1.गणितीय आगमन कक्षा 11 (Mathematical Induction Class 11),गणितीय आगमन का सिद्धान्त कक्षा 11 (Principle of Mathematical Induction Class 11):

गणितीय आगमन कक्षा 11 (Mathematical Induction Class 11) में आगमन तर्क प्रत्येक स्थिति के अध्ययन पर आधारित होता है तथा इसमें प्रत्येक एवं हर स्थिति को ध्यान में रखते हुए घटनाओं के निरीक्षण द्वारा एक अनुमानित कथन विकसित किया जाता है।इसको गणित में प्रायः प्रयोग किया जाता है तथा वैज्ञानिक चिन्तन,जहाँ आँकड़ों का संग्रह तथा विश्लेषण मानक होता है,का मुख्य आधार है।
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2.गणितीय आगमन कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Mathematical Induction Class 11 Solved Examples):

सभी के लिए गणितीय आगमन सिद्धान्त के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
Example:1. 1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{\left(3^n-1\right)}{2}
Solution: 1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{\left(3^n-1\right)}{2}
माना P(n): 1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{\left(3^n-1\right)}{2}
n=1 के लिए

P(1): 1=\frac{3^1-1}{2}=\frac{2}{2}=1
जो कि सत्य है।
माना उक्त कथन n=k के लिए सत्य है।

P(k): 1+3+3^2+\ldots+3^{k-1}=\frac{\left(3^k-1\right)}{2} \cdots(1)
अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है:

P(k+1): 1+3+3^2+\cdots+3^{k-1}+3^k=\left(\frac{3^{k+1}-1}{2}\right) \\ \text { L.H.S. } 1+3+3^2+\ldots+3^{k-1}+3^k \\ =\left(\frac{3^k-1}{2} \right)+3^k [(1) के प्रयोग से]

=\frac{3^k-1+2 \cdot 3^k}{2}=\frac{3 \cdot 3^k-1}{2} \\ =\frac{3^{k+1}-1}{2}=\text { R.H.S }
अतः उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध हुआ।
अर्थात् कथन n के प्रत्येक मान के लिए सत्य है।
Example:2. 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2
Solution: 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2
माना P(n): 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2
n=1 के लिए

P(1): 1^3=\left[\frac{1(1+1)}{2}\right]^2 \\ =\left(\frac{1 \times 2}{2}\right)^2 \\ \Rightarrow P(n): 1=1
जो कि सत्य है।
माना उक्त कथन n=k के लिए सत्य है।

P(k): 1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3=\left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^2 \cdots(1)
अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है:

P(k+1): 1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3+(k+1)^3=\left[\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^2 \\ \text { L.H.S. } 1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3+(k+1)^3 \\ =\left[\frac{(k)(k+1)}{2}\right]^2+(k+1)^3 [(1) के प्रयोग से]

=(k+1)^2\left[\frac{(k)^2}{4}+k+1\right] \\ =(k+1)^2\left[\frac{k^2+4 k+4}{4}\right] \\ =\frac{(k+1)^2}{4}\left[k^2+4 k+4\right] \\ =\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} \\ =\left[\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^2=\text{ R.H.S }
अतः उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध हुआ।
अर्थात् कथन n के प्रत्येक मान के लिए सत्य है।
Example:3. 1+\frac{1}{(1+2)}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots+\frac{1}{(1+2+3+\cdots n)}=\frac{2 n}{n+1}
Solution: 1+\frac{1}{(1+2)}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots+\frac{1}{(1+2+3+\cdots n)}=\frac{2 n}{n+1}
माना P(n) : 1+\frac{1}{(1+2)}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots+\frac{1}{(1+2+3+\cdots n)}=\frac{2 n}{n+1}
n=1 के लिए

P(1): 1=\frac{2 \times 1}{1+1}=1
जो कि सत्य है।
माना उक्त कथन n=k के लिए सत्य है।

P(k) : 1+\frac{1}{(1+2)}+\frac{1}{(1+2+3)}+\cdots+\frac{1}{(1+2+3+\ldots+k)}=\frac{2 n}{n+1} \cdots(1)
अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है:

P(k+1): 1+\frac{1}{(1+2)}+\frac{1}{(1+2+3)}+\ldots+\frac{1}{(1+2+3+\ldots+k)}+\frac{1}{1+2+ 3+ \ldots+k+(k+1)}=\frac{2(k+1)}{(k+1+1)} \\ \Rightarrow P(k+1): 1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3} +\ldots+ \frac{1}{1+2+3+\ldots+k}+\frac{1}{1+2+3+\ldots+k+(k+1)}=\frac{2(k+1)}{k+2} \\ \text { L.H.S. } 1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+k}+\frac{1}{1+2+3+\ldots+k+(k+1)} \\ \frac{2 k}{k+1}+\frac{1}{1+2+3+\cdots+k+k+1} [(1) के प्रयोग से]

