1.रैखिक प्रोग्रामन समस्या की द्वैती समस्या कैसे ज्ञात करें? (How to Find Dual of LPP?),रैखिक प्रोग्रामन समस्या की द्वैती समस्या ज्ञात करें (To Find Dual of Linear Programming Problem):

How to Find Dual of LPP?

रैखिक प्रोग्रामन समस्या की द्वैती समस्या कैसे ज्ञात करें? (How to Find Dual of LPP?) के इस आर्टिकल में रैखिक प्रोग्रामन समस्या के सवालों की द्वैती समस्या ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.रैखिक प्रोग्रामन समस्या की द्वैती समस्या कैसे ज्ञात करें पर आधारित उदाहरण (Illustration Based on How to Find Dual of LPP?):

निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं के द्वैती समस्याएं लिखिए।
(Write the dual of the following L. P. P.)
Illustration:7(a).निम्नतम करो (Minimize): Z=2 x_2+5 x_3
प्रतिबन्ध (s.t.) x_1+x_3 \geq 2 \\ 2 x_1+x_2+6 x_3 \leq 6 \\ x_1-x_2+3 x_3=4
तथा (and) x_1,x_2, x_3 \geq 0
Solution:हम सर्वप्रथम दी गई समस्या को आद्य समस्या के मानक रूप में परिवर्तित करते हैं।चूँकि यह समस्या निम्नतमीकरण की है,अतः प्रतिबन्ध में दी गई समीकरणों को हम ‘\geq‘ चिन्ह की असमिकाओं में परिवर्तित करते हैं।दिए हुए प्रतिबन्धों में एक प्रतिबन्ध ‘\leq‘  चिन्ह का है,अतः इस प्रतिबन्ध में ‘\geq‘ चिन्ह प्राप्त करने के लिए -1 से गुणा करते हैं।समीकरण x_1-x_2+3 x_3=4 निम्न दो असमिकाओं के तुल्य है: x_1-x_2+3 x_3 \geq 4 तथा -x_1+x_2-3 x_3 \geq -4 अतः दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का मानक आद्य रूप निम्न होगा:
निम्नतम करो (Minimize): Z=2 x_2+5 x_3
प्रतिबन्ध x_1+x_3 \geq 2 \\ -2 x_1-x_2-6 x_3 \geq -6 \\ x_1-x_2+3 x_3 \geq 4 \\ -x_1+x_2-3 x_3 \geq -4
तथा x_1, x_2, x_3 \geq 0
इसे मैट्रिक्स रूप में निम्न प्रकार से व्यक्त कर सकते हैं:
निम्नतम करो:Z=CX
प्रतिबन्ध A X \geq b
तथा X \geq 0
जहाँ A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & -6 \\ 1 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & -3 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right], b=\left[\begin{array}{c} 2 \\ -6 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right]
तथा C=\left[\begin{array}{lll} 0 & 2 & 5 \end{array}\right]
इस आद्य समस्या की द्वैती समस्या निम्नलिखित होगी:
अधिकतम करो: Z_D=b^{T} W
प्रतिबन्ध A^{T} W \leq C^{T} तथा W \geq 0
अब b=\left[\begin{array}{c} 2 \\ -6 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right] \Rightarrow b^{T}= \left[\begin{array}{llll} 2 & -6 & 4 & -4 \end{array}\right] \\ W=\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_1 \end{array}\right], A^{\top}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -6 & 3 & -3 \end{array}\right] \\ C=\left[\begin{array}{lll} 0 & 2 & 5 \end{array}\right] \Rightarrow C^{\top}=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 2 \\ 5\end{array}\right]
इसलिए द्वैती समस्या का निम्न रूप होगा:
अधिकतम करो: Z_D=\left[\begin{array}{llll} 2 & -6 & 4 & -4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4 \end{array}\right]
प्रतिबन्ध \left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -6 & 3 & -3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4 \end{array}\right] \leq \left[\begin{array}{l} 0 \\ 2 \\ 5 \end{array}\right]
तथा w_1, w_2, w_3 \geq 0
अतः दी गई समस्या के लिए अभीष्ट द्वैती समस्या निम्न प्रकार है:
अधिकतम करो: Z_D=2 w_1-6 w_2+4 w_3-4 w_4
प्रतिबन्ध: \begin{array}{l} w_1-2 w_2+w_3-w_4 \leq 0 \\ -w_2-w_3+w_4 \leq 2 \\ w_1-6 w_2+3 w_3-3 w_4 \leq 5 \end{array}

