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Condition of Orthogonality of Two Spheres

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1 1.दो गोलों की लाम्बिकता का प्रतिबन्ध (Condition of Orthogonality of Two Spheres)आर्थोगोनल कन्डीशन ऑफ टु स्पेयर्स (Orthogonal Condition of Two Spheres):

1.दो गोलों की लाम्बिकता का प्रतिबन्ध (Condition of Orthogonality of Two Spheres)आर्थोगोनल कन्डीशन ऑफ टु स्पेयर्स (Orthogonal Condition of Two Spheres):

दो गोलों की लाम्बिकता का प्रतिबन्ध (Condition of Orthogonality of Two Spheres) एक ऐसी स्थिति है जिसमें दो गोलों का प्रतिच्छेदन कोण एक समकोण (Right Angle) हो।इस प्रकार ऐसे गोलों को लाम्बिक गोले (Orthogonal Spheres) कहते हैं।अर्थात्

2 u_{1} u_{2}+2 v_{1} v_{2}+2 w_{1} w_{2}=d_{1}+d_{2}
(1.)दो गोलों का मूल समतल (Radical Plane of Two Spheres):
परिभाषा (Definition):एक ऐसे बिन्दु का बिन्दुपथ (locus) जिसकी क्षमता (Power) दोनों गोलों के सापेक्ष बराबर हो,उसका मूल समतल (radical plane) कहलाता है।
मूल समतल का समीकरण (Equation of the Radical Plane):
मान लो दिए हुए गोलों के समीकरण हैं:

S_{1} \equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u_{1} x+2 v_{1} y+2 w_{1} z+d_{1}=0 \ldots(1)
तथा S_{2} \equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u_{2} x+2 v_{2} y+2 w_{2} z+d_{2}=0 \ldots (2)
मान लो कोई बिन्दु P(f,g,h) इस प्रकार है कि
बिन्दु P की गोले (1) के सापेक्ष क्षमता=बिन्दु P की गोले (2) के सापेक्ष क्षमता
अर्थात् f^{2}+g^{2}+h^{2}+2 u_{1} f+2 v_{1} g+2 w_{1} h+d_{1}=f^{2}+g^{2}+h^{2}+2 u_{2} f +2 v_{2} g+2 w_{2} h+d_{2} \\ \Rightarrow 2\left(u_{1}-u_{2}\right) f+2\left(v_{1}-v_{2}\right) g+2\left(w_{1}-w_{2}\right) h+\left(d_{1}-d_{2}\right)=0 \cdots(3)
अतः बिन्दु P का बिन्दुपथ (locus) होगा:

2\left(u_{1}-u_{2}\right) x+2\left(v_{1}-v_{2}\right) y+2 \left(w_{1}-u_{2}\right) z+\left(d_{1}-d_{2}\right)=0 \cdots(4)
जो कि दिए हुए गोलों के मूल समतल का अभीष्ट समीकरण है।
उपप्रमेय (Corollary):दो गोलों का मूल समतल उनके केन्द्रों को मिलाने वाली रेखा के लम्बवत् होता है।
टिप्पणी:यदि दो गोलों S_{1}=0 तथा S_{2}=0 के समीकरण इस प्रकार लिखें जाएं कि इनमें x^{2},y^{2},z^{2} के गुणांक (Coefficients) इकाई (1) हों तब इनके मूल समतल का समीकरण इनको आपस में घटाकर निकाला जा सकता है अर्थात् इनके मूल समतल का समीकरण होगा: S_{1}-S_{2}=0
(2.)तीन गोलों की मूलाक्ष (Radical line of three Spheres):
परिभाषा (Definition):तीन गोलों में से दो-दो को एक साथ लेने पर उनसे प्राप्त मूल समतल,सदैव एक रेखा में प्रतिच्छेदित करते हैं,इस प्रकार रेखा को ही तीन गोलों की मूलाक्ष (radical line) कहते हैं।
मान लो तीन गोलों के समीकरण हैं:

S_{1}=0, S_{2}=0, S_{3}=0
इनमें से दो-दो को एक साथ लेने पर इनसे प्राप्त मूल समतल होंगे:

S_{1}-S_{2}=0 \cdots(1) \\ S_{2}-S_{3}=0 \cdots(2)

