1.कक्षा 11 में व्यापक एवं मध्य पद (General and Middle Term in Class 11),द्विपद प्रमेय कक्षा 11 (Binomial Theorem Class 11):

General and Middle Term in Class 11

कक्षा में व्यापक एवं मध्य पद (General and Middle Term in Class 11) के इस आर्टिकल में व्यापक पद,मध्यपद एवं व्यंजक का प्रसार करने से सम्बन्धित विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.कक्षा 11 में व्यापक एवं मध्य पद के उदाहरण (General and Middle Term in Class 11 Examples):

Example:1.यदि (a+b)^n के प्रसार में प्रथम तीन पद क्रमशः 729,7290 तथा 30375 हो तो a,b और n ज्ञात कीजिए।
Solution: (a+b)^n=a^n+{}^n C_1 a^{n-1} b+{}^n C_2 b^2 a^{n-2}+\cdots+b^n
प्रश्नानुसार a^n=729 \\ \Rightarrow a^n=3^6
तुलना करने पर:
a=3, n=6 \\ {}^n C_1 a^{n-1} b={}^6 C_1 3^{6-1}(b)=7290 \\ \Rightarrow 6 \times 3^5 \times b=7290 \\ \Rightarrow b=\frac{7290}{6 \times 243}=5 \\ {}^n C_2 a^{n-2} b^2={}^6 C_2 3^{6-2} \times 5^2 \\ =\frac{6 !}{(6-2) ! 2 !} \times 3^4 \times 25 \\ =\frac{6 \times 5 \times 4 !}{2 \times 4 !} \times 81 \times 25 \\ =15 \times 81 \times 25 \\ =30375
Example:2.यदि (3+a x)^9 के प्रसार में x^2 तथा x^3 के गुणांक समान हों,तो a का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: (3+a x)^9 \\ \left(a+b\right)^n का व्यापक पद
T_{r+1}={}^n C_r a^{n-r} b^r
जब a=3,b=ax,n=9 तथा r=2

