Generating Lines in 3D
1.त्रिविमीय निर्देशांक में जनक रेखाएँ (Generating Lines in 3D),जनक रेखाएँ (Generating Lines):
त्रिविमीय निर्देशांक में जनक रेखाएँ (Generating Lines in 3D) रेखज पृष्ठ (Ruled Surface) पर होती हैं।चल सरल रेखाओं से जनित पृष्ठों को रेखज पृष्ठ (Ruled Surface) कहा जाता है और ये चल सरल रेखाएँ रेखज पृष्ठ की जनक रेखाएँ (Generating Lines) कहलाती है।शंकु (Cone) और बेलन (Cylinder) भी चल सरल रेखाओं से जनित होते हैं अतः उन्हें भी रेखज पृष्ठ कहते हैं।
यदि किसी रेखा के तीन बिन्दु शांकवज पर हों तो वह रेखा पूरी तरह शांकवज पर होगी (If three points of a straight line lie on a conicoid the straight line lies wholly on the conicoid):
यदि द्विघात का व्यापक समीकरण:
F(x,y,z)=0………(1)
से प्रदर्शित हो तो बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) से जानेवाली रेखा तथा l,m,n जिसकी दिक्कोज्याएँ हैं,पर किसी बिन्दु के निर्देशांक (\alpha+l r, \beta+m r, \gamma+n r) होंगे।यदि यह बिन्दु पृष्ठ (1) पर स्थित है तो इसके लिए प्रतिबन्ध होगा कि
F(\alpha+l r, \beta+m r, \gamma+n r)=0 \cdots(2)
चूँकि यह द्विघात का समीकरण है इसलिए इसका रूप
A r^{2}+2 B r+C=0 \cdots(3)
होगा।समीकरण (3) से हमको r के केवल दो ही मान मिलेंगे।पर यदि तीन बिन्दु शांकवज पर हों तो यह समीकरण r के तीन मानों के लिए सत्य होनी चाहिए यह तब ही सम्भव है जबकि
A=B=C=0
अर्थात् यह r के सभी मानों के लिए सत्य है।अतः सरल रेखा पूरी तरह शांकवज पर होगी।
एक दी हुई सरल रेखा को एक दिये हुए सकेन्द्र शांकवज की जनक रेखा होने का प्रतिबन्ध ज्ञात करना
(To find the conditions that a given straight line should be a generator of a given central conicoid):
माना सरल रेखा तथा सकेन्द्र शांकवज के समीकरण क्रमशः है:
\frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n} \cdots(1) \\ a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=1 \cdots(2)
सरल रेखा (1) पर कोई बिन्दु (\alpha+l r, \beta+m r, \gamma+n r) शांकवज पर होगा यदि
\left(a l^{2}+b m^{2}+cn^{2}\right) r^{2}+2\left(a \alpha l + b \beta m + c \gamma n \right) r+\left(a \alpha^{2}+b \beta^{2}+c \gamma^{2}\right)=0 \cdots(3)
यदि यह समीकरण तत्समक (Identity) है तो सरल रेखा (1) पूरी तरह शांकवज (2) पर स्थित होगी अर्थात् उसका जनक होगी।इसलिए अभीष्ट प्रतिबन्ध है:
a l^{2}+b m^{2}+c n^{2}=0 \cdots(4) \\ a \alpha l+b \beta m+c \gamma n=0 \cdots(5)\\ a \alpha^{2}+b \beta^{2}+c \gamma^{2}=1
समीकरण (6) दर्शाता है कि बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) शांकवज पर है।समीकरण (5) से स्पष्ट है कि सरल रेखा (जनक) शांकवज के उस स्पर्श तल (Tangent Plane) पर स्थित है जो बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) पर खींचा गया है तथा समीकरण (4) से ज्ञात होता है कि जनक के समान्तर शांकवज के केन्द्र से जानेवाली रेखाएँ उपगामी शंकु (asymptotic cone) a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=0 \cdots(7) की जनक है।
समीकरण (4) और (5) से l,m,n के दो मान प्राप्त होते हैं।अतः (\alpha, \beta, \gamma) से जानेवाली दो रेखाएँ वास्तविक, संपाती या अधिकल्पित खीचीं जा सकती है जो शांकवज की जनक होगी।