तथा (and) w_1, w_2, w_3, w_4 \geq 0
Illustration:7(b).न्यूनतम कीजिए (Min) Z=2 x_1+2 x_2+4 x_3
प्रतिबन्ध (s.t.) \begin{array}{l}2 x_1+3 x_2+5 x_3 \geqslant 4 \\ 3 x_1+x_2+7 x_3 \leq 6 \\ x_1+4 x_2+6 x_3 \leq 5\end{array}
तथा (and) x_1, x_2, x_3 \geq 0
Solution:हम सर्वप्रथम दी गई आद्य समस्या को मानक रूप में परिवर्तित करेंगे।चूँकि यह समस्या न्यूनतमीकरण की है,अतः इसके सभी प्रतिबन्ध चिन्ह में \geq होने चाहिए।दिए हुए प्रतिबन्धों में दो प्रतिबन्धों में \leq चिन्ह है,अतः इन दोनों प्रतिबन्धों में \geq चिन्ह प्राप्त करने के लिए -1 से गुणा करते हैं।अतः दी गई आद्य समस्या का मानक रूप निम्न प्रकार होगा:
न्यूनतम करोः z=2 x_1+2 x_2+4 x_3
प्रतिबन्ध: \begin{array}{l} \\ 2 x_1+3 x_2+5 x_3 \geq 4 \\ -3 x_1-x_2-7 x_3 \geq-6 \\ -x_1-4 x_2-6 x_3 \geqslant-5\end{array}
तथा x_1, x_2, x_3 \geq 0
इसे मैट्रिक्स रूप में निम्न प्रकार से व्यक्त करते हैं।
न्यूनतम करो:Z=CX
प्रतिबन्ध AX \geq b
तथा X \geq 0
जहाँ \begin{array}{l}A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 5 \\ -3 & -1 & -7 \\ -1 & -4 & -6\end{array}\right], x=\left[\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right] \\ \end{array}
तथा C=\left[\begin{array}{lll}2 & 2 & 4\end{array}\right]
इस आद्य समस्या की द्वैती समस्या निम्नलिखित होगी:
अधिकतम करो: Z_D=b^T W
प्रतिबन्ध A^{\top} W \leq C^{\top} तथा W \geq 0
अब \begin{array}{l} b=\left[\begin{array}{l}4 \\ -6 \\ -5\end{array}\right] \Rightarrow b^T=\left[\begin{array}{lll}4 & -6 & -5\end{array}\right] \\ W=\left[\begin{array}{l}w_1 \\ w_2 \\ w_3\end{array}\right], A^{\top}=\left[\begin{array}{lll}2 & -3 & -1 \\ 3 & -1 & -4 \\ 5 & -7 & -6\end{array}\right] \\ C=\left[\begin{array}{lll}2 & 2 & 4\end{array}\right] \Rightarrow C^T=\left[\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 4\end{array}\right] \end{array}
इसलिए द्वैती समस्या का निम्न रूप होगा: 
अधिकतम करो: Z_D=\left[\begin{array}{lll}4 & -6 & -5\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}w_1 \\ w_2 \\ w_3\end{array}\right]
प्रतिबन्ध \left[\begin{array}{lll}2 & -3 & -1 \\ 3 & -1 & -4 \\ 5 & -7 & -6\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}w_1 \\ w_2 \\ w_3\end{array}\right] \leq\left[\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 4\end{array}\right]
तथा w_1, w_2, w_3 \geq 0
अतः दी गई समस्या के लिए अभीष्ट द्वैती समस्या निम्न प्रकार है:
अधिकतम करो: Z_D=4 w_1-6 w_2-5 w_3
प्रतिबन्ध \begin{array}{l} 2 w_1-3 w_2-w_3 \leq 2 \\ 3 w_1-w_2-4 w_3 \leq 2 \\ 5 w_1-7 w_2-6 w_3 \leq 4  \end{array}
तथा w_1, w_2, w_3 \geq 0
Illustration:8.निम्नतम करो (Minimize): Z=3 x_1+x_2
प्रतिबन्ध (s.t.) \begin{array}{rl} 2 x_1+3 x_2 \geq 2 \\  x_1+x_2 \geq 1 \end{array}
तथा (and) x_1, x_2 \geq 0
Solution:दी गई समस्या न्यूनतमीकरण की है,अतः इसके सभी प्रतिबन्ध \geq चिन्ह में होने चाहिए,जो हैं।अतः समस्या मानक रूप में है फलतः इसे मैट्रिक्स रूप में निम्न प्रकार व्यक्त कर सकते हैं।
निम्नतम करो:Z=CX
प्रतिबन्ध AX \geq b
तथा X \geq 0
जहाँ A=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 1\end{array}\right], x=\left[\begin{array}{l}x_1 \\ x_2\end{array}\right], b=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right]
तथा C=\left[\begin{array}{ll}3 & 1\end{array}\right]
इस आद्य समस्या की द्वैती समस्या निम्नलिखित होगी:
अधिकतम करो: Z_D=b^T W
प्रतिबन्ध A^T W \leq C^T तथा W \geq 0
अब \begin{array}{l} b=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right] \Rightarrow b^{\top} =\left[\begin{array}{ll}2 & 1\end{array}\right] \\ W=\left[\begin{array}{l}w_1 \\ w_2\end{array}\right], A^{\top}=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 3 & 1\end{array}\right], \\ C=\left[\begin{array}{ll}3 & 1\end{array}\right] \Rightarrow C^{\top}=\left[\begin{array}{l}3 \\ 1\end{array}\right]\end{array}
