}{1}\right\} \\ =\frac{42}{3}=\frac{x_{B 2}}{y_{22}} \\ \therefore y_{22}
अर्थात् 3 मुख्य अवयव (key element) तथा \alpha_4 अपगामी सदिश होगा।अतः अन्य रूपान्तरणों द्वारा नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
द्वितीय सिम्पलैक्स सारणी

\begin{array}{|ccc|c|ccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 2 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 \\ \hline 0 & \alpha_3 & x_3 & 6 & \fbox{1} & 0 & 1 & -1 & 0 \\ \hline 4 & \alpha_2 & x_2 & 14 & \frac{1}{3} & 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ \hline 0 & \alpha_5 & x_5 & 7 & \frac{2}{3} & 0 & 0 & -\frac{1}{3} & 1 \\ \hline & & & Z_{j}-C_{j} & -\frac{2}{3} & 0 & 0 & \frac{4}{3} & 0 \\ \hline & & & & \uparrow & & \downarrow & & \end{array}
Z_{j}-C_{j} के कुछ मान ऋणात्मक होने के कारण आधारी हल इष्टतम हल नहीं है। Z_{1}-C_{1}=-\frac{2}{3}  निम्नतम है अतः नवीन आधारी हल हेतु \alpha_1 प्रवेशी सदिश होगा एवं
\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 1}}, y_{i 1}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{6}{1}, \frac{14}{\frac{1}{3}}, \frac{7}{\frac{2}{3}}\right\} \\ =\frac{6}{1}=\frac{x_{B 1}}{y_{11}} \\ \therefore y_{11} अर्थात् 1 मुख्य अवयव (key element) तथा \alpha_3 अपगामी सदिश होगा।अतः अन्य रूपान्तरणों द्वारा नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
तृतीय सिम्पलैक्स सारणी

\begin{array}{|ccc|c|ccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 2 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 \\ \hline 2 & \alpha_1 & x_1 & 6 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ \hline 4 & \alpha_2 & x_2 & 12 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ \hline 0 & \alpha_5 & x_5 & 3 & 0 & 0 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 1 \\ \hline & & & Z_{j}-C_{j} & 0 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ \hline \end{array}
उपर्युक्त सारणी में Z_{j}-C_{j} के सभी मान धनात्मक (\geq 0) हैं अतः इसका आधारी हल इष्टतम हल होगा जो निम्न प्रकार है:

x_1=6, x_2=12
अतः दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम हल हैः

x_1=6, x_2=12
तथा अधिकतम (Max.) Z=2 x_1+4 x_2 \\ =2 \times 6+4 \times 12 \\ =12+48 \\ \Rightarrow \max Z=60
Example:8.निम्नतम (Min.) Z=4 x_1+2 x_2
प्रतिबन्ध (s.t.) 3 x_1+x_2 \geq 27 \\ -x_1-x_2 \geq -21 \\ - x_1+2 x_2 \geq 30
तथा (and) x_1 , x_2 \geq 0
Solution:सर्वप्रथम उद्देश्य फलन को अधिकतमीकरण की समस्या में बदलते हैं।चूंकि यह एक निम्नतमीकरण की समस्या है तथा प्रतिबन्ध असमिका द्वितीय में b का को धनात्मक रूप में परिवर्तित करते हैं।
अधिकतम Z^{\prime}=-4 x_1-2 x_2
प्रतिबन्ध 3 x_1+x_2 \geq 27 \\ x_1+x_2 \leq 21 \\ x_1+2 x_2 \geq 30
तथा x_1, x_2 \geq 0
अब प्रतिबन्ध असमिकाओं में x_4 न्यूनतापूरक चर तथा x_3,x_5 आधिक्यपूरक चर सम्मिलित करते हैं।
अधिकतम Z^{\prime}=-4 x_1-2 x_2+0 x_3+0 x_4+0 x_5 
प्रतिबन्ध 3 x_1+x_2-x_3+0 x_4+0 x_5=27 \\ x_1+x_2+0 x_3+x_4+0 x_5=21 \\ x_1+2 x_2+0 x_3+0 x_4-x_5=30
या \left[\begin{array}{rrrrr} 3 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & +1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 27 \\ 21 \\ 30 \end{array}\right]
इस समस्या द्वारा प्रारम्भिक सुसंगत हल प्राप्त नहीं कर सकते चूँकि इसमें e_{1},e_3 विद्यमान नहीं है,अतः उपर्युक्त समीकरण में x_6,x_7 कृत्रिम चर जोड़ते हैं तथा उद्देश्य फलन में इनके मूल्य -M रखेंगे जहाँ M एक बहुत बड़ी धनात्मक संख्या है,अतः समस्या का मानक रूप होगा:
अधिकतम Z^{\prime}=-4 x_1-2 x_2+0 x_3+0 x_4+0 x_5-Mx_6-Mx_7
प्रतिबन्ध 3 x_1+x_2-x_3+0 x_4+0 x_5+x_6+0 x_7=27 \\ x_1+x_2+0 x_3+x_4+0 x_5+0 x_6+0 x_7=21 \\ x_1+2 x_2+0 x_3+0 x_4+0 x_5+0 x_6+x_7=30
प्रतिबन्ध निकाय की गुणांक मैट्रिक्स
A=\left[\begin{array}{ccccccc} 3 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & +1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]=\left(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5 \alpha_6 \alpha_7\right) (मानलो)
\therefore \left(\alpha_6 \alpha_4 \alpha_7\right)=I_3, अतः प्रारम्भिक आधार B=\left(\alpha_6 \alpha_4 \alpha_7\right) तथा प्रारम्भिक सिम्पलैक्स सारणी निम्न प्रकार होगी:
प्रथम सिम्पलैक्स सारणी

