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Basic Feasible Solution in LPP

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1 1.रैखिक प्रोग्रामन समस्या का आधारी सुसंगत हल (Basic Feasible Solution in LPP),रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल (Feasible Solution of LPP):

1.रैखिक प्रोग्रामन समस्या का आधारी सुसंगत हल (Basic Feasible Solution in LPP),रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल (Feasible Solution of LPP):

रैखिक प्रोग्रामन समस्या का आधारी सुसंगत हल (Basic Feasible Solution in LPP) बिना सिप्लैक्स विधि के मैट्रिक्स विधि द्वारा तथा लेखाचित्र विधि दोनों विधियों से ज्ञात किया जा सकता है।
(1.)जनक समुच्चय (Spanning Set) परिभाषा:माना कि A समष्टि E^{n} के सदिशों का समुच्चय है तथा तो समुच्चय B,A का एक जनक समुच्चय कहलाता है यदि A के प्रत्येक सदिश को B के सदिशों के रैखिक संचय के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
(2.)आधार समुच्चय (Basic Set) परिभाषा:यदि किसी जनक समुच्चय के सदिश (सदस्य) रैखिक स्वतन्त्र हो तो उसे आधार समुच्चय या केवल आधार कहते हैं।
अर्थात् समुच्चय B \in E^{n}, आधार है यदि
(i)B रैखिक स्वतन्त्र है
तथा (ii)B, E^{n} का जनक (Spanning) समुच्चय है।
(3.)रैखिक बीजावली की कुछ उपयोगी प्रमेय (Some Useful Theorem of Linear Algebra):
(i)किसी सदिश का आधार सदिशों के पदों में व्यक्त करना अद्वितीय होता है।
(ii)किसी समुच्चय के दो आधारों में सदिशों की संख्या समान होती है।
(iii)E^{n} के (n+1) या अधिक सदिशों का कोई भी समुच्चय रैखिक आश्रितत: होते हैं।
(iv)E^{n} के किन्हीं n रैखिक स्वतन्त्र सदिशों का समुच्चय E^{n} का एक आधार समुच्चय होता है।
(v)प्रतिस्थापन प्रमेय (Replacement Theorem):माना कि सदिश a_{1}, a_{2},a_{3} \cdots ,a_{n} एक सदिशों के समुच्चय A का आधार है तथा b \in A, b \neq a_{i}, i=1,2,3,\cdots ,n यदि b अशून्य सदिश इस प्रकार का है कि a=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} a_{i} तथा \lambda_{i }\neq 0 तब b,a को प्रतिस्थापित कर सकता है जो कि नया समुच्चय का आधार गुण बनाए रखता है।
(4.)युगपत रैखिक समीकरण (Simultaneous Linear Equations):
युगपत रैखिक समीकरण
माना कि n अज्ञात राशियों \left(x_{1}, x_{2},x_{3} \cdots x_{n}\right) में m रैखिक समीकरण निकाय निम्न हैं:

a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2n} x_{n}=b_{2} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m 1} x_{1}+a_{m_{2}} x_{2}+\cdots+a_{mn} x_{n}=b_{m}
मैट्रिक्स के गुणन नियम और उनकी समता की परिभाषानुसार उपर्युक्त समीकरण को मैट्रिक्स रूप में निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\left[\begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3 n}\\  \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots  \\ a_{m 1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right] \left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \cdots \\ x_{n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ \cdots \\ b_{n} \end{array}\right]
अर्थात् AX=b
जहाँ A=\left[\begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots   \\ a_{m 1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right] \quad X= \left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \cdots \\ x_{n} \end{array}\right]

तथा b=\left[\begin{array}{l}b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ \cdots \\ b_{n} \end{array}\right]
साथ ही m×(n+1),क्रम की मैट्रिक्स