इसलिए द्वैती समस्या का निम्न रूप होगा:
अधिकतम करोः Z_D=\left[\begin{array}{ll}2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}w_1 \\ w_2\end{array}\right]
प्रतिबन्ध \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 3 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}w_1 \\ w_2\end{array}\right] \leq \left[\begin{array}{l}3 \\ 1\end{array}\right]
तथा w_1, w_2 \geq 0
अतः दी गई समस्या के लिए अभीष्ट द्वैती समस्या निम्न प्रकार है:
अधिकतम करो: Z_D=2w_1+w_2
प्रतिबन्ध : \begin{aligned}2 w_1+w_2 \leq 3 \\ 3 w_1+w_2 \leq 1\end{aligned} 
तथा w_1, w_2 \geq 0
Illustration:9(a).अधिकतम करो (Maximize): Z=x_1+2 x_2+3 x_3-x_4
प्रतिबन्ध (s.t.) x_1+x_2+3 x_3=15 \\ 2 x_1+x_2+5 x_3=20 \\ x_1+2 x_2+x_3+x_4=10
तथा (and) x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0
Solution:हम सर्वप्रथम दी गई समस्या को आद्य समस्या के मानक रूप में परिवर्तित करते हैं।चूँकि यह समस्या अधिकतमीकरण की है,अतः प्रतिबन्ध में दी गई समीकरणों को हम \leq चिन्ह की असमिकाओं में परिवर्तित करते हैं।समीकरण x_1+x_2+3 x_3=15  निम्न दो असमिकाओं के तुल्य है: x_1+x_2+3 x_3 \leq 15 तथा -x_1-x_2-3 x_3 \leq -15 इसी तरह समीकरण 2 x_1+x_2+5 x_3=20 निम्न दो असमिकाओं के तुल्य है: 2 x_1+x_2+5 x_3 \leq 20 तथा -2 x_1-x_2-5 x_3 \leq-20  तथा x_1+2 x_2+x_3+x_4=10 समीकरण निम्न दो असमिकाओं के तुल्य है: x_1+2 x_2+x_3+x_4 \leq 10 तथा x_1-2 x_2-x_3-x_4 \leq -10 अतः दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का मानक आद्य रूप निम्न होगा:
अधिकतम करो: Z=x_1+2 x_2+3 x_3-x_4
प्रतिबन्ध: x_1+x_2+3 x_3 \leq 15 \\ - x_1-x_2-3 x_3 \leq-15 \\ 2 x_1+x_2+5 x_3 \leq 20 \\ -2 x_1-x_2-5 x_3 \leq-20 \\ x_1+2 x_2+x_3+x_4 \leq 10 \\ -x_1-2 x_2-x_3-x_4 \leq-10
तथा x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0
मैट्रिक्स रूप में हम इस आद्य समस्या को निम्न रूप में लिख सकते हैं:
अधिकतम करो:Z=CX
प्रतिबन्ध A X \leq b तथा x \geq 0
जहाँ A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 3 & 0 \\ -1 & -1 & -3 & 0 \\ 2 & 1 & 5 & 0 \\ -2 & -1 & -5 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -1 & -1 \end{array}\right], b=\left[\begin{array}{c} 15 \\ -15 \\ 20 \\ -20 \\ 10 \\ -10 \end{array}\right]  तथा C=\left[\begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & -1 \end{array}\right]
इस समस्या की द्वैती समस्या निम्नलिखित होगी:
निम्नतम करो: Z_D=b^{T} W
प्रतिबन्ध A^{\top} W \geq C^{\top} तथा W \geq 0
अब b=\left[\begin{array}{c} 15 \\ -15 \\ 20 \\ -20 \\ 10 \\ -10 \end{array}\right] \\ W=\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4 \\ w_5 \\ w_6 \end{array}\right], A^{\top}=\left[\begin{array}{cccccc} 1 & -1 & 2 & -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 2 & -2 \\ 3 & -3 & 5 & -5 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right] \\ C=\left[\begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & -1 \end{array}\right] \Rightarrow C^{\top} =\left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right]
इसलिए द्वैती समस्या का निम्न रूप होगा:
निम्नतम करो: Z_D=\left[\begin{array}{llllll} 15 & -15 & 20 & -20 & 10 & -10 \end{array}\right] \left[\begin{array}{ll} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4 \\ w_5 \\ w_6 \end{array}\right]
प्रतिबन्ध \left[\begin{array}{cccccc} 1 & -1 & 2 & -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 2 & -2 \\ 3 & -3 & 5 & -5 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} w_1 \\w_2 \\ w_3 \\ w_4 \\ w_5 \\ w_6 \end{array}\right] \geq \left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right]
तथा w_1, w_2, w_3, w_4, w_5, w_6 \geq 0
अतः दी गई समस्या के लिए अभीष्ट समस्या निम्न प्रकार होगी:

Z_D=15 w_1-15 w_2+20 w_3-20 w_4+10 w_5 -10 w_6
निम्नतम करो:  w_1-w_2+2 w_3-2 w_4+w_5-w_6 \geq 1 \\ w_1-w_2+w_3-w_4+2 w_5-2 w_6 \geq 2 \\ 3 w_1-3 w_2+5 w_3-5 w_4+w_5-w_6 \geq 3 \\ w_5-w_6 \geq -1
तथा w_1, w_2, w_3, w_4, w_5, w_6 \geq 0

How to Find Dual of LPP?

Illustration:9(b).अधिकतम करो (Maximize)

Z=x_1-2 x_2+3 x_3
प्रतिबन्ध (s.t.) -2 x_1+x_2+3 x_3=2 \\ 2 x_1+3 x_2+4 x_3=1
तथा (and) x_1, x_2, x_3 \geq 0
Solution:हम सर्वप्रथम दी गई समस्या को आद्य समस्या के मानक रूप में परिवर्तित करते हैं।चूँकि यह समस्या अधिकतमीकरण की है,अतः प्रतिबन्ध में दी गई समीकरणों को हम '\leq' चिन्ह की असमिकाओं में परिवर्तित करते हैं।समीकरण -2 x_1+x_2+3 x_3=2 निम्न दो असमिकाओं के तुल्य है: -2 x_1+x_2+3 x_3 \leq 2 तथा -2 x_1-x_2-3 x_3 \leq-2
इसी तरह समीकरण 2 x_1+3 x_2+4 x_3=1 दो असमिकाओं के तुल्य है: 2 x_1+3 x_2+4 x_3 \leq 1 तथा -2 x_1-3 x_2-4 x_3 \leq -1
अतः दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का मानक आद्य रूप में निम्न होगा:

अधिकतम करो: Z=x_1-2 x_2+3 x_3
प्रतिबन्ध: -2 x_1+x_2+3 x_3 \leq 2 \\ 2 x_1-x_2-3 x_3 \leq-2 \\ 2 x_1+3 x_2+4 x_3 \leq 1 \\ -2 x_1-3 x_2-4 x_3 \leq-1
तथा x_1, x_2, x_3 \geq 0
मैट्रिक्स रूप में हम इस आद्य समस्या को निम्न रूप में लिख सकते हैं:
अधिकतम करो:Z=CX
प्रतिबन्ध: A X \leq b तथा X \geq 0
जहाँ A=\left[\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & -3 \\ 2 & 3 & 4 \\ -2 & -3 & -4 \end{array}\right], b=\left[\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right]
तथा C=\left[\begin{array}{lll} 1 & -2 & 3 \end{array}\right]
इस समस्या की द्वैती समस्या निम्नलिखित होगी:
निम्नतम करो: Z_D=b^{T} W
प्रतिबन्ध A^{\top} W \geq C^{T} तथा W \geq 0
अब b=\left[\begin{array}{r} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right] \Rightarrow b^{T}=\left[\begin{array}{llll} 2 & -2 & 1 & -1 \end{array}\right] \\ W=\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4 \end{array}\right], A^{T}=\left[\begin{array}{cccc} -2 & 2 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & 3 & -3 \\ 3 & -3 & 4 & -4 \end{array}\right] \\ C=\left[\begin{array}{lll} 1 & -2 & 3 \end{array}\right] \Rightarrow C^{T}=\left[\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right]
इसलिए द्वैती समस्या का निम्न रूप होगा:
निम्नतम करो: Z_D=\left[\begin{array}{llll} 2 & -2 & 1 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4 \end{array}\right]
प्रतिबन्ध \left[\begin{array}{cccc} -2 & 2 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & 3 & -3 \\ 3 & -3 & 4 & -4 \end{array} \right]\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4 \end{array}\right] \geq \left[\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right]
तथा w_1 , w_2, w_3, w_4 \geq 0
अतः दी गई समस्या के लिए अभीष्ट समस्या निम्न प्रकार होगी:
निम्नतम करो: Z_D=2 w_1-2 w_2+w_3-w_4
प्रतिबन्ध: -2 w_1+2 w_2+2 w_3-2 w_4 \geq 1 \\ w_1-w_2+3 w_3-3 w_4 \geq -2 \\ 3 w_1-3 w_2+4 w_3-4 w_4 \geq 3
तथा w_1, w_2, w_3, w_4 \geq 0
Illustration:10.निम्नतम करो (Minimize): Z=x_1+x_2+x_3
प्रतिबन्ध (s.t.) x_1-3 x_2+4 x_3=6 \\ 2 x_1-2 x_2 \leq 3 \\ 2 x_2-x_3 \geq 5 \\ x_1, x_2 \geq 0  
तथा x_3 चिन्ह में अप्रतिबन्धित है ( x_3  is unrestricted in sign)
Solution:सर्वप्रथम हम दी गई समस्या का मानक आद्य रूप में निम्नलिखित विधि से करेंगे:
(1.)चूँकि यह समस्या निम्नतमीकरण की है,अतः सभी प्रतिबन्ध '\geq' चिन्ह में होने चाहिए।
(2.)चूँकि चर x_3 चिन्ह में अप्रतिबन्धित है,अतः x_3 को दो धनात्मक चर x_3^{\prime} और  x_3^{\prime \prime} के अन्तर के रूप में प्रतिस्थापित करेंगे अर्थात्

x_3=x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}, x_3^{\prime}, x_3^{\prime \prime} \geq 0
(3.)प्रथम प्रतिबन्ध समीकरण निम्न दो असमिकाओं के तुल्य है।

x_1-3 x_2+4\left(x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}\right) \geq 6
तथा x_1-3 x_2+4\left(x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}\right) \leq 6
दूसरी असमिका के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करने पर:

-x_1+3 x_2-4\left(x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}\right) \geq -6
(4.)द्वितीय प्रतिबन्ध असमिका में '\leq' का चिन्ह है।इसमें '\geq'  का चिन्ह प्राप्त करने के लिए -1 से गुणा करते हैं,अतः
-2 x_1+2 x_2 \geq -3 अथवा -2 x_1+2 x_2+0 \left(x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}\right) \geq -3
(5.)तृतीय प्रतिबन्ध में x_3 को \left(x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}\right) से प्रतिस्थापित करने पर:

2 x_2-\left(x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}\right) \geq 5
अतः दी गई समस्या का निम्न मानक आद्य रूप होगा:
निम्नतम करो: Z=x_1+x_2+x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}
प्रतिबन्ध x_1-3 x_2+4\left(x_3^{\prime}-x_3^{ \prime \prime}\right) \geq 6 \\ -x_1+3 x_2-4 \left( x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}\right) \geq -6 \\ -2 x_1+2 x_2+6\left(x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}\right) \geq -3 \\ 2 x_2-\left(x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}\right) \geq 5
तथा x_1, x_2, x_3^{\prime}, x_3^{\prime \prime} \geq 0
इस समस्या को मैट्रिक्स रूप में निम्न प्रकार लिख सकते हैं:
निम्नतम करो: Z=C X
प्रतिबन्ध A X \geq b तथा X \geq 0
जहाँ A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & -3 & 4 & -4 \\ -1 & 3 & -4 & 4 \\ -2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 1 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3^{\prime} \\ x_3^{\prime \prime} \end{array}\right] \\ b=\left[\begin{array}{c} 6 \\ -6 \\ -3 \\ 5 \end{array}\right], C=\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right]
इस समस्या की द्वैती समस्या निम्नलिखित होगी:
अधिकतम करो: Z_D=b^T W
प्रतिबन्ध  A^{T} W \leq C^{T} तथा  W \geq 0
अब b=\left[\begin{array}{c} 6 \\ -6 \\ -3 \\ 5 \end{array}\right] \Rightarrow b^{T}=\left[\begin{array}{llll} 6 & -6 & -3 & 5 \end{array}\right] \\ W=\left[\begin{array}{l} w_1^{\prime} \\ w_1^{\prime \prime} \\ w_2 \\ w_3 \end{array}\right], A^{T}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & -1 & -2 & 0 \\ -3 & 3 & 2 & 2 \\ 4 & -4 & 0 & -1 \\ -4 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ C=\left[\begin{array}{lllll} 1 & 1 & 1 & -1 \end{array} \right] \Rightarrow C^{\top}=\left[\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right]
इसलिए द्वैती समस्या का निम्न रूप होगा:
अधिकतम करो: Z_D=\left[\begin{array}{llll} 6 & -6 & -3 & 5 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} w_1^{\prime} \\ w_1^{\prime \prime} \\ w_2 \\ w_3 \end{array}\right]
प्रतिबन्ध : \left[\begin{array}{cccc} 1 & -1 & -2 & 0 \\ -3 & 3 & 2 & 2 \\ 4 & -4 & 0 & -1 \\ -4 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} w_1^{\prime} \\ w_1^{\prime \prime} \\ w_2 \\ w_3 \end{array}\right] \leq\left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right]
तथा w_1^{\prime}, w_1^{\prime \prime}, w_2, w_3 \geq 0
दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या की संगत द्वैती समस्या निम्नलिखित होगी:
अधिकतम करो: Z_D=6 w_1^{\prime}-6 w_1^{\prime \prime}-3 w_2+5 w_3
प्रतिबन्ध w_1^{\prime}-w_1^{\prime \prime}-2 w_2 \leq 1 \\ -3 w_1+3 w_1^{\prime \prime}+2 w_2+2 w_3 \leq 1 \\ 4 w_1^{\prime}-4 w_1^{\prime \prime}-w_3 \leq 1 \\ -4 w_1^{\prime}+4 w_1^{\prime \prime}+w_3 \leq-1
तथा w_1^{\prime}, w_1^{\prime \prime}, w_2, w_3 \geq 0
अतः अभीष्ट द्वैती समस्या निम्न प्रकार से भी लिखी जा सकती है:
अधिकतम करो: Z_D=6 y_1-3 y_2+5 y_3
प्रतिबन्ध y_1-2 y_2 \leq 1 \\ -3 y_1+2 y_2+2 y_3 \leq 1 \\ 4 y_1-y_3 = 1 
तथा y_2, y_3 \geq 0, y_1 चिन्ह में अप्रतिबन्धित है।
Illustration:11.निम्नतम करो (Minimize): Z=x_1-3 x_2-2 x_3
प्रतिबन्ध (s.t.)  3 x_1-x_2+2 x_3 \leq 7 \\ 2 x_1-4 x_2 \geq 12 \\ -4 x_1+3 x_2+8 x_3=10 \\ x_1, x_2 \geq 0  तथा  x_3 चिन्ह में अप्रतिबन्धित है ( x_3 is unrestricted in sign)
Solution:सर्वप्रथम हम दी गई समस्या का मानक आद्य रूप में निम्नलिखित विधि से करेंगे:
(1.)चूँकि यह समस्या निम्नतमीकरण की है,अतः सभी प्रतिबन्ध ‘\geq‘  चिन्ह में होने चाहिए।
(2.)चूँकि x_3 चिन्ह में अप्रतिबन्धित है,अतः x_3 को दो धनात्मक चर x_3^{\prime} और x_3^{\prime \prime} के अन्तर के रूप में प्रतिस्थापित करेंगे अर्थात्

