General and Middle Term in Class 11
1.कक्षा 11 में व्यापक एवं मध्य पद (General and Middle Term in Class 11),द्विपद प्रमेय कक्षा 11 (Binomial Theorem Class 11):
कक्षा में व्यापक एवं मध्य पद (General and Middle Term in Class 11) के इस आर्टिकल में व्यापक पद,मध्यपद एवं व्यंजक का प्रसार करने से सम्बन्धित विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.कक्षा 11 में व्यापक एवं मध्य पद के उदाहरण (General and Middle Term in Class 11 Examples):
Example:1.यदि (a+b)^n के प्रसार में प्रथम तीन पद क्रमशः 729,7290 तथा 30375 हो तो a,b और n ज्ञात कीजिए।
Solution: (a+b)^n=a^n+{}^n C_1 a^{n-1} b+{}^n C_2 b^2 a^{n-2}+\cdots+b^n
प्रश्नानुसार a^n=729 \\ \Rightarrow a^n=3^6
तुलना करने पर:
a=3, n=6 \\ {}^n C_1 a^{n-1} b={}^6 C_1 3^{6-1}(b)=7290 \\ \Rightarrow 6 \times 3^5 \times b=7290 \\ \Rightarrow b=\frac{7290}{6 \times 243}=5 \\ {}^n C_2 a^{n-2} b^2={}^6 C_2 3^{6-2} \times 5^2 \\ =\frac{6 !}{(6-2) ! 2 !} \times 3^4 \times 25 \\ =\frac{6 \times 5 \times 4 !}{2 \times 4 !} \times 81 \times 25 \\ =15 \times 81 \times 25 \\ =30375
Example:2.यदि (3+a x)^9 के प्रसार में x^2 तथा x^3 के गुणांक समान हों,तो a का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: (3+a x)^9 \\ \left(a+b\right)^n का व्यापक पद
T_{r+1}={}^n C_r a^{n-r} b^r
जब a=3,b=ax,n=9 तथा r=2
T_3 ={}^9 C_2 3^{9-2}(ax)^2 \\ =\frac{9!}{(9-2)! 2!} \times 3^7 \times a^2 x^2 \\ T_3=\frac{9 \times 8 \times 7 !}{7 ! 2 !} \times 2187 \times 9^2 x^2 \\ T_3=78732 a^2 x^2 \\ x^2 का गुणांक=78732 a^2
जब a=3,b=ax,n=9 तथा r=3
T_4={}^9 C_3 3^{9-3}(a x)^3 \\ =\frac{9 !}{(9-3)! 3 !} \times 3^6 \times a^3 x^3 \\
=\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 !}{6 ! \times 3 \times 2 \times 1} \times 3^6 \times a^3 x^3 \\ =61236 a^3 x^3 \\ x^3 का गुणांक=61236 a^3
प्रश्नानुसार:
61236 a^3=78732 a^2 \\ \Rightarrow a=\frac{78732}{61236} \\ \Rightarrow a=\frac{9}{7}
Example:3.द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए गुणनफल (1+2 x)^6(1-x)^7 में x^5 का गुणांक ज्ञात कीजिए।
Solution: (1+2 x)^6(1-x)^7 \\ =\left[1+{}^6 C_1(2 x)+{}^6 C_2(2 x)^2+{}^6 C_3(2 x)^3 +{}^6 C_4(2 x)^4+{}^6 C_5 (2 x)^5+(2 x)^6\right]\left[1-{}^7 C_1 x+{}^7 C_2 x^2-{}^7 C_3 x^3+{}^7 C_4 x^4-{}^7 C_5 x^5+\ldots -x^7\right] \\ x^5
का गुणांक=-{}^7 C_5+2 \times {}^6 C_1 \times {}^7 C_4 +2^2 \quad {}^6 C_2 \times-{}^7 C_3+{}^6 C_3 \times {}^7 C_2(2)^3 +2^4 \cdot {}^6 C_4 \times -{}^7 C_1+{}^6 C_5(2^5) \\ =-\frac{7 !}{(7-5) ! 5 !}+2 \times \frac{6 !}{(6-1) !} \times \frac{7!}{(7-4) ! 4 !} + 4 \times \frac{6 !}{(6-2) ! 2 !} \times-\frac{7 !}{(7-3) ! 3 !}+\frac{6 !}{(6-3) ! 3 !} \times \frac{7 !}{(7-2) !} \times 8+16 \times \frac{6 !}{(6-4) ! 