[A: b]=\left[\begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} & :b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} & :b_{2} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3 n} & :b_{3}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m 1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} & :b_{m} \end{array}\right]
संवर्धित मैट्रिक्स (augmented matrix) कहलाती है।
समीकरण निकाय AX=b संगत (consistent) होता है यदि और केवल यदि (iff) गुणांक मैट्रिक्स A तथा संवर्धित मैट्रिक्स [A:b] की कोटि समान हो।निकाय के हल की प्रकृति (nature of the solution of the system) जानने के लिए निम्न स्थितियों पर ध्यान देना चाहिए:
(i)जब \rho(A)=\rho(A : b)=n  निकाय का अद्वितीय हल होता है।
(ii)जब \rho(A)=\rho(A: b) \leq n तब निकाय के अनन्त हल होंगे।
(iii)जब \rho(A) \neq \rho(A: b) तब निकाय असंगत (inconsistent) होगा।
(5.)आधारी हल (Basic Solution or B.S.):
माना कि दिए हुए n चरों में m समीकरण (m<n) का निकाय जो कि AX=b से व्यक्त किया जा सकता है तथा \rho(A) = \rho(Ab)=m है।मैट्रिक्स A का एक उपमैट्रिक्स (माना B) चुनिए जिसकी कोटि m×m है।माना कि X_{B} एक सदिश है जिसमें m चर है जो कि मैट्रिक्स B के स्तम्भों के संगत (associated with the columns of B) है।शेष n-m चर जो कि B के स्तम्भों के संगत नहीं है, से बना सदिश माना X_{R}  है।यदि X_{R}=0 ले लें अर्थात् शेष सभी n-m चरों को शून्य ले लें तब B X_{B}=b या X_{B}= B^{-1} b निकाय का आधारी हल कहलाता है।निकाय के आधारी हल में m शून्येतर चरों से अधिक नहीं है। X_{B} के चरों को आधारी चर कहते हैं तथा शेष चरों को अ आधारी चर कहते हैं।
हम क्रमचय संचय से जानते हैं कि मैट्रिक्स A के n स्तम्भों से m स्तम्भ चुनने के ^{n}c_{m} तरीके हो सकते हैं, अतः निकाय के अधिकतम आधारी हल ^{n}c_{m}=\frac{n !}{m !(n-m) !} प्राप्त किए जा सकते हैं।
साथ में यह भी ध्यान रहे कि किसी भी निकाय के ^{n}c_{m} पूरे आधारी हलों का अस्तित्व होना आवश्यक नहीं क्योंकि A में स्तम्भों का प्रत्येक समुच्चय का एकघातत: स्वतन्त्र होना आवश्यक नहीं।स्पष्ट है कि आधारी हलों की संख्या सीमित होती है।
आधारी हल दो प्रकार के होते हैं:
(a)अनपभ्रष्ट आधारी हल (Non Degenerate B.S.):यदि किसी आधारी हल में प्रत्येक आधारी चर शून्येतर हो अर्थात् सभी आधारी चरों का मान अशून्य हो तो उसे अनपभ्रष्ट आधारी हल कहते हैं।
(b.)अपभ्रष्ट आधारी हल (Degenerate B.S.):एक आधारी हल अपभ्रष्ट हल कहलाता है यदि एक या एक से अधिक आधारी चर का मान शून्य हो।
(6.)आधारी सुसंगत हल (B.F.S.):एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या (L.P.P.) का सुसंगत हल (Feasible Solution) आधारी हल (Basic Solution) भी हो तो वह आधारी सुसंगत हल (B.F.S.) कहलाता है।
यदि रैखिक प्रोग्रामन समस्या जिसके व्यवरोध (Constraints) या प्रतिबन्ध निकाय में m समीकरण तथा n चर तथा m<n हों तो उसके आधारी सुसंगत हल (B.F.S.) में
(i)कम से कम (n-m) चरों के मान शून्य होंगे।तथा
(ii)किसी भी चर का मान ऋणात्मक नहीं होगा।
आधारी सुसंगत हल भी दो प्रकार के होते हैं:
(a)अनपभ्रष्ट आधारी सुसंगत हल (Non-Degenerate B.F.S.):रैखिक प्रोग्रामन समस्या का एक आधारी सुसंगत हल, अनपभ्रष्ट आधारी सुसंगत हल कहलाता है यदि प्रत्येक आधारी चर शून्य हो।
(b)अपभ्रष्ट आधारी सुसंगत हल (Regenerate B.F.S.):रैखिक प्रोग्रामन समस्या का एक आधारी सुसंगत हल अपभ्रष्ट आधारी सुसंगत हल कहलाता है यदि कम से कम एक आधारी चर शून्य हो।
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2.रैखिक प्रोग्रामन समस्या का आधारी सुसंगत हल के उदाहरण (Basic Feasible Solution of LPP Example):

Example:1.निम्न समीकरण निकाय के सभी आधारी हल ज्ञात कीजिए तथा दर्शाइए कि वे सभी अनपभ्रष्ट हैं
(Find all the basic solution of the following system of equations and also prove that they are non-degenerate):

x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=4,2 x_{2}+x_{2}+5 x_{3}=5
Solution:x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=4,2 x_{2}+x_{2}+5 x_{3}=5
यहाँ m=2 तथा n=3
अधिकतम आधारी हलों की संख्या=^{3}C_{2}=\frac{3 !}{2 ! \times 1 !}=3
आधारी हल (n-m=3-2=1) चरों को बारी-बारी से शून्य रखने पर प्राप्त होंगे।हम सर्वप्रथम x_{1}=0 लेते हैं।

\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 5 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right] =\left[\begin{array}{l} 4 \\ 5 \end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{l} x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 5\end{array}\right]^{-1} \left[\begin{array}{l} 4 \\ 5 \end{array}\right] \\ A=\left[ \begin{array}{ll}2 & 1 \\1 & 5 \end{array}\right] \quad|A|=10-1=9\\ \text { Adj } A=\left[\begin{array}{cc} 5 & -1 \\ -1 & 2 \end{array}\right]^{T} =\left[\begin{array}{cc} 5 & -1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] \\ A^{-1}=\frac{1}{|A|} \text{adj} A \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{l} x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right] =\frac{1}{9}\left[\begin{array}{cc} 5 & -1 \\ -1 & -2 \end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{l} x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]= \frac{1}{9}\left[\begin{array}{cc} 5 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{l} 4 \\ 5 \end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{l} x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{c} 20-5 \\ -4+10 \end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{l} x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \frac{15}{9} \\ \frac{6}{9} \end{array}\right] \\ \Rightarrow x_{2} =\frac{5}{3}, x_{3}=\frac{2}{3}
इसी प्रकार x_{3}=0 लेने पर

{\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right] =\left[\begin{array}{l} 4 \\ 5 \end{array}\right]} \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{ll} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right]^{-1} \left[ \begin{array}{l} 4 \\ 5 \end{array}\right]
माना B=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\2 & 1 \end{array}\right] \\ |B|=1-4=-3 \\ \text{adj} B=\left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{array}\right]^{T}\\ \text{adj} B=\left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{array}\right]\\ B^{-1}= \frac{1}{|B|} \text{adj} B\\=\frac{1}{-3}\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -2 & 1 \end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]=\frac{1}{-3}\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\-2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}4 \\ 5 \end{array}\right] \\ =-\frac{1}{3}\left[\begin{array}{c}4-10 \\-8+5\end{array}\right]\\=-\frac{1}{3}\left[\begin{array}{l}-6 \\-3\end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{l} x_{1} \\x_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}2 \\1 \end{array} \right]\\x_{1}=2, \quad x_{2}=1 \\ x_{2}=0 लेने पर

