1.त्रिविमीय निर्देशांक में जनकों के गुणधर्म (Property of Generators in 3D Geometry),जनक रेखाओं के गुणधर्म (Properties of Generating Lines in 3D Geometry)-

त्रिविमीय निर्देशांक में जनकों के गुणधर्म (Property of Generators in 3D Geometry)-चल सरल रेखाओं से जनित पृष्ठ (ruled surface) कहा जाता है और ये चल सरल रेखाएं रेखज पृष्ठ की जनक रेखाएं (Generating Lines) कहलाती हैं।शंकु (Cone) और (Cylinder) चल सरल रेखाओं से जनित होते हैं, अतः इन्हें रेखज पृष्ठ कहते हैं।
हम कह सकते हैं कि किसी पृष्ठ के प्रत्येक बिन्दु से होकर जानेवाली सरल रेखाएं यदि पूरी तरह पृष्ठ पर हों तो वह पृष्ठ रेखज पृष्ठ होगा।
संकेन्द्र शांकवजों में से केवल एक पृष्ठी अतिपरवलय (Hyperboloid of one sheet) ही रेखज पृष्ठ है तथा इसकी जनक रेखाओं का अध्ययन करेंगे।
रेखज पृष्ठ को दो श्रेणियों में रखा जाता है:(1.)विकासनीय पृष्ठ (Developable Surface) तथा (2.)अविकासनीय पृष्ठ (Skew Surface or Scroll).
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2.त्रिविमीय निर्देशांक में जनकों के गुणधर्म (Property of Generators in 3D Geometry),जनक रेखाओं के निकाय (System of Generating Lines in 3D Geometry)-

\lambda निकाय तथा \mu निकाय की जनक रेखाएं (Generating Lines of System and System)-
एक पृष्ठीय अतिपरवलयज \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 के समीकरण को हम निम्न रूप में व्यक्त कर सकते हैं:

\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=\left(1+\frac{y}{b}\right)\left(1-\frac{y}{b}\right)
इसको निम्नलिखित दो रूपों में से किसी रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।
\frac{\frac{x}{a}+\frac{z}{c}}{1+\frac{y}{b}}=\frac{1-\frac{y}{b}}{\frac{x}{a}-\frac{z}{c}}=\lambda (माना)
\frac{\frac{x}{a}-\frac{z}{c}}{1+\frac{y}{b}}=\frac{1-\frac{y}{b}}{\frac{x}{a}+\frac{z}{c}}=\mu(माना)
समीकरण (1) और (2) में प्राप्त निष्पत्तियों को यदि स्वेच्छ प्राचल \lambda और \mu लें तो हमें निम्नलिखित रेखाएं प्राप्त होती हैं:

\frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\lambda\left(1+\frac{y}{b}\right), \frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\frac{1}{\lambda}\left(1-\frac{y}{b}\right) \cdots \cdot(3) \\ \frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\mu\left(1+\frac{y}{b}\right), \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\frac{1}{\mu}(1-\frac{y}{b}) \cdots(4)
ये समीकरण हमें दो स्पष्ट रेखा कुल (रेखा निकाय) देती हैं जिससे दिया हुआ एक पृष्ठीय अतिपरवलयज जनित होता है।इन जनक रेखा निकायों को हम क्रमशः \lambda निकाय (\lambda-system) तथा \mu निकाय (\mu-system)कहते हैं।
गुणधर्म-1(Property)
अतिपरवलयज के एक ही निकाय के दो जनक अप्रतिच्छेदी होते हैं।
(No two generating of the same system of a hyperboloid of one sheet intersect.)

\lambda निकाय \lambda =\lambda_{1} तथा  \lambda= \lambda_{2}

\frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\lambda_{1} \left(1+\frac{y}{b}\right), \frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\frac{1}{\lambda_{1}}(1-\frac{y}{b})......(1) \\ \frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\lambda_{2}\left(1+\frac{y}{b}\right), \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\frac{1}{\lambda_{2}}\left(1-\frac{y}{b}\right) \cdots(2)
(1) और (2) के पहले दो समीकरणों को घटाने पर
(\lambda_{1}-\lambda_{2})\left(1+\frac{y}{b}\right)=0 \Rightarrow y=-b चूंकि \lambda_{1} \neq \lambda_{2}
इसी प्रकार (1) और (2) के दूसरे दो समीकरणों को घटाने पर-
\left(\frac{1}{\lambda_{1}}-\frac{1}{\lambda 2}\right)\left(1-\frac{y}{b}\right)=0 \Rightarrow y=b चूंकि \lambda_{1} \neq \lambda_{2}
यदि रेखाएं (1) और (2) अप्रतिच्छेदी हैं तो y का मान समान होना चाहिए था,जो नहीं है अर्थात् एक ही निकाय के दो जनक अप्रतिच्छेदी होते हैं। गुणधर्म-II (Property-II)
अतिपरवलयज के \lambda-निकाय का कोई जनक \mu-निकाय के किसी जनक को प्रतिच्छेदित करता है।
(Any Generator of the \lambda-system intersects any generator of the \mu-system of hyperboloid of one sheet.)
\lambda-निकाय के किसी जनक का समीकरण होता है

\frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\lambda\left(1+\frac{y}{b}\right), \frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\frac{1}{\lambda}\left(1-\frac{y}{b}\right) \cdots(1)
तथा \mu-निकाय का कोई जनक होता है

\frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\mu \left(1+\frac{y}{b}\right), \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\frac{1}{\mu}\left(1-\frac{y}{b}\right) \cdots(2)
यह तब और केवल तब ही प्रतिच्छेद करेंगे अगर एक बिन्दु (x,y,z) ,(1) और (2) के चारों ओर समीकरणों को सन्तुष्ट करें।
इनके प्रतिच्छेदन बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए (1) और (2) से

\lambda\left(1+\frac{y}{b}\right)=\frac{1}{\mu}\frac{1}{\left(1-\frac{y}{b}\right)} \\ \Rightarrow \frac{y}{b}=\frac{1-\lambda \mu}{1+\lambda \mu}=\cdots(3)
अतः \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\frac{2 \lambda}{1+\lambda \mu}
तथा \frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\frac{2 \mu}{1+\lambda \mu}
इनको हल करने पर-

\frac{x}{a}=\frac{\lambda+\mu}{1+\lambda \mu} तथा \frac{z}{c}=\frac{\lambda-\mu}{1+\lambda \mu} \cdots(4)
अतः दोनों जनक प्रतिच्छेदित करते हैं और उनका प्रतिच्छेदन बिन्दु है:

\left[\frac{a(\lambda+\mu)}{1+\lambda \mu}, \frac{b(1+\lambda \mu)}{1+\lambda \mu}, \frac{c(\lambda-\mu)}{1+\lambda \mu}\right]
टिप्पणी:(i) यहां यह ध्यान देने योग्य है कि \lambda \mu \neq-1 क्योंकि यदि \lambda \mu =-1 तो हम (1) और (2) से पाते हैं कि
\frac{x}{a}+\frac{z}{c}=0 तथा \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\frac{2}{\mu}
जो असंगत है।
(ii) चूंकि अतिपरवलयज के किसी बिन्दु से दोनों निकाय का केवल एक-एक सदस्य गुजरता है, इसलिए अतिपरवलयज पर कोई भी बिन्दु  \lambda-निकाय  तथा \mu-निकाय का प्रतिच्छेद बिन्दु माना जा सकता है।
इसलिए अतिपरवलयज के किसी बिन्दु के प्राचलिक निर्देशांक (Parametric Co-ordinates) होते हैं जहां \lambda और \mu प्राचल हैं।