लैगराॅन्थज की सर्वसमिका से:
\left(a l^{2}+b m^{2}\right)\left(a \alpha^{2}+b \beta^{2}\right)-(a \alpha l+b \beta m)^{2} \equiv a b\left(\alpha m-\beta l\right)^{2}\cdots( 8)
इसमें (4),(5) तथा (6) की सहायता से प्राप्त होता है:
-c n^{2}=a b(\alpha m n-\beta l)^{2} \cdots(9)
अतएव l,m,n के मान केवल तब ही वास्तविक होंगे जब a,b तथा c के चिन्ह विपरीत हों।यह तभी सम्भव है जब a,b और c में से कोई दो धनात्मक और एक ऋणात्मक हो अर्थात् संकेन्द्र शांकवज केवल एक पृष्ठीय अतिपरवलयज होना चाहिए तब ही रेखज पृष्ठ होगा।
समीकरण (9) से:
\alpha m-\beta l \pm n \sqrt{\frac{-c}{a b}}=0 \cdots(10)
समीकरण (5) और (10) को हल करने पर (\alpha, \beta, \gamma) से जानेवाली रेखाओं के दिक्अनुपात
\frac{1}{\pm b \beta \sqrt{\frac{-c}{a b}}+c \alpha \gamma}=\frac{m}{\pm a \alpha \sqrt{\frac{-c}{a b}}+c \beta \gamma}=\frac{n}{-\left(a \alpha^{2}+b \beta^{2}\right)}
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
Also Read This Article:-Right Circular Cylinder in 3D
2.त्रिविमीय निर्देशांक में जनक रेखाएँ पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Generating Lines in 3D):
Example:1.अतिपरवलयज \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1 के बिन्दु \left(2,-1, \frac{4}{3}\right) से गुजरनेवाली जनक रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए।
(Find the equations to the generating lines of the hyperboloid \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1 which pass through the point \left(2,-1, \frac{4}{3}\right))
Solution:माना कि \left(2,-1, \frac{4}{3}\right) से गुजरने वाली जनक रेखा का समीकरण है:
\frac{x-2}{l}=\frac{y+1}{m}=\frac{z-\frac{4}{3}}{n}=r (माना)
इस पर किसी बिन्दु के निर्देशांक होंगे:
(2+l r,-1+m r,\frac{4}{3}+nr)
यह अतिपरवलयज \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1 पर होगा यदि
\frac{1}{4}(2+l r)+\frac{1}{9}(-1+m r)^{2}-\frac{1}{16}\left(\frac{4}{3}+nr\right)^{2}=1 \\ \Rightarrow \left(\frac{l^{2}}{4}+\frac{m^{2}}{9}-\frac{n^{2}}{16}\right) r^{2}+\left(l-\frac{2}{9} m-\frac{1}{6} n\right) r+1+\frac{1}{9}-\frac{1}{9}=1 \\ \Rightarrow \left(\frac{l^{2}}{4}+\frac{m^{2}}{9}-\frac{n}{16}\right) r^{2}+\left(l-\frac{2}{9} m+\frac{1}{6} n\right)r=0 \cdots(3)
चूँकि सरल रेखा (1) अतिपरवलयज (2) की जनक रेखा है इसलिए समीकरण (3),r के सभी मानों के लिए सत्य होनी चाहिए अर्थात्
\frac{l^{2}}{4}+\frac{m^{2}}{9}-\frac{n^{2}}{16}=0 \cdots(4)
तथा l-\frac{2}{9} m+\frac{1}{6} n=0
समीकरण (4) व (5) की सहायता से n का विलोपन करने पर:
n =6(l-\frac{2}{9} m) [(5) से]……(6)
\frac{l^{2}}{4}+\frac{m^{2}}{9}-\frac{1}{16}\left[6\left(l-\frac{2}{9} m\right)\right]^{2}=0\\ \Rightarrow \frac{l^{2}}{4}+\frac{m^{2}}{9}-\frac{1}{16}\left(36 l^{2}+\frac{144}{81} m^{2}-\frac{44}{9}lm\right)=0\\ \Rightarrow \frac{l^{2}}{4}+\frac{m^{2}}{9}-\frac{9 l^{2}}{4}-\frac{1}{9} m^{2}+l m=0 \\ \Rightarrow-2 l^{2}+l m=0 \\ \Rightarrow l(-2 l+m)=0 \\ \Rightarrow l=0, m=2 l
