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Enveloping Cone

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1 1.अन्वालोपी शंकु (Enveloping Cone),अन्वालोपी शंकु की समीकरण (Enveloping Cone Equation):
1.2 3.अन्वालोपी शंकु के सवाल (Enveloping Cone Questions):

1.अन्वालोपी शंकु (Enveloping Cone),अन्वालोपी शंकु की समीकरण (Enveloping Cone Equation):

अन्वालोपी शंकु परिभाषा (Enveloping Cone Definition):किसी दिए हुए बिन्दु से गुजरने वाली तथा किसी दिए हुए पृष्ठ को स्पर्श करनेवाली रेखाएँ जिस पृष्ठ को जनित करती है उसे अन्वालोपी शंकु (Enveloping Cone) कहते हैं।
गोले x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} के अन्वालोपी शंकु का समीकरण ज्ञात करना जिसका शीर्ष बिन्दु (\alpha,\beta,\gamma) है।
(To find the equation of the enveloping cone of the sphere x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} with its vertex at.)
बिन्दु (\alpha,\beta,\gamma) से गुजरने वाली सरल रेखा का समीकरण है:
\frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n}=r(माना)…..(1)
सरल रेखा (1) पर (lr+\alpha,mr+\beta,nr+\gamma) कोई बिन्दु है तो

(l r+\alpha)^{2}+(m r+\beta)^{2}+(n r+\gamma)^{2}=a^{2} \\ \Rightarrow \left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right) r^{2}+2r(l \alpha+m \beta+n \gamma)+\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-a^{2}=0 \cdots(2)
सरल रेखा (1) गोले को स्पर्श करेगी यदि (2) के दोनों मूल बराबर होंगे।(या यदि विविक्तर (discriminant) का मान शून्य हो) अर्थात्

(l \alpha+m \beta+n \gamma)=\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)\left(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-a^{2}\right) \cdots(3)
अब सरल रेखा (1) का रेखा पथ अर्थात् अन्वालोपी शंकु का समीकरण (1) तथा (3) में से l,m,n लुप्त करने से प्राप्त होगा।अतः

\left[(x-\alpha) \alpha+(y-\beta) \beta+(z-\gamma) \gamma\right]^{2}=\left[(x-\alpha)^{2}+(y-\beta)^{2}+(z-\gamma)^{2}\right]\left(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-a^{2}\right)
अभीष्ट अन्वालोपी शंकु का समीकरण होगा।
माना कि S \equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}-a^{2} ; S_{1}=\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-a^{2} तथा T \equiv x \alpha +y \beta+z \gamma-a^{2}
तब उपर्युक्त समीकरण को हम निम्न रूप में लिख सकते हैं:

(T-S_{1})^{2}=(S-2 T+S_{1})S_{1}, \Rightarrow S S_{1}=T^{2} \\ \Rightarrow \left(x^{2}+y^{2} +z^{2} -a^{2}\right)\left(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-a^{2}\right)=\left(x \alpha+y \beta+z \gamma-a^{2}\right)^{2}
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2.अन्वालोपी शंकु पर आधारित साधित उदाहरण (Solved Examples Based on Enveloping Cone):

Example:1.सिद्ध कीजिए कि मूलबिन्दु से खींची गई रेखाएँ जो कि गोले x^{2}+y^{2}+z^{2}+2u x+2vy+ 2 w z+d=0 को स्पर्श करती है,का रेखा पथ d\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=(u x+v y+w z)^{2} शंकु है।
(Prove that the lines drawn from the origin so as to touch the sphere x^{2}+y^{2}+z^{2}+2u x+2vy+ 2 w z+d=0 lie on the cone d\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=(u x+v y+w z)^{2})
Solution:दिए हुए गोले का समीकरण:

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2u x+2vy+ 2 w z+d=0 \cdots(1)
मूलबिन्दु से गुजरने वाली किसी रेखा का समीकरण:
\frac{x}{l}= \frac{y}{m}=\frac{z}{n}=r(माना)….(2)
इस रेखा पर कोई बिन्दु (lr,mr,nr) है।यदि यह गोले (1) को स्पर्श करती हो तब