\left[\frac{a(\lambda+\mu)}{1+\lambda \mu}, \frac{b(1-\lambda \mu)}{1+\lambda \mu}, \frac{c(\lambda-\mu)}{1+\lambda \mu}\right]
गुणधर्म-III (Property-III)-
दो अप्रतिच्छेदी जनकों से जानेवाला समतलों अतिपरवलयज को प्रतिच्छेदित बिन्दु पर स्पर्श करता है।
(The plane through two intersecting generators is the tangent plane of the hyperboloid of one sheet at their common point.)
\lambda-जनक से जानेवाले किसी समतल का समीकरण होता है:

\left\{\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)-\lambda\left(1+\frac{ y}{b}\right)\right\}+k\left\{\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)-\frac{1}{\lambda}\left(1-\frac{y}{b}\right)\right\}=0....(1)
इसी प्रकार \mu-जनक से जानेवाला कोई समतल होता है:

\left\{\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)-\mu \left(1+\frac{y}{b}\right)\right\}+k^{\prime}\left\{\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)-\frac{1}{\mu}\left(1-\frac{y}{b}\right)\right\}=0......(2)

जहां K तथा K’ प्राचल हैं।
यदि K=\frac{1}{K^{\prime}}=\frac{\lambda}{\mu} लें तो दोनों समतल संपाती (Coincident) हो जाते हैं और इनका समीकरण होता है:

\frac{x}{a}(\lambda+\mu)+\frac{y}{b}(1-\lambda \mu)-\frac{z}{c}(\lambda-\mu)=1+\lambda \mu \cdots(3)
इससे यह स्पष्ट है कि यह समतल अतिपरवलयज के \lambda और \mu निकायों के प्रतिच्छेद बिन्दु

\left[\frac{a(\lambda+\mu)}{1+\lambda \mu}, \frac{b(1-\lambda \mu)}{1+\lambda \mu}, \frac{c(\lambda-\mu)}{1+\lambda \mu}\right]
पर अतिपरवलयज का स्पर्श-तल (tangent plane) है।
गुणधर्म-IV (Property-IV)
लम्ब जनकों के प्रतिच्छेद बिन्दु का बिन्दुपथ नियामक गोला और अतिपरवलयज का प्रतिच्छेदी वक्र होता है।
(The locus of the point of intersection of perpendicular generators is the curve of intersection of the hyperboloid and the director sphere.)
\lambda -जनक के समीकरण निम्न रूप में लिखे जा सकते हैं

\frac{x}{a}-\lambda \frac{y}{b}+\frac{z}{c}=\lambda, \frac{x}{a}+ \frac{y}{ \lambda b}-\frac{z}{c}=\frac{1}{\lambda} \cdots(1)
यदि l,m,n इसके दिक् अनुपात माने तो हम पाते हैं कि

\frac{\frac{l}{a}}{\lambda^{2}-1}=\frac{\frac{m}{b}}{2 \lambda}=\frac{\frac{n}{c}}{\lambda^{2}+1}
इसी प्रकार \mu -जनक के समीकरण निम्न रूप में लिखे जा सकते हैं

\frac{x}{a}-\mu \frac{y}{b}-\frac{z}{c}=\mu, \frac{x}{a}+\frac{y}{\mu b}+\frac{z}{c}=\frac{1}{\mu} \cdots(3)
यदि इनके दिक् अनुपात l’,m’,n’ लें तो

\frac{l^{\prime} / a}{\mu^{2}-1}=\frac{m^{\prime} / b}{2 \mu}=-\frac{n^{\prime} / c}{\left(\mu^{2}+1\right)}....(4)
यदि ये दोनों जनक परस्पर लम्बवत् हों तो

l l^{\prime}+m m^{\prime}+n n^{\prime}=0
(2) और (3) की सहायता से यह प्रतिबंध होगा

a^{2}\left(\lambda^{2}-1\right) \cdot\left(\mu^{2}-1\right)+4 b^{2} \lambda \mu -c^{2}\left(\lambda^{2} +1\right)\left(\mu^{2}+1\right)=0
जिसको हम निम्न रूप में लिख सकते हैं

a^{2}(\lambda+\mu)^{2}+b^{2}(1+\lambda \mu)^{2}+c^{2}(\lambda-\mu)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)(1+\lambda \mu)^{2}....(5)
इससे यह स्पष्ट होता है कि प्रतिच्छेदन बिन्दु निम्न पृष्ठ पर स्थित है:

\left[\frac{a(\lambda+\mu)}{1+\lambda \mu}, \frac{b(1-\lambda \mu)}{1+\lambda \mu}, \frac{c(\lambda-\mu)}{1+\lambda \mu}\right]
जो कि अतिपरवलयज के नियामक गोले (Director sphere) का समीकरण है।चूंकि प्रतिच्छेदन बिन्दु अतिपरवलयज पर भी स्थित है, इसलिए प्रतिच्छेदन बिन्दु का बिन्दुपथ नियामक गोले और अतिपरवलयज का प्रतिच्छेद वक्र होता है।
गुणधर्म-V (Property-V)-
मुख्य समतलों पर जनकों के प्रतिच्छेदी-वक्र को स्पर्श करते हैं।
(The projections of the generators on the principal planes are tangents to the section of the hyperboloid by the principal planes.)
एक पृष्ठी अतिपरवलयज \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1  के मुख्य तल निर्देशी तल होते हैं। अतः XOY समतल पर \lambda और \mu जनकों के प्रक्षेप क्रमशः होंगे

z=0, \frac{2 x}{a}=\lambda\left(1+\frac{y}{b}\right)+\frac{1}{\lambda}\left(1-\frac{y}{b}\right)...(1)
तथा z=0, \frac{2 x}{a}=\mu \left(1+\frac{y}{b}\right)+\frac{1}{\mu}\left(1-\frac{y}{b}\right)\cdots(2)
इससे यह स्पष्ट है कि \lambda=\mu तथा दोनों जनक XOY समतल पर संपाती रेखाओं में प्रक्षिप्त होते हैं।
समीकरणों (1) या (2) को सरल करने पर-

z=0, \lambda^{2}\left(1+\frac{y}{b}\right)-2 \lambda \frac{x}{a}+\left(1-\frac{y}{b}\right)=0 \cdot \cdots(3)
\lambda के विभिन्न मानों के लिए इनका अन्वालोप [B^{2}=4AC] क्रिया द्वारा होगा

z=0,\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1....(4)
यह स्पष्ट रूप में अतिपरवलयज का z=0 समतल से मुख्य दीर्घवृत्तीय खण्ड (principal eliptic Section) है।
(3) और (4) से यह सिद्ध होता है कि जनकों के मुख्य समतल पर प्रक्षेप अतिपरवलयज के मुख्य खण्ड को स्पर्श करते हैं।
जब \lambda=\mu=t (माना) तो प्रतिच्छेद बिन्दु होगा

