Inverse Circular Function

1.प्रतिलोम वृत्तीय फलन का परिचय (Introduction to Inverse Circular Function):

Inverse Circular Function

• प्रतिलोम वृत्तीय फलन (Inverse Circular Function) का विवरण निम्नलिखित है इसके द्वारा आप सारणी के द्वारा मुख्य मान तथा अन्य जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
• यदि \sin{\theta}=x हो तो हम x को \theta का ज्या (sine) कहते हैं और \theta संख्या xका ज्या प्रतिलोम (sine inverse) कहलाता है.इस कथन को गणितीय संकेतन में निम्न प्रकार से लिखा जाता है:
  {\theta}=sin^{-1}x \text{ या } {\theta}=\arcsin{x}
  \sin^{-1}x को हम ज्या व्युत्क्रम (sine inverse) पढते हैं.
  
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2.प्रतिलोम वृत्तीय फलन(Inverse circular Function):

• हम जानते हैं कि \sin{\theta},\cos{\theta},\tan{\theta} इत्यादि त्रिकोणमितीय वृत्तीय फलन (Inverse Circular Function) कहलाते है.,जिनमे से प्रत्येक,\theta के प्रत्येक मान के लिए एक निश्चित संख्या के बराबर होता है.यदि \sin{\theta}=x तो {\theta}=\sin^{-1}x होगा.
• कोण \theta को x के रूप में व्यक्त करनेवाला व्यंजक \sin^{-1}x प्रतिलोम वृत्तीय फलन(Inverse Circular Function) है.इसी प्रकार कोण \theta  को,एक संख्या x के रूप में व्यक्त करने वाले अन्य प्रतिलोम वृत्तीय फलन है.
  Cos^{-1}x,\tan^{-1}x,\cos^{-1}x तथा \cot^{-1}x
  टिप्पणी:
• 1.\sin^{-1}x,\cos^{-1}x फलनों में -1 घात नहीं है,इसे केवल प्रतिलोम फलन के संकेत के रूप में प्रयोग किया गया है क्योंकि \left(\sin{x}\right)^{-1}=\frac{1}{\sin{x}} अत: \sin^{-1}x not equal to \left(\sin{x}\right)^{-1}
• 2.\sin^{-1}x एक कोण को व्यक्त करता है.जबकि \sin{\theta} एक संख्या को,जहां  \theta  एक कोण है.
  प्रतिलोम वृत्तीय फलन: हम जानते है कि किसी फलन f का प्रतिलोम फलन f^{-1} ज्ञात करने के लिए फलन f ज्ञात करने के लिए  फलन f का एकैकी-आच्छादक होना आवश्यक है.
• वृतीय फलनों के अध्ययन से स्पष्ट है है कि ये फलन अपने स्वाभाविक (सामान्य)प्रांत और परिसर में एकैकी तथा आच्छादक नहीं होते हैं.अत:इनके प्रतिलोम सामान्य स्थितियों में ज्ञात करना संभव नहीं होता है,परंतु इन फलनों के प्रांत को परिसीमित (प्रतिबंधित) करने पर ये फलन एकैकी आच्छादक हो जाते है तथा इन स्थितियों में इनके प्रतिलोम फलन ज्ञात किये जा सकते है.

3.प्रतिलोम वृत्तीय फलन की सारणी (Table of Inverse circular functions):

Inverse Circular Function

• इन प्रतिबंधित स्थितियों के प्राप्त प्रतिलोम वृत्तीय फलनों के प्रांत एंव परिसर निम्न सारणी में दर्शाये गये है.साथ ही प्रत्येक परिसर खण्ड के लिए हमें प्रतिलोम फलन की एक शाखा प्राप्त होती है.इन शाखाओं में से ही एक मुख्य शाखा होती है .

• .y=f(x)जैसे व्युत्क्रमणीय फलन का प्रतिलोम फलन x=f^{-1}\left(y\right) प्राप्त होता है.अर्थात मूल फलन के आलेख में  X तथा Y-अक्षों का परस्पर विनिमय करके प्रतिलोम फलन का आलेख प्राप्त होता है.यही नियम प्रतिलोम वृत्तीय फलनों के आलेख प्राप्त करने में लागू होता है.
• (1.)जब कभी प्रतिलोम वृत्तीय फलनों की किसी शाखा विशेष का उल्लेख न हो तो हमारा तात्पर्य उस फलन की मुख्य शाखा से होता है.
• (2.)किसी प्रतिलोम वृत्तीय फलन का वह मान जो उसकी मुख्य शाखा में स्थित होता है प्रतिलोम वृत्तीय फलन का मुख्यमान (Principal Value) कहलाता है.

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4.व्यापक मान (General Value):

Inverse Circular Function

• हम जानते हैं कि \sin{\theta}=\sin{\left\{n{\pi}+\left(-1\right)^{-1}{\theta}\right\}} जहां n\in{Z} पूर्णांक संख्याओं का समुच्चय है.अब यदि \sin^{-1}x={\theta} हो तो \sin^{-1}x का व्यापक मान n{\pi}+\left(-1\right)^{n}\sin^{-1}x होता है तथा इसे Sin^{-1}x से निरूपित किया जाता है.अत: Sin^{-1}x=n{\pi}+(-1)^{n}\sin^{-1}x,n\ni{Z}
• इसी प्रकार Cos^{-1}x=2n{\pi}+\cos^{-1}x, n\ni{Z} ,Tan^{-1}x=n{\pi}+\tan^{-1}x
  जहां Cos^{-1}x,Tan^{-1}x से हमारा तात्पर्य \cos^{-1}x,\tan^{-1}x के व्यापक मान से है.इसी प्रकार
  Sec^{-1}x,Cosec^{-1}x,Cot^{-1}x से हमारा तात्पर्य \sec^{-1}x,\cosec^{-1}x,\cot^{-1}x के व्यापक मान से होगा.

5.मुख्य मान (Principal Value):

• प्रतिलोम वृत्तीय फलन(Inverse Circular Value) का मुख्य्मान \theta का वह छोटे से छोटा धनात्मक या ऋणात्मक मान है जो समीकरण \sin{\theta}=x,\cos{\theta}=x इत्यादि को संतुष्ट करता है
  टिप्पणी-
• (1.)यदि x>0है तब सभी प्रतिलोम वृत्तीय फललों के मुख्य्मान प्रथम चतुर्थांश \left[0,\frac{\pi}{2}\right] में स्थित है.
• (2.)यदि x<0है तब तथा के मुख्यमान चतुर्थ चतुर्थांश \left[-\frac{\pi}{2},0\right] में स्थित है,जबकि के मुख्यमान द्धितीय चतुर्थांश \left[\frac{\pi}{2},{\pi}\right] में स्थित होते हैं.
• उपर्युक्त आर्टिकल में प्रतिलोम वृत्तीय फलन (Inverse Circular Function) के बारे में बताया गया है।