x_3=x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}, x_3^{\prime }, x_3^{\prime \prime} \geq 0
(3.)प्रथम प्रतिबन्ध असमिका में ‘\leq‘ का चिन्ह है।इसमें  ‘\geq‘ का चिन्ह प्राप्त करने के लिए -1 से गुणा करते हैं,अतः
-3 x_1+x_2-2 x_3 \geq -7  अथवा -3 x_1+x_2-2\left(x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}\right) \geq -7
(4.)द्वितीय प्रतिबन्ध में x_3 को \left(x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}\right) से प्रतिस्थापित करने पर:

2 x_1-4 x_2+6\left(x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}\right) \geq 12
(5.)तृतीय प्रतिबन्ध समीकरण निम्न दो असमिकाओं के तुल्य है:
-4 x_1+3 x_2+8\left(x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}\right) \geq 10 तथा -4 x_1+3 x_2+ 8\left(x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}\right) \leq 10
दूसरी असमिका के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करने पर:

4 x_1-3 x_2-8\left(x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}\right) \geq -10
अतः दी गई समस्या का निम्न मानक आद्य रूप होगा:
निम्नतम करो: Z=x_1-3 x_2-2\left(x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}\right)
प्रतिबन्ध -3 x_1+x_2-2\left(x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}\right) \geq -7 \\ 2 x_1-4 x_2+0\left(x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}\right) \geq 12 \\ -4 x_1+3 x_2+8\left(x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}\right) \geq 10 \\ 4 x_1-3 x_2-8\left(x_3^{\prime}-x_3^{\prime \prime}\right) \geq -10
तथा x_1, x_2, x_3^{\prime}, x_3^{\prime \prime} \geq 0
इस समस्या को मैट्रिक्स रूप में निम्न प्रकार लिख सकते हैं:
निम्नतम करो:Z=CX
प्रतिबन्ध A X \geq b तथा X \geq 0
जहाँ A=\left[\begin{array}{cccc} -3 & 1 & -2 & 2 \\ 2 & -4 & 0 & 0 \\ -4 & 3 & 8 & -8 \\ 4 & -3 & -8 & 8 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_3 \end{array}\right] \\ b=\left[\begin{array}{c} -7 \\ 12 \\ 10 \\ -10 \end{array}\right], C=\left[\begin{array}{llll} 1 & -3 & -2 & 2 \end{array}\right]
इस समस्या की द्वैती समस्या निम्नलिखित होगी:
अधिकतम करो: Z_D=b^{T} W
प्रतिबन्ध A^{T} W \leq C^{T} तथा W \geq 0
अब b=\left[\begin{array}{c} -7 \\ 12 \\ 10 \\ -10 \end{array}\right] \\ \Rightarrow b^{T} =\left[\begin{array}{lllll} -7 & 12 & 10 & 0 & -10 \end{array}\right] \\ W=\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3^{\prime} \\ w_3^{\prime \prime} \end{array}\right] ,A^{T}=\left[\begin{array}{cccc} -3 & 2 & -4 & 4 \\ 1 & -4 & 3 & -3 \\ -2 & 0 & 8 & -8 \\ 2 & 0 & -8 & 8 \end{array}\right] \\ C=\left[\begin{array}{llll} 1 & -3 & -2 & 2 \end{array}\right] \Rightarrow C^T=\left[\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right]
इसलिए द्वैती समस्या का निम्न रूप होगा:
अधिकतम करो: Z_D=\left[\begin{array}{llll} -7 & 12 & 10 & -10 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3^{\prime} \\ w_3^{\prime \prime} \end{array}\right]
प्रतिबन्ध \left[\begin{array}{cccc} -3 & 2 & 4 & -4 \\ 1 & -4 & 3 & -3 \\ -2 & 0 & 8 & -8 \\ 2 & 0 & -8 & 8 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3^{\prime} \\ w_{3}^{\prime \prime} \end{array}\right] \leq \left[\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right]  
तथा w_1, w_2, w_3^{\prime}, w_3^{\prime \prime} \geq 0
दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या की संगत द्वैती समस्या निम्नलिखित होगी:
अधिकतम करो: Z_D=-7 w_1+12 w_2+10 w_3^{\prime}-10 w_3^{\prime \prime }
प्रतिबन्ध -3 w_1+2 w_2+4 w_3^{\prime}-4 w_3^{\prime \prime} \leq 1 \\ w_1-4 w_2+3 w_3^{\prime}-3 w_3^{\prime \prime} \leq-3 \\ -2 w_1+8 w_3^{\prime}-8 w_3^{\prime \prime} \leq -2 \\ 2 w_1-8 w_3^{\prime}+8 w_{3}^{\prime \prime} \leq 2
तथा w_1, w_2, w_3^{\prime}, w_3^{\prime \prime} \geq 0
अतः अभीष्ट द्वैती समस्या निम्न होगी:
अधिकतम करो: Z_D=-7 w_1+12 w_2+10 w_3
प्रतिबन्ध: -3 w_1+2 w_2+4 w_3 \leq 1 \\ w_1-w_2+3 w_3 \leq-3 \\ -2 w_1+8 w_3=-2
तथा w_1, w_2 \geq 0, w_3 चिन्ह में अप्रतिबन्धित है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्या की द्वैती समस्या कैसे ज्ञात करें? (How to Find Dual of LPP?),रैखिक प्रोग्रामन समस्या की द्वैती समस्या ज्ञात करें (To Find Dual of Linear Programming Problem) को समझ सकते हैं।