\left[\frac{2 a t}{1+t^{2}}, \frac{b\left(1-t^{2}\right)}{1+t^{2}}, 0\right]
यदि t=\tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right) मान लें तो प्रतिच्छेद बिन्दु,z=0 समतल पर (a \cos \alpha, b \sin \alpha, 0) होगा।
इसको बिन्दु \alpha कहते हैं, जहां \alpha उत्केन्द्र कोण (ecentric angle) कहलाता है।
अतः प्राचलों के मान समान हो तो जनक मुख्य दीर्घवृत्तीय खण्डों पर बिन्दु \alpha प्रतिच्छेदित करते हैं तथा जनकों के प्रक्षेप से प्राप्त सरल रेखा PT का समीकरण होता है।

z=0, \frac{x}{a} \cos \alpha+\frac{y}{b} \sin \alpha=1 \quad \cdots(5)
उपर्युक्त सरल रेखा बिन्दु P, जो बिन्दु \alpha कहलाता है, दीर्घवृत्त (4) को स्पर्श करती है।

उपर्युक्त गुणधर्म के द्वारा त्रिविमीय निर्देशांक में जनकों के गुणधर्म (Property of Generators in 3D Geometry),जनक रेखाओं के गुणधर्म (Properties of Generating Lines in 3D Geometry) को समझ सकते हैं।

3.अतिपरवलयज दीर्घवृत्तीय खण्ड के किसी बिन्दु पर जनकों के समीकरण (Equations of the generators through a point on the principal elliptic Section of a hyperboloid of one sheet.)

हम जानते हैं कि \lambda-जनक के दिक् अनुपात है:

\frac{a\left(\lambda^{2}-1\right)}{\lambda^{2}+1}, \frac{2 b \lambda}{\lambda^{2}+1}, c
चूंकि बिन्दु p,\alpha के लिए \lambda=\tan \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right), इसलिए P से जाने वाले \lambda-जनक के दिक् अनुपात होंगे:
-a \sin \alpha, b \cos \alpha, c

या a \sin \alpha, -b \cos \alpha, -c
अतः P(a \cos \alpha, b \sin \alpha, 0) पर \lambda-जनक के समीकरण होंगे

\frac{x-a \cos \alpha}{a \sin \alpha}=\frac{y-b \sin \alpha}{-b \cos \alpha}=\frac{z}{-c}......(1)
इसी प्रकार \mu जनक के दिक् अनुपात होंगे

\frac{a\left(\mu^{2}-1\right)}{-\left(\mu^{2}+1\right)},  \frac{2 b \mu}{-(\mu^{2}+1)},c
चूंकि \lambda=\mu=\tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right) इसलिए P से जानेवाले \mu-जनक के दिक् अनुपात होंगे:

a \sin \alpha,-b \cos \alpha, c
अतः p(a \cos \alpha, b \sin \alpha, 0) पर \mu-जनक के समीकरण

\frac{x-a \cos \alpha}{a \sin \alpha}=\frac{y-b \sin \alpha}{-b \cos \alpha}=\frac{z}{c}…..(2)
फलत: p(a \cos \alpha, b \sin \alpha, 0) पर \lambda तथा \mu-जनकों के समीकरण होंगे:

\frac{x-a \cos \alpha}{a \sin \alpha}=\frac{y-b \sin \alpha}{-b \cos \alpha}=\frac{z}{\pm c}

उपर्युक्त प्रमेय के द्वारा त्रिविमीय निर्देशांक में जनकों के गुणधर्म (Property of Generators in 3D Geometry),जनक रेखाओं के गुणधर्म (Properties of Generating Lines in 3D Geometry) को समझ सकते हैं।

4.अतिपरवलयज के मुख्य दीर्घवृत्तीय खण्ड के किन्हीं दो बिन्दुओं पर खींचे गए जनकों का प्रतिच्छेदन (Intersection of generators through two points of principal elliptic section of a hyperboloid of one sheet.)

माना P और Q मुख्य दीर्घवृत्तीय खण्ड पर कोई दो बिन्दु हैं जिनके उत्केन्द्र कोण क्रमशः \alpha और \beta हैं।P से जानेवाला \lambda-जनक,Q से जानेवाले \mu-जनक को यदि R पर प्रतिच्छेदित करे तो R के निर्देशांक होंगे

\left[\frac{a(\lambda+\mu)}{1+\lambda \mu}, \frac{b(1-\lambda \mu)}{1+\lambda \mu}, \frac{c(\lambda+\mu)}{1+\lambda \mu}\right]
परन्तु P और Q के लिए
\lambda=\tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right) तथा \mu=\tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)
अतः R के निर्देशांक होंगे

\left[\frac{a \cos \frac{\beta+\alpha}{2}}{\cos \frac{\beta-\alpha}{2}}, \frac{b \sin \frac{\beta+\alpha}{2}}{\cos \frac{\beta-\alpha}{2}}, c \tan \frac{\beta-\alpha}{2}\right]
यदि \frac{\beta+\alpha}{2}=\theta तथा \frac{B-\alpha}{2}=\phi…..(1)
या \alpha=\theta-\phi तथा \beta=\theta+\phi…..(2)
लें जो कि संभव है,तो R के निर्देशांक होंगे

[a \cos \theta \sec \phi, b \sin \theta \sec \phi, c \tan \phi].....(3)
ऐसी दशा में बिन्दु R को बिन्दु \theta ,\phi कहते हैं।
इसी प्रकार दर्शा सकते हैं कि P से जानेवाले \mu-जनक,Q से जानेवाले \lambda-जनक से बिन्दु S, \theta ,-\phiपर प्रतिच्छेद करेगा।बिन्दु R तथा S के निर्देशांक होंगे

(a \cos \theta \sec \phi, b \sin \theta \sec \phi, \pm c \tan \phi)
इसलिए R और S को मिलानेवाली सरल रेखा का समीकरण होगा

\frac{x-a \cos \theta \sec \phi}{0}=\frac{y-b \sin \theta \sec \phi}{0}=\frac{z-c \tan \phi}{1}=r….(4)

हम जानते हैं कि बिन्दु P , \alpha और Q, \beta के निर्देशांक क्रमशः है:
(a \cos \alpha, b \sin \alpha, 0) तथा (a \cos \beta, b \sin \beta, 0) है।
अतः P और Q पर मुख्य दीर्घवृत्तीय खण्ड की स्पर्श रेखाओं के समीकरण होते हैं:

\frac{x \cos \alpha}{a}+\frac{y \sin \alpha}{b}=1, z=0
तथा \frac{x \cos \beta}{a}+\frac{y \sin \beta}{b}=1, z=0
इनके प्रतिच्छेदन बिन्दु ‘T’ के निर्देशांक होंगे

\left(\frac{\cos(\alpha+\beta)}{2}, \frac{b \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}, 0\right)
या (a \cos \theta \sec \phi , b \sin \theta \sec \phi,0)
स्पष्टतया यह बिन्दु ( \gamma=-c \tan \phi लेने पर) रेखा (4) पर स्थित है।
अतः R और S को मिलाने वाली रेखा T से गुजरती है।
यदि हम P स्थिर रखें और Q चल हो तो \alpha अचर होगा और \beta चर।ऐसी स्थिति में बिन्दु R सदैव P से जानेवाले एक नियत \lambda-जनक पर होगा और उसके \theta -\phi (=\alpha) लिए सदैव अचर होगा। अर्थात् हम कह सकते हैं कि \lambda-जनक के बिन्दुओं के लिए \theta -\phi अचर होते हैं।

