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Equation of tangent-plane of sphere

1.गोले के स्पर्श समतल का समीकरण का परिचय (Introduction to Equation of tangent-plane of sphere)-

गोले के स्पर्श समतल का समीकरण (Equation of tangent-plane of sphere) ज्ञात करने के लिए स्पर्श रेखा व स्पर्श समतल को समझना आवश्यक है। यहां स्पर्श समतल का समीकरण ( Equation of tangent plane) ज्ञात करने का तात्पर्य है कि गोले के स्पर्श समतल का समीकरण (Equation of tangent-plane of sphere) ज्ञात करना।

(1.)स्पर्श रेखा (Tangent line)-

एक रेखा जो गोले को किसी बिन्दु पर स्पर्श करती है,वह रेखा उस बिन्दु पर गोले की स्पर्श रेखा कहलाती है।

(2.)स्पर्श समतल (Tangent plane)-

गोले के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखाओं का बिन्दुपथ,उस बिन्दु पर गोले का स्पर्श समतल कहलाता है।
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2.गोले के स्पर्श समतल का समीकरण (Equation of tangent-plane of sphere)-

गोले { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+2ux+2vy+2wz+d=0के किसी बिन्दु { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 },{ z }_{ 1 }पर गोले के स्पर्श समतल का समीकरण (Equation of tangent-plane of sphere) ज्ञात करना।
(To find the equation of tangent plane at any point { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 },{ z }_{ 1 } of the sphere { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+2ux+2vy+2wz+d=0)
माना बिन्दु { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 },{ z }_{ 1 }से गुजरने वाली किसी रेखा का समीकरण है-

\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ l } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ m } =\frac { z-{ z }_{ 1 } }{ n } =rr[माना]….(1)
यह रेखा दिए हुए गोले को बिन्दु \left( { x }_{ 1 }+lr,{ y }_{ 1 }+mr,{ z }_{ 1 }+nr \right) पर काटती है। अतः यह बिन्दु गोले के समीकरण को सन्तुष्ट करेगा-

{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+2ux+2vy+2wz+d=0

\Rightarrow { \left( { x }_{ 1 }+lr \right) }^{ 2 }+{ \left( { y }_{ 1 }+mr \right) }^{ 2 }+{ \left( { z }_{ 1 }+nr \right) }^{ 2 }+2u\left( { x }_{ 1 }+lr \right) +2v\left( { y }_{ 1 }+mr \right) +2w\left( { z }_{ 1 }+nr \right) +d=0\\ \Rightarrow { x }_{ 1 }^{ 2 }+2{ x }_{ 1 }lr+{ l }^{ 2 }{ r }^{ 2 }+{ y }_{ 1 }^{ 2 }+2{ y }_{ 1 }mr+{ m }^{ 2 }{ r }^{ 2 }+{ z }_{ 1 }^{ 2 }+2{ z }_{ 1 }nr+{ n }^{ 2 }{ r }^{ 2 }+2u{ x }_{ 1 }+2ulr+2v{ y }_{ 1 }+2vmr+2w{ z }_{ 1 }+2wnr+d=0\\ \Rightarrow \left( { l }^{ 2 }{ +m }^{ 2 }{ +n }^{ 2 } \right) { x }^{ 2 }+2\left[ l\left( { x }_{ 1 }+u \right) +m\left( { y }_{ 1 }+v \right) +n\left( { z }_{ 1 }+w \right) \right] r=0....(2)
[{ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 },{ z }_{ 1 }गोले पर स्थित है अतः\left[ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+2ux+2vy+2wz+d=0 \right] ]
रेखा गोले को { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 },{ z }_{ 1 }स्पर्श करती है अतः इसका एक मूल शून्य है।फलत: दूसरा मूल भी शून्य होना चाहिए यह तभी सम्भव है जब-

l\left( { x }_{ 1 }+u \right) +m\left( { y }_{ 1 }+v \right) +n\left( { z }_{ 1 }+w \right) =0......(3)

यह रेखा (1) का दिए हुए गोले को स्पर्श करने का प्रतिबन्ध है।स्पर्श समतल,स्पर्श रेखाओं का बिन्दुपथ होता है। इसलिए समीकरण (1) व (2) से l,m,n का विलोपन करने पर-