\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\2 & 5\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{3}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{l}4 \\5\end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{3}\end{array}\right] =\left[ \begin{array}{ll}1 & 1 \\2 & 5\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{c}4 \\5\end{array}\right] \\ C= \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\2 & 5\end{array} \right] \\ \Rightarrow |C|=5-2=3 \\ \text{adj} C=\left[\begin{array}{cc}5 & -2 \\-1 & 1\end{array} \right]^{T} \\ \text{adj} =\left[\begin{array}{cc}5 & -1 \\-2 & 1\end{array}\right]\\ C^{-1}=\frac{1}{|C|} \text{adj} C=\frac{1}{3} \left[\begin{array}{cc}5 & -1 \\-2 & 1\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{rl}x_{1} \\x_{3} \end{array}\right] =\frac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}5 & -1 \\-2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 4 \\5 \end{array} \right] \\=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{l}20-5 \\-8+5\end{array}\right] \\ =\frac{1}{3}\left[\begin{array}{r} 15 \\-3\end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 5 \\ -1 \end{array}\right] \\ \Rightarrow x_{1}=5, x_{3}=-1
अतः सभी आधारी हल निम्न हैं।

\left(0, \frac{5}{3}, \frac{2}{3}\right),(5,0,-1),(2,1,0)
चूँकि किसी भी आधारी हल में एक से अधिक चर का मान शून्य नहीं है, अतः सभी आधारी हल अनपभ्रष्ट है।
Example:2.निम्न समीकरण निकाय के सभी हल ज्ञात कीजिए
(Find the all basic solutions for the following system of equations):

2 x_{1}+3 x_{2}+4 x_{3}=5,3 x_{1}+4 x_{2}+5 x_{3}=6
Solution:2 x_{1}+3 x_{2}+4 x_{3}=5 \\ 3 x_{1}+4 x_{2}+5 x_{3}=6
यहाँ m=2 तथा n=3
अधिकतम आधारी हलों की संख्या=^{3}C_{2}=\frac{3 !}{2 ! \times 1 !}=3
आधारी हल (n-m=3-2=1) चरों को बारी-बारी से शून्य रखने पर प्राप्त होंगे।हम सर्वप्रथम x_{1}=0 लेते हैं।

\left[\begin{array}{ll}3 & 4 \\4 & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{2} \\x_{3}\end{array} \right] =\left[\begin{array}{l}5 \\6\end{array}\right] \\\Rightarrow\left[\begin{array}{ll}x_{2} \\x_{3} \end{array} \right] =\left[\begin{array}{ll}3 & 4 \\4 & 5\end{array}\right]^{-1} \left[ \begin{array}{l}5 \\ 6\end{array}\right] \\A =\left[ \begin{array}{ll}3 & 4 \\4 & 5 \end{array}\right] \\ |A|=15-16=-1 \\ \text{adj} A=\left[\begin{array}{cc}5 & -4 \\-4 & 3\end{array}\right]^{T}\\ \text{adj} A=\left[ \begin{array}{cc} 5 & -4 \\-4 & 3\end{array}\right] \\A^{-1} =\frac{1}{|A|} \text{adj} A \\=\frac{1}{-1} \left[\begin{array}{cc} 5 & -4 \\-4 & 3\end{array}\right] \\A^{-1} =\left[\begin{array}{cc}-5 & 4 \\4 & -3\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{l}x_{2} \\x_{3}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}-5 & 4 \\4 &-3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l}5 \\6\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{l}-5 \times 5+4 \times 6 \\4 \times 5-3 \times 6\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{r}-25+24 \\20-18\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}-1 \\2\end{array}\right] \\\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x_{2} \\x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1 \\2 \end{array}\right] \\x_{2}=-1, x_{3}=2
इसी प्रकार x_{2}=0 लेने पर

\left[\begin{array}{ll}2 & 4 \\3 & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{3} \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{l}5 \\6\end{array}\right] \\\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{3} \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{ll}2 & 4 \\3 & 5\end{array}\right]^{-1} \left[ \begin{array}{l}5 \\6\end{array}\right] \\B=\left[ \begin{array}{ll}2 & 4 \\3 & 5 \end{array}\right] \\ |B|=10-12=-2 \\ \text{adj} B=\left[\begin{array}{cc}5 & -3 \\-4 & 2\end{array} \right]^{T} \\ \text{adj} B=\left[ \begin{array}{cc}5 & -4 \\-3 & 2\end{array}\right] \\ B^{-1}=\frac{1}{\mid B \mid} \text{adj} B \\ B^{-1}=\frac{1}{-2}\left[\begin{array}{cc}5 & -4 \\-3 & 2\end{array}\right] \\ \left[ \begin{array}{l}x_{1} \\x_{3} \end{array}\right]=-\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}5 & -4 \\-3 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}5 \\6 \end{array}\right] \\ =-\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}25-24 \\-15+12\end{array}\right] \\=-\frac{1}{2} \left[\begin{array}{c}1 \\-3\end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \end{array}\right] \\x_{1}=-\frac{1}{2}, x_{3}=\frac{3}{2} \\ x_{3}=0 लेने पर