(lr) ^{2}+(mr)^{2}+(n r)^{2}+2 ulr+2 v m r+2 w n r+d=0 \\ \Rightarrow \left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right) r^{2}+2(u l+v m+w n) r+d=0 \cdots(3)
यह रेखा (2) गोले (1) को स्पर्श करे तो (3) के दोनों मूल बराबर होंगे अर्थात् B^{2}-4AC=0

2^{2}(u l+v m+w n)^{2}-4\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right) d=0 \\ \Rightarrow (u l+v m+w n)^{2}-\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right) d=0 \cdots(4)
समीकरण (2) व (4) से l,m,n को लुप्त करने पर:

(u x+v y+w z)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d=0 \\ \Rightarrow d\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=(u x+v y+w z)^{2}
जो कि अभीष्ट शंकु का समीकरण है।
Example:2.सिद्ध कीजिए कि मूलबिन्दु से खींची गई रेखाएँ जो कि गोले (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=k^{2} को स्पर्श करती है,शंकु \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-k^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=(a x+b y+c z)^{2} पर स्थित है।
(Prove that the lines drawn from the origin touches the sphere (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=k^{2} lie on the cone \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-k^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=(a x+b y+c z)^{2}.)
Solution:दिए हुए शंकु का समीकरण:

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=k^{2}
मूलबिन्दु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
\frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n}=r(माना)
इस रेखा पर कोई बिन्दु (lr,mr,nr) है।यदि यह रेखा (1) को स्पर्श करती है तब

(l r-a)^{2}+(m r-b)^{2}+(n r-c)^{2}=k^{2} \\ \Rightarrow \left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right) r^{2}-2(l a+m b+n c) r+\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-k^{2}\right)=0 \cdots(3)
यह रेखा (2) गोले (1) को स्पर्श करे तो (3) के दोनों मूल बराबर होंगे अर्थात्

B^{2}-4AC=0 \\ 4(l a+m b+nc)^{2}-4\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right) \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-k^{2}\right)=0 \\ \Rightarrow (l a+m b+n c)^{2}-\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right) \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-k^{2}\right)=0 \cdots(4)
समीकरण (2) व (4) से l,m,n का विलोपन करने पर:

(a x+b y+c z)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-k^{2}\right)=0 \\ \Rightarrow \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-k^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=(a x+b y+c z)^{2}
Example:3.उस शंकु का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष (\alpha,\beta,\gamma) है तथा जो पृष्ठ a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=1 को स्पर्श करता है।
(Find the equation of the cone whose vertex is (\alpha,\beta,\gamma) and which touches the surface a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=1.)
Solution:दिए हुए पृष्ठ का समीकरण: a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=1 \cdots(1)
शीर्ष (\alpha,\beta,\gamma) से गुजरने वाली किसी रेखा का समीकरण:
\frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n}=r(माना)…..(2)
इस रेखा पर कोई बिन्दु (lr+\alpha,mr+\beta,nr+\gamma) है।यदि यह पृष्ठ (1) को स्पर्श करती हो तब

a(l r+\alpha)^{2}+b(m r+\beta)^{2}+c(n r+\gamma)^{2}=1 \\ \Rightarrow \left(a l^{2}+b m^{2}+c n^{2}\right) r^{2}+2(a l \alpha+b m \beta+c n \gamma) r + a \alpha^{2}+b \beta^{2}+c \gamma^{2}-1=0 \cdots(3)
यह रेखा पृष्ठ (1) को स्पर्श करे तो (3) के दोनों मूल बराबर होंगे अर्थात्

B^{2}-4 A C=0 \\ 4(a l \alpha+b m \beta+c n \gamma)^{2}-4\left(a l^{2}+b m^{2}+c n^{2}\right) \left( a \alpha^{2}+b \beta^{2}+c \gamma^{2}-1\right)=0 \\ \Rightarrow(a l \alpha+b m \beta+c n \gamma)^{2}=\left(a l^{2}+b m^{2}+c n^{2}\right) \left (a \alpha^{2}+b \beta^{2}+c \gamma^{2}-1\right) \cdots(4)
समीकरण (2) व (4) से l,m,n का विलोपन करने पर:

[a(x-\alpha) \alpha+b(y-\beta) \beta+c(z-\gamma) \gamma]^{2}=\left[a(x-\alpha)^{2}+b(y-\beta)^{2}+c(z-\gamma)^{2}\right]\left(a \alpha^{2}+b \beta^{2}+c \gamma^{2}-1\right) \cdots(5)
यदि S \equiv a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}-1 ; S_{1}=a \alpha^{2}+b \beta^{2}+c \gamma^{2}-1
तथा T=a \alpha x+b \beta y+c \gamma z-1
अतः समीकरण (5) को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\left(T-S_{1}\right)^{2}=\left(S+S_{1}-2 T\right) S_{1} \\ \Rightarrow T^{2}-2 T S_{1}+S_{1}^{2}=S S_{1}+S_{1}^{2}-2 T S_{1} \\ \Rightarrow S S_{1}=T^{2} \\ \Rightarrow \left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}-1\right)\left(a \alpha^{2}+b \beta^{2}+c \gamma^{2}-1\right)=(a \alpha x+b \beta y+c \gamma z-1)^{2}
Example:4.सिद्ध कीजिए कि गोले x^{2}+y^{2}+z^{2}=11 का अन्वालोपी शंकु जिसका शीर्ष (1,4,2) है,का x=0 समतल से परिच्छेद समकोणिक अतिपरवलय है।
(Show that the plane x=0 cuts the enveloping cone of the sphere x^{2}+y^{2}+z^{2}=11 which has its vertex (1,4,2) in a rectangular hyperbola.)
Solution: SS_{1}=T^{2} सूत्र से:

S=x^{2}+y^{2}+z^{2}-11 \\ S_{1}=(1)^{2}+(4)^{2}+(2)^{2}-11=10 \\ T=\left(x \alpha+y \beta+z \gamma-a^{2}\right) \\ =x+4 y+2 z-11
अन्वालोपी शंकु का दिए हुए गोले के शीर्ष (1,4,2) पर समीकरण:

\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-11\right) \times 10=(x+4 y+2z-11)^{2} \\ \Rightarrow 10 x^{2}+10 y^{2}+10 z^{2}-110=x^{2}+16 y^{2} +4 z^{2}+8 x y+4 x z+16 y z-22 x-88 y-44z+121 \\ \Rightarrow 9x^{2}- 6y^{2}+6z^{2}=8xy+4xz+16 yz-22 x-88 y-44 z+231=0 \\ \Rightarrow -6 y^{2}+6 z^{2}-16 y z+88 y+44 z-231=0,x=0
अतः \Delta \neq 0 तथा coefficient y^{2} +coefficient z^{2}=0
अतः यह समकोणिक अतिपरवलय है।

Example:5.किसी शंकु का शीर्ष (a,b,c) है तथा yz-तल उसको वक्र F(y,z),x=0 पर प्रतिच्छेदित करता है।सिद्ध कीजिए कि zx-समतल उसको वक्र F\left[\frac{b x}{x-a}, \frac{c x-a z}{x-a}\right]=0,y=0 पर प्रतिच्छेदित करेगा।
(The vertex of the cone is (a,b,c) and yz-plane cuts it in curve F(y,z),x=0.Show that the zx-plane cuts it in the curve F\left[\frac{b x}{x-a}, \frac{c x-a z}{x-a}\right]=0,y=0.)
Solution:(a,b,c) से गुजरने वाली किसी रेखा का समीकरण:

\frac{x-a}{l}=\frac{y-b}{m}=\frac{z-c}{n} \cdots(1)
यदि यह x=0 पर मिलती है तो

\frac{a}{l}=\frac{y-b}{m}=\frac{z-c}{n}
इस पर किसी बिन्दु के निर्देशांक

\left(0,-\frac{a m}{l}+b,-\frac{a n}{l}+c\right)
यदि यह बिन्दु वक्र F(y,z)=0,x=0 पर प्रतिच्छेदित करता है तो