T_3 ={}^9 C_2 3^{9-2}(ax)^2 \\ =\frac{9!}{(9-2)! 2!} \times 3^7 \times a^2 x^2 \\ T_3=\frac{9 \times 8 \times 7 !}{7 ! 2 !} \times 2187 \times 9^2 x^2 \\ T_3=78732 a^2 x^2 \\ x^2 का गुणांक=78732 a^2
जब a=3,b=ax,n=9 तथा r=3
T_4={}^9 C_3 3^{9-3}(a x)^3 \\ =\frac{9 !}{(9-3)! 3 !} \times 3^6 \times a^3 x^3 \\ =\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 !}{6 ! \times 3 \times 2 \times 1} \times 3^6 \times a^3 x^3 \\ =61236 a^3 x^3 \\ x^3 का गुणांक=61236 a^3
प्रश्नानुसार:
61236 a^3=78732 a^2 \\ \Rightarrow a=\frac{78732}{61236} \\ \Rightarrow a=\frac{9}{7}
Example:3.द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए गुणनफल (1+2 x)^6(1-x)^7 में x^5 का गुणांक ज्ञात कीजिए।
Solution: (1+2 x)^6(1-x)^7 \\ =\left[1+{}^6 C_1(2 x)+{}^6 C_2(2 x)^2+{}^6 C_3(2 x)^3 +{}^6 C_4(2 x)^4+{}^6 C_5 (2 x)^5+(2 x)^6\right]\left[1-{}^7 C_1 x+{}^7 C_2 x^2-{}^7 C_3 x^3+{}^7 C_4 x^4-{}^7 C_5 x^5+\ldots -x^7\right] \\ x^5
का गुणांक=-{}^7 C_5+2 \times {}^6 C_1 \times {}^7 C_4 +2^2 \quad {}^6 C_2 \times-{}^7 C_3+{}^6 C_3 \times {}^7 C_2(2)^3 +2^4 \cdot {}^6 C_4 \times -{}^7 C_1+{}^6 C_5(2^5) \\ =-\frac{7 !}{(7-5) ! 5 !}+2 \times \frac{6 !}{(6-1) !} \times \frac{7!}{(7-4) ! 4 !} + 4 \times \frac{6 !}{(6-2) ! 2 !} \times-\frac{7 !}{(7-3) ! 3 !}+\frac{6 !}{(6-3) ! 3 !} \times \frac{7 !}{(7-2) !} \times 8+16 \times \frac{6 !}{(6-4) ! 4 !} \times-\frac{7 !}{(7-1) !}+\frac{6 !}{5 !} \times 32 \\=-\frac{7 \times 6 \times 5 !}{ 5! \times 2 \times 1 }+2 \times \frac{6 \times 5!}{5!} \times \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{ 3 \times 2 \times 1 \times 4! }-4 \times \frac{6 \times 5 \times 4 !}{4 ! \times 2 \times 1} \times \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 !}{4 ! \times 3 \times 2 \times 1}+8 \times \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 !}{3 ! \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{7 \times 6 \times 5 !}{5 ! \times 2 \times 1}-16 \times \frac{6 \times 5 \times 4 !}{2 \times 1 \times 4 !} \times \frac{7 \times 6 !}{6 !}+32 \times \frac{ 6 \times 5 !}{5 !} \\ =-21+12 \times 35-60 \times 35+8 \times 20 \times 21-16 \times 15 \times 7+192 \\ =-21+420-2700+3360-1680+192 \\ =171
Example:4.यदि a और b भिन्न-भिन्न पूर्णांक हों,तो सिद्ध कीजिए कि (a^n-b^n) का एक गुणनखण्ड (a-b) है जबकि n एक धन पूर्णांक है।
Solution: a^n=(a-b+b)^n \\ \Rightarrow a^n=(a-b)^n+{}^n C_1(a-b)^{n-1} b+{}^n C_2 (a-b)^{n-2} b^2+{}^n C_3(a-b)^{n-3} b^3+\cdots +{}^n C_{n-1} (a-b) b^{n-1}+b^n\\ \Rightarrow a^n-b^n=(a-b)^n+{}^n C_1 (a-b)^{n-1} b +{}^n C_2 (a-b)^{n-2} b^2+{}^n C_3 (a-b)^{n-3} b^3+\cdots +{}^n C_{n-1}(a-b) b^{n-1} \\ \Rightarrow a^n- b^n= (a-b)[(a-b)^{n-1}+{}^n C_1(a-b)^{n-2} b+{}^n C_2 (a-b)^{n-3} b^2+{}^n C_3(a-b)^{n-4} b^3+\cdots+{}^n C_{n-1} b^{n-1}]
अतः का एक गुणनखण्ड (a-b) है।
Example:5. (\sqrt{3}+\sqrt{2})^6-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^6 का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: (\sqrt{3}+\sqrt{2})^6-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^6 \\ (\sqrt{3}+\sqrt{2})^6=(\sqrt{3})^6+{}^6 C_1(\sqrt{3})^5 \sqrt{2}+{}^6 C_2(\sqrt{3})^4(\sqrt{2})^2+{}^6 C_3(\sqrt{3})^3(\sqrt{2})^3+{}^6 C_4 (\sqrt{3})^2 (\sqrt{2})^4 +{}^6 C_5(\sqrt{3})(\sqrt{2})^5+(\sqrt{2})^6 \\ =27+6 \times 9 \sqrt{3} \times \sqrt{2}+15 \times 9 \times 2 +20 \times 3 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{2}+15 \times 3 \times 4 +6 \times \sqrt{3} \times 4 \sqrt{2}+8 \\ =27+54 \sqrt{6}+270+120 \sqrt{6}+180 +24 \sqrt{6}+8 \\ =485+198 \sqrt{6} \\ \Rightarrow (\sqrt{3}+\sqrt{2})^6=485+198 \sqrt{6} \cdots(1)
इसी प्रकार

(\sqrt{3}-\sqrt{2})^6=27-54 \sqrt{6}+270-120 \sqrt{6} +180-24 \sqrt{6}+8 \\ =485-198 \sqrt{6} \\ \Rightarrow(\sqrt{3}-\sqrt{2})^6=485-198 \sqrt{6} \cdots(2)
(1) में से (2) घटाने पर: 
अतः (\sqrt{3}+\sqrt{2})^6-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^6=396 \sqrt{6}