इसी प्रकार यदि Q, \beta अचर होगा P , \alpha  चल हो तो \mu-जनक के बिन्दुओं के लिए \theta +\phi=(/beta) अचर होगा |

उपर्युक्त प्रमेय के द्वारा त्रिविमीय निर्देशांक में जनकों के गुणधर्म (Property of Generators in 3D Geometry),जनक रेखाओं के गुणधर्म (Properties of Generating Lines in 3D Geometry) को समझ सकते हैं।

5.त्रिविमीय निर्देशांक में जनकों के गुणधर्म के उदाहरण (Property of Generators in 3D Geometry Examples)-

त्रिविमीय निर्देशांक में जनकों के गुणधर्म (Property of Generators in 3D Geometry),जनक रेखाओं के गुणधर्म (Properties of Generating Lines in 3D Geometry) के उदाहरण-

Example-1.अतिपरवलयज \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 के मुख्य दीर्घवृत्तीय खण्ड के दो संयुग्मी अर्धव्यासों के सिरे P और Q हैं।यदि P और Q से जानेवाले विपरीत निकायों के जनक बिन्दु R और S पर प्रतिच्छेदित करते हों तो सिद्ध कीजिए कि
(P and Q are the extremities of conjugate semi-diometers of the principal elliptic section of the hyperboloid \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 .If the generators of Opposite systems through P.Q intersect at R and S then prove that
(i)R, z=\pm c में से किसी एक समतल पर हैं।
(R lies in one of the planes z=\pm c)
(ii)R P^{2}+R Q^{2}=a^{2}+b^{2}+2 c^{2}
(iii) R और S के बिन्दुपथ निम्न दीर्घवृत्त है:
(The locus of R and S are the ellipses)

\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=2, z=\pm c
(iv)चतुष्फलक PSQR का आयतन अचर है तथा \frac{1}{6} abc के बराबर होता है।
(Volume of the tetrahedron PQRS is constant and is equal to \frac{1}{6} abc .)
(v)विषमतलीय चतुर्भुज PQRS की परिमिति क्रमानुसार लेने पर अचर है तथा इसका मान 2\left(a^{2}+b^{2}+2 c^{2}\right) है।
(The perimeter of the skew-quadrilateral PQRS taken in order constant and equal 2\left(a^{2}+b^{2}+2 c^{2}\right).)
Solution-(iii)माना R के निर्देशांक
बिन्दु R पर अतिपरवलयज का स्पर्श-तल का समीकरण-

\frac{x x_{1}}{a^{2}}+\frac{y y_{1}}{b^{2}}+\frac{z z_{1}}{c^{2}}=1
यह z=0 पर मिलता है अतः

\frac{x x_{1}}{a^{2}}+\frac{y y_{1}}{b^{2}}=1......(1)
यह बिन्दु P व Q को जोड़ने वाली रेखा के समान है

P(a \cos \alpha, b \sin \alpha, 0), Q \left(a \cos \beta , b \sin \beta, 0\right) \\ \frac{x}{a} \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)+\frac{y}{\bar{b}} \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right), z=0......(2)
(1) व (2) की तुलना करने पर-

\frac{ \frac{x_{1}}{a^{2}}}{\left(\frac{1}{a}\right) \cdot \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}=\frac{ \frac{y_{1}}{b^{2}}}{\left(\frac{1}{b}\right) \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}=\frac{1}{\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)} \\ \Rightarrow \frac{x_{1}}{a}=\frac{\cos (\frac{\alpha+\beta}{2})}{\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}, \frac{y_{1}}{b}=\frac{\sin \left(\frac{\alpha +\beta}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}.......(3)
पुनः \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}-\frac{z_{1}^{2}}{c^{2}}=1 \\  \frac{\cos ^{2}\left(\frac{\alpha +\beta}{2}\right)}{\cos ^{2}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}+\frac{\sin ^{2}\left(\frac{2+\beta}{2}\right)}{\cos ^{2}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}-\frac{z_{1}^{2}}{c}=1 \\ \Rightarrow \frac{1}{\cos ^{2}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}-\frac{z_{1}^{2}}{c^{2}}=1 \\ \Rightarrow \frac{z_{1}^{2}}{c}=-1+\frac{1}{\cos ^{2}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)} \\ \Rightarrow \frac{z_{1}}{c}=\pm \frac{\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)} \cdots(4)
(3) व (4) से R के निर्देशांक

\left( \frac{a \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)^{\prime}} \frac{b \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) }, \pm \frac{c \sin \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}\right)
P व Q दीर्घवृत्तीय खण्ड के संयुग्मी अर्धव्यासों के सिरे हैं

\alpha-\beta=\frac{\pi }{2}\cdots(5)
(3) से- \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}} =\frac{1}{\cos ^{2}\left(\frac{\alpha-B}{2}\right)} \\ =\frac{1}{\cos ^{2} \pi / 4} \\ \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=2
तथा z_{1}=\pm c \tan\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \\ z_{1}=\pm c \tan \pi / 4 \\ z_{1}=\pm c
(iv)चतुष्फलक PQRS का आयतन=\frac{1}{6}\left|\begin{array}{lll} x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{array}\right| \\ =\frac{1}{6}\left|\begin{array}{ccc} x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ a \cos \alpha & b \sin \alpha & 0 \\ a \cos \beta & b \sin \beta & 0 \end{array}\right| \\ =\frac{1}{6} z_{1} ab (\sin \beta \cos \alpha-\sin \alpha \cos \beta) \\ =\frac{1}{6} a b z_{1} \cdot \sin (\beta-\alpha) \\ =\frac{1}{6} a b z_{1} \tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \sin (\alpha-\beta) (संख्यात्मक मान) 

