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Equation of Sphere Through Circle

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1 1.वृत्त से गुजरने वाले गोले का समीकरण (Equation of Sphere Through Circle),एक दिए हुए वृत्त से गुजरने वाला गोला (Equation of Sphere Through Given Circle):
1.2 3.वृत्त से गुजरने वाले गोले का समीकरण की समस्याएं (Equation of Sphere Through Given Circle Problems),एक दिए हुए वृत्त से गुजरने वाला गोला के उदाहरण (Equation of Sphere Through Given Circle Examples):

1.वृत्त से गुजरने वाले गोले का समीकरण (Equation of Sphere Through Circle),एक दिए हुए वृत्त से गुजरने वाला गोला (Equation of Sphere Through Given Circle):

वृत्त से गुजरने वाले गोले का समीकरण (Equation of Sphere Through Circle):

(1.)एक दिए हुए वृत्त से गुजरने वाले गोले का समीकरण ज्ञात करना (To Find Equation of Sphere Through Given Circle):
स्थिति I.एक गोले एक समतल के प्रतिच्छेदन से बना वृत्त (Circles as the intersection of a Sphere and a Plane):
मान लो वृत्त निम्न समीकरणों से प्राप्त होता है:

S \equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 v y+2 w z+d=0 
तथा P \equiv ax+by+cz-d^{\prime}=0 
तब S+\lambda P=0 
अर्थात् \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 v y+2 w z+d\right)+\lambda(a x+b y+c z-d^{\prime})=0 
एक गोले के समीकरण को व्यक्त करेगा क्योंकि इस समीकरण में गोले की तीनों विशेषताएं विद्यमान हैं जहाँ \lambda  एक अचर है।चूँकि यह S=0 तथा P=0 के उभयनिष्ठ बिन्दुओं द्वारा सन्तुष्ट होता है इसलिए यह दिए हुए वृत्त से गुजरने वाला कोई एक गोला है।
स्थिति II.दो गोलों के प्रतिच्छेदन से बना वृत्त (Circle as the intersection of two spheres):

S_{1}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u_{1} x+2 v_{1} y+2 w_{1} z+d_{1}=0 \cdots(1)\\ S_{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u_{2} x+2 v_{2} y+2 w_{2} z+d_{2}=0 \cdots(2) 
माना कि दिए हुए दो गोलों के समीकरण हैं:
उपर्युक्त दोनों गोलों का प्रतिच्छेदन एक वृत्त होता है।
अब S_{1}+\lambda S_{2}=0  पर विचार करते हैं।व्यापक रूप से यह (1) तथा (2) के प्रतिच्छेदन पृष्ठ को व्यक्त करता है
जब \lambda=-1  तब S_{1}-S_{2}=0  रैखिक समीकरण है तथा एक समतल को व्यक्त करता है।यह वृत्त के समतल का समीकरण है।
अतः गोलों के प्रतिच्छेदन से बने वृत्त के समीकरण निम्न हैं:
S_{1}=0  या S_{2}=0 \ldots(3) 

तथा S_{1}-S_{2}=0 \cdots(4) 
(2.)दो गोलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले गोले का समीकरण (Equation of a Sphere Passing Through the Intersection of two Spheres):
माना कि दिए हुए गोलों के समीकरण हैं:

S_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u_{1} x+2 v_{1} y+2 w_{1} z+d_{1}=0 \cdots(1) \\ S_{2} \equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u_{2} x+2 v_{2} y+2 w_{2} z+d_{2}=0 \cdots(2) 
निम्न समीकरण पर विचार कीजिए