3.रैखिक प्रोग्रामन समस्या की द्वैती समस्या कैसे ज्ञात करें पर आधारित सवाल (Questions Based on How to Find Dual of LPP?):

How to Find Dual of LPP?

निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं के द्वैती समस्याएं लिखिए।
(Write the dual of the following L. P. P.)

(1.) maximize Z=3 x_1-2 x_2
subject to x_1 \leq 4 \\ x_2 \leq 6 \\ x_1+x_2 \leq 5 \\ -x_2 \leq-1
and x_1, x_2 \geq 0
(2.) minimize Z=3 x_1-2 x_2+4 x_3
subject to 3 x_1+5 x_2+4 x_3 \geq 7
6 x_1+x_2+3 x_3 \geq 4 \\ 7 x_1-2 x_2-x_3 \leq 10 \\ x_1-2 x_2+5 x_3 \geq 3 \\ 4 x_1+7 x_2-2 x_3 \geq 2
and x_1, x_2, x_3 \geq 0
उत्तर (Answers): (1.) Min Z_D=4 w_1+6 w_2+5 w_3-w_4
subject to w_1+w_2 \geq 3 \\ w_2+w_3-w_4 \geq -2
and w_1, w_2, w_3, w_4 \geq 0
(2.) Max. Z_D=7 w_1+4 w_2-10 w_3+3 w_4+2 w_5
subject to 3 w_1+6 w_2 -7w_3+w_4+4 w_5 \leq 3 \\ 5 w_1+w_2+2 w_3-2 w_4+7 w_5 \leq-2 \\ 4 w_1+3 w_2+w_3+5 w_4-2 w_5 \leq 4
and w_1, w_2, w_3, w_4, w_5 \geq 0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रैखिक प्रोग्रामन समस्या की द्वैती समस्या कैसे ज्ञात करें? (How to Find Dual of LPP?),रैखिक प्रोग्रामन समस्या की द्वैती समस्या ज्ञात करें (To Find Dual of Linear Programming Problem) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.रैखिक प्रोग्रामन समस्या की द्वैती समस्या कैसे ज्ञात करें? (Frequently Asked Questions Related to How to Find Dual of LPP?),रैखिक प्रोग्रामन समस्या की द्वैती समस्या ज्ञात करें (To Find Dual of Linear Programming Problem) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

रैखिक प्रोग्रामन समस्या की द्वैती समस्या कैसे ज्ञात करें? (How to Find Dual of LPP?)
के इस आर्टिकल में रैखिक प्रोग्रामन समस्या के सवालों की द्वैती समस्या ज्ञात करना सीखेंगे।