\left[\because \tan \frac{\alpha-\beta}{2}=1\right] \\ = \frac{1}{6} a b c
(i)\tan \frac{\alpha-\beta}{2} \sin (\alpha-\beta)=1 \\ \Rightarrow \tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \frac{2 \tan \left(\frac{\alpha-B}{2}\right)}{1+\tan ^{2}\left(\frac{\alpha-B}{2}\right)}=1 \\ \Rightarrow 2 \tan ^{2}\left( \frac{\alpha-\beta}{2}\right)=1+\tan ^{2}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \\ \Rightarrow \tan ^{2}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=1 \\ \tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=\pm 1 \\ \Rightarrow \frac{z_{1}}{c}=\pm 1 \\ \Rightarrow z_{1}=\pm c \\ \Rightarrow z=\pm c
(ii) P(a \cos \alpha, b \sin \alpha, 0), Q(a \cos \beta, b \sin \beta, 0) \\ R\left(\frac{a \cos (\frac{\alpha+\beta}{2})}{\cos \left(\frac{\alpha -\beta}{2}\right)},\frac{b \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha-B}{2}\right)}, \frac{\pm c \sin \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}\right) \\ =\left(\frac{a \cos ( \frac{\alpha+\alpha-\frac{\pi}{2} }{2} )}{\cos \frac{\pi}{4}}, \frac{b \sin (\frac{\alpha+\alpha-\frac{\pi}{2}}{2})}{\cos \frac{\pi}{4}} \pm \frac{c \sin \frac{\pi}{4}}{\cos \frac{\pi}{4}}\right) \\ \because \alpha-\beta=\frac{\pi}{2} \\=\left(\frac{a \cos (\alpha-\frac{\pi}{4})}{1 / \sqrt{2}},\frac{b \sin (\alpha-\frac{\pi}{4})}{1 / \sqrt{2}},\pm c\right) \\ R (\sqrt{2} a \cos (\alpha-\frac{\pi}{4}), \sqrt{2} b \sin (\alpha-\frac{\pi}{4}), \pm c ) \\ R P^{2}=(\sqrt{2} a \cos (\alpha-\frac{\pi}{4})-a \cos \alpha)^{2}+(\sqrt{2} b \sin (\alpha-\frac{\pi}{4})-b \sin \alpha)^{2}+(c-0)^{2} \\ \Rightarrow R P^{2}= 2 a^{2} \cos ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4})+a^{2} \cos ^{2} \alpha-2 \sqrt{2} a^{2} \cos \alpha \cos (\alpha-\frac{\pi}{4})+2 b^{2} \sin ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4}) +b^{2} \sin ^{2} \alpha-2 \sqrt{2} a^{2} \sin \alpha \sin (\alpha-\frac{\pi}{4})+c^{2} \\ R Q^{2}=(\sqrt{2} a \cos (\alpha-\frac{\pi}{4})-a \cos (\alpha-\frac{\pi}{2} ))^{2}+\left(\sqrt{2} b \sin (\alpha-\frac{\pi}{4})-b \sin (\alpha-\frac{\pi}{2} )\right)^{2} +(-c-0)^{2} \quad[\because \beta=\alpha-\frac{\pi}{2} )] \\ =2 a^{2} \cos ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4})+a^{2} \cos ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{2} )-2 \sqrt{2} a^{2} \cos (\alpha-\frac{\pi}{4}) \cos (\alpha-\frac{\pi}{2} ) +2 b^{2} \sin ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4})+b^{2} \sin ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{2})-2 \sqrt{2} b^{2} \sin (\alpha-\frac{\pi}{4}) \sin (\alpha-\frac{\pi}{2} )+c^{2} \\ \Rightarrow R Q^{2} =2 a^{2} \cos ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4})+a^{2} \sin ^{2} \alpha-2 \sqrt{2} a^{2} \cos (\alpha-\frac{\pi}{4}) \sin \alpha+2 b^{2} \sin ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4})+b^{2} \cos^{2} \alpha+2 \sqrt{2} b^{2} \sin (\alpha-\frac{\pi}{4}) \cos \alpha+c^{2} \\ \Rightarrow R R^{2}+R Q^{2}=2 a^{2} \cos ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4})+a^{2} \cos ^{2} \alpha-2 \sqrt{2} a^{2} \cos \alpha \cos (\alpha-\frac{\pi}{4}) +2 b^{2} \sin ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4})+b^{2} \sin ^{2} \alpha-2 \sqrt{2} b^{2} \sin \alpha \sin (\alpha-\frac{\pi}{4})+c^{2} +2 a^{2} \cos ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4})+a^{2} \sin ^{2} \alpha-2 \sqrt{2} a^{2} \cos (\alpha-\frac{\pi}{4}) \sin \alpha+ 2 b^{2} \sin ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4})+b^{2} \cos ^{2} \alpha+2 \sqrt{2} b^{2} \sin (\alpha-\frac{\pi}{4}) \cos \alpha+c^{2} \\ \Rightarrow R P^{2}+ R Q^{2}=4 a^{2} \cos ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4})+a^{2}\left(\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right)+ b^{2}\left(\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right)+ 4 b^{2} \sin ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4})+2 c^{2}-2 \sqrt{2} b^{2} \sin (\alpha-\frac{\pi}{4} )(\sin \alpha-\cos \alpha)- 2 \sqrt{2} a^{2} \cos (\alpha-\frac{\pi}{4} )( \cos \alpha+\sin \alpha)\\ =4 a^{2} \cos ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4})+a^{2} +b^{2}+4 b^{2} \sin ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4})+2 c^{2}-2 \sqrt{2} b^{2} \times \sqrt{2} \sin (\alpha-\frac{\pi}{4})(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \alpha-\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha)-2 \sqrt{2} a^{2} \times \sqrt{2} \cos (\alpha-\frac{\pi}{4})(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \alpha+\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \alpha) \\=4 a^{2} \cos ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4})+a^{2} +b^{2}+4 b^{2} \sin ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4})+2 c^{2}-4 b^{2} \sin (\alpha-\frac{\pi}{4}) (\cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha-\sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha)-4 a^{2} \cos (\alpha-\frac{\pi}{4})(\cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha+\sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha) \\ =4 a^{2} \cos ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4})+ a^{2}+b^{2}+4 b^{2} \sin ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4})+2 c^{2}-4 b^{2} \sin (\alpha-\frac{\pi}{4}) \sin (\alpha-\frac{\pi}{4}) -4 a^{2} \cos (\alpha-\frac{\pi}{4}) \cos (\alpha-\frac{\pi}{4}) \\ =4 a^{2} \cos ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4})+a^{2}+b^{2}+2 c^{2}+4 b^{2} \sin ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4} )-4 b^{2} \sin ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4} )-4 a^{2} \cos ^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4} ) \\ =a^{2}+b^{2}+2 c^{2} \\ R p^{2}+R Q^{2}=a^{2}+b^{2}+2 c^{2}
(v)विषमतलीय चतुर्भुज PQRS की परिमिति=2( a^{2}+b^{2}+2 c^{2} )

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा त्रिविमीय निर्देशांक में जनकों के गुणधर्म (Property of Generators in 3D Geometry),जनक रेखाओं के गुणधर्म (Properties of Generating Lines in 3D Geometry) को समझ सकते हैं।
Example-2.A और A’ अतिपरवलयज \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 के मुख्य दीर्घवृत्तीय खण्ड के दीर्घाक्ष के सिरे हैं। कोई जनक A और A’ से खींचे गए एक ही निकाय के दो जनकों से क्रमशः P और P’ से मिलता है। सिद्ध कीजिए कि
(If A and A’ are the extremities of the major axis of the principal elliptic section of the hyperboloid \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 and any generators meets two generators of the same system through A and A’ respectively in P and P’.Prove that)

A P \cdot A^{\prime} P^{\prime}=b^{2}+c^{2}
Solution-हम जानते हैं कि \lambda-निकाय तथा \mu-निकाय के जनकों का अतिपरवलयज \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
के लिए प्रतिच्छेद बिन्दु निम्न है-

x=\frac{a(1+\lambda \mu)}{\lambda+\mu}, y=\frac{b(\lambda-\mu)}{\lambda+\mu}, z=\frac{(1-\lambda \mu)}{ \lambda+\mu}
दीर्घवृत्त के मुख्य अक्ष के दीर्घाक्ष के सिरे हैं-
A(a,0,0) तथा A'(-a,0,0)
A तथा A’ पर -\lambda-\mu=0,  1-\lambda \mu=0 \\ \lambda=\mu
तथा 1-\lambda^{2}=0 \Rightarrow \lambda^{2}=\pm 1
A(a,0,0) ,\lambda=+1 से गुजरने वाले जनक तथा \mu-निकाय में जनक का प्रतिच्छेदन निम्न होगा