4 !} \times-\frac{7 !}{(7-1) !}+\frac{6 !}{5 !} \times 32 \\=-\frac{7 \times 6 \times 5 !}{ 5! \times 2 \times 1 }+2 \times \frac{6 \times 5!}{5!} \times \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{ 3 \times 2 \times 1 \times 4! }-4 \times \frac{6 \times 5 \times 4 !}{4 ! \times 2 \times 1} \times \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 !}{4 ! \times 3 \times 2 \times 1}+8 \times \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 !}{3 ! \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{7 \times 6 \times 5 !}{5 ! \times 2 \times 1}-16 \times \frac{6 \times 5 \times 4 !}{2 \times 1 \times 4 !} \times \frac{7 \times 6 !}{6 !}+32 \times \frac{ 6 \times 5 !}{5 !} \\ =-21+12 \times 35-60 \times 35+8 \times 20 \times 21-16 \times 15 \times 7+192 \\ =-21+420-2700+3360-1680+192 \\ =171
Example:4.यदि a और b भिन्न-भिन्न पूर्णांक हों,तो सिद्ध कीजिए कि (a^n-b^n) का एक गुणनखण्ड (a-b) है जबकि n एक धन पूर्णांक है।
Solution: a^n=(a-b+b)^n \\ \Rightarrow a^n=(a-b)^n+{}^n C_1(a-b)^{n-1} b+{}^n C_2 (a-b)^{n-2} b^2+{}^n C_3(a-b)^{n-3} b^3+\cdots +{}^n C_{n-1} (a-b) b^{n-1}+b^n\\ \Rightarrow a^n-b^n=(a-b)^n+{}^n C_1 (a-b)^{n-1} b +{}^n C_2 (a-b)^{n-2} b^2+{}^n C_3 (a-b)^{n-3} b^3+\cdots +{}^n C_{n-1}(a-b) b^{n-1} \\ \Rightarrow a^n- b^n= (a-b)[(a-b)^{n-1}+{}^n C_1(a-b)^{n-2} b+{}^n C_2 (a-b)^{n-3} b^2+{}^n C_3(a-b)^{n-4} b^3+\cdots+{}^n C_{n-1} b^{n-1}]
अतः का एक गुणनखण्ड (a-b) है।
Example:5. (\sqrt{3}+\sqrt{2})^6-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^6 का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: (\sqrt{3}+\sqrt{2})^6-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^6 \\ (\sqrt{3}+\sqrt{2})^6=(\sqrt{3})^6+{}^6 C_1(\sqrt{3})^5 \sqrt{2}+{}^6 C_2(\sqrt{3})^4(\sqrt{2})^2+{}^6 C_3(\sqrt{3})^3(\sqrt{2})^3+{}^6 C_4 (\sqrt{3})^2 (\sqrt{2})^4 +{}^6 C_5(\sqrt{3})(\sqrt{2})^5+(\sqrt{2})^6 \\ =27+6 \times 9 \sqrt{3} \times \sqrt{2}+15 \times 9 \times 2 +20 \times 3 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{2}+15 \times 3 \times 4 +6 \times \sqrt{3} \times 4 \sqrt{2}+8 \\ =27+54 \sqrt{6}+270+120 \sqrt{6}+180 +24 \sqrt{6}+8 \\ =485+198 \sqrt{6} \\ \Rightarrow (\sqrt{3}+\sqrt{2})^6=485+198 \sqrt{6} \cdots(1)
इसी प्रकार
(\sqrt{3}-\sqrt{2})^6=27-54 \sqrt{6}+270-120 \sqrt{6} +180-24 \sqrt{6}+8 \\ =485-198 \sqrt{6} \\ \Rightarrow(\sqrt{3}-\sqrt{2})^6=485-198 \sqrt{6} \cdots(2)
(1) में से (2) घटाने पर:
अतः (\sqrt{3}+\sqrt{2})^6-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^6=396 \sqrt{6}