General and Middle Term in Class 11

Example:6. \left(a^2+\sqrt{a^2-1}\right)^4+\left(a^2-\sqrt{a^2-1}\right)^4 का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: \left(a^2+\sqrt{a^2-1}\right)^4+\left(a^2-\sqrt{a^2-1}\right)^4 \\ \left(a^2+\sqrt{a^2-1}\right)^4=\left(a^2\right)^4+{}^4 C_1\left(a^2\right)^3\left(\sqrt{a^2-1}\right) +{}^4 C_2 \left(a^2 \right)^2\left(\sqrt{a^2-1}\right)^2+{}^4 C_3\left(a^2\right) \left(\sqrt{a^2-1}\right)^3 +\left(4 a^2-1\right)^4 \\ = a^8+4 a^6 \sqrt{a^2-1}+6 a^4\left(a^2-1\right)+4 a^6\left(a^2-1\right) \sqrt{a^2-1}+\left(a^2-1\right)^2 \\ = a^8+4 a^6 \sqrt{a^2-1}+6 a^6-6 a^4 +4 a^8-4 a^6 \sqrt{a^2-1}+a^4-2 a^2+1 \\ = a^8+6 a^6-5 a^4-2 a^2+1 \\ \Rightarrow\left(a^2+\sqrt{a^2-1} \right)^4=5 a^8+6 a^6-5 a^4-2 a^2+1 \cdots(1)
इसी प्रकार

\left(a^2-\sqrt{a^2-1}\right)^4=a^8-4 a^6 \sqrt{a^2-1}+6 a^4\left(a^2-1\right) -4 a^6\left(a^2-1\right) \sqrt{a^2-1}+\left(a^2-1\right)^2 \\ =a^8-4 a^6 \sqrt{a^2-1}+6 a^6-6 a^4 -4 a^8+4 a^6 \sqrt{a^2-1}+a^4-2 a^2+1 \\ =-3 a^8+6 a^6-5 a^4-2 a^2+1 \\ \Rightarrow \left(a^2-\sqrt{a^2-1} \right)^4=-3 a^8+6 a^6-5 a^4-2 a^2+1 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर:

\left(a^2+\sqrt{a^2-1}\right)^4+\left(a^2-\sqrt{a^2-1}\right)^4= 2 a^8+12 a^6-10 a^4 -4 a^2+2
Example:7. (0.99)^5 के प्रसार के पहले तीन पदों का प्रयोग करते हुए इसका निकटतम मान ज्ञात कीजिए।
Solution: (0.99)^5 \\ =(1-0.01)^5
द्विपद प्रमेय से प्रसार करने पर:

=1-{}^5 C_1(.01)+{}^5 C_2(.01)^2 \ldots-(0.01)^5
प्रश्ननुसार प्रथम तीन पद लेने पर:

=1-{}^5 C_1(0.01)+{}^5 C_2(0.01)^2 \\ =1-5 \times 0.01+10 \times 0.0001 \\ =1-0.05+0.001 \\ =0.9510
Example:8. \left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^n के प्रसार में आरम्भ से 5वें और अन्त से 5वें पद का अनुपात \sqrt{6} :1 हो तो n ज्ञात कीजिए।
Solution: \left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^n \\ (a+b)^n  का व्यापक पद
T_{r+1}={}^n C_r a^{n-r} b^r
5वें पद के लिए
r+1=5 \Rightarrow r=4, a=\sqrt[4]{2}=2^{\frac{1}{4}}, \\ b=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt[4]{3}}}=3^{\frac{1}{4}} रखने पर

T_5={}^n C_4\left(2^{\frac{1}{4}}\right)^{n-4}\left(\frac{1}{3^{\frac{1}{4}}}\right)^4 \\ \Rightarrow T_5=\frac{n !}{(n-4) ! 4 !} \times \frac{2^{\frac{n-4}{4}}}{3}
अन्त से 5वाँ पद n+1,n,n-1,n-2,n-3 अर्थात् n-3 होगा:

r+1=n-3 \Rightarrow r=n-4 \\ T_{n-3}={}^n C_{n-4}\left(2^{\frac{1}{4}}\right)^{n-(n-4)}\left(\frac{1}{3^{\frac{1}{4}}}\right)^{n-4} \\ \Rightarrow T_{n-3} =\frac{n !}{n-(n-4) !(n-4) !} \times \frac{2}{3^{\frac{n-4}{4}}}
प्रश्नानुसार T_{5}: T_{n-3}= \sqrt{6}:1 \\ \Rightarrow \frac{T_5}{T_{n-3}}=\sqrt{6} \\ \Rightarrow \frac{\frac{n !}{(n-4) ! 4 !} \times \frac{2^{\frac{n-4}{4}}}{3} }{\frac{n !}{(n-4) ! 4 !} \times \frac{2}{3^{\frac{n-4}{4}}}} =\sqrt{6} \\ \Rightarrow \frac{2^{\frac{n-4}{4}}}{3} \times \frac{3^{\frac{n-4}{4}}}{2}=\sqrt{6} \\ \Rightarrow 2^{\frac{n-4}{4}-1} \times 3^{\frac{n-4}{4}-1}=\sqrt{6} \\ \Rightarrow 2^{\frac{n-8}{4}} 3^{\frac{n-8}{4}}=\sqrt{6} \\ \Rightarrow(\sqrt{2})^{\frac{n-8}{2}}(\sqrt{3})^{\frac{n-8}{2}}=\sqrt{6} \\ \Rightarrow (\sqrt{6})^{\frac{n-8}{2}}=(\sqrt{6})^1
तुलना करने पर