\left(a, \frac{b(1-\mu)}{1+\mu},\frac{c(1-\mu)}{1+\mu}\right)
यदि t=\frac{1-\mu}{1+\mu}
तो P(a, b t, ct)

(A P)^{2}=(a-a)^{2}+(b t-0)^{2}+(ct-0)^{2} \\ (A P)^{2}=-(2)
पुनः A'(-a,0,0),\lambda=-1 से गुजरने वाले जनक तथा \mu-निकाय में जनक का प्रतिच्छेदन बिन्दु P’ होगा

(-a, \frac{b(1-\mu)}{1-\mu}, \frac{c(1+\mu)}{-(1-\mu)}) \\ (-a, \frac{b}{t},-\frac{c}{t}) \\ \left(A^{\prime} P^{\prime} \right)^{2} =(-a+a)^{2}+\left(\frac{b}{t}-0\right)^{2}+\left(-\frac{c}{t}-0\right)^{2} \\ \Rightarrow \left(A^{\prime} P^{\prime} \right)^{2} =\frac{b^{2}+c^{2}}{t^{2}}.....(2)

(1) व (2)से – (A P)^{2} \cdot\left(A^{\prime} p^{\prime}\right)^{2}=\left(b^{2}+c^{2}\right)^{2} \\ \Rightarrow A p \cdot A^{\prime} p^{\prime}=b^{2}+c^{2}

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा त्रिविमीय निर्देशांक में जनकों के गुणधर्म (Property of Generators in 3D Geometry),जनक रेखाओं के गुणधर्म (Properties of Generating Lines in 3D Geometry) को समझ सकते हैं।

Example-3.अतिपरवलयज \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 के बिन्दु P पर खींचे गए जनक मुख्य दीर्घवृत्तीय खण्ड से जिन बिंदुओं पर मिलते हैं उनके उत्केन्द्र कोणों का अन्तर 2 \alphaहै।दर्शाओं कि P का बिन्दुपथ शंकु \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z^{2}}{c^{2} \sin ^{2} \alpha} और अतिपरवयज का वक्र है।)
(The generators through a point P on the hyperboloid \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 meet the principal elliptic section in points whose ecentric angles differ by a constant 2 \alpha.Show that the locus of P is the curve of intersection of the hyperboloid with the cone)

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z^{2}}{c^{2} \sin ^{2} \alpha}
Solution-माना P(x_{1},y_{1},z_{1}) तथा P पर खींचा गया जनक मुख्य दीर्घवृत्तीय खण्ड से A(a \cos \theta, b \sin \theta, 0) तथा B(a \cos \beta, b \sin \beta, 0) पर मिलता है।
इस बिन्दु पर स्पर्शतल का समीकरण
\frac{x x_{1}}{a^{2}}+\frac{y y_{1}}{b^{2}}=-\frac{z z_{1}}{c^{2}}=1 तथा यह z=0 पर मिलता है
अतः \frac{x x_{1}}{a^{2}}+\frac{y y_{1}}{b^{2}}=1, z=0...(1)
यह A व B को मिलाने वाली रेखा के समान है

\frac{x}{a} \cos \left(\frac{\theta+\beta}{2}\right)+\frac{y}{b} \sin \left(\frac{\theta+\beta}{2}\right)=\cos \left(\frac{\theta-\beta}{2}\right) , z=0
(1) व (2) की तुलना करने पर-

\frac{x_{1} / a^{2}}{(\frac{1}{a}) \cos (\theta+\beta)}=\frac{y_{1} / b^{2}}{\left(\frac{1}{b}\right) \sin \left(\frac{\theta+\beta}{2}\right)}=\frac{1}{\cos \left(\frac{\theta-\beta}{2}\right)} \\ \Rightarrow \frac{x_{1}}{a}=\frac{\cos \left(\frac{a}{2}+\beta\right)}{\cos \left(\frac{\theta-1}{2}\right)}, \frac{y_{1}}{b}=\frac{\sin \left(\frac{\theta+\beta}{2}\right)}{\cos (\theta-\beta)}
पुनः \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}-\frac{z_{1}^{2}}{c^{2}}=1 \\ \frac{1}{\cos ^{2}\left(\frac{\theta-B}{2}\right)}-\frac{z_{1}^{2}}{c^{2}}=1 \\ \Rightarrow z_{1 }^{2}=\sec ^{2}\left(\frac{\theta-\beta}{2}\right) \\ \Rightarrow \frac{z_{1}}{c^{2}}=\tan ^{2}\left(\frac{\theta-B}{2}\right) \\ \Rightarrow \frac{z_{1}}{c}=\pm \frac{\sin (\theta-\beta)}{\cos \left(\frac{\theta-\beta}{2}\right)}
\theta-\beta=2 \alpha रखने पर-

\Rightarrow \frac{x_{1}}{a} =\frac{\cos (\theta+\beta)}{2} \\ \Rightarrow \frac{y}{b} =\frac{\sin \left(\frac {\theta+\beta}{2}\right)}{\cos \alpha} \\ \frac{z_{1}}{c}= \tan \left(\frac{\theta-\beta}{2}\right) \\ \Rightarrow \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha} \\ \Rightarrow \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+ \frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=\sec ^{2} \alpha \\ \Rightarrow \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} +\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1+\tan ^{2} \alpha \\ \Rightarrow \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}-\frac{z_{1}^{2}}{c^{2}}=1 \\ \Rightarrow \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}(1)^{2} \\ \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}(\pm \frac{z_{1}}{c \tan \alpha})^{2} \\ \Rightarrow \frac{x_{1}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=\frac{z_{1}^{2}}{c^{2} \sin ^{2} \alpha}
P का बिन्दुपथ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z^{2}}{c^{2} \sin ^{2} \alpha}

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा त्रिविमीय निर्देशांक में जनकों के गुणधर्म (Property of Generators in 3D Geometry),जनक रेखाओं के गुणधर्म (Properties of Generating Lines in 3D Geometry) को समझ सकते हैं।
Example-4.वह प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए कि रेखा l_{1} x+m, y+n_{1} z + p_{1}=0 =l_{2} x+m_{2} y+n_{2} z+p_{2} एक पृष्ठीय अतिपरवलयज \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 की जनक रेखा हो।
(Find the condition that the line l_{1} x+m, y+n_{1} z + p_{1}=0 =l_{2} x+m_{2} y+n_{2} z+p_{2} be a generating line of the hyperboloid of one sheet \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.)
Solution-यदि दी हुई रेखाएं जनक है तब इनसे गुजरने वाला कोई भी स्पर्श समतल अतिपरवलयज के लिए होगा-