Example:6. \left(a^2+\sqrt{a^2-1}\right)^4+\left(a^2-\sqrt{a^2-1}\right)^4 का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: \left(a^2+\sqrt{a^2-1}\right)^4+\left(a^2-\sqrt{a^2-1}\right)^4 \\ \left(a^2+\sqrt{a^2-1}\right)^4=\left(a^2\right)^4+{}^4 C_1\left(a^2\right)^3\left(\sqrt{a^2-1}\right) +{}^4 C_2 \left(a^2 \right)^2\left(\sqrt{a^2-1}\right)^2+{}^4 C_3\left(a^2\right) \left(\sqrt{a^2-1}\right)^3 +\left(4 a^2-1\right)^4 \\ = a^8+4 a^6 \sqrt{a^2-1}+6 a^4\left(a^2-1\right)+4 a^6\left(a^2-1\right) \sqrt{a^2-1}+\left(a^2-1\right)^2 \\ = a^8+4 a^6 \sqrt{a^2-1}+6 a^6-6 a^4 +4 a^8-4 a^6 \sqrt{a^2-1}+a^4-2 a^2+1 \\ = a^8+6 a^6-5 a^4-2 a^2+1 \\ \Rightarrow\left(a^2+\sqrt{a^2-1} \right)^4=5 a^8+6 a^6-5 a^4-2 a^2+1 \cdots(1)
इसी प्रकार
\left(a^2-\sqrt{a^2-1}\right)^4=a^8-4 a^6 \sqrt{a^2-1}+6 a^4\left(a^2-1\right) -4 a^6\left(a^2-1\right) \sqrt{a^2-1}+\left(a^2-1\right)^2 \\ =a^8-4 a^6 \sqrt{a^2-1}+6 a^6-6 a^4 -4 a^8+4 a^6 \sqrt{a^2-1}+a^4-2 a^2+1 \\ =-3 a^8+6 a^6-5 a^4-2 a^2+1 \\ \Rightarrow \left(a^2-\sqrt{a^2-1} \right)^4=-3 a^8+6 a^6-5 a^4-2 a^2+1 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर:
\left(a^2+\sqrt{a^2-1}\right)^4+\left(a^2-\sqrt{a^2-1}\right)^4= 2 a^8+12 a^6-10 a^4 -4 a^2+2
Example:7. (0.99)^5 के प्रसार के पहले तीन पदों का प्रयोग करते हुए इसका निकटतम मान ज्ञात कीजिए।
Solution: (0.99)^5 \\ =(1-0.01)^5
द्विपद प्रमेय से प्रसार करने पर:
=1-{}^5 C_1(.01)+{}^5 C_2(.01)^2 \ldots-(0.01)^5
प्रश्ननुसार प्रथम तीन पद लेने पर:
=1-{}^5 C_1(0.01)+{}^5 C_2(0.01)^2 \\ =1-5 \times 0.01+10 \times 0.0001 \\ =1-0.05+0.001 \\ =0.9510
Example:8. \left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^n के प्रसार में आरम्भ से 5वें और अन्त से 5वें पद का अनुपात \sqrt{6} :1 हो तो n ज्ञात कीजिए।
Solution: \left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^n \\ (a+b)^n का व्यापक पद
T_{r+1}={}^n C_r a^{n-r} b^r
5वें पद के लिए
r+1=5 \Rightarrow r=4, a=\sqrt[4]{2}=2^{\frac{1}{4}}, \\ b=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt[4]{3}}}=3^{\frac{1}{4}} रखने पर
T_5={}^n C_4\left(2^{\frac{1}{4}}\right)^{n-4}\left(\frac{1}{3^{\frac{1}{4}}}\right)^4 \\ \Rightarrow T_5=\frac{n !}{(n-4) ! 4 !} \times \frac{2^{\frac{n-4}{4}}}{3}
अन्त से 5वाँ पद n+1,n,n-1,n-2,n-3 अर्थात् n-3 होगा:
r+1=n-3 \Rightarrow r=n-4 \\ T_{n-3}={}^n C_{n-4}\left(2^{\frac{1}{4}}\right)^{n-(n-4)}\left(\frac{1}{3^{\frac{1}{4}}}\right)^{n-4} \\ \Rightarrow T_{n-3} =\frac{n !}{n-(n-4) !(n-4) !} \times \frac{2}{3^{\frac{n-4}{4}}}