(6) में l=0 रखने पर:
n=-\frac{4}{3} m \\ \frac{n}{-4}=\frac{m}{3} \\ \frac{l}{0}=\frac{m}{3}=\frac{n}{-4} \ldots(7)
m=2l (6) में रखने पर:
n=6\left(l-\frac{2}{9} \times 2 l\right) \\ \Rightarrow n=6 \times \frac{5 l}{9} \\ \Rightarrow n=\frac{10 l}{3} \\ \Rightarrow \frac{n}{10}=\frac{l}{3} \\ \Rightarrow \frac{l}{3}=\frac{m}{6}=\frac{n}{10} \cdots(8)
(7) व (8) से l,m,n के मान (1) में रखने पर जनक रेखाओं के समीकरण होंगे:
Example:2.निम्नलिखित अतिपरवलयजों की जनक रेखाओं के कुल के समीकरण लिखिए तथा दिए हुए बिन्दुओं से गुजरनेवाली युगल जनक रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए।
(Write down the equations of the systems of generating lines of the following hyperboloids and determine the pair of lines of the systems)
(i) x^{2}+9 y^{2}-z^{2}=9,\left(3, \frac{1}{3},-1\right)
(ii) \frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{4}=1, \quad\left(-1, \frac{4}{3}, 2\right)
Solution:(i) x^{2}+9 y^{2}-z^{2}=9,\left(3, \frac{1}{3},-1\right) \\ x^{2}-z^{2}+9 y^{2}-9=0 \\ (x+z)(x-z)+(3 y+3)(3 y-3)=0
अतः दिया हुआ अतिपरवलयज उन रेखाओं (जनक रेखाओं) का रेखा पथ है जिनके निकायों के समीकरण हैं:
(x-z)=\lambda(3 y+3),(x+z)=-\frac{1}{\lambda}(3 y-3)\\ \Rightarrow x-3 \lambda y-z=3 \lambda \cdots(1), \lambda x+3 y+\lambda z=3 \cdots(2)\\ (x-z)=\mu(3 y-3),(x+z)=-\frac{1}{\mu}(3 y+3)\\ \Rightarrow x-3 \mu y-z=-3 \mu \cdots(3), \mu x+3 y+\mu z=-3 \cdots(4)
रेखाकुल \left ( 3,\frac{1}{3},-1 \right ) से गुजरता है अतः
3-3 \lambda \times \frac{1}{3}+1=3 \lambda \\ \Rightarrow 3-1 \lambda+1=3 \lambda \\ \Rightarrow 4 \lambda=4 \\ \Rightarrow \lambda=1
(1) में \lambda=1 रखने पर:
x-3 y \times 1 -z=3 \times 1 \\ \Rightarrow x-3 y-z=3
(2) से:
\lambda \times 3+3 \times \frac{1}{3}+\lambda(-1)=3 \\ \Rightarrow 2 \lambda=2 \\ \Rightarrow \lambda=1
(2) में \lambda=1 रखने पर:
x+3y+z=3
(3) से:
3-3 \mu \left(\frac{1}{3}\right)+1=-3 \mu \\ \Rightarrow-2 \mu=4 \Rightarrow \mu=-2
(3) में \mu=-2 रखने पर:
x-3(-2) y-z=-3 \times -2 \\ \Rightarrow x+6 y-z=6
(4) से:
\mu \times 3+3 \times \frac{1}{3}+\mu(-1)=-3 \\ 2 \mu=-4 \Rightarrow \mu=-2
(4) में \mu=2 रखने पर:
2x+3y+2z=3
Solution:(ii)\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{4}=1,\left(-1, \frac{4}{3}, 2\right) \\ \left(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\right)\left(\frac{x}{3}-\frac{y}{4}\right)+\left(\frac{z}{2}+1\right)\left(\frac{z}{2}-1\right)=0
अतः दिया हुआ अतिपरवलयज उन रेखाओं (जनक रेखाओं) का रेखापथ है जिनके निकायों के समीकरण हैं:
\left(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\right)=\lambda\left(\frac{z}{2}-1\right), \quad\left(\frac{x}{3}-\frac{y}{4}\right)=-\frac{1}{\lambda}\left(\frac{z}{2}+1\right) \\ \Rightarrow 4 x+3 y-6 \lambda z=-12 \lambda \cdots(1), \quad 4 \lambda x-3 \lambda y+6 z=-12 \cdots(2) \\ \left(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\right)= \mu \left(\frac{z}{2}+1\right), \quad\left(\frac{x}{3}-\frac{y}{4}\right)=-\frac{1}{\mu}\left(\frac{z}{2}-1\right) \\ \Rightarrow 4 x+3 y-6 \mu z=12 \mu \cdots(3), 4 \mu x-3 \mu y+6 z=12 \cdots(4)