\left(l_{1} x+m_{1} y+n_{1} z+p_{1}\right)+k\left(l_{2} x+m_{2} y+n_{2} z+p_{2}\right)=0
k के मानों के लिए यह अतिपरवलयज का स्पर्श-तल होगा
यदि a\left(1_{1}+k l_{2}\right)^{2}+b\left(m_{1}+k m_{2}\right)^{2}-c \left(n_{1}+k n_{2}\right)^{2} =\left(p_{1}+k p_{2}\right)^{2} \\ \Rightarrow  k^{2} (a l_{2}^{2}+b m_{2}^{2}-c n_{2}^{2}-p_{2}^{2} )+2 k (a l_{1} l_{2}+b m_{1} m_{2}-c n_{1} n_{2}-p_{1} p_{2} )+(a l^{2}+b m^{2}+c n^{2}-p_{1}^{2})=0
अतः प्रतिबन्ध

a l_{2}^{2}+b m_{2}^{2}=c n_{2}^{2}+p_{2}^{2} \\ a l_{1} 1_{2}+b m_{1} m_{2}=c n_{1} n_{2}+p_{1} p_{2}
तथा a l_{1}^{2}+b m_{1}^{2}=c n_{1}^{2}+p_{1}^{2}

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा त्रिविमीय निर्देशांक में जनकों के गुणधर्म (Property of Generators in 3D Geometry),जनक रेखाओं के गुणधर्म (Properties of Generating Lines in 3D Geometry) को समझ सकते हैं।
Example-5.अतिपरवलयज \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 के बिन्दु P पर खींचे गए जनक मुख्य दीर्घवृत्तीय खण्ड से जिन बिन्दुओं पर मिलते हैं उनमें एक का उत्केन्द्र कोण दूसरे से तिगुना है।दर्शाओं कि P का बिन्दुपथ बेलन y^{2}\left(z^{2}+c^{2}\right)=4 b^{2} z^{2} और अतिपरवलयज का प्रतिच्छेद वक्र है।
(The generators through a point P on the hyperboloid \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 meet the principal elliptic section in two points such that the eccentric angle of the one is three times that of the other.Show that P lies on the curve of intersection of the hyperboloid with the cylinder y^{2}\left(z^{2}+c^{2}\right)=4 b^{2} z^{2}.)
Solution-माना P(x_{1},y_{1},z_{1}) तथा P पर खींचा गया जनक मुख्य दीर्घवृत्तीय खण्ड से A(a \cos \theta, b \sin \theta, 0) तथा पर मिलता है।
इस बिन्दु पर स्पर्शतल का समीकरण
\frac{ x x_{1}}{a^{2}}+\frac{y y_{1}}{b^{2}}=- \frac{z z_{1}}{c^{2}}=1 तथा यह z=0 पर मिलता है।
अतः \frac{x x_{1}}{a^{2}}+\frac{y y}{b^{2}}=1, z=0…….(1)
यह A व B को मिलाने वाली रेखा के समान है।

\frac{x}{a} \cos \left(\frac{\theta+\beta}{2}\right)+\frac{y}{b} \sin \left(\frac{\theta+\beta}{2}\right)=\cos \left(\frac{\theta-\beta}{2}\right), z=0....(2)
(1) व (2) की तुलना करने पर-

\frac{\frac{x_{1}}{a^{2}}}{\left(\frac{1}{a}\right) \cos \left(\frac{\theta+\beta}{2}\right)}=\frac{\frac{y_{1}}{b^{2}}}{\left(\frac{1}{b}\right) \sin \left(\frac{\theta+\beta}{2}\right)}=\frac{1}{\cos \left(\frac{\theta-\beta}{2}\right)} \\ \frac{x_{1}}{a}=\frac{\cos (\frac{\theta+\beta}{2})}{\cos \left(\frac{\theta-\beta}{2}\right)} , \frac{y_{1}}{b}=\frac{\sin (\frac{\theta+\beta}{2})}{\cos \left(\frac{\theta-\beta}{2}\right)} 

पुनः  \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}+\frac{z_{1}^{2}}{c^{2}}=1 \\ \frac{\cos ^{2}\left(\frac {\theta+\beta}{2}\right)}{\cos ^{2}\left(\frac{\theta-\beta}{2}\right)}+\frac{\sin ^{2}\left(\frac{\theta+\beta}{2}\right)}{\cos ^{2}\left(\frac{\theta-\beta}{2}\right)}-\frac{z_{1}^{2}}{c^{2}}=1 \\ \Rightarrow \frac{1}{\cos ^{2}\left(\frac{ \theta-\beta}{2}\right)}-\frac{z_{1}^{2}}{c^{2}}=1 \\ \Rightarrow \frac{z_{1}^{2}}{c^{2}}=\sec ^{2}\left(\frac{\theta-\beta}{2}\right)-1 \\ \Rightarrow \frac{z_{1}^{2}}{c^{2}}=\tan ^{2}\left(\frac{\theta-\beta}{2}\right) \\ \Rightarrow \frac{z_{1}}{c}=\pm \frac{\sin \left(\frac{0-\beta}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\theta-\beta}{2}\right)}

\theta=3 \beta रखने पर-

\frac{x_{1}}{a} =\frac{\cos 2, \beta}{\cos \beta}, \frac{y_{1}}{b}=\frac{\sin 2 B}{\cos \beta}=2 \sin \beta.....(3) \\ z_{1}=\pm \tan \beta \\ \frac{z_{1}}{c}=\pm \frac{\sin \beta}{\cos \beta}-\frac{y_{1} / 2 b}{\cos \beta}[(3) से]

\cos \beta=\pm \frac{c y_{1}}{2 b z_{1}} तथा \sin \beta=\frac{y}{2 b}
वर्ग करके जोड़ने पर-

\Rightarrow \frac{c^{2} y_{1}^{2}}{4 b^{2} z_{1}}+\frac{y_{1}^{2}}{4 b}=1 \Rightarrow y_{1}^{2}\left(c^{2}+ z_{1}^{2}\right)=4 b^{2} z_{1}^{2} \\ y^{2}\left(c^{2}+z^{2}\right)=4 b^{2} z^{2}

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा त्रिविमीय निर्देशांक में जनकों के गुणधर्म (Property of Generators in 3D Geometry),जनक रेखाओं के गुणधर्म (Properties of Generating Lines in 3D Geometry) को समझ सकते हैं।

Example-6.सिद्ध कीजिए कि सामान्यतः अतिपरवलयज \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 की दो जनक रेखाएं खींची जा सकती है जो कि दी हुई जनक रेखा को समकोण पर काटती है।यह भी सिद्ध कीजिए कि यदि ये रेखाएं समतल z=0 को P तथा Q में मिलती हैं तो PQ दीर्घवृत्तज \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{c^{2}}{a^{4} b^{4}} को स्पर्श करेगी।
(Prove that in general two generators of a hyperboloid \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 can be drawn to cut a given generator at right angles.Also show that if they meet the plane z=0 in P and Q.PQ touches the ellipse \frac{x^{2}}{9^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{c^{2}}{a^{4} b^{4}}.)
Solution-हम जानते हैं कि दिए हुए अतिपरवलयज के \lambda-निकाय का जनक दिया जाता है- \frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\lambda\left(1-\frac{y}{b}\right) तथा \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\frac{1}{\lambda}\left(1+\frac{y}{b}\right).....(1)
\frac{x}{a}+\frac{\lambda y}{b}=\frac{z}{c}=\lambda तथा \lambda \frac{x}{a}-\frac{y}{b}+\lambda \frac{z}{c}=1
यदि l_{1},m_{1},n_{1} जनक (1) के दिक् अनुपात हैं तब 
\frac{l_{1}}{a}+ \frac{ \lambda m_{1}}{b}-\frac{n_{1}}{c}=0 तथा \frac{\lambda l_{1}}{b}-\frac{m_{1}}{b}+\frac{\lambda n_{1}}{c}=0
हल करने पर-