Z_{j}-C_{j} के कुछ मान ऋणात्मक होने के कारण आधारी हल इष्टतम नहीं है। Z_{1}-C_{1}=-4M+4  निम्नतम है अतः नवीन आधारी हल हेतु \alpha_1 प्रवेशी सदिश होगा एवं
\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 1}}, y_{i 1}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{27}{3}, \frac{24}{1}, \frac{30}{1}\right\} \\ =\frac{27}{3}=\frac{x_{B 1}}{y_{11}} \\ \therefore y_{11} अर्थात् 3 मुख्य अवयव (key element) तथा \alpha_6 अपगामी सदिश होगा।अन्य रूपान्तरणों द्वारा नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
द्वितीय सिम्पलैक्स सारणी को तैयार करने की विधि (working rule):
मुख्य अवयव वाली पंक्ति (प्रथम पंक्ति):मुख्य अवयव वाली पंक्ति प्रथम पंक्ति है।अतः प्रथम सारणी की प्रथम पंक्ति के अवयवों में मुख्य अवयव 3 का भाग देने पर द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति तैयार होगी:

\frac{27}{3}=9, \frac{3}{3}=1, \frac{1}{3},-\frac{1}{3}, \frac{0}{3}=0, \frac{0}{3}=0,3 \frac{0}{3}=0
द्वितीय पंक्ति:प्रथम सारणी की द्वितीय पंक्ति में से द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) के अवयवों को अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को प्रथम सारणी के मुख्य अवयव के संगत द्वितीय पंक्ति के अवयव 1 से गुणा करके घटा देंगे:
21-9 \times 1=12,1-1 \times 1=0,1-\frac{1}{3} \times 1=-\frac{2}{3} , \\ 0 -(-\frac{1}{3}) \times 1 =\frac{1}{3}, 1-0 \times 1=1,0-0 \times 1=0,0-0 \times 1=0
तृतीय पंक्ति:प्रथम सारणी की तृतीय पंक्ति में से द्वितीय सारणी के लिए तैयार की गई प्रथम पंक्ति (प्रथम सारणी की मुख्य अवयव वाली पंक्ति से) के अवयवों को प्रथम सारणी के मुख्य अवयव के संगत तृतीय पंक्ति के अवयव 1 से गुणा करके घटा देंगे:
30-9 \times 1=21,1-1 \times 1=0,2-\frac{1}{3} \times 1=\frac{5}{3}, \\ 0-\left(-\frac{1}{3}\right) \times 1=\frac{1}{3},0-0 \times 1=0,-1-0 \times 1=-1 ,1-0 \times 1=1
द्वितीय सिम्पलैक्स सारणी

Z_{j}-C_{j} के कुछ मान ऋणात्मक होने के कारण आधारी हल इष्टतम हल नहीं है। Z_{2}-C_{2}=-5M+\frac{2}{3}  निम्नतम है अतः नवीन आधारी हल हेतु \alpha_2 प्रवेशी सदिश होगा एवं
\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 2}}, y_{i 2}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}} \left\{\frac{9}{\frac{1}{3}}, \frac{12}{\frac{2}{3}}, \frac{21}{\frac{5}{3}}\right\} \\ =\frac{21}{\frac{5}{3}}=\frac{x_{B 3}}{y_{32}} \\ \therefore y_{32} अर्थात् मुख्य अवयव (key element) तथा \alpha_7 अपगामी सदिश होगा।अन्य रूपान्तरणों द्वारा नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
तृतीय सिम्पलैक्स सारणी को तैयार करने की विधि (working rule):
मुख्य अवयव वाली पंक्ति (तृतीय पंक्ति):मुख्य अवयव वाली पंक्ति द्वितीय सारणी की तृतीय पंक्ति है।अतः द्वितीय सारणी की तृतीय पंक्ति के अवयवों में मुख्य अवयव \frac{5}{3} का भाग देने पर तृतीय सारणी की तीसरी पंक्ति तैयार हौगी:

\frac{21}{\frac{5}{3}}=\frac{63}{5}, \frac{0}{\frac{5}{3}}=0, \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}}=1, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{1}{5}, \frac{0}{\frac{5}{3}}=0, \frac{-1}{\frac{5}{3}}=\frac{-3}{5}
प्रथम पंक्ति:द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति में से तृतीय सारणी की तृतीय पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को द्वितीय सारणी के मुख्य अवयव के संगत प्रथम पंक्ति के अवयव \frac{1}{3} से गुणा करके घटा देंगे:

9-\frac{63}{5} \times \frac{1}{3}=\frac{24}{5}, 1-0 \times \frac{1}{3}=1, \frac{1}{3}-1 \times \frac{1}{3}=0, \\ -\frac{1}{3}-\frac{1}{5} \times \frac{1}{3}=-\frac{2}{5}, 0-0 \times \frac{1}{3}=0,0-\left(\frac{-3}{5}\right) \times \frac{1}{3}=\frac{1}{5}
द्वितीय पंक्ति:द्वितीय सारणी की द्वितीय पंक्ति के अवयवों में से तृतीय सारणी के लिए तैयार की गई तृतीय पंक्ति के अवयवों को द्वितीय पंक्ति के अवयव \frac{2}{3} से गुणा करके घटा देंगे:

12-\frac{63}{5} \times \frac{2}{3}=\frac{18}{5}, 0-0 \times \frac{2}{3}=0, \frac{2}{3}-1 \times \frac{2}{3}=0 \\ \frac{1}{3}-\frac{1}{5} \times \frac{2}{3}=\frac{1}{5}, 1-0 \times \frac{2}{3}=1,0-\left(-\frac{3}{5}\right) \frac{2}{3}=\frac{2}{5}
तृतीय सिम्पलैक्स सारणी

उपर्युक्त सारणी में Z_{j}-C_{j} के सभी मान धनात्मक (\geq 0) हैं अतः इसका आधारी हल इष्टतम हल होगा जो निम्न प्रकार है:

x_1=\frac{24}{5}, x_2=\frac{63}{5}
अतः दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम हल है:

x_1=\frac{24}{5}, x_2=\frac{63}{5}
तथा निम्नतम (Min.) Z=4 x_1+2 x_2 \\ =4 \times \frac{24}{5}+2 \times \frac{63}{5} \\ \Rightarrow \text{min} Z=\frac{96+126}{5}=\frac{222}{5}

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को सिम्पलेक्स विधि द्वारा कैसे हल करें? (How to Solve LPP by Simplex Method?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को सिम्पलेक्स विधि द्वारा हल करना (To Solve LPP by Simplex Method) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
Example:9.निम्नतम (Min.) Z=2 x_1+x_2
प्रतिबन्ध (s.t.) 3 x_1+x_2=3 \\ 4 x_1+3 x_2 \geq 6 \\ x_1+2 x_2 \leq 4
तथा (and) x_1,x_2 \geq 0
Solution:सर्वप्रथम समस्या को अधिकतमीकरण की समस्या में परिवर्तित करते हैं।तत्पश्चात आधिक्यपूरक चर x_3 एवं न्यूनतापूरक चर x_4 भी सम्मिलित करते हैं।अतः परिवर्तित समस्या होगी:
अधिकतम Z^{*}=-2 x_1-x_2

प्रतिबन्ध 3 x_1+x_2+0 x_3+0 x_1=3 \\ 4 x_1+3 x_2-x_3+0 x_4=6 \\ x_1+2 x_2+0 x_3+x_4=4

तथा x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0

प्रतिबन्ध निकाय में एकांक सदिश (e_1,e_2) विद्यमान नहीं है,अतः कृत्रिम चर x_5 तथा x_6 को सम्मिलित करेंगे तथा उद्देश्य फलन में इनके मूल्य – M लेंगे जहाँ M एक बहुत बड़ी धनात्मक संख्या है।अतः समस्या का मानक रूप होगा:

अधिकतम  Z^{*}=-2 x_1-x_2+0 x_3+0 x_4-M x_5-M x_6
प्रतिबन्ध 3 x_1+x_2+0 x_3+0 x_4+x_5+0 x_6=3 \\ 4 x_1+3 x_2-x_3+0 x_4+0 x_5+x_6=6 \\ x_1+2 x_2+0 x_3+x_4+0 x_5+0 x_6=4
तथा  x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \geq 0
प्रतिबन्ध निकाय में गुणांक मैट्रिक्स

A=\left[\begin{array}{cccccc} 3 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right]=\left(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5 \alpha_6\right)
\therefore\left(\alpha_5 \alpha_6 \alpha_4\right)=I_3 अतः आधार B=\left(\alpha_5 \alpha_6 \alpha_4\right) तथा प्रारम्भिक सारणी होगीः
प्रथम सिम्पलैक्स सारणी

उपर्युक्त सारणी में Z_{j}-C_{j} के कुछ मान ऋणात्मक हैं,अतः आधारी हल इष्टतम हल नहीं है।पुनः Z_{1}-C_{1} निम्नतम है,अतः नवीन आधार हेतु \alpha_1 प्रवेशी सदिश, \alpha_5 अपगामी सदिश एवं 3 मुख्य अवयव होगा।अतः सामान्य रूपान्तरणों द्वारा नवीन सारणी इस प्रकार होगीः
द्वितीय सिम्पलैक्स सारणी

पुनः इस सारणी में Z_{2}-C_{2}<0 अतः आधारी हल इष्टतम हल नहीं है।चूँकि Z_{2}-C_{2} ऋणात्मक निम्नतम है,अतः \alpha_2 प्रवेशी सदिश होगा एवं y_{22} अर्थात् \frac{5}{3} मुख्य अवयव होगा,जिसे अगली सारणी में सम्मिलित नहीं करेंगे।चूँकि \alpha_6 एक कृत्रिम सदिश है।अतः नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
तृतीय सिम्पलैक्स सारणी

इस सारणी में Z_{j}-C_{j} सभी मान (\geq 0 ) है,अतः आधारी हल इष्टतम है जो निम्न प्रकार हैः
x_1=\frac{3}{5} तथा x_2=\frac{6}{5}, x_3=0, x_4=1
अतः दी गई समस्या का इष्टतम हल x_1=\frac{3}{5}, x_2=\frac{6}{5} है।
अधिकतम Z^{*}=-2 \times \frac{3}{5}-\frac{6}{5}=\frac{12}{5},अतः निम्नतम Z=\frac{12}{5}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को सिम्पलेक्स विधि द्वारा कैसे हल करें? (How to Solve LPP by Simplex Method?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को सिम्पलेक्स विधि द्वारा हल करना (To Solve LPP by Simplex Method) को समझ सकते हैं।

3.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को सिम्पलेक्स विधि द्वारा कैसे हल करें पर आधारित सवाल (Questions Based on How to Solve LPP by Simplex Method?):

How to Solve LPP by Simplex Method?

निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को सिम्पलेक्स विधि से हल कीजिए:
(Solve the following L.P.P. by simplex method):
(1.)निम्नतम (Min.) Z=x_1+x_2
प्रतिबन्ध 2 x_1+x_2 \geq 4 \\ x_1+7 x_2 \geq 7
तथा (and) x_1, x_2 \geq 0
(2.)अधिकतम (Max.) Z=x_1+5 x_2
प्रतिबन्ध (s.t.) 3 x_1+4 x_2 \leq 6 \\ x_1+3 x_2 \geq 2
तथा (and) x_1, x_2 \geq 0
उत्तर (Answers):(1.) x_{1}=\frac{21}{13},x_{2}=\frac{10}{13}, min Z=\frac{31}{13}

(2.)x_{1}=0,x_{2}=\frac{3}{2},  (Max.) Z=\frac{15}{2}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को सिम्पलेक्स विधि द्वारा कैसे हल करें? (How to Solve LPP by Simplex Method?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को सिम्पलेक्स विधि द्वारा हल करना (To Solve LPP by Simplex Method) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को सिम्पलेक्स विधि द्वारा कैसे हल करें? (Frequently Asked Questions Related to How to Solve LPP by Simplex Method?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को सिम्पलेक्स विधि द्वारा हल करना (To Solve LPP by Simplex Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को सिम्पलेक्स विधि द्वारा कैसे हल करें? (How to Solve LPP
by Simplex Method?) इसके बारे में कुछ सवालों को हल करके जानने का प्रयास करेंगे।