F\left(-\frac{a m}{l}+b,-\frac{a n}{l}+c\right)=0 \cdots(2)
(1) व (2) से l,m,n का विलोपन करने पर:

F\left[-a\left(\frac{y-b}{x-a}\right)+b, -a\left(\frac{z-c}{x-a}\right)+c\right]=0 \\ \Rightarrow F\left[\frac{b x-a y}{x-a}, \frac{c x-a z}{x-a}\right]=0 \\ \Rightarrow F\left[\frac{b x}{x-a}, \frac{c x-a z}{x-a}\right], y=0
यह zx-समतल को y=0 पर मिलता है।
Example:6.शंकु जिसका शीर्ष P है तथा निर्देशक वक्र \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, z=0 है,का x=0 समतल से परिच्छेद समकोणिक अतिपरवलय है।सिद्ध करो कि शंकु के शीर्ष P का बिन्दुपथ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}+z^{2}}{b^{2}}=1 से प्रदर्शित होता है।
(The section of a cone whose vertex is P and guiding curve is the ellipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, z=0 by the plane x=0 is rectangular hyperbola.Show that the locus of P is \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}+z^{2}}{b^{2}}=1)
Solution:माना शीर्ष P के निर्देशांक (\alpha,\beta,\gamma)
शीर्ष (\alpha,\beta,\gamma) से गुजरने वाली किसी रेखा का समीकरण:

\frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n} \cdots(1)
यदि रेखा z=0 पर मिलती है अतः z=0 समतल पर बिन्दु के निर्देशांक \left(-\frac{l \gamma }{n}+\alpha,-\frac{m \gamma}{n}+\beta, 0\right) हैं।यह बिन्दु निर्देशक वक्र \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 पर मिलता है तो:

\frac{1}{a^{2}}\left(-\frac{l \gamma}{n}+\alpha\right)^{2} +\frac{1}{b^{2}}\left(-\frac{m \gamma}{n}+\beta\right)^{2}=1 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) से l,m,n का विलोपन करने पर:

\frac{1}{a^{2}}\left[-\left ( \frac{x-\alpha}{z-\gamma} \right )\gamma+\alpha\right]^{2}+\frac{1}{b^{2}} \left[-\left ( \frac{y-\beta}{z-\gamma} \right )\gamma+\beta \right]^{2}=1 \\ \Rightarrow \frac{(z \alpha-x \gamma)^{2}}{a^{2}(z-\gamma)^{2}}+\frac{(z \beta-y \gamma)^{2}}{b^{2}(z-\gamma)^{2}}=1 \\ \Rightarrow \frac{(z \alpha-x \gamma)^{2}}{a^{2}}+\frac{(z \beta-y \gamma)^{2}}{b^{2}}=(z-\gamma)^{2} 
x=0 समतल से शंकु का परिच्छेद

\frac{z^{2} \alpha^{2}}{a^{2}}+\left(\frac{z \beta-y \gamma}{b^{2}}\right)^{2}=(z-\gamma)^{2}
यह yz-समतल पर समकोणिक अतिपरवलय को प्रकट करता है अतः

coefficient of y^{2}+coefficient of z^{2}=0

\Rightarrow \frac{\gamma^{2}}{b^{2}}+\frac{\alpha^{2}}{a^{2}}+\frac{\beta^{2}}{b^{2}}-1=0 \\ \Rightarrow \frac{\alpha^{2}}{a^{2}}+\frac{\gamma^{2}+\beta^{2}}{b^{2}}=1
बिन्दुपथ लेने पर:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}+z^{2}}{b^{2}}=1
Example:7.दो उभयनिष्ठ शीर्ष वाले शंकु,वक्रों y=0, Z^{2}=4a x तथा x=0, Z^{2}=4b y से जाते हैं।समतल z=0 द्वारा इन शंकुओं के परिच्छेद दो ऐसे शांकव हैं जो परस्पर चार चक्रीय बिन्दुओं पर प्रतिच्छेदित करते हैं।सिद्ध करो कि,पृष्ठ z^{2}\left[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right]=4\left(x^{2}+y^{2}\right) पर आविष्ट है।
(Two cones with a common vertex pass through the curve,y=0 and ,x=0.The plane z=0 meets them in two conics which intersect in four cyclic points.Show that the vertex lies on the surface z^{2}\left[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right]=4\left(x^{2}+y^{2}\right).)
Solution:माना (\alpha,\beta,\gamma) उभयनिष्ठ शीर्ष है तो शीर्ष से गुजरने वाली किसी रेखा के समीकरण:

\frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-r}{n} \cdots(1)
यह समतल y=0 को मिलती है

\frac{x-\alpha}{l}=-\frac{\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n} \\ \left(-\frac{l}{m} \beta+\alpha, 0,-\frac{n}{m} \beta+\gamma\right)
यदि यह दिए हुए वक्र Z^{2}=4 a x पर है तो

\left(-\frac{n}{m} \beta+\gamma\right)^{2}=4 a\left(-\frac{l}{m} \beta+\alpha\right) \cdots(2)
(1) व (2) से l,m,n का विलोपन करने पर:

\left(-\frac{z-\gamma}{y-\beta} \beta+\gamma\right)^{2}=4 a\left(-\frac{x-\alpha}{y-\beta} \beta+\alpha\right) \\ \Rightarrow (\gamma y-z \beta)^{2}=4 a(\alpha y-\beta x)(y-\beta) \cdots(3)
रेखा (1) समतल x=0 पर मिलती है तो:

\frac{\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n} \\ \left(0,-\frac{m}{l} \alpha+\beta,-\frac{n}{l} \alpha+\gamma\right)
यदि यह दिए हुए वक्र पर है तो:

\left(-\frac{n}{l} \alpha+\gamma\right)^{2}=4 b\left(-\frac{m \alpha}{x}+\beta\right) \cdots(4)
(1) से: \frac{n}{l}=\frac{z-\gamma}{x-\alpha}, \frac{m}{l}=\frac{y-\beta}{x-\alpha}

(4) में मान रखने पर:

\left(-\frac{z-r}{x-\alpha} \alpha+\gamma\right)^{2}=4 b \left[-\left(\frac{y-\beta}{x-\alpha}\right) \alpha+\beta\right] \\ (\gamma x-\alpha z)^{2}=4 b(\beta x-\alpha y)(x-\alpha) \cdots(5)
z=0 समतल शंकु (3) व (5) को मिलता है अतः

S \equiv \gamma^{2} y^{2}-4 a(\alpha y-\beta x)(y-\beta) \\ S^{\prime}=r^{2} x^{2}-4 b(\beta x-\alpha y)(x-\alpha)
वक्र का समीकरण जो इन शंकुओं के प्रतिच्छेदन से गुजरता है:

S+\lambda S^{\prime}=0, \quad z=0 \\ \left[\gamma^{2} y^{2}-4a(\alpha y-\beta x)(y-\beta)\right]+\lambda\left[\gamma^{2} x^{2}-4 b(x \beta-\alpha y)(x-\alpha)\right]=0
यदि यह वृत्त है तब x^{2} तथा y^{2} के गुणांक बराबर होंगे तथा xy का गुणांक समाप्त होंगे अर्थात्

\lambda\left(\gamma^{2}-4 b \beta\right)=\left(\gamma^{2}-4 a \alpha\right) \cdots(6), 4 a \beta+\lambda 4 b \alpha=0 \cdots(7)
समीकरण (6) व (7) से \lambda का विलोपन करने पर:

\left[-\frac{(4 a \beta)}{4 b \alpha}\right] \left[ \gamma^{2}-4 b \beta\right]= \left(\gamma^{2}-4 a \alpha\right) \\ \Rightarrow a \beta\left(\gamma^{2}-4 b \beta\right)+b \alpha\left(\gamma^{2}-4 a \alpha\right)=0 \\ \Rightarrow \gamma^{2} \left(\frac{\alpha}{a}+\frac{\beta}{b}\right)=4\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right)
उभयनिष्ठ शीर्ष का बिन्दुपथ:

z^{2}\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=4\left(x^{2}+y^{2}\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अन्वालोपी शंकु (Enveloping Cone),अन्वालोपी शंकु की समीकरण (Enveloping Cone Equation) को समझ सकते हैं।