\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\3 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{2} \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{l}5 \\6 \end{array}\right] \\\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{2}\end{array}\right] =\left[ \begin{array}{ll}2 & 3 \\3 & 4\end{array}\right]^{-1} \left[\begin{array}{l}5 \\6\end{array}\right] \\ C=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\3 & 4\end{array} \right] \\|C|=8-9=-1 \\ \text{adj} C=\left[\begin{array}{cc}4 & -3 \\-3 & 2\end{array}\right]^{T}\\ \text{adj} C= \left[ \begin{array}{cc}4 & -3 \\-3 & 2\end{array}\right]\\ C^{-1}=\frac{1}{|c|} \text{adj}C\\=\frac{1}{-1} \left[\begin{array}{cc}4 & -3 \\-3 & 2\end{array}\right]\\\Rightarrow C^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-4 & 3 \\3 & -2 \end{array}\right] \\ \Rightarrow C^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-4 & 3 \\3 & -2\end{array}\right] \\=\left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-4 & 3 \\3 &-2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}5 \\6 \end{array}\right] \\= \left[\begin{array}{l}-20+18 \\15-12\end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{2} \end{array} \right]= \left[\begin{array}{c}-2 \\3\end{array}\right] \\ x_{1}=-2, x_{2}=3
अतः सभी आधारी हल निम्न हैं:

(0,-1,2),\left(-\frac{1}{2}, 0, \frac{3}{2}\right),(-2,3,0)

Example:3.निम्न समीकरण निकाय के सभी आधारी सुसंगत हल ज्ञात कीजिए:
(Find all the B.F.S. of the following system):

8 x_{1}+6 x_{2}+3 x_{3}+x_{4}+x_{5}=6 \\9 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}+6 x_{4}+10 x_{5}=10
Solution:8 x_{1}+6 x_{2}+3 x_{3}+x_{4}+x_{5}=6 \\9 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}+6 x_{4}+10 x_{5}=10
यहाँ m=2 तथा n=5
अधिकतम आधारी हलों की संख्या=^{5} C_{2}=\frac{5 !}{3 ! \times 2 !}=\frac{5 \times 4 \times 31}{3 ! \times 2 \times 1} =10
आधारी हल (n-m=5-2=3) चरों को बारी-बारी से शून्य रखने पर प्राप्त होंगे।
दिए हुए निकाय को हम निम्न प्रकार लिख सकते हैं:

\alpha_{1} x_{1}+\alpha_{2} x_{2}+2_{3} x_{3}+\alpha_{4} x_{4}+\alpha_{5} x_{5}=b
जहाँ \alpha_{1}=\left[\begin{array}{l}8 \\9\end{array}\right], \alpha_{2}=\left[\begin{array}{l}6 \\1\end{array}\right], \alpha_{3}=\left[\begin{array}{l}3 \\2\end{array}\right], \alpha_{4}=\left[\begin{array}{l}1 \\6\end{array}\right]\alpha_{5} =\left[\begin{array}{l}1 \\10\end{array}\right] तथा b=\left[\begin{array}{c}6 \\10\end{array}\right]
अब पाँच सदिशों के दो-दो सदिशों के दस समुच्चय निम्न हैं:

B_{1}=\left[\alpha_{1}, \alpha_{2}\right], B_{2}=\left[\alpha_{1}, \alpha_{3}\right], B_{3}=\left[ \alpha_{1} \alpha_{4}\right] \\ B_{4}=\left[\alpha_{1} \alpha_{5}\right], B_{5}=\left[\alpha_{2} \alpha_{3} \right], B_{6}=\left[\alpha_{2} \alpha_{4}\right] \\ B_{7}=\left[\alpha_{2} \alpha_{5}\right], B_{8}=\left[ \alpha_{3} \alpha_{4}\right], B_{9}=\left[\alpha_{3} \alpha_{5}\right] \\ B_{10}=\left[\alpha_{4} \alpha_{5} \right] \\ B_{1}=\left[\begin{array}{ll}8 & 6 \\9 & 1\end{array}\right] \quad \mid B_{1} \mid=8-54=-46 \\ \text{adj} B_{1}=\left[\begin{array}{cc}1 & -9 \\-6 & 8\end{array}\right]^{T} \\ \Rightarrow \text{adj} B_{1}=\left[\begin{array}{rr}1 & -6 \\-9 & 8\end{array}\right] \\ B_{1}^{-1}=\frac{1}{\left|B_{1}\right|} \text{adj} B_{1}=-\frac{1}{46} \left[\begin{array}{cc}1 & -6 \\-9 & 8\end{array}\right] \\ X_{B_{1}}= \left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{2} \end{array} \right]= B_{1}^{-1} b=-\frac{1}{46}\left[\begin{array}{cc}1 & -6 \\-9 & 8\end{array} \right]\left[ \begin{array}{l} 6 \\10\end{array}\right] \\ =-\frac{1}{46}\left[ \begin{array}{l} 6-60 \\-54+80\end{array}\right] \\ =-\frac{1}{46} \left[ \begin{array}{l}-54 \\26\end{array}\right] \\ {\left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{2}\end{array}\right]= \left[ \begin{array}{c}\frac{27}{23} \\-\frac{13}{23}\end{array}\right]} \\ \Rightarrow x_{1}=\frac{27}{23}, x_{2}=-\frac{13}{23} \\B_{2}= \left[\begin{array}{ll}8 & 3 \\9 & 2\end{array}\right]_{1} \left|B_{2}\right|=16-27=-11 \\ \text{adj} B_{2}= \left[ \begin{array}{cc}2 & -9 \\-3 & 8\end{array}\right]^{T}=\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\-9 & 8\end{array}\right]\\ B_{2}^{-1}=\frac{1}{\left|B_{2}\right|} \text{adj} B_{2}=-\frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\-9 & 8\end{array}\right] \\ X_{B_{2}} =\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{3} \end{array}\right]=B_{2}^{-1} b=-\frac{1}{11}\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\-9 & 8\end{array} \right] \left[\begin{array}{c}6 \\10\end{array}\right]\\=-\frac{1}{11}\left[\begin{array}{c}12-30 \\-54+80 \end{array} \right]=-\frac{1}{11}\left[\begin{array}{c}-18 \\26\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{3}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}\frac{18}{11} \\-\frac{26}{11}\end{array}\right] \\ \Rightarrow x_{1}=\frac{18}{11} , \quad x_{3}= \frac{-26}{11}\\ B_{3}=\left[\alpha_{1} \alpha_{4}\right]=\left[\begin{array}{ll}8 & 1 \\9 & 6\end{array}\right], \mid B_{3} \mid=48-9=39\\ \text{adj} B_{3}=\left[\begin{array}{cc}6 & -9 \\-1 & 8\end{array} \right]^{T}=\left[\begin{array}{cc}6 & -1 \\-9 & 8\end{array}\right]\\ B_{3}^{-1}=\frac{1}{\left|B_{3}\right|} \text{adj} B_{3}=\frac{1}{39}\left[\begin{array}{cc}6 & -1 \\-9 & 8\end{array}\right] \\ X_{B_{3}}=B_{3}^{-1} b=\frac{1}{39}\left[\begin{array}{cc}6 & -1 \\-9 & 8 \end{array} \right]\left[\begin{array}{l}6 \\10\end{array}\right]\\ =\frac{1}{39}\left[\begin{array}{c}36-10 \\-54+80 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{39}\left[\begin{array}{l} 26 \\26\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{4} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{l}+\frac{2}{3} \\+\frac{2}{3} \end{array}\right] \\ \Rightarrow x_{1}=+\frac{2}{3}, x_{4}=+\frac{2}{3} \\ B_{4}=\left[\alpha, \alpha_{5}\right]=\left[\begin{array}{ll}8 & 1 \\9 & 10\end{array}\right] \\ \mid B_{4} \mid=80-9=71 \\ \text{adj} B_{4}=\left[\begin{array}{cc}10 & -9 \\-1 & 8\end{array}\right]^{T}=\left[\begin{array}{cc}10 & -1 \\-9 & 8\end{array}\right] \\ B_{4}^{-1} =\frac{1}{\mid B_{4} \mid} \text{adj} B_{4} \\ \Rightarrow B_{4}^{-1} =\frac{1}{71}\left[ \begin{array}{cc}10 & -1 \\-9 & 8\end{array}\right] \\ X_{B_{4}}=\left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{5} \end{array}\right] =B_{4}^{-1} b=\frac{1}{71}\left[\begin{array}{cc}10 & -1 \\-9 & 8\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}6 \\10\end{array} \right] \\ =\frac{1}{71}\left[\begin{array}{l}60-10 \\-54+80\end{array}\right]=\frac{1}{71} \left[\begin{array}{c}50 \\26 \end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{5}\end{array}\right]=\frac{1}{71}\left[\begin{array}{l}50 \\26\end{array} \right] \\ \Rightarrow x_{1}=\frac{50}{71} , \quad x_{5}=\frac{26}{71} \\ B_{5}=\left[\alpha_{2} \alpha_{3}\right]= \left[\begin{array}{ll}6 & 3 \\1 & 2\end{array}\right],\left|B_{5}\right|=12-3=9 \\ \text{adj} B_{5}=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\-3 & 6\end{array}\right]^{T}=\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\-1 & 6\end{array}\right]\\ B_{5}=\frac{1}{\left|B_{5}\right|} \text{adj} B_{5}=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\-1 & 6\end{array}\right]\\ X_{B_{5}}= \left[\begin{array}{l}x_{2} \\x_{3}\end{array}\right]=B_{5}^{-1} b=\frac{1}{9} \left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\-1 & 6\end{array} \right]\left[\begin{array}{l}6 \\ 10\end{array}\right]\\ =\frac{1}{9}\left[\begin{array}{cc}12 -30 \\-6+60 \end{array}\right]=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{cc}-18 \\54\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{l}x_{2} \\x_{3} \end{array} \right]=\left[\begin{array}{c}-2 \\6\end{array}\right] \\  \Rightarrow x_{2}=-2, x_{3}=6 \\ B_{6}=\left[ \alpha_{2} \alpha_{4}\right]=\left[\begin{array}{ll} 6 & 1 \\1 & 6\end{array}\right], \left|B_{6}\right| =36-1=35\\ \text { adj } B_{6}=\left[\begin{array}{cc}6 & -1 \\-1 & 6\end{array}\right]^{T} =\left[\begin{array}{cc}6 & -1 \\-1 & 6\end{array} \right] \\ B_{6}^{-1}=\frac{1}{\left|B_{6}\right|} \text{adj} B_{6}=\frac{1}{35}\left[\begin{array}{cc}6 & -1 \\-1 & 6\end{array} \right]\\ X_{B_{6}}=\left[\begin{array}{l}x_{2} \\x_{4}\end{array}\right]=B_{6}^{-1} b=\frac{1}{35}\left[\begin{array}{ll}6 & -1 \\-1 & -6 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}6 \\10\end{array}\right]\\ =\frac{1}{35}\left[ \begin{array}{l}36-10 \\-6+60\end{array}\right]=\frac{1}{35}\left[\begin{array}{l}26 \\54\end{array} \right] \\ \left[\begin{array}{l}x_{2} \\x_{4}\end{array}\right]=\frac{1}{35}\left[\begin{array}{l}26 \\54\end{array}\right] \\ \Rightarrow x_{2}=\frac{26}{35} , x_{4}=\frac{54}{35} \\B_{7}=\left[\alpha_{2} \alpha_{5}\right]=\left[\begin{array}{ll}6 & 1 \\1 & 10\end{array}\right],\left|B_{7}\right|=60-1=59 \\ \text{adj} B_{7}=\left[\begin{array}{cc}10 & -1 \\-1 & 6\end{array} \right]^{T}=\left[\begin{array}{cc}10 & -1 \\-1 & 6 \end{array}\right] \\ B_{7}^{-1}=\frac{1}{ \mid B_{7} \mid} \text{adj} B_{7}=\frac{1}{59}\left[\begin{array}{cc}10 & -1 \\ -1 & 6 \end{array}\right] \\ B_{7}^{-1}=\frac{1}{1_{1}} \text{adj} B_{7}=\frac{1}{59}\left[\begin{array}{cc}10 & -1 \\-1 & 6 \end{array}\right] \\ X_{B_{7}} =\left[ \begin{array}{l} x_{2} \\x_{5}\end{array}\right]=B_{7}^{-1} b=\frac{1}{59}\left[\begin{array}{cc}10 & -1 \\-1 & 6\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}6 \\10\end{array}\right] \\ =\frac{1}{59}\left[\begin{array}{ll}60-10 \\-6 +60\end{array}\right]= \frac{1}{59}\left[\begin{array}{l}50 \\54\end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{l}x_{2} \\ x_{5}\end{array}\right] =\frac{1}{59}\left[\begin{array}{l}50 \\54\end{array}\right] \\ \Rightarrow x_{2}=\frac{50}{59}, x_{5}=\frac{54}{59} \\B_{8}= \left[\begin{array}{ll}\alpha_{3} & \alpha_{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\2 & 6\end{array}\right], \left|B_{8}\right|=18-2=16 \\ \text{adj} B_{8}=\left[\begin{array}{cc}6 & -2 \\-1 & 3\end{array} \right]^{T} =\left[\begin{array}{cc}6 & -1 \\-2 & 3\end{array}\right]\\ B_{8}^{-1}=\frac{1}{\left|B_{8}\right|} \text{adj} B_{8}=\frac{1}{16}\left[\begin{array}{cc}6 & -1 \\-2 & 3\end{array}\right]\\ X_{B_{8}}=\left[\begin{array}{l}x_{3} \\x_{4}\end{array}\right]=B_{8}^{-1} b=\frac{1}{16}\left[\begin{array}{cc}6 & -1 \\-2 & 3\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}6 \\10\end{array}\right]\\ =\frac{1}{16}\left[\begin{array}{c}36-10 \\-12+30\end{array}\right] =\frac{1}{16}\left[\begin{array}{l}26 \\18\end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}x_{3} \\x_{4}\end{array} \right] =\frac{1}{16}\left[\begin{array}{ll}2 & 6 \\1 & 8\end{array}\right]\\ \Rightarrow x_{3}=\frac{13}{8}, x_{4}=\frac{9}{8}\\ B_{9}=\left[\begin{array}{ll}\alpha_{3} & \alpha_{5}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\2 & 10 \end{array}\right], \quad\left|B_{9}\right|=30-2=28\\ \text{adj} B_{9}=\left[\begin{array}{cc}10 & -2 \\-1 & 3 \end{array}\right]^{T}=\left[\begin{array}{cc}10 & -1 \\-2 & 3\end{array}\right] \\ B_{9}^{-1}=\frac{1}{|B_{9}|} \quad \text{adj} B_{9}=\frac{1}{28}\left[\begin{array}{cc}10 & -1 \\-2 & 3\end{array}\right] \\ X_{B_{9}} =\left[\begin{array}{l}x_{3} \\x_{5}\end{array}\right]=B_{9}^{-1} b \\ =\frac{1}{28}\left[\begin{array}{cc}10 & -1 \\-2 & 3\end{array} \right]\left[\begin{array}{l}6 \\10\end{array}\right] \\ =\frac{1}{28}\left[\begin{array}{cc}60-10 \\-12+30\end{array}\right]  \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}x_{3} \\x_{5} \end{array}\right]=\frac{1}{28}\left[\begin{array}{c}50 \\18\end{array}\right] \\ \Rightarrow x_{3}=\frac{25}{14}, x_{5}=\frac{9}{14} \\ B_{10}=\left[\alpha_{4} \alpha_{5}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\6 & 10\end{array}\right] \\ \mid B_{10} \mid =10-6=4\\ \text{adj} B_{10}=\left[\begin{array}{cc}10 & -6 \\-1 & 1\end{array}\right]^{T}=\left[\begin{array}{cc}10 & -1 \\-6 & 1\end{array}\right]\\ B_{10}^{-1}=\frac{1}{\left|B_{10}\right|} \text{adj} B_{10}\\ =\frac{1}{4}\left[\begin{array}{cc}10 & -1 \\-6 & 1\end{array}\right]\\ x_{B_{10}}=\left[\begin{array}{l}x_{4} \\x_{5}\end{array}\right]=B_{10}^{-1} b \\ =\frac{1}{4}\left[\begin{array}{rr}10 & -1 \\-6 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}6 \\10\end{array}\right] \\ =\frac{1}{4}\left[\begin{array}{ll}60-10 \\-36+10\end{array}\right] \\\left[\begin{array}{l}x_{4} \\x_{5}\end{array}\right]=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{c}50 \\-26\end{array}\right] \\ \Rightarrow x_{4}=\frac{25}{2}, x_{5}=\frac{-13}{2}
अतः सभी आधारी हल निम्न हैं:

\left(\frac{27}{23},-\frac{13}{23}, 0,0,0\right),\left(\frac{18}{11}, 0,-\frac{26}{11}, 0,0\right),\left(\frac{2}{3}, 0,0, \frac{2}{3}, 0\right),\left(\frac{50}{71}, 0,0,0, \frac{26}{71}\right) \\(0,-2,6,0,0),\left(0, \frac{26}{35}, 0, \frac{54}{35}, 0\right),\left(0, \frac{50}{59}, 0,0, \frac{54}{59}\right),\left(0,0,\frac{13}{8}, \frac{9}{8}, 0\right) \\ \left(0,0, \frac{25}{4}, 0, \frac{9}{14}\right),\left(6,0,0, \frac{25}{2},-\frac{13}{2}\right)
उपर्युक्त 10 आधारी हलों में से केवल 6 आधारी सुसंगत हल हैं क्योंकि इनमें से 4 ऋणेतर प्रतिबन्ध सन्तुष्ट नहीं करते हैं।
अतः दत्त रैखिक समस्या के निम्न छ: आधारी सुसंगत हल प्राप्त होते हैं:

\left(\frac{2}{3}, 0,0, \frac{2}{3}, 0\right),\left(\frac{50}{71}, 0,0,0, \frac{26}{71}\right),\left(0, \frac{26}{35}, 0, \frac{54}{35}, 0\right), \\ \left(0, \frac{50}{59}, 0,0, \frac{54}{59}\right) \left(0,0, \frac{13}{59}, \frac{9}{8}, 0\right),\left(0,0, \frac{25}{14}, 0, \frac{9}{14}\right)
Example:4.रैखिक प्रोग्रामन समस्या के सभी सुसंगत हलों की गणना कीजिए।
(Compute all B.F.S. for the L.P.P.)
अधिकतम कीजिए (Max.) Z=2 x_{1}+5 x_{2}-3 x_{3}
प्रतिबन्ध (s.t.) 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=3 \\x_{1}+3 x_{2}-8 x_{3}=4
तथा (and) x_{1}, x_{2}, x_{3} \geq 0
Solution:Max.Z=2 x_{1}+5 x_{2}-3 x_{3}
s.t. 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=3 \\x_{1}+3 x_{2}-8 x_{3}=4
and x_{1}, x_{2}, x_{3} \geq 0
यहाँ m=2 तथा n=3
अधिकतम आधारी हलों की संख्या =^{3}C_{2}=\frac{3!}{2! \times 1!}=3
आधारी हल (n-m=3-2=1) चरों को बारी-बारी से शून्य रखने पर प्राप्त होंगे।
उद्देश्य फलन का इष्टतम मान चरम बिन्दु पर होता है जो कि आधारी सुसंगत हलों के संगत होता है।सर्वप्रथम हम सभी आधारी सुसंगत हल ज्ञात करेंगे।
दिए हुए निकाय को हम निम्न प्रकार लिख सकते हैं:

\alpha_{1} x_{1}+\alpha_{2} x_{2}+\alpha_{3} x_{3}=b
जहाँ  \alpha_{1}=\left[\begin{array}{l}2 \\1\end{array}\right], \alpha_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\3\end{array} \right], \alpha_{3}=\left[\begin{array}{c}-1 \\-8\end{array}\right] तथा b=\left[\begin{array}{l}3 \\4\end{array}\right]
अब तीनों सदिशों \alpha_{1} ,\alpha_{2} ,\alpha_{3} के दो-दो के 3 समुच्चय निम्न हैं:

B_{1}=\left[\alpha_{1} \alpha_{2}\right], B_{2}=\left[\alpha_{1}, \alpha_{3}\right], B_{3}=\left[\alpha_{2} \alpha_{3} \right] \\B_{1}=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\1 & 3\end{array}\right] ,\left|B_{1}\right|=6-1=5 \\ \text{adj} B_{1}= \left[ \begin{array}{cc}3 & -1 \\-1 & 2\end{array}\right]^{T} =\left[\begin{array}{ll}3 & -1 \\ 1 & 2\end{array}\right] \\B_{1}^{-1} =\frac{1}{\left|B_{1}\right|} \text{adj} B_{1}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\-1 & 2\end{array}\right] \\ X_{B_{1}}= \left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{2}\end{array}\right]=B_{1}^{-1} b=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\-1 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}3 \\4\end{array}\right] \\ =\frac{1}{5}\left[\begin{array}{l}9-4 \\-3+8 \end{array} \right] =\frac{1}{5}\left[\begin{array}{l}5 \\5\end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{2} \end{array} \right]=\left[\begin{array}{l}1 \\1\end{array}\right], x_{1}=1, x_{2}=1 \\ B_{2}=\left[\alpha_{1} \alpha_{3} \right]= \left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\1 & -8\end{array}\right] \\ \left|B_{2}\right|=-16+1=-15 \\ \text{adj} B_{2} =\left[ \begin{array}{cc}-8 & -1 \\1 & 2\end{array}\right]^{T}=\left[\begin{array}{cc}-8 & 1 \\-1 & 2\end{array}\right] \\ B_{2}^{-1}=\frac{1}{\left|B_{2}\right|} \text{adj} B_{2}\\ \Rightarrow B_{2}^{-1}=-\frac{1}{15}\left[\begin{array}{cc}-8 & 1 \\-1 & 2\end{array}\right]\\ X_{B_{2}}=\left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{3}\end{array}\right]=B_{2}^{-1} b\\ =\frac{1}{-15}\left[\begin{array}{cc}-8 & 1 \\-1 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}3 \\4\end{array}\right]\\=-\frac{1}{15}\left[\begin{array}{l}-24+4 \\-3+8\end{array}\right] \\ {\left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{3}\end{array}\right]=-\frac{1}{15}\left[\begin{array}{c}-20 \\5\end{array}\right]} \\ x_{1}=\frac{4}{3}, x_{3}=-\frac{1}{3} \\B_{3}=\left[\alpha_{2} \alpha_{3}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & -1 \\3 & -8\end{array}\right] \\ \left|B_{3}\right|=-8+3=-5 \\ \text{adj} B_{3}=\left[\begin{array}{cc}-8 & -3 \\1 & 1\end{array} \right]^{T} = \left[\begin{array}{ll}-8 & 1 \\-3 & 1\end{array} \right] \\ B_{3}^{-1}=\frac{1}{\left|B_{3}\right|} \text{adj} B_{3} \\=\frac{1}{-5}\left[\begin{array}{ll}-8 & 1 \\-3 & 1\end{array}\right]\\ X_{B_{3}}=\left[\begin{array}{l}x_{2} \\x_{3}\end{array}\right]=B_{3}^{-1} b\\=-\frac{1}{5}\left[ \begin{array}{ll} -8 & 1 \\-3 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}3 \\4\end{array}\right] \\ =-\frac{1}{5}\left[\begin{array}{l}-24+4 \\-9+4\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{l}x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=-\frac{1}{5}\left[\begin{array}{l}-20 \\-5\end{array}\right] \\ \Rightarrow x_{2}=4, x_{3}=1
अतः सभी आधारी हल निम्न हैं:

(1,1,0),\left(\frac{4}{3}, 0,-\frac{1}{3}\right),\left(0, 4,1\right)
उपर्युक्त तीन आधारी हलों में से दो आधारी सुसंगत हल हैं क्योंकि इनमें से एक ऋणेतर प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट नहीं करता है।
अतः दत्त रैखिक समस्या के निम्न दो आधारी सुसंगत हल प्राप्त होते हैं:

(1,1,0),(0, 4,1)
आधारी सुसंगत हलों के संगत उद्देश्य फलन z के मान : Z=2 x_{1}+5 x_{2}-3 x_{2} \\Z_{1}=2(1)+5(1)-3(0) \\ \Rightarrow Z_{1}=2+5=7 \\Z_{2}=2(0)+5(4)-3(1) \\=0+20-3 \\ Z_{2}=17
अतः उद्देश्य फलन का अधिकतम मान Z_{2} प्राप्त होता है
फलतः इष्टतम हल के लिए x_{1}=0,x_{2}=4,x_{3}=1
तथा अधिकतम Z=17

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्या का आधारी सुसंगत हल (Basic Feasible Solution in LPP),रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल (Feasible Solution of LPP) को समझ सकते हैं।

3.रैखिक प्रोग्रामन समस्या का आधारी सुसंगत हल की समस्याएं (Basic Feasible Solution in LPP Problems):

(1.)निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या के इष्टतम हल बिना सिम्पलेक्स विधि (आधारी सुसंगत हलों के माध्यम से) ज्ञात कीजिए।
(Find an optimal solution of the following L.P.P. without using the simplex method (using B.F.S.):
अधिकतम (Max.) f(x)=2 x_{1}+3 x_{2}+4 x_{3}+7 x_{4}
व्यवरोध (s.t.) 2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}+4 x_{4}=8 \\ x_{1}-2 x_{2}+6 x_{3}-7 x_{4}=-3
तथा (and) x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \geq 0
(2.)निम्न निकाय का आधारी सुसंगत हल ज्ञात कीजिए:
(Find all the B.F.S. of the following system):

x_{1}+2 x_{2}=1, x_{2}+x_{3}=4, x_{1}, x_{2} x_{3} \geq 0
उत्तर (Answers): (1)x_{1}=0, x_{2}=0, x_{3}=\frac{44}{17}, x_{4}=\frac{45}{17} तथा अधिकतम (Max.) f(x)=\frac{491}{17}

(2.)(1,0,4);(0,1,7)

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रैखिक प्रोग्रामन समस्या का आधारी सुसंगत हल (Basic Feasible Solution in LPP),रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल (Feasible Solution of LPP) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Linear Dependent or Linear Independent

4.रैखिक प्रोग्रामन समस्या का आधारी सुसंगत हल (Basic Feasible Solution in LPP),रैखिक प्रोग्रामन समस्या का आधारी हल (Basic Solution of Linear Programming Problem) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

प्रश्न:1.आधारी हल को परिभाषित कीजिए। (Define basic Solution):

उत्तर:दिए हुए चरों में m समीकरण (m<n) का निकाय जो कि AX=b से व्यक्त किया जा सकता है।मैट्रिक्स A का एक उपमैट्रिक्स चुनिए जिसकी कोटि m×m है।माना कि X_{B} एक सदिश है जिसमें m चर है।तब B X_{b}=b या X_{B}=B^{-1}b निकाय का आधारी हल कहलाता है।

प्रश्न:2.आधारी सुसंगत हल को परिभाषित कीजिए। (Define basic feasible solution):

उत्तर:एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या (L.P.P.) का सुसंगत हल (Feasible Solution) आधारी हल (Basic Solution)भी हो तो वह आधारी सुसंगत हल (B.F.S.) कहलाता है।

प्रश्न:3.अनपभ्रष्ट सुसंगत आधारी हल को परिभाषित कीजिए। (Define non-degenerate basic feasible solution):

उत्तर:एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या का एक आधारित सुसंगत हल,अनपभ्रष्ट आधारी सुसंगत हल कहलाता है यदि प्रत्येक आधारी चर शून्य हो।

प्रश्न:4.अपभ्रष्टता को परिभाषित कीजिए। (Define degeneracy):

उत्तर:यदि एक या एक से अधिक चरों का मान शून्य हो तो उसे अपभ्रष्टता कहते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्या का आधारी सुसंगत हल (Basic Feasible Solution in LPP),रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल (Feasible Solution of LPP) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

 

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