\left( x-{ x }_{ 1 } \right) \left( u+{ x }_{ 1 } \right) +\left( y-{ y }_{ 1 } \right) \left( v+{ y }_{ 1 } \right) +\left( { z-z }_{ 1 } \right) \left( { w+z }_{ 1 } \right) =0\\ \Rightarrow x{ x }_{ 1 }+y{ y }_{ 1 }+{ zz }_{ 1 }+ux+vy+wz-\left( { x }_{ 1 }^{ 2 }+{ y }_{ 1 }^{ 2 }+{ z }_{ 1 }^{ 2 }+u{ x }_{ 1 }+v{ y }_{ 1 }+w{ z }_{ 1 } \right) =0\\ \Rightarrow x{ x }_{ 1 }+y{ y }_{ 1 }+{ zz }_{ 1 }+ux+vy+wz=\left( { x }_{ 1 }^{ 2 }+{ y }_{ 1 }^{ 2 }+{ z }_{ 1 }^{ 2 }+u{ x }_{ 1 }+v{ y }_{ 1 }+w{ z }_{ 1 } \right) \\ \left[ \because { { x }_{ 1 } }^{ 2 }+{ { y }_{ 1 } }^{ 2 }+{ { z }_{ 1 } }^{ 2 }+2u{ x }_{ 1 }+2v{ y }_{ 1 }+2w{ z }_{ 1 }+d=0 \right] \\ \Rightarrow x{ x }_{ 1 }+y{ y }_{ 1 }+{ zz }_{ 1 }+u\left( x{ +x }_{ 1 } \right) +v\left( y+{ y }_{ 1 } \right) +w\left( z-{ z }_{ 1 } \right) +d=0.....(4)
जो कि गोले के स्पर्श समतल का समीकरण (Equation of tangent-plane of sphere) है।

3.गोले के किसी बिन्दु पर गोले के स्पर्श समतल का समीकरण ( Equation of tangent-plane of sphere) निम्न उदाहरणों से समझा जा सकता है-

Question-1.गोले { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }-4x+2y-6z+5=0के दो स्पर्श समतलों के समीकरण ज्ञात करो जो 2x+y-z=4 समतल के समान्तर है।
(Find the equation of two tangent planes to the sphere{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }-4x+2y-6z+5=0 which are parallel to the plane,2x+y-z=4)
Solution- गोले का समीकरण-

{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }-4x+2y-6z+5=0......(1)
स्पर्श समतल,समतल 2x+y-z=4 के समान्तर है
अतः स्पर्श समतल की समीकरण-

2x+y-z+\lambda =0......(2)
गोले के केन्द्र के निर्देशांक=(2,-1,3)
गोले की त्रिज्या=\sqrt { { u }^{ 2 }+{ v }^{ 2 }+{ w }^{ 2 }-c } \\ =\sqrt { { \left( -2 \right) }^{ 2 }+{ \left( 1 \right) }^{ 2 }+{ \left( -3 \right) }^{ 2 }-5 } \\ = \sqrt { 4+1+9-5 } \\ = \sqrt { 14-5 } \\ =\sqrt { 9 } \\ =3

गोले के केन्द्र (2,-1,3) से स्पर्श समतल पर लम्ब की लम्बाई=गोले की त्रिज्या

\frac { 2\left( 2 \right) -1-3+\lambda }{ \sqrt { { \left( 2 \right) }^{ 2 }+{ \left( 1 \right) }^{ 2 }+{ \left( -1 \right) }^{ 2 } } } =\pm \sqrt { 9 } \\ \frac { \lambda }{ \sqrt { 6 } } =\pm 3\\ \lambda =\pm 3\sqrt { 6 }
अतः गोले के स्पर्श समतल का समीकरण (Equation of tangent-plane of sphere) ज्ञात करने हेतु उपर्युक्त मान समीकरण (2) में रखने पर-

2x+y-z\pm 3\sqrt { 6 } =0
Question-2.गोले{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }=16 के उन दो स्पर्श समतलों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x+y=5,x-2z=7 से गुजरते हैं।
(Find the equations of two tangent planes to the sphere { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }=16which pass through the line x+y=5,x-2z=7 )
Solution-रेखाओं x+y=5,x-2z=7 से गुजरने वाले गोले के स्पर्श समतल का समीकरण ( Equation of tangent-plane of sphere)-

x+y-5+\lambda (x-2z-7)=0\\\Rightarrow \left( 1+\lambda \right) x+y-2\lambda z-5-7\lambda =0.......(1)

गोले का समीकरण-

{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }=16
गोले के केन्द्र के निर्देशांक=(0,0,0)
गोले के केन्द्र (0,0,0) से स्पर्श समतल पर लम्ब की लम्बाई=गोले की त्रिज्या