S_{1}+\lambda S_{2}=0 \quad(\lambda \neq -1) 
अर्थात् (1+\lambda) x^{2}+(1+\lambda) y^{2}+(1+\lambda) z^{2}+2\left(u_{1}+\lambda u_{2}\right) x+2\left(v_{1}+ \lambda v_{2}\right)y+2\left(w_{1}+\lambda w_{2}\right) z+\left(d_{1}+\lambda d_{2}\right)=0 \ldots (3) 
स्पष्टतः x^{2},y^{2},z^{2} के गुणांक बराबर हैं तथा इसमें yz,zx तथा xy के पद नहीं है अतः यह एक गोले को प्रदर्शित करता है।चूँकि समीकरण (3),S_{1}=0,S_{2}=0  के उभयनिष्ठ बिन्दुओं द्वारा सन्तुष्ट होता है इसलिए समीकरण (3) गोलों S_{1}=0  एवं S_{2}=0  के प्रतिच्छेदन बिन्दुओं से गुजरने वाले गोले को व्यक्त करता है।
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2.वृत्त से गुजरने वाले गोले का समीकरण के उदाहरण (Equation of Sphere Through Circle Examples):
निम्न वृत्त एवं उनके सम्मुख उल्लेखित बिन्दु से गुजरने वाले गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए:

(Find the equation of the sphere passing through the following circles and the mentioned against them):
Example:1.x^{2}+y^{2}+z^{2}=9,2 x+3 y+4 z=5 ;(1,2,3) 
Solution:दिए हुए वृत्त का समीकरण

x^{2}+y^{2}+z^{2}=9,2 x+3 y+4 z=5 \cdots(1) 
इस वृत्त से गुजरने वाले किसी गोले का समीकरण होगा

\left(x^{2}+y^{2}+2^{2}-9\right)+\lambda(2 x+3 y+4 z-5)=0 \cdots(2) 
प्रश्नानुसार यह गोला (1,2,3) से गुजरता है।

{\left[(1)^{2}+(2)^{2}+(3)^{2}-9\right]+\lambda[2 \times 1+3 \times 2+4 \times 3-5]=0} \\ \Rightarrow(1+4+9-9)+\lambda(2+6+12-5)=0 \\ \Rightarrow \quad 5+\lambda(15)=0 \\ \Rightarrow \lambda=-\frac{5}{15} \\ \Rightarrow \lambda=-\frac{1}{3} 
\lambda  का मान समीकरण (2) में रखने पर गोले का अभीष्ट समीकरण होगा:

\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-9\right)-\frac{1}{3}(2 x+3 y+4 z-5)=0 \\ \Rightarrow 3\left(x^{2}+y^{2} +z^{2}\right)-27-2 x-3 y-4 z+5=0 \\ \Rightarrow 3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-2 x-3 y-4 z-22=0 
Example:2.x^{2}+y^{2}+z^{2}=2, z=0 ;(2,3,4) 
Solution:x^{2}+y^{2}+z^{2}=2, z=0 ;(2,3,4) 
दिए हुए वृत्त का समीकरण

x^{2}+y^{2}+z^{2}=2, z=0 \cdots(1) 
इस वृत्त से गुजरने वाले गोले का समीकरण

x^{2}+y^{2}+z^{2}-2+\lambda Z=0 \cdots(2) 
प्रश्नानुसार यह गोला (2,3,4) से गुजरता है अत:

(2)^{2}+(3)^{2}+(4)^{2}-2+\lambda(4)=0 \\ \Rightarrow 4+9+16-2+4 \lambda=0 \\ \Rightarrow 29-2+4 \lambda=0 \\ \Rightarrow 4 \lambda=-27 \\ \Rightarrow \lambda=-\frac{27}{4} 
\lambda  का मान समीकरण (2) में रखने पर गोले का अभीष्ट समीकरण होगा:

x^{2}+y^{2}+z^{2}-2+z\left(-\frac{27}{4}\right)=0 \\ \Rightarrow 4\left(x^{2}+y^{2}+ 2^{2}\right)-8-27 z=0 \\ \Rightarrow 4\left(x^{2}+y^{2}+2^{2}\right)-27 z-8=0 
Example:3.x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, x+2 y+3 z=4,(0,0,0) 
Solution:दिए हुए वृत्त का समीकरण:

x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, x+2 y+3 z=4 \cdots(1) 
इस वृत्त से गुजरने वाले किसी गोले का समीकरण होगा:

x^{2}+y^{2}+z^{2}-1+\lambda(x+2 y+3 z-4)=0 \cdots(2) 
प्रश्नानुसार यह गोला बिन्दु (0,0,0) से गुजरता है।