3.अन्वालोपी शंकु के सवाल (Enveloping Cone Questions):

(1.)सिद्ध कीजिए कि उस शंकु का समीकरण जिसका शीर्ष मूलबिन्दु है और निर्देशक वक्र z=k,f(x,y)=0 है, f\left(\frac{x k}{z}, \frac{y k}{z}\right)=0 होगा।
(Show that the equation to the cone whose vertex is the origin and the guiding curve z=k,f(x,y)=0,is f\left(\frac{x k}{z}, \frac{y k}{z}\right)=0.)
(2.)गोले x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x-2 y=2 के उस अन्वालोपी शंकु का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष (1,1,1) है।
(Find the enveloping cone of the sphere x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x-2 y=2 with the vertex at (1,1,1).)
उत्तर (Answer):2. 3 x^{2}-y^{2}+4 x z-10 x+2 y-4 z+6=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अन्वालोपी शंकु (Enveloping Cone),अन्वालोपी शंकु की समीकरण (Enveloping Cone Equation) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Equation of the Sphere

4.अन्वालोपी शंकु (Enveloping Cone),अन्वालोपी शंकु की समीकरण (Enveloping Cone Equation) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.शंकु की परिभाषा लिखो।(Write the definition of cone):

उत्तर:शंकु उस रेखा द्वारा जनित पृष्ठ है जो एक निश्चित बिन्दु से गुजरती है तथा एक दिए हुए वक्र को प्रतिच्छेदित करती है अथवा स्पर्श करती है।

प्रश्न:2.शंकु का शीर्ष तथा शंकु की जनक रेखा किसे कहते हैं? (The Vertex of the cone and the Generating line or Generator of the cone are called?):

उत्तर:निश्चित बिन्दु को शंकु का शीर्ष (Vertex),चल रेखा जो शंकु को जनित करती है उसे शंकु की जनक रेखा (Generating line or Generator) कहते हैं।

प्रश्न:3.निर्देशक वक्र किसे कहते हैं? (What is the Guiding Curve called?):

उत्तर:सरल रेखा जिस वक्र को प्रतिच्छेदित करती है उसे निर्देशक वक्र (Guiding Curve) कहते हैं।

प्रश्न:4.द्विघाती शंकु किसे कहते हैं?(What is a Cone of Second Degree called?):

उत्तर:शंकु के समीकरण की घात निर्देशक वक्र की घात पर निर्भर करती है।यदि निर्देशक वक्र एक शांकव (Conic) है तो शंकु का समीकरण द्विघातीय होगा।वह शंकु जिसका समीकरण द्विघातीय होता है,द्विघाती (Quadratic) कहलाता है।

प्रश्न:5.मूलबिन्दु शीर्ष वाले समद्विघाती शंकु का समीकरण होगा।(The origin will be the Homogeneous Equation of cone with the Vertex):

उत्तर:प्रत्येक x,y,z में समद्विघाती समीकरण उस शंकु जिसका शीर्ष मूलबिन्दु है,का समीकरण निम्न है:
ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+2fyz+2gzx+2hxy=0

प्रश्न:6.मूलबिन्दु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण होगा।(There will be an equation of the line passing through the origin):

उत्तर:यदि रेखा की दिक्कोज्या l,m,n हो तो समीकरण होगा: \frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अन्वालोपी शंकु (Enveloping Cone),अन्वालोपी शंकु की समीकरण (Enveloping Cone Equation) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Enveloping Cone Definition

अन्वालोपी शंकु परिभाषा
(Enveloping Cone Definition)

Enveloping Cone Definition

अन्वालोपी शंकु परिभाषा (Enveloping Cone Definition):किसी दिए हुए बिन्दु से गुजरने वाली तथा किसी
दिए हुए पृष्ठ को स्पर्श करनेवाली रेखाएँ जिस पृष्ठ को जनित करती है उसे अन्वालोपी शंकु (Enveloping Cone)
कहते हैं।

2 Comments
  1. Aditya January 21, 2022 / Reply
    • Mathematics Satyam January 21, 2022 / Reply

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