\frac { -5-7\lambda }{ \sqrt { { \left( 1+\lambda \right) }^{ 2 }+1+4{ \lambda }^{ 2 } } } =4\\ \Rightarrow 25+49{ \lambda }^{ 2 }+70\lambda =16\left[ \left( 1+{ \lambda }^{ 2 }+2\lambda \right) +1+4{ \lambda }^{ 2 } \right] \\\Rightarrow 25+49{ \lambda }^{ 2 }+70\lambda =32+80{ \lambda }^{ 2 }+32\lambda \\ \Rightarrow 31{ \lambda }^{ 2 }-38\lambda +7=0\\ \lambda =\frac { 38\pm \sqrt { { \left( -38 \right) }^{ 2 }-4\times 31\times 7 } }{ 2\times 31 } \\\Rightarrow \lambda =\frac { 38\pm \sqrt { 1444-868 } }{ 62 } \\\Rightarrow \lambda =\frac { 38\pm \sqrt { 576 } }{ 62 } \\\Rightarrow \lambda =\frac { 38\pm 24 }{ 62 } \\\Rightarrow \lambda =\frac { 62 }{ 62 } ,\frac { 14 }{ 62 } \\ \Rightarrow \lambda =1,\frac { 7 }{ 31 }
का मान समीकरण (1) में रखने पर-

2x+y-2z-12=0\\ \left( 1+\frac { 7 }{ 31 } \right) x+y-\frac { 14 }{ 31 } z-5-\frac { 49 }{ 31 } =0\\ 38x+31y-14z-204=0
गोले के स्पर्श समतल का समीकरण (Equation of tangent-plane of sphere) -

2x+y-2z-12=0,38x+31y-14z-204=0

Question-3 गोले { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }=9के दो स्पर्श समतलों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्न रेखा से गुजरते हैं:
(Find the equation of the tangent planes to the sphere { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }=9which pass through the line x+y=6,x-2z=3

or\frac { x-5 }{ 2 } =\frac { y-1 }{ -2 } =\frac { z-1 }{ 1 }
Solution-रेखाओं x+y=6,x-2z=3 से गुजरने वाले गोले के स्पर्श समतल का समीकरण ( Equation of tangent-plane of sphere)-
x+y=6+\lambda \left( x-2z-3 \right) =0\\\Rightarrow \left( 1+\lambda \right) x+y-2\lambda z-6-3\lambda =0......(1)
गोले का समीकरण-{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }=9
गोले के केन्द्र के निर्देशांक=(0,0,0)
गोले के केन्द्र (0,0,0) से स्पर्श समतल पर लम्ब की लम्बाई=गोले की त्रिज्या

\frac { -6-3\lambda }{ \sqrt { { \left( 1+\lambda \right) }^{ 2 }+1+4{ \lambda }^{ 2 } } } =3\\ \Rightarrow 36+3{ \lambda }^{ 2 }+36\lambda =9\left[ 1+2\lambda +{ \lambda }^{ 2 }+1+4{ \lambda }^{ 2 } \right] \\ \Rightarrow 36+3{ \lambda }^{ 2 }+36\lambda =18+18\lambda +45{ \lambda }^{ 2 }\\ { 36\lambda }^{ 2 }-18\lambda -18=0\\ \Rightarrow 18\left( 2{ \lambda }^{ 2 }-\lambda -1 \right) =0\\ \Rightarrow 2{ \lambda }^{ 2 }-\lambda -1=0\\ 2{ \lambda }^{ 2 }-2\lambda +\lambda -1=0\\ \Rightarrow 2\lambda \left( \lambda -1 \right) +1\left( \lambda -1 \right) =0\\\Rightarrow \left( \lambda -1 \right) \left( 2\lambda +1 \right) =0\\\Rightarrow \lambda =1,-\frac { 1 }{ 2 }
का मान समीकरण (1) में रखने पर-

2x+y-2z-9=0\\ \left( 1-\frac { 1 }{ 2 } \right) x+y-2\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) z-6-3\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) =0\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } x+y+z-6+\frac { 3 }{ 2 } =0\\ \Rightarrow x+2y+2z-9=0
गोले के स्पर्श समतल का समीकरण (Equation of tangent-plane of sphere)-

 2x+y-2z-9=0,2x+y-2z-9=0
इस प्रकार उपर्युक्त उदाहरणों की तरह गोले के स्पर्श समतल का समीकरण ( Equation of tangent-plane of sphere) ज्ञात किया जा सकता है।

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