प्रश्नानुसार T_{5}: T_{n-3}= \sqrt{6}:1 \\ \Rightarrow \frac{T_5}{T_{n-3}}=\sqrt{6} \\ \Rightarrow \frac{\frac{n !}{(n-4) ! 4 !} \times \frac{2^{\frac{n-4}{4}}}{3} }{\frac{n !}{(n-4) ! 4 !} \times \frac{2}{3^{\frac{n-4}{4}}}} =\sqrt{6} \\ \Rightarrow \frac{2^{\frac{n-4}{4}}}{3} \times \frac{3^{\frac{n-4}{4}}}{2}=\sqrt{6} \\ \Rightarrow 2^{\frac{n-4}{4}-1} \times 3^{\frac{n-4}{4}-1}=\sqrt{6} \\ \Rightarrow 2^{\frac{n-8}{4}} 3^{\frac{n-8}{4}}=\sqrt{6} \\ \Rightarrow(\sqrt{2})^{\frac{n-8}{2}}(\sqrt{3})^{\frac{n-8}{2}}=\sqrt{6} \\ \Rightarrow (\sqrt{6})^{\frac{n-8}{2}}=(\sqrt{6})^1
तुलना करने पर
\Rightarrow \frac{n-8}{2}=1 \\ \Rightarrow n-8=2 \\ \Rightarrow n=10
Example:9. \left(1+\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^4, x \neq 0 का द्विपद प्रमेय द्वारा प्रसार ज्ञात कीजिए।
Solution: \left(1+\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^4 \\ =1+{}^4 C_1\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)+{}^4 C_2 \left(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^2+{}^4 C_3\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^3+\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^4 \\ =1+4\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)+6\left(\frac{x^2}{4}-2+\frac{4}{x^2}\right) +4 \left(\frac{x^3}{8}-\frac{3}{2} x+\frac{6}{x}-\frac{8}{x^3}\right)+ \frac{x^4}{16}-x^2+6-\frac{16}{x^2} +\frac{16}{x^4} \\ = 1+2 x-\frac{8}{x}+\frac{3}{2} x^2-12+\frac{24}{x^2}+\frac{x^3}{2} -6 x+\frac{24}{x}-\frac{32}{x^3}+\frac{x^4}{16}-x^2+6-\frac{16}{x^2}+\frac{16}{x^4} \\ = \frac{16}{x}+\frac{8}{x^2}-\frac{32}{x^3}+\frac{16}{x^4}-4 x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{2}+\frac{x^4}{16}-5
Example:10. \left(3 x^2-2 a x+3 a^2\right)^3 का द्विपद प्रमेय प्रसार ज्ञात कीजिए।
Solution: \left(3 x^2-2 a x+3 a^2\right)^3 \\ = \left(3 x^2-2 a x\right)^3+{}^3 C_1\left(3 x^2-2 a x\right)^2\left(3 a^2\right) +{}^3 C_2\left(3 x^2-2 a x\right)\left(3 a^2\right)^2+\left(3 a^2\right)^3 \\ = 27 x^6-54 a x^5+36 a^2 x^4-8 a^3 x^3 + 3\left(9 x^4-12 a x^3+4 a^2 x^2\right)\left(3 a^2\right) + 3\left(3 x^2-2 a x\right)\left(9 a^4\right)+27 a^6 \\= 27 x^6-54 a x^5+36 a^2 x^4-8 a^3 x^3 + 81 a^2 x^4-108 a^3 x^3+36 a^4 x^2+81 a^4 x^2 -54 a^5 x+27 a^6 \\ = 27 x^6-54 a^5+117 a^2 x^4-116 a^3 x^3 +117 a^4 x^2-54 a^5 x+27 a^6
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा कक्षा 11 में व्यापक एवं मध्य पद (General and Middle Term in Class 11),द्विपद प्रमेय कक्षा 11 (Binomial Theorem Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
3.कक्षा 11 में व्यापक एवं मध्य पद की समस्याएँ (General and Middle Term in Class 11 Problems):
(1.)द्विपद प्रमेय से (2 x+3 y)^5 का प्रसार कीजिए।
(2.) (1+\sqrt{5})^5+(1-\sqrt{5})^5 का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers): (1.) 32 x^5+240 x^4 y+720 x^3 y^2+1080 x^2 y^3+810 x y^4+243 y^5
(2.)352