(0)^{2}+(0)^{2}+(0)^{2}-1+\lambda(0+2(0)+3(0)-4)=0 \\ \Rightarrow-1-4 \lambda=0 \\ \Rightarrow x=-\frac{1}{4} 
\lambda का मान समीकरण (2) में रखने पर:

x^{2}+y^{2}+z^{2}-1-\frac{1}{4}(x+2 y+3 z-4)=0 \\ \Rightarrow 4\left(x^{2}+y^{2}+ z^{2}\right)-4-x-2 y-3 z+4=0 \\ \Rightarrow 4\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-x-2 y-3 z=0 
Example:4.यदि वृत्त x^{2}+y^{2}+z^{2}+24 x+2 v y+2 w z+d=0,lx+my+nz=0  की त्रिज्या r हो तो सिद्ध कीजिए कि
(If r is radius of the circle x^{2}+y^{2}+z^{2}+24 x+2 v y+2 w z+d=0,lx+my+nz=0 , prove that \left(r^{2}+d\right)\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)=(m w+n v)^{2}+(x u-l \omega)^{2}+(l v-m u)^{2}) 
Solution:गोले 2 x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 v y+2 w z+d=0  की त्रिज्या

R^{2}=u^{2}+v^{2}+w^{2}-d 
गोले का केन्द्र (-u,-v,-w)

दिए हुए समतल lx+my+nz=0 पर गोले के केन्द्र (-u,-v,-w) पर लम्ब की लम्बाई=

p=\frac{l(-u)+m(-v)+n(-w)}{\sqrt{l^{2}+m^{2}+n^{2}}} \\ \Rightarrow p^{2}=\frac{(l u+m v+n w)^{2}}{l^{2}+m^{2}+n^{2}} 
वृत्त की त्रिज्या r^{2}=R^{2}-p^{2} \\ \Rightarrow r^{2}=u^{2}+v^{2}+\omega^{2}-d-\frac{(l u+m v+n w)^{2}}{\left(l^{2} +m^{2}+n^{2}\right)}\\ \Rightarrow r^{2}\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right) =\left(u^{2}+v^{2}+\omega^{2}-d\right) \left(l^{2}+m^{2}+m^{2}\right)-\left(lu+m v + n w\right)^{2}\\ \Rightarrow r^{2}\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right) =\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right) \left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)-d\left(l^{2}+m^{2}+n\right)-(l u+m v+n w)^{2} \\ \Rightarrow \left(r^{2}+d\right)\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)=\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)-(lu+m v+n w)^{2} \\ \Rightarrow \left(r^{2}+d\right)\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)=(m w-n v)^{2}+(n u-l w)^{2}+(l v-m u)^{2}  (लांग्राज सर्वसमिका से )

Example:5.निम्न वृत्तों के एक ही गोले पर स्थित होने के प्रतिबन्धों को ज्ञात कीजिए:
(Find the conditions so that the following circles may lie on the same sphere):

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2u x+2 v y+2 w z+d=0, l x+m y+n z=p , \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u^{\prime} x+2 v^{\prime} y+2 w^{\prime} z+d^{\prime}=0, l^{\prime} x+m^{\prime} y+n^{\prime} z=p^{\prime} 
Solution:दिए हुए प्रथम वृत्त का समीकरण:

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 v y+2 w z+d=0, l x+m y+n z=p 
इस वृत्त से गुजरने वाले किसी गोले का समीकरण:

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 v y+2 w z+d+\lambda(l x+m y+n z-p)=0 \cdots(1) \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+(2 u+\lambda l) x+(2 v+\lambda m) y +(2 w+n \lambda) z+d-\lambda p=0 
दिए हुए द्वितीय वृत्त का समीकरण:

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u^{\prime} x+2 v^{\prime} y+2 w^{\prime} z+ d^{\prime}+\mu \left(l^{\prime} x+m^{\prime} y+n^{\prime} z-p^{\prime} \right)=0 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+\left(2 u^{\prime}+\mu l^{\prime}\right) x+\left(2 v^{\prime}+\mu m^{\prime}\right) y+\left(2 w^{\prime}+n^{\prime} \mu\right) z+d^{\prime}-\mu p^{\prime}=0 \cdots(2) 
यदि दोनों वृत्त एक ही गोले पर स्थित हैं तो x,y,z के गुणांकों की तुलना करने पर:

2 u+\lambda l=2 u^{\prime}+\mu l^{\prime} \Rightarrow 2\left(u-u^{\prime}\right)+\lambda l-\mu l^{\prime}=0 \cdots(3) \\ 2 v+\lambda m=2 v^{\prime}+\mu m^{\prime} \Rightarrow 2\left(v-v^{\prime}\right) +\lambda m-\mu m^{\prime}=0 \cdots(4) \\ 2 \omega+\lambda n=2 \omega^{\prime}+\mu n^{\prime} \Rightarrow 2\left(\omega-\omega^{\prime}\right)+\lambda n-\mu n^{\prime}=0 \cdots(5)\\ d-\lambda p=d^{\prime}-\mu P^{\prime} \Rightarrow-\left(d-d^{\prime}\right)+\lambda p-\mu p^{\prime}=0 \cdots(6) 
समीकरण (3),(4),(5) और (6) से \lambda  तथा -\mu  का विलोपन करने पर:

\begin{vmatrix} 2\left(u-u^{\prime}\right) & 1 & l^{\prime} \\ 2\left(v-v^{\prime}\right) & m & m^{\prime} \\ 2\left(w-w^{\prime}\right) & n & n^{\prime} \\-(d-d^{\prime} ) & p & p^{\prime} \end{vmatrix} =0
Example:6.बिन्दुओं (-1,0,0);(0,2,0);(0,0,3) से गुजरने वाले वृत्त का केन्द्र ज्ञात करिए।
(Find the centre of the circle through the points (-1,0,0);(0,2,0);(0,0,3).)
Solution:वृत्त का समीकरण ज्ञात करने के लिए गोले के समीकरण की आवश्यकता होगी।परन्तु गोले का समीकरण ज्ञात करने हेतु चार बिन्दुओं की आवश्यकता होती है।इसलिए हम स्वेच्छा से चौथा बिन्दु मूलबिन्दु ले लेते हैं:
माना गोले का अभीष्ट समीकरण:

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 u y+2 w z+d=0 \cdots(1) 
चूँकि समीकरण (1) मूलबिन्दु O से गुजरता है इसलिए d=0
गोला (1) बिन्दुओं (-1,0,0);(0,2,0);(0,0,3) से गुजरता है:

1-2 u=0 \Rightarrow u=\frac{1}{2} \\ (2)^{2}+2 v(2)=0 \Rightarrow v=-1 \\ (3)^{2}+2 w(3)=0 \Rightarrow w=-\frac{3}{2} 
u,v,w और d के मान समीकरण (1) में रखने पर:

x^{2}+y^{2}+z^{2}+x-2 y-3 z=0 
अतः वृत्त का समीकरण:

x^{2}+y^{2}+z^{2}+x-2 y-3 z=0 ; \frac{x}{-1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1 
वृत्त का केन्द्र (Centre of Circle): वृत्त का केन्द्र गोले के केन्द्र से समतल पर डाले गए लम्ब का पाद होता है।
गोले का केन्द्र (-\frac{1}{2},1,\frac{3}{2})  है।अतः इस केन्द्र से समतल पर डाले गए लम्ब का समीकरण होगा:
\frac{x+\frac{1}{2}}{-1}=\frac{y-1}{\frac{1}{2}}=\frac{z-\frac{3}{2}}{\frac{1}{3}}=k (माना)
इस रेखा पर किसी बिन्दु के निर्देशांक:

\left(-1 k-\frac{1}{2}, \frac{1}{2} k+1, \frac{1}{3} k+\frac{3}{2}\right) 
यदि यह बिन्दु समतल पर स्थित हो तो

-1\left(- k-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2} (\frac{k}{2}+1)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3} k+\frac{3}{2}\right)=1\\ \Rightarrow k+\frac{1}{2}+ \frac{k}{4}+\frac{1}{2}+\frac{k}{9}+\frac{1}{2}=1 \\ \Rightarrow \frac{49}{36} k=-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow k=-\frac{1}{2} \times \frac{36}{49}=-\frac{18}{49} 
k का मान उपर्युक्त बिन्दु के निर्देशांकों में रखने पर लम्ब पाद अर्थात् वृत्त के केन्द्र के निर्देशांक होंगे:

\left(-1 \times-\frac{18}{49}-\frac{1}{2}, \frac{18}{98}+1, \frac{1}{3}\left(-\frac{18}{49}\right)+\frac{3}{2}\right) \\ \Rightarrow \left(\frac{-13}{98}, \frac{40}{49}, \frac{135}{98}\right) 
Example:7.सिद्ध कीजिए कि गोला x^{2}+ y^{2}+z^{2}+2u x+2 v y+2wz+d=0  ,गोले x^{2}+ y^{2}+ z^{2}+2 u^{\prime} x+2 v^{\prime} y+2 w^{\prime} z+d^{\prime}=0  को वृहत् वृत्त में प्रतिच्छेदित करता है यदि
(Prove that the sphere x^{2}+ y^{2}+z^{2}+2u x+2 v y+2wz+d=0  cuts the sphere x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u^{\prime} x+2 v^{\prime} y+2 w^{\prime} z+d^{\prime}=0  a great circle,if 2(u u^{\prime}+v v^{\prime}+w w^{\prime})=2 r^{\prime^{2}}+d+d^{\prime} 
जहाँ r’ दूसरे वृत्त की त्रिज्या है (Where r’ is the radius of the second sphere.)
Solution:दिए हुए गोले की समीकरण:

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 v y+2 w z+d=0 \cdots(1) \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u^{\prime} x+2 v^{\prime} y+2 w^{\prime} z+d^{\prime}=0 \cdots(2) 
दिए हुए गोलों द्वारा वृत्त पर प्रतिच्छेदन से बना समतल:
s-s^{\prime}=0 \\ \Rightarrow 2\left(u-u^{\prime}\right) x+2\left(v-v^{\prime}\right) y+2(w-w^{\prime}) z+d-d^{\prime}=0 
यदि प्रथम वृत्त द्वितीय वृत्त को वृहत् वृत्त पर काटता है तब द्वितीय गोले के केन्द्र के निर्देशांक (-u’,-v’,-w’) समतल को सन्तुष्ट करेंगे

2\left(u-u^{\prime}\right)\left(-u^{\prime}\right)+2\left(v-v^{\prime}\right)\left(-v^{\prime}\right)+2\left(w-w^{\prime}\right)\left(-w^{\prime}\right)+d-d^{\prime}=0 \\ \Rightarrow-2 u u^{\prime}+2 u^{\prime ^{2}}-2 v v^{\prime}+2 v^{\prime ^{2}}-2 w w^{\prime}+2 w^{\prime^{2}}+d-d^{\prime}=0 \\ \Rightarrow 2(u^{\prime 2}+v^{\prime 2}+w^{\prime 2})=2( u u^{\prime}+ v v^{\prime}+ w w^{\prime})-d-d^{\prime} \\ \Rightarrow 2\left(r^{\prime^{2}}+d^{\prime}\right)=2\left(u u^{\prime}+v v^{\prime}+w w^{\prime}\right)-d+d^{\prime} \\ \Rightarrow 2 r^{\prime ^{2}}+d^{\prime} +d=2\left(u u^{\prime}+v v^{\prime}+w \omega^{\prime }\right) 
Example:8.एक गोला जिसका केन्द्र घन अष्टांशक में है, मूलबिन्दु से गुजरता है और समतलों x=0,y=0,z=0 से इसका प्रतिच्छेदन क्रमशः त्रिज्या वाले वृत्त हैं।इसका समीकरण ज्ञात करो।
(A sphere whose centre lies in the positive octant, passes through the origin and cuts the plane x=0,y=0,z=0 in circles of radii respectively.Find its equation.)
Solution:मूलबिन्दु से गुजरने वाले गोले का समीकरण:

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2u x+2 v y+2 \omega z=0 \cdots(1) 
केन्द्र (-u,-v,-w) से x=0 लम्ब की लम्बाई
अतः v^{2}+w^{2}=2 a^{2} \cdots(2) 
इसी प्रकार (-u,-v,-w) से y=0,z=0 पर लम्ब की लम्बाई v^{2},w^{2}  तथा वृत्त की त्रिज्या

u^{2}+w^{2}=2 b^{2} \cdots(3) \\ u^{2}+v^{2}=2 c^{2} \cdots(4) 
समीकरण (2),(3),(4) को जोड़ने पर:

2 \left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)=2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \\ v^{2}+w^{2}+w^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2} \cdots(5) 
समीकरण (5) में से समीकरण (2),(3),(4) घटाने पर:

u=\pm \sqrt{\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right),} v=\pm \sqrt{\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)}, \omega=\pm \sqrt{\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)} 
गोले का केन्द्र धन अष्टांशक में है अतः

u=-\sqrt{\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)}, v=-\sqrt{c^{2}+a^{2}-b^{2}}, w=\sqrt{\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)} 
u,v,w के मान समीकरण (1) में रखने पर:

x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x \sqrt{\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)}-2 y \sqrt{\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)}-2 z \sqrt{\left(a^{2}+b^{2}-z^{2}\right)}=0 

3.वृत्त से गुजरने वाले गोले का समीकरण की समस्याएं (Equation of Sphere Through Given Circle Problems),एक दिए हुए वृत्त से गुजरने वाला गोला के उदाहरण (Equation of Sphere Through Given Circle Examples):

(1.)बिन्दु \alpha,\beta,\gamma और वृत्त x^{2}+y^{2}=a^{2}, z=0  से होकर गुजरने वाले गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(Find the equation of the sphere which passes through the point and the circle x^{2}+y^{2}=a^{2}, z=0 .)
(2.)एक समतल स्थिर बिन्दु (a,b,c) से गुजरता है।सिद्ध कीजिए कि मूलबिन्दु से इस समतल पर खींचे गए लम्ब पाद का बिन्दुपथ होगा
(A plane passes through a fixed point (a,b,c). Show that the locus of the feet of the perpendicular from the origin is x^{2}+y^{2}+z^{2}-a x-b y-c z=0  .)
उत्तर (Answer):\gamma \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-a^{2}\right)=z\left(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-a^{2}\right) 

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4.वृत्त से गुजरने वाले गोले का समीकरण (Equation of Sphere Through Circle),एक दिए हुए वृत्त से गुजरने वाला गोला (Equation of Sphere Through Given Circle)के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.एक गोला एक वृत्त से कैसे संबंधित है? (How is a sphere related to a circle?):

उत्तर:वृत्त और गोले की परिभाषा
एक वृत्त एक द्वि-आयामी आकृति है जबकि,एक गोला एक त्रि-आयामी आकृति है।एक वृत्त में एक तल के अनुदिश उसके केंद्र से समान दूरी पर सभी बिंदु होते हैं,जबकि एक गोले में सभी बिंदु केंद्र से किसी भी अक्ष पर समान दूरी पर होते हैं।
एक गोले का समीकरण एक वृत्त के समान होता है,लेकिन गोले में अतिरिक्त आयाम के लिए एक अतिरिक्त चर (extra variable) होता है।(x−h)^{2}+(y−k)^{2}+(z−l)^{2}=r^{2} इस समीकरण में,r=त्रिज्या।निर्देशांक (h,k,l) ​​हमें बताता है कि गोले का केंद्र कहां है।