\frac{l_{1} / a}{\lambda^{2}}=\frac{m_{1}+b}{-\lambda-\lambda}=\frac{n_{1} 1 c}{-1-\lambda^{2}} \\ \Rightarrow \frac{l_{1}}{-a\left(\lambda^{2}-1\right)}=\frac{m_{1}}{2 \lambda b}=\frac{n_{1}}{c\left(1+\lambda^{2}\right)}
इसी प्रकार l_{2},m_{2},n_{2} \mu-निकाय के दिक् अनुपात हैं तो

\frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\mu \left(1+\frac{y}{b}\right) तथा \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\frac{1}{\mu}\left(1-\frac{y}{b}\right)....(3) \\ \frac{l_{2}}{a\left(\mu^{2}-1\right)}=\frac{m_{2}}{2 b \mu}=\frac{n_{2}}{-c\left(\mu^{2}+1\right)}
यदि (1) व (3) लम्बवत् जनक हों तो

-a^{2}\left(\lambda^{2}-1\right)\left(\mu^{2}-1\right)+4 b^{2} \lambda \mu c^{2}\left(1+\lambda^{2}\right) \left(\mu^{2}+1\right)=0......(5)
यदि \lambda जनक दिया हुआ है तब \lambda अचर है और समीकरण (5) द्विघात समीकरण हैं जो यह \mu के दो मान देता है।यह दर्शाता है कि \mu-निकाय के दो जनक होंगे जो \lambda निकाय के जनक के लम्बवत् हैं।
निकाय के \mu जनक,समतल z=0 को P(a \cos \alpha, b \sin \alpha, 0) तथा Q(a \cos \beta, b \sin \beta, 0) पर मिलते हैं-
\mu-निकाय के जनक जो इन बिन्दुओं से गुजरते हैं-

\frac{x-a \cos \alpha}{a \sin \alpha}=\frac{y-b \sin \alpha}{-b \cos \alpha}=\frac{z}{c}.....(6)
तथा \frac{x-a \cos \beta}{a \sin \beta}=\frac{y-b \sin \beta}{-b \cos \beta}=\frac{z}{c}.....(7)
ये दोनों जनक \lambda-निकाय के जनक को (a \cos \theta, b \sin \theta, 0) पर प्रतिच्छेद करते हैं अतः समीकरण है

\frac{x-a \cos \theta}{a \sin \theta}=\frac{y-b \sin \theta}{-b \sin \theta}=\frac{z}{-c}.....(8)
(6) तथा (7) दोनों (8) पर लम्बवत् हैं अतः

a^{2} \sin \alpha \sin \theta+b^{2} \cos \alpha \cos \theta-c^{2}=0

तथा a^{2} \sin \beta \sin \theta+b^{2} \cos \beta \cos \theta-c^{2}=0
दोनों को a^{2} \sin \theta, b^{2} \cos \theta,-c^{2} के लिए हल करने पर-

\frac{a^{2} \sin \theta}{\cos \alpha-\cos \beta}=\frac{b^{2} \cos \theta}{\sin \beta-\sin \alpha}=\frac{-c^{2}}{\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta} \\ \Rightarrow \frac{a \sin \theta}{2 \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right)}=\frac{b^{2} \cos \theta}{2 \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right)}=\frac{-c^{2}}{\sin (\alpha-\beta)}=\frac{-c^{2}}{2 \sin \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha-B}{2}\right)} \\ \Rightarrow \frac{a^{2} \sin \theta}{c^{2}}=\frac{\sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)} \\ \frac{b^{2} \cos \theta}{c^{2}}=\frac{\cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}.....(9)
P तथा Q को मिलाने वाली रेखा की समीकरण-

-\frac{x}{a} \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)+\frac{y}{b} \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right), z=0 \\ \Rightarrow \frac{x}{a}\left(\frac{b^{2} \cos \theta}{c^{2}}\right)+\frac{y}{b}\left(\frac{a^{2} \sin \theta}{c^{2}}\right)=1, z=0.....(10)
समीकरण (10) का \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

-\frac{x b^{2}}{a c^{2}} \sin \theta+\frac{y a^{2}}{b c^{2}} \cos \theta=0, z=0.......(11)
समीकरण (10) व (11) का वर्ग करके जोड़ने पर हम PQ का अन्वालोप प्राप्त करते हैं-

\frac{x^{2} b^{4}}{a^{2} c^{4}}+\frac{y^{2} a^{4}}{b^{2} c^{4}}=1, z=0 \\ \Rightarrow \frac{x^{2}}{a^{6}}+\frac{y^{2}}{b^{6}}=\frac{c^{4}}{a^{4} b^{4}}, z=0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिविमीय निर्देशांक में जनकों के गुणधर्म (Property of Generators in 3D Geometry),जनक रेखाओं के गुणधर्म (Properties of Generating Lines in 3D Geometry) को समझ सकते हैं।

6.त्रिविमीय निर्देशांक में जनकों के गुणधर्म की समस्याएं (Property of Generators in 3D Geometry Problems)-

(1.)एक पृष्ठीय अतिपरवलयज \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 के दो परस्पर लम्बवत् जनकों के प्रतिच्छेद बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए।
(Find the locus of the point of intersection of two perpendicular generators of the hyperboloid of one sheet \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.)
(2.)प्रदर्शित कीजिए कि यदि पृष्ठ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 की दो जनक रेखाएं जो बिन्दुओं P(a \cos \alpha, b \sin \alpha, 0) तथा  Q(a \cos \beta, b \sin \beta, 0) से गुजरती है,समकोण पर काटती हों तो समतल z=0 पर उनके प्रक्षेप कोण पर काटेंगे, जहां \tan \theta=\left(\frac{a b}{c^{2}}\right) \sin (\alpha-\beta)
(Show that,if two generators of the surface \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 through the point P(a \cos \alpha, b \sin \alpha, 0) and Q(a \cos \beta, b \sin \beta, 0)  intersect at right angles,their projection on the plane z=0 intersect at angle,where \tan \theta=\left(\frac{a b}{c^{2}}\right) \sin (\alpha-\beta).)
(3.)यदि अतिपरवलयज \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 जिसका केन्द्र O है,के किसी बिन्दु P से जानेवाले जनक समतल z=0 को A और B पर मिलते हों तथा चतुष्फलक OAPB का आयतन अचर \frac{1}{6} abc के बराबर हो तो सिद्ध कीजिए कि समतल z=\pm c में से किसी एक पर विद्यमान है।
(If the generators through P,a point on the hyperboloid \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.Whose centre O,meet the plane z=0 in A and B and the volume of the tetrahedron OAPB is constant and equal to \frac{1}{6} abc,Show that P lies on one of the planes z=\pm c.)
उपर्युक्त सवालों को हल करके त्रिविमीय निर्देशांक में जनकों के गुणधर्म (Property of Generators in 3D Geometry),जनक रेखाओं के गुणधर्म (Properties of Generating Lines in 3D Geometry) को ठीक से समझ सकते हैं।

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