तथा S_{3}-S_{1}=0 \ldots(3)
स्पष्टतः ये तीनों समतल रेखा S_{1}=S_{2}=S_{3} में मिलते हैं जो कि तीनों गोलों की मूलाक्ष है।
(3.)मूलाक्ष केन्द्र (Radical Centre):
परिभाषा (Definition):चार गोलों में से तीन-तीन गोलों को एक साथ लेने पर इनसे प्राप्त चार मूलाक्ष सदैव एक स्थिर बिन्दु पर मिलते हैं,इस बिन्दु को ही चार गोलों का मूलाक्ष केन्द्र (radical centre) कहते हैं।
मान लो चार गोलों के समीकरण हैं:

S_{1}=0, S_{2}=0, S_{3}=0, S_{4}=0
इनमें से तीन-तीन को एक साथ लेने पर इनसे प्राप्त मूलाक्ष होंगी:

S_{1}=S_{2}=S_{3}=0 \cdots(1) \\S_{2}=S_{3}=S_{4} \cdots(2) \\ S_{3}=S_{4}=S_{1} \cdots(3) \\S_{4}=S_{1}=S_{2} \cdots(4)  
स्पष्टतः ये चारों मूलाक्ष एक बिन्दु

S_{1}=S_{2}=S_{3}=S_{4}
में मिलती हैं,जो कि चार गोलों का मूलाक्ष केन्द्र है।
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2.दो गोलों की लाम्बिकता का प्रतिबन्ध के साधित उदाहरण (Condition of Orthogonality of Two Spheres Solved Examples):

Example:1.सिद्ध करो कि वृत्त x^{2}+y^{2}-2a x+r^{2}=0, z=0 से गुजरने वाला प्रत्येक गोला वृत्त x^{2}+z^{2}=r^{2},y=0 से गुजरने वाले प्रत्येक गोले को लाम्बिक रूप से काटता है।
(Show that every sphere through the circle x^{2}+y^{2}-2a x+r^{2}=0,z=0 cuts orthogonally every sphere through the circle x^{2}+z^{2}=r^{2}, y=0.)
Solution:वृत्तों से गुजरने वाले गोलों का समीकरण:

x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 a x+r^{2}+2 \lambda z=0 \cdots(1)\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}+2 \mu y=0 \cdots(2)
यदि (1) तथा (2) लाम्बिक रूप से काटते हैं तो

2 u_{1} u_{2}+2 v_{1} v_{2}+2 w_{1} w_{2}=d_{1}+d_{2} \\ 2(-a)(0)+2(0) \mu+2 \lambda(0)=r^{2}-r^{2} \\ \Rightarrow 0=0
जो कि \lambda तथा \mu के प्रत्येक मान के लिए सत्य है।
Example:2.सिद्ध करो कि एक गोला जो दो गोलों S_{1}=0 और S_{2}=0 को लाम्बिक रूप से  काटता है तथा l S_{1}+m S_{2}=0 को लाम्बिक रूप से काटेगा।
(Prove that the sphere which cuts two spheres S_{2}=0 and S_{2}=0 at right angles,will also cut l S_{1}+m S_{2}=0 right angles.)
Solution:माना गोलों के समीकरण निम्न हैं:

S \equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}+2u x+2 v y+2 w z+d=0 \\ S_{1} \equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u_{1} x+2 v_{1} y+2 w_{1} z+d_{1}=0 \\ S_{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u_{2} x+2 v_{2} y+2 w_{2} z+d_{2}=0
यदि S=0 गोलों S_{1}=0 तथा S_{2}=0 को लाम्बिक रूप से काटता है तो
2u_{1} u_{2}+2 v_{1} v_{2}+2 w_{1} w_{2}=d_{1}+d_{2} सूत्र से:

2 u u_{1}+2 v v_{1}+2 w w_{1}=d+d_{1} \ldots(1) \\ 2 u u_{2}+2 v v_{2}+2 w w_{2}=d+d_{2} \cdots(2)
l S_{1}+m S_{2}=0 गोले की समीकरण में S_{1} तथा  S_{2} का मान रखने पर:

l\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u_{1} x+2 v_{1} y+2 w_{1} z+d_{1}\right)+m\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u_{2} x+2 v_{2} y+2 w_{2} z+d_{2}\right)=0 \\ \Rightarrow(l+m) x^{2}+(l+m) y^{2}+(l+m) z^{2}+2\left(l u_{1}+m u_{2}\right) x+2\left(l v_{1}+m v_{2}\right) y+2\left(l w_{1}+m w_{2}\right) z +l d_{1}+m d_{2}=0 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2} +z^{2} +2\left(\frac{l u_{1} +m u_{2}}{l+m}\right) x+2\left(\frac{l v_{1}+m v_{2}}{l+m}\right) y+2\left(\frac{l w_{1}+m w_{2}}{l+m}\right) z+\frac{l d_{1}+m d_{2}}{l+m}=0
यदि गोला S=0,l S_{1}+m S_{2}=0 गोले को लाम्बिक रूप से काटता है तो:

2 u\left(\frac{l u_{1}+m u_{2}}{l+m}\right)+2 v\left(\frac{l v_{1}+m v_{2}}{l+m}\right)+2 w\left(\frac{l w_{1}+m w_{2}}{l+m}\right)=d+\frac{l d_{1}+m d_{2}}{l+m} \\ \Rightarrow \frac{\left(2 u u_{1}+2 v v_{1}+2 w w_{1}\right) l}{l+m}+\frac{\left(2 u u_{2}+2 v v_{2}+2 w w_{2}\right) m}{l+m}=\frac{\left(d+d_{1}\right)l+(d+d_{2})m}{l+m}

अतः समीकरण (1) व (2) से:

\frac{\left(d+d_{1}\right) l}{l+m}+\frac{\left(d+d_{2} \right)m}{l+m}=\frac{\left(d+d_{1}\right) l+ \left(d+d_{2}\right) m}{l+m} \\ \Rightarrow \frac{\left(d+d_{1}\right) l+\left(d+d_{2}\right) m}{l+m}=\frac{\left(d+d_{1}\right) l+\left(d+d_{2}\right) m}{l+m}

Hence proved

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा दो गोलों की लाम्बिकता का प्रतिबन्ध (Condition of Orthogonality of Two Spheres) को समझ सकते हैं।
Example:3.दो बिन्दु P और Q एक गोले S के सापेक्ष संयुग्मी बिन्दु है।सिद्ध कीजिए कि वह गोला जो PQ को व्यास मानकर खींचा गया है S को लम्बवत् काटता है।
(Two points P and Q are conjugate with respect to a sphere S.Prove that the sphere on PQ as diameter cuts orthogonally.)
Solution:माना गोले S पर P और Q बिन्दुओं के निर्देशांक क्रमशः \left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) तथा \left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) है तथा गोले की समीकरण निम्न है:

x^{2}+y^{2}+z^{2}=k^{2} \ldots(1)
गोले के सापेक्ष बिन्दु P\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) का ध्रुवीय समतल है:

x x_{1}+y y_{1}+z z_{1}=r^{2}
यदि Q\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) बिन्दु इस पर पड़ता है तो:

x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}=r^{2}\ldots (2)
अतः PQ को व्यास मानने पर गोले का समीकरण:

\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)+\left(y-y_{1}\right)\left(y-y_{2}\right)+\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right)=0 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right) x-\left(y_{1}+y_{2}\right) y-\left(z_{1}+z_{2}\right) z+x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+ z_{1} z_{2}=0 \cdots(3)
यदि यह गोला (3) गोले (1) को लाम्बिक रूप से काटता है तो:

2 u_{1} u_{2}+2 v_{1} v_{2}+2 w_{1} w_{2}=d_{1}+d_{2} \\ \Rightarrow 2(0)\left(-\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)+ 2(0)\left(-\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)+2(0)\left(-\frac{z_{1}+z_{2}}{2}\right)=-r^{2}+x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2} \\ \Rightarrow x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}=r^{2}
जो कि समीकरण (2) से सत्य है।अतः गोला (1) तथा (2) लाम्बिक रूप से काटते हैं।

Example:4.निम्न गोलों का मूल समतल ज्ञात कीजिए:
(Find the radical plane of the following spheres):

2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}+2 x+2 y-2 z+1=0

तथा(and) 3 x^{2}+3 y^{2}+3 z^{2}+x-y+1=0
Solution:गोलों का समीकरण:

2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}+2 x+2 y-2 z+1=0 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+x+y-z+\frac{1}{2}=0 \cdots(1) \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{x}{3}-\frac{y}{3}+\frac{1}{3}=0 \ldots (2)
अतः गोलों (1) व (2) के मूल समतल का समीकरण है:

2\left(u_{1}-u_{2}\right) x+2\left(v_{1}-v_{2}\right) y+2\left(w_{1}-w_{2}\right) z+\left(d_{1}-d_{2}\right)=0 \\ \Rightarrow 2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right) x+2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right) y+2\left(-\frac{1}{2}-0\right) z+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=0 \\ \Rightarrow 2\left(\frac{2}{6}\right) x+2\left(\frac{4}{6}\right) y-z+\frac{1}{6}=0 \\ \Rightarrow 4 x+8 y-6 z+1=0
Example:5.प्रदर्शित कीजिये कि उस बिन्दु का बिन्दुपथ जिससे गोलों (x-2)^{2}+y^{2}+z^{2}=1, x^{2}+(y-3)^{2}+z^{2}=6,(x+2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-2)^{2}=6 पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाई बराबर हो,रेखा \frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z}{7} है।
(Show that locus of the point from which tangents to the spheres (x-2)^{2}+y^{2}+z^{2}=1, x^{2}+(y-3)^{2}+z^{2}=6,(x+2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-2)^{2}=6 are all equal is the line \frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z}{7}.)
Solution:गोलों के समीकरण:

(x-2)^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \\ \Rightarrow x^{2}-4 x+4+y^{2}+z^{2}=1 \\ \Rightarrow S_{1} \equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x+3=0 \cdots(1) \\ x^{2}+(y-3)^{2}+z^{2}=6 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}-6 y+9+z^{2}=6 \\ \Rightarrow S_{2} \equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 y+3=0 \cdots(2) \\ (x+2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-2)^{2}=6 \\ \Rightarrow x^{2}+4 x+4+y^{2}+2 y+1+z^{2}-4 z+4=6 \\ \Rightarrow S_{3}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x+2 y-4 z+3=0 \cdots(3)
गोले (1) व (2) का मूल समतल:

S_{1}-S_{2}=0 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x+3-x^{2}-y^{2}-z^{2}+6 y-3=0 \\ \Rightarrow 2 x-3 y=0 \ldots(4)
गोले (2) व (3) का मूल समतल:

S_{2}-S_{3}=0 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 y+3-x^{2}-y^{2}-z^{2}-4 x-2 y+4 z-3=0 \\ \Rightarrow 4x+8 y-4 z=0 \Rightarrow x+2 y-z=0 \ldots(5)
गोले (1) व (3) का मूल समतल:

S_{1}-S_{3}=0 \\ \Rightarrow x^{2}-y^{2}+z^{2}-4 x+3-x^{2}+y^{2}-z^{2}-4 x-2 y+4 z-3=0 \\ \Rightarrow-8 x-2 y+4 z=0 \\ \Rightarrow 4 x+y-2 z=0 \cdots(6)
मूल समतल (4),(5),(6) में अचर पद नहीं है अतः मूल बिन्दु से गुजरते हैं:
माना स्पर्श रेखा के दिक् अनुपात l,m,n हैं:
अतः समीकरण (4) व (5) से:

2 l-3 m+0 \cdot n=0 \\ l+2 m-n=0 \\ \frac{l}{3-0}=\frac{m}{0+2}=\frac{n}{4+3} \\ \Rightarrow \frac{l}{3}=\frac{m}{2}=\frac{n}{7}
अतः बिन्दु का बिन्दुपथ:

\frac{x-0}{3}=\frac{y-0}{2}=\frac{z-0}{7} \\ \Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z}{7}

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा दो गोलों की लाम्बिकता का प्रतिबन्ध (Condition of Orthogonality of Two Spheres) को समझ सकते हैं।
Example:6.निम्न गोलों का मूलाक्ष रेखा के समीकरण ज्ञात कीजिए:
(Find the equations of radical line of the following spheres):

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x+2 y+2 z+2=0 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x+4 z+4=0 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+6 y-4 z-z=0
Solution:गोलों के समीकरण:

S_{1} \equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x+2 y+2 z+2=0 \cdots(1)\\ S_{2} \equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x+4 z+4=0 \cdots(2) \\ S_{3} \equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}+x+6 y-4 z-2=0 \cdots(3)
गोले (1) व (2) का मूल समतल:

S_{1}-S_{2}=0 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x+2 y+2 z+2-x^{2}-y^{2}-z^{2}-4 x-4 z-4=0 \\ \Rightarrow -2 x+2 y-2 z-2=0 \\ \Rightarrow x-y+z+1=0 \ldots(4)
गोले (2) व (3) का मूल समतल:

S_{2}-S_{3}=0 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x+4 z+4-x^{2}-y^{2}-z^{2}-x-6 y+4 z+2=0 \\ \Rightarrow 3 x+8 z-6 y+6=0 \\ \Rightarrow 3 x-6 y+8 z+6=0 \cdots(5)
गोले (1) व (3) का मूल समतल:

S_{1}-S_{3}=0 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x+2 y+2 z+2-x^{2}-y^{2}-z^{2}-x-6 y+4 z+2=0 \\ \Rightarrow x-4 y+6 z+4=0 \cdots(6)
समीकरण (4) व (5) में z=0 रखने पर:
x-y+1=0
3x-6y+6=0
हल करने पर
x=0,y=1 तथा z=0
अतः यदि मूलाक्ष के दिक् अनुपात l,m,n हैं तो समीकरण (4) व (5) से:
l-m+n=0
3l-6m+8n=0
हल करने पर:

\frac{l}{-8+6}=\frac{m}{3-8}=\frac{n}{-6+3} \\ \Rightarrow \frac{l}{-2}=\frac{m}{-5}=\frac{n}{-3} \\ \Rightarrow \frac{l}{2}=\frac{m}{5}=\frac{n}{3}
अतः मूलाक्ष का समीकरण:

\frac{x-0}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z-0}{3} \\ \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z}{3}

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा दो गोलों की लाम्बिकता का प्रतिबन्ध (Condition of Orthogonality of Two Spheres) को समझ सकते हैं।
Example:7.समाक्ष निकाय x^{2}+y^{2}+z^{2}-5+\lambda(2 x+y+3 z-3)=0 के उन दो गोलों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतल 3x+4y=15 को स्पर्श करते हैं।
(Find the equations of the two spheres of the co-axial system x^{2}+y^{2}+z^{2}-5+\lambda(2 x+y+3 z-3)=0 which touch the plane 3x+4y=15.)
Solution:समाक्ष निकाय:

x^{2}+y^{2}+z^{2}-5+\lambda(2 x+y+3 z-3)=0 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 \lambda x+\lambda y+3 \lambda z-3 \lambda-5=0
केन्द्र के निर्देशांक: \left(-\lambda,-\frac{\lambda}{2},-\frac{3}{2} \lambda\right)
त्रिज्या: \sqrt{\lambda^{2}+\frac{\lambda^{2}}{4}+\frac{9 \lambda^{2}}{4}+3 \lambda+5}
केन्द्र से स्पर्श समतल 3x+4y-15=0 पर लम्ब की लम्बाई=त्रिज्या

\frac{-3 \lambda-2 \lambda-15}{\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}}=\sqrt{\lambda^{2}+\frac{\lambda^{2}}{4}+\frac{9 \lambda^{2}}{4}+3 \lambda+5} \\ \Rightarrow \frac{-3 \lambda-2 \lambda-15}{\sqrt{9+16}}=\sqrt{\frac{4 \lambda^{2}+ \lambda^{2}+9 \lambda^{2}+12 \lambda+120}{4}} \\ \Rightarrow \frac{-3 \lambda-2 \lambda-15}{\sqrt{25}}=\sqrt{\frac{14 \lambda^{2}+12 \lambda+20}{4}}

वर्ग करने पर:

\frac{(3 \lambda+2 \lambda+15)^{2}}{25}=\frac{14 \lambda^{2}+12 \lambda+20}{4} \\ \Rightarrow \frac{9 \lambda^{2}+4 \lambda^{2}+225+12 \lambda^{2}+60 \lambda+90 \lambda}{25}=\frac{14 \lambda^{2}+12 \lambda+120}{4} \\ \Rightarrow \frac{25 \lambda^{2}+150 \lambda+225}{25}=\frac{14 \lambda^{2}+12 \lambda+20}{4} \\  \Rightarrow 100 \lambda^{2}+600 x+900=350 \lambda^{2}+300 \lambda+500 \\ \Rightarrow 5 \lambda^{2}-6 \lambda-8=0 \\ \Rightarrow 5 \lambda^{2}-16 \lambda+4 \lambda-8=0 \\ \Rightarrow 5 \lambda(\lambda-2)+4(\lambda-2) \\ \Rightarrow(5 \lambda+4)(\lambda-2)=0 \\ \Rightarrow 5 \lambda+4=0, \lambda-2=0 \\ \Rightarrow \lambda=-\frac{4}{5}, 2
अतः दो गोलों के समीकरण के लिए \lambdaका मान समाक्ष निकाय में रखने पर:

x^{2}+y^{2}+z^{2}-5+2(2 x+y+3 z-3)=0 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x+2 y+6 z-11=0
तथा x^{2}+y^{2}+z^{2}-5-4(2 x+y+3 z-3)=0 \\ 5\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-8 x-4 y-12 z-13=0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा दो गोलों की लाम्बिकता का प्रतिबन्ध (Condition of Orthogonality of Two Spheres) को समझ सकते हैं।

3.दो गोलों की लाम्बिकता का प्रतिबन्ध के सवाल (Condition of Orthogonality of Two Spheres Questions):

(1.)उस गोले का समीकरण ज्ञात करो जो समतल 3x+2y-z+2=0 को बिन्दु (1,-2,1) पर स्पर्श करता है तथा गोले x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x+6 y+4=0 को लाम्बिक रूप से काटता है।
(Find the equation of the sphere which touches the plane 3x+2y-z+2=0 at the point (1,-2,1) and cuts the sphere x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x+6 y+4=0 orthogonally.)
(2.)निम्न गोलों से परिभाषित समाक्ष निकाय के सीमान्त बिन्दु ज्ञात कीजिए:
(Find the limiting points of the co-axial system defined by the following spheres):

x^{2}+y^{2}+z^{2}+3 x-3y+6=0 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 x-6z+6=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर दो गोलों की लाम्बिकता का प्रतिबन्ध (Condition of Orthogonality of Two Spheres) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Equation of Sphere Through Circle

4.दो गोलों की लाम्बिकता का प्रतिबन्ध (Condition of Orthogonality of Two Spheres) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.दो क्षेत्रों की ऑर्थोगोनलिटी की स्थिति क्या है? (What is Condition of Orthogonality of two Spheres?):

उत्तर:दो गोलों को ऑर्थोगोनल (या ऑर्थोगोनली में कटौती करने के लिए) कहा जाता है यदि प्रतिच्छेदन के एक बिंदु (Point of Intersection) पर उनके स्पर्श समतल (Tangent Plane) एक दूसरे के लिए समकोण कोण पर हैं।

प्रश्न:2.ऑर्थोगोनलिटी की क्या स्थिति है? (What is the condition of orthogonality?):

उत्तर:ज्यामिति में दो यूक्लिडियन वैक्टर ऑर्थोगोनल होते हैं अगर वे लंबवत होते हैं यानी ये राईट एंगल (समकोण) बनाते हैं।एक आंतरिक गुणन अंतरिक्ष में दो वैक्टर, x और y,V, ऑर्थोगोनल हैं यदि उनका आंतरिक गुणन शून्य है।

प्रश्न:3.क्षेत्र की ऑर्थोगोनलिटी की अवधारणा क्या है? (What is the concept of orthogonality of sphere?):

उत्तर:यदि दो गोलों के प्रतिच्छेदन का कोण समकोण है तो गोलों को ऑर्थोगोनल कहा जाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा दो गोलों की लाम्बिकता का प्रतिबन्ध (Condition of Orthogonality of Two Spheres) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा दो गोलों की लाम्बिकता का प्रतिबन्ध (Condition of Orthogonality of Two Spheres) को समझ सकते हैं।

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Condition of Orthogonality of Two Spheres

दो गोलों की लाम्बिकता का प्रतिबन्ध
(Condition of Orthogonality of Two Spheres)

Condition of Orthogonality of Two Spheres

दो गोलों की लाम्बिकता का प्रतिबन्ध (Condition of Orthogonality of Two Spheres) एक ऐसी स्थिति है
जिसमें दो गोलों का प्रतिच्छेदन कोण एक समकोण (Right Angle) हो।इस प्रकार ऐसे गोलों को लाम्बिक गोले
(Orthogonal Spheres) कहते हैं।अर्थात्

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