प्रश्न:2.एक वृत्त से कितने गोले गुजरते हैं? (How many spheres pass through a circle?):

उत्तर:एक गोले का एक वृत्त एक वृत्त होता है जो एक गोले पर स्थित होता है।इस तरह के एक सर्कल को एक गोले और एक समतल के प्रतिच्छेदन के रूप में या दो गोले के प्रतिच्छेदन के रूप में बनाया जा सकता है।एक गोले पर एक वृत्त जिसका तल गोले के केंद्र से होकर गुजरता है,एक वृहत वृत्त (great circle) कहलाता है;अन्यथा यह एक छोटा वृत्त है।

प्रश्न:3.आप दिए गए एक समीकरण से वृत्त का समीकरण कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find the equation of a circle given an equation?):

उत्तर:हम जानते हैं कि एक वृत्त के लिए व्यापक समीकरण है ( x - h )^2 + ( y - k )^2 = r^2, जहां (h, k) केंद्र है और r त्रिज्या है।तो समीकरण के दाहिने पक्ष में अचर पद प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों में अचर पद का वर्ग जोड़ें।फिर x,y पदों के लिए पूर्ण वर्ग पूरा करें।

प्रश्न:4.वृत्त और गोले में मुख्य अंतर क्या है? (What is the main difference between circle and sphere?):

उत्तर:मूल गोले और वृत्त का अंतर यह है कि वृत्त 2-आयामी है और एक गोला 3-आयामी है।मूल अंतर से हम एक और अंतर प्राप्त कर सकते हैं जो एक वृत्त के लिए के केवल क्षेत्रफल की गणना कर सकते है,लेकिन एक गोले के लिए,हमें इसका आयतन भी ज्ञात कर सकते हैं परन्तु वृत्त का आयतन ज्ञात नहीं कर सकते हैं।

प्रश्न:5.गोले का समीकरण क्या है? (What is equation of sphere?):

उत्तर:एक गोला त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक ज्यामितीय वस्तु है जो एक गेंद की सतह जैसा दिखता है।गोले का व्यापक समीकरण x^2 + y^2 + z^2 = r^2 है और इस लेख में,हम एक गोले के समीकरण को व्युत्पन्न करने के बारे में जानेंगे।

प्रश्न:6.निम्नलिखित में से कौन गोले का व्यापक समीकरण है? (Which of the following is general equation of sphere?):

उत्तर:एक गोले का व्यापक समीकरण है:
(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}
जहां (a, b, c) गोले के केंद्र का प्रतिनिधित्व करता है,r त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करता है, और x, y, और z गोले की सतह पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक हैं।

प्रश्न:7.आप वृत्त का मानक रूप कैसे लिखते हैं? (How do you write the standard form of a circle?):

उत्तर:एक वृत्त के समीकरण का मानक रूप है:
(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}
जहां (h,k) केंद्र है और r त्रिज्या है।किसी समीकरण को मानक रूप में बदलने के लिए,आपको हमेशा x और y में अलग-अलग पूर्णवर्ग को पूरा करना होता हैं।

प्रश्न:8.वृत्त का मानक रूप क्या है? (What is standard form of a circle?):

उत्तर:एक वृत्त के समीकरण का मानक रूप (x−h)^{2}+(y−k)^{2}=r^{2} है।केंद्र है (h,k) और त्रिज्या r इकाइयों को मापता है।

प्रश्न:9.क्या पृथ्वी एक आदर्श गोला है? (Is Earth a perfect sphere?):

उत्तर:अंतरिक्ष से प्राप्त तस्वीरें यह भी दिखाती हैं कि पृथ्वी चंद्रमा की तरह गोल है।भले ही हमारा ग्रह (planet) एक गोला है, लेकिन यह एक पूर्ण गोला (perfect sphere) नहीं है।पृथ्वी के घूमने पर लगने वाले बल के कारण उत्तरी और दक्षिणी ध्रुव (North and South Poles) थोड़े चपटे होते हैं।

प्रश्न:10.गोले के केंद्र को क्या कहते हैं? (What is the center of a sphere called?):