रेखाकुल \left(-1, \frac{4}{3}, 2\right) से गुजरता है अतः
(1) से: 4 \times-1+3 \times \frac{4}{3}-6 \lambda \times 2=-12 \lambda \\ \Rightarrow-4+4-12 \lambda=-12 \lambda \\ \Rightarrow 0=0
अतः का मान कुछ भी लिया जा सकता है।माना \lambda=3,4x+3y-18z=-36
(2) से:
4 \lambda(-1)-3 \lambda\left(\frac{4}{3}\right)+6(2)=-12 \\ \Rightarrow-4 \lambda-4 \lambda=-24 \\ \Rightarrow-8 \lambda=-24 \\ \Rightarrow \lambda=3 \\ 4(3) x-3(3) y+6 z=-12 \\ \Rightarrow 12 x-9 y+6 z=-12 \\ \Rightarrow 4 x-3 y+2 z=-4
(3) से:
4 \times -1+3 \times \frac{4}{3}-6 \mu \times 2=12 \mu \\ \Rightarrow-4+4-12 \mu=12 \mu \\ \Rightarrow 24 \mu=0 \\ \Rightarrow \mu=0 \\ 4 x+3 y=0
(4) से:
4 \mu (-1)-3 \times \frac{4}{3} \mu+6 \times 2=12 \\ -4 \mu-4 \mu+12=12 \\ \Rightarrow \mu=0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिविमीय निर्देशांक में जनक रेखाएँ (Generating Lines in 3D),जनक रेखाएँ (Generating Lines) को समझ सकते हैं।
3.त्रिविमीय निर्देशांक में जनक रेखाएँ की समस्याएँ (Generating Lines in 3D Problems):
(1.)अतिपरवलयज \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1 के बिन्दु (2,3,-4) से गुजरने वाली जनक रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए।
(Find the equations to the generating lines of the hyperboloid \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1 which passes through the point (2,3,-4))
(2.)अतिपरवलयज yz+2zx+3xy+6=0 के बिन्दु (-1,0,3) से गुजरनेवाली रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए।
(Find the equations to the generating lines of the hyperboloid yz+2zx+3xy+6=0 which passes through the point (-1,0,3))
उत्तर (Answers):(1.) \frac{x-2}{0}=\frac{y-3}{3}=\frac{z+4}{-4}
तथा \frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{0}=\frac{z+4}{-2}
(2.)\frac{x+1}{0}=\frac{y}{0}=\frac{z-3}{0}
तथा \frac{x+1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-3}{3}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिविमीय निर्देशांक में जनक रेखाएँ (Generating Lines in 3D),जनक रेखाएँ (Generating Lines) को ठीक से समझ सकते हैं।
Also Read This Article:-Equation of Enveloping Cylinder
4.त्रिविमीय निर्देशांक में जनक रेखाएँ (Generating Lines in 3D),जनक रेखाएँ (Generating Lines) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.रेखज पृष्ठों को कितनी श्रेणियों में रखा जा सकता है? (In how many categories can the ruled surface be placed?):
उत्तर:किसी पृष्ठ के प्रत्येक बिन्दु से होकर जानेवाली सरल रेखाएँ यदि पूरी तरह पृष्ठ पर हों तो वह पृष्ठ रेखज पृष्ठ होगा।संकेन्द्र शांकवजों में से केवल एक पृष्ठी अतिपरवलयज (hyperboloid of one sheet) ही रेखज पृष्ठ है।रेखज पृष्ठ को दो श्रेणियों में रखा जा सकता है:
(1.)विकासनीय पृष्ठ (Developable Surface)
तथा (2.)अविकासनीय पृष्ठ (Skew Surface or Scroll)
प्रश्न:2.विकासनीय पृष्ठ और अविकासनीय पृष्ठ को परिभाषित करो।(Define Developable Surface and Skew Surface)
उत्तर:(1.)विकासनीय पृष्ठ (Developable Surface):यदि एक रेखज पृष्ठ की दो क्रमागत (Consecutive) जनक रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हों तो उस रेखज पृष्ठ को विकासनीय पृष्ठ कहते हैं।शंकु और बेलन इसी श्रेणी में आते हैं।
(2.)अविकासनीय पृष्ठ (Skew Surface):यदि एक रेखज पृष्ठ की दो क्रमागत जनक रेखाएँ अप्रतिच्छेदी हों तो उस रेखज पृष्ठ को अविकासनीय पृष्ठ कहते हैं।एक पृष्ठीय अतिपरवलयज (Hyperboloid of one sheet) अविकासनीय रेखज पृष्ठ (Skew Ruled Surface) है।
प्रश्न:3.अतिपरवलयज की जनक रेखाओं को समझाओं।(Explain the generating lines of hyperparaboloid):
उत्तर:समीकरण \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 जो कि एक पृष्ठीय अतिपरवलयज को दर्शाता है,निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है:
\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)\left(1+\frac{y}{b}\right)\left(1-\frac{y}{b}\right) \cdots(1)
इससे यह प्रकट होता है कि एक पृष्ठीय अतिपरवलयज उन रेखाओं का रेखा पथ (locus) है जिसके समीकरण हैं:
\frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\lambda\left(1+\frac{y}{b}\right), \frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\frac{1}{\lambda}\left(1-\frac{y}{b}\right) \cdots(2) \\ \frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\mu \left(1+\frac{y}{b}\right) ; \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\frac{1}{\mu}(1-\frac{y}{b}) \ldots(3)
यहाँ \lambda तथा \mu चर प्राचल (Variable Parameters) हैं।समीकरण (2) और (3) से स्पष्ट है कि katex]\lambda[/katex] तथा \mu को ऐसे मान देना असम्भव है जिनसे ये समीकरण सर्वसम हो जाएं।अतः ये समीकरण हमें दो सुस्पष्ट (distinct) रेखाकुल देती है जिनसे समीकरण (1) द्वारा प्रदर्शित एक पृष्ठीय अतिपरवलयज जनित होता है।इसलिए एक-पृष्ठीय अतिपरवलयज एक रेखज पृष्ठ है जो दो प्रकार से,सरल रेखाओं (2) या (3) से जनित हो सकता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा त्रिविमीय निर्देशांक में जनक रेखाएँ (Generating Lines in 3D),जनक रेखाएँ (Generating Lines) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
| No. | Social Media | Url |
|---|---|---|
| 1. | click here | |
| 2. | you tube | click here |
| 3. | click here | |
| 4. | click here | |
| 5. | Facebook Page | click here |
| 6. | click here |
Generating Lines in 3D
त्रिविमीय निर्देशांक में जनक रेखाएँ
(Generating Lines in 3D)
Generating Lines in 3D
त्रिविमीय निर्देशांक में जनक रेखाएँ (Generating Lines in 3D) रेखज पृष्ठ (Ruled Surface)
पर होती हैं।चल सरल रेखाओं से जनित पृष्ठों को रेखज पृष्ठ (Ruled Surface) कहा जाता है
और ये चल सरल रेखाएँ रेखज पृष्ठ की जनक रेखाएँ (Generating Lines) कहलाती है।
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