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा कक्षा 11 में व्यापक एवं मध्य पद (General and Middle Term in Class 11),द्विपद प्रमेय कक्षा 11 (Binomial Theorem Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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4.कक्षा 11 में व्यापक एवं मध्य पद (Frequently Asked Questions Related to General and Middle Term in Class 11),द्विपद प्रमेय कक्षा 11 (Binomial Theorem Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.द्विपद प्रमेय की ऐतिहासिक पृष्ठभूमि लिखिए। (Write the Historical Background of the Binomial Theorem):
उत्तर:प्राचीन भारतीय गणितज्ञ (x+y)^n, 0 \leq n \leq 7 के प्रसार में गुणांकों को जानते थे।ईसा पूर्व दूसरी शताब्दी में पिंगल ने अपनी पुस्तक छंद शास्त्र (200 ई.पू.) में इन गुणांकों को एक आकृति,जिसे मेरुप्रस्त्र कहते हैं,के रूप में दिया था।1303 ई. में चीनी गणितज्ञ Chu-shi-kie के कार्य में भी यह त्रिभुजाकार विन्यास पाया गया।1544 के लगभग जर्मन गणितज्ञ Michael Stipel (1486-1567 ई.) ने सर्वप्रथम ‘द्विपद गुणांक’ शब्द को प्रारम्भ किया।Bombelli (1572 ई.) ने भी,n=1,2,….,7 के लिए तथा Oughtred (1631 ई.) ने n=1,2,……,10 के लिए के प्रसार में गुणांकों को बताया।पिंगल के मेरुप्रस्त्र के समान थोड़े परिवर्तन के साथ लिखा हुआ अंकगणितीय त्रिभुज जो पास्कल त्रिभुज के नाम से प्रचलित है,यद्यपि बहुत बाद में फ्रांसीसी मूल के गणितज्ञ Blaise Pascal (1623-1662 ई.) ने बनाया।उन्होंने द्विपद प्रसार के गुणांकों को निकालने के लिए त्रिभुज का प्रयोग किया।
nवें पूर्णांक मानों के लिए द्विपद प्रमेय का वर्तमान स्वरूप पास्कल द्वारा लिखित पुस्तक Trate du triange arithmetic में प्रस्तुत हुआ जो 1665 में उनकी मृत्यु के बाद प्रकाशित हुई।
प्रश्न:2.द्विपद प्रमेय का सारांश लिखो। (Write a Summary of Binomial Theorem):
उत्तर:(1.)एक द्विपद का किसी भी धन पूर्णांक n के लिए प्रसार द्विपद प्रमेय द्वारा किया जाता है।इस प्रमेय के अनुसार
(a+b)^n={}^n C_0 a^n+{}^n C_1 a^{n-1} b+{}^n C_2 a^{n-2} b+\ldots+{}^n C_{n-1} a b^{n-1}+{}^n C_n b^n
(2.)प्रसार के पदों के गुणांकों का व्यवस्थित क्रम पास्कल त्रिभुज कहलाता है।
(3.)(a+b)^n के प्रसार का व्यापक पद T_{r+1}={}^n C_r a^{n-r} b^r है।
(4.)(a+b)^n के प्रसार में,यदि n सम संख्या हो तो मध्य पद \left( \frac{n}{2}+1 \right)^{\text{वाँ}} पद है और यदि n विषम है तो दो मध्य पद \left( \frac{n+1}{2} \right)^{\text{वाँ}} तथा \left( \frac{n+1}{2}+1 \right)^{\text{वाँ}} है।
प्रश्न:3.ड्राॅइन के अनुसार गणित के बारे क्या विचार हैं? (What About Mathematics According to Drawin?):
उत्तर:खोज का प्रत्येक व्यक्ति गणितीय रूप में है क्योंकि हमारे पास कोई अन्य मार्गदर्शन नहीं हो सकता है
-ड्रॉइन
(Every body of discovery is mathematical in form because there is no other guidance we can have
-Drawin)
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.