उत्तर:गोले के किसी बिंदु और उसके केंद्र के बीच की दूरी को त्रिज्या कहते हैं।गोले के अंदर के भाग को गेंद कहते हैं।

प्रश्न:11.क्या सूर्य एक आदर्श गोला है? (Is the sun a perfect sphere?):

उत्तर:जैसे ही सामग्री अपने आप ढह (collapses) जाती है,सबसे प्राकृतिक,कुशल आकार बनाने के लिए एक गोला है।किसी वस्तु के द्रव्यमान के केंद्र की ओर सामग्री को खींचने की कोशिश करने का भी गुरुत्वाकर्षण का प्रभाव होता है।घूर्णन के प्रभाव के कारण,सूर्य एक पूर्ण गोला नहीं है।यह अपने भूमध्य रेखा (equator) पर थोड़ा बाहर निकलता (bulges out) है।

प्रश्न:12.एक गोले की कितनी भुजाएँ होती हैं? (How many sides has a sphere?):

उत्तर:दो पहलू
एक गोले के दो पहलू (sides) होते हैं,एक अंदर और एक बाहर, लेकिन इसे साबित करना उतना आसान नहीं है जितना आप सोच सकते हैं।

प्रश्न:13.3d में एक गोले की कितनी भुजाएँ होती हैं? (How many sides does a sphere have in 3d?):

उत्तर:नाम (Name) फलक (Faces) किनारें (Edges)
गोला (Sphere) 1 0

प्रश्न:14.क्या गोले का कोई फलक होता है? (Does a sphere have a face?):

उत्तर:एक फलक एक 3D आकार पर एक सपाट या घुमावदार सतह है।उदाहरण के लिए एक घन (cube) के छह फलक होते हैं,एक बेलन (cylinder) के तीन फलक होते हैं और एक गोले (sphere) में केवल एक फलक होता है।

प्रश्न:15.क्या किसी गोले के अनंत फलक होते हैं? (Does a sphere have infinite faces?):

उत्तर:क्या किसी गोले को अनंत भुजाओं वाली आकृति कहना सही है?एक गोला एक बहुफलक (polyhedron) नहीं है।एक पॉलीहेड्रॉन (polyhedron) में फलक की एक सीमित संख्या होती है,प्रत्येक फलक एक समतल से संबंधित बहुभुज होता है।एक गोले का कोई एक फलक होता है।

प्रश्न:16.एक गोले की कितनी समतल भुजाएँ होती हैं? (How many flat sides does a sphere have?):

उत्तर:शंकु (Cones),गोले (spheres) और बेलन (cylinders) में कोई किनारा (कोर) (edges) नहीं होता क्योंकि उनके पास कोई सपाट भुजा (flat sides) नहीं होती है।जिस स्थान पर दो या दो से अधिक किनारे मिलते हैं उसे शीर्ष (vertex) कहते हैं।एक शीर्ष एक कोने की तरह है।यदि आपके पास एक से अधिक शीर्ष (vertex) हैं तो उन्हें शीर्ष (vertices) कहा जाता है।

प्रश्न:17.एक गोले में कितने कोण होते हैं? (How many angles does a sphere have?):

उत्तर:तो संक्षेप में,प्रत्येक कोण में 3600 increments होती है।तो हमारी अंतिम गणना एक गोले के भीतर लगभग 233,280,000 संभावित भिन्न कोणों पर आती (count comes out) है।

प्रश्न:18.गोले की डिग्री क्या है? (What is the degree of sphere?):

उत्तर:एक गोले में अनिवार्य रूप से 360° के 360° होते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा वृत्त से गुजरने वाले गोले का समीकरण (Equation of Sphere Through Circle),एक दिए हुए वृत्त से गुजरने वाला गोला (Equation of Sphere Through Given Circle) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा वृत्त से गुजरने वाले गोले का समीकरण (Equation of Sphere Through Circle),एक दिए हुए वृत्त से गुजरने वाला गोला (Equation of Sphere Through Given Circle) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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