\Rightarrow \frac{n-8}{2}=1 \\ \Rightarrow n-8=2 \\ \Rightarrow n=10
Example:9.  \left(1+\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^4, x \neq 0 का द्विपद प्रमेय द्वारा प्रसार ज्ञात कीजिए।
Solution: \left(1+\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^4 \\ =1+{}^4 C_1\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)+{}^4 C_2 \left(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^2+{}^4 C_3\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^3+\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^4 \\ =1+4\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)+6\left(\frac{x^2}{4}-2+\frac{4}{x^2}\right) +4 \left(\frac{x^3}{8}-\frac{3}{2} x+\frac{6}{x}-\frac{8}{x^3}\right)+ \frac{x^4}{16}-x^2+6-\frac{16}{x^2} +\frac{16}{x^4} \\ = 1+2 x-\frac{8}{x}+\frac{3}{2} x^2-12+\frac{24}{x^2}+\frac{x^3}{2} -6 x+\frac{24}{x}-\frac{32}{x^3}+\frac{x^4}{16}-x^2+6-\frac{16}{x^2}+\frac{16}{x^4} \\ = \frac{16}{x}+\frac{8}{x^2}-\frac{32}{x^3}+\frac{16}{x^4}-4 x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{2}+\frac{x^4}{16}-5
Example:10. \left(3 x^2-2 a x+3 a^2\right)^3 का द्विपद प्रमेय प्रसार ज्ञात कीजिए।
Solution: \left(3 x^2-2 a x+3 a^2\right)^3 \\ = \left(3 x^2-2 a x\right)^3+{}^3 C_1\left(3 x^2-2 a x\right)^2\left(3 a^2\right) +{}^3 C_2\left(3 x^2-2 a x\right)\left(3 a^2\right)^2+\left(3 a^2\right)^3 \\ = 27 x^6-54 a x^5+36 a^2 x^4-8 a^3 x^3 + 3\left(9 x^4-12 a x^3+4 a^2 x^2\right)\left(3 a^2\right) + 3\left(3 x^2-2 a x\right)\left(9 a^4\right)+27 a^6 \\= 27 x^6-54 a x^5+36 a^2 x^4-8 a^3 x^3 + 81 a^2 x^4-108 a^3 x^3+36 a^4 x^2+81 a^4 x^2 -54 a^5 x+27 a^6 \\ = 27 x^6-54 a^5+117 a^2 x^4-116 a^3 x^3 +117 a^4 x^2-54 a^5 x+27 a^6

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा कक्षा 11 में व्यापक एवं मध्य पद (General and Middle Term in Class 11),द्विपद प्रमेय कक्षा 11 (Binomial Theorem Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

3.कक्षा 11 में व्यापक एवं मध्य पद की समस्याएँ (General and Middle Term in Class 11 Problems):

General and Middle Term in Class 11

(1.)द्विपद प्रमेय से (2 x+3 y)^5 का प्रसार कीजिए।
(2.) (1+\sqrt{5})^5+(1-\sqrt{5})^5 का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers): (1.) 32 x^5+240 x^4 y+720 x^3 y^2+1080 x^2 y^3+810 x y^4+243 y^5
(2.)352

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा कक्षा 11 में व्यापक एवं मध्य पद (General and Middle Term in Class 11),द्विपद प्रमेय कक्षा 11 (Binomial Theorem Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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4.कक्षा 11 में व्यापक एवं मध्य पद (Frequently Asked Questions Related to General and Middle Term in Class 11),द्विपद प्रमेय कक्षा 11 (Binomial Theorem Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा में व्यापक एवं मध्य पद (General and Middle Term in Class 11) के इस आर्टिकल में
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