=\frac{2 k}{k+1}+\frac{\frac{1}{(k+1)(k+2)}}{2}\left[\because 1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}\right] \\ =\frac{2 k}{k+1}+\frac{2}{(k+1)(k+2)} \\ =\frac{2 k^2+4 k+2}{(k+1)(k+2)} \\ =\frac{2\left(k^2 +2 k+1\right)}{(k+1)(k+2)} \\ =\frac{2(k+1)^2}{(k+1)(k+2)} \\ =\frac{2(k+1)}{k+2}
अतः उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध हुआ।
अर्थात् कथन n \in N के प्रत्येक मान के लिए सत्य है।
Example:4. 1.2.3+2.3.4+\ldots+n(n+1)(n+2) =\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}
Solution: 1.2.3+2.3.4+\ldots+n(n+1)(n+2) =\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}
माना P(n) : 1.2.3+2.3.4+\ldots+n(n+1)(n+2) =\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}
n=1 के लिए

P(1): 1 \cdot 2 \cdot 3=\frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} \\ 6 =\frac{2 \times 3 \times 4}{4} \\ \Rightarrow P(n): 6 =6
जो कि सत्य है।

माना उक्त कथन n=k के लिए सत्य है।

P(k)=1 \cdot 2 \cdot 3+2 \cdot 3 \cdot 4+\ldots+k(k+1)(k+2)=\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4} \cdots(1)
अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है:

P(k+1): 1 \cdot 2 \cdot 3+2 \cdot 3 \cdot 4+\ldots+k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3) =\frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} \\ \text { L.H.S. } 1 \cdot 2 \cdot 3+2 \cdot 3 \cdot 4+\ldots+k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3) \frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}+(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)(k+2)(k+3)\left[\frac{k}{4}+1\right] \\ =\frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}=\text { R.H.S }
अतः उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध हुआ।
अर्थात् कथन n \in N के प्रत्येक मान के लिए सत्य है।
Example:5. 1 \cdot 3+2 \cdot 3^2+3 \cdot 3^3+\cdots+n \cdot 3^n=\frac{(2 n-1) 3^{n+1}+3}{4}
Solution: 1 \cdot 3+2 \cdot 3^2+3 \cdot 3^3+\cdots+n \cdot 3^n=\frac{(2 n-1) 3^{n+1}+3}{4}
माना P(n): 1 \cdot 3+2 \cdot 3^2+3 \cdot 3^3+\ldots+n \cdot 3^n=\frac{(2 n-1) 3^{n+1}+3}{4}
n=1 के लिए

P(1): 1 \cdot 3 =\frac{(2 \times 1-1) 3^{1+1}+3}{4} \\ 3=\frac{1 \times 3^2+3}{4}=\frac{12}{4}=3
जो कि सत्य है।
माना उक्त कथन n=k के लिए सत्य है।

P(k): 1 \cdot 3+2 \cdot 3^2+3 \cdot 3^3+\cdots+k \cdot 3^k=\frac{(2 k-1) 3^{k+1}+3}{4} \cdots(1)
अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है:

P(k+1): 1 \cdot 3+2 \cdot 3^2+3 \cdot 3^3+\cdots+k \cdot 3^k+(k+1) \cdot 3^{k+1}=\frac{(2 k+1) 3^{k+2}+3}{4} \\ \text { L.H.S. } 1 \cdot 3+2 \cdot 3^2+3 \cdot 3^3+\ldots+k \cdot 3^k+(k+1) 3^{k+1} \\ =\frac{(2 k+1) 3^{k+1}+3}{4}+(k+1) 3^{k+1} [(1) के प्रयोग से]

=\frac{2 k \cdot 3^{k+1}-3^{k+1}+4 k \cdot 3^{k+1}+4 \cdot 3^{k+1}+3}{4} \\=\frac{(2 k+4 k+4-1) 3^{k+1}+3}{4} \\=\frac{(6 k+3) 3^{k+1}+3}{4} \\ =\frac{3(2 k+1) 3^{k+1}+3}{4} \\ =\frac{(2 k+1) 3^{k+2}+3}{4}=\text{R.H.S}
अतः उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध हुआ।
अर्थात् कथन n \in N के प्रत्येक मान के लिए सत्य है।
Example:6. 1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+\ldots+n(n+1)=\left[\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\right]
Solution: 1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+\ldots+n(n+1)=\left[\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\right]
माना P(n) : 1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+\ldots+n(n+1)=\left[\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\right]
n=1 के लिए

P(1): 1 \cdot 2 =\frac{1(1+1)(1+2)}{3} \\ 2 =\frac{2 \times 3}{3} \\ \Rightarrow P(n) : 2=2
जो कि सत्य है।
माना उक्त कथन n=k के लिए सत्य है।

P(k)=1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+\cdots k(k+1)=\left[\frac{k(k+1)(k+2)}{3}\right] \cdots(1)
अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है:

P(k+1)=1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+ \ldots +k(k+1)+(k+1)(k+2)=\left[\frac{[(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\right] \\ \text{L.H.S. } 1.2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+\ldots+k(k+1)+(k+1)(k+2) \\ =\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2) [(1) के प्रयोग से]

=(k+1)(k+2)\left[\frac{k}{3}+1\right] \\ =\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}
अतः उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध हुआ।
अर्थात् कथन n \in N के प्रत्येक मान के लिए सत्य है।
Example:7. 1.3+3.5+5.7+\ldots+(2 n-1)(2 n+1)=\frac{n\left(4 n^2+6 n-1\right)}{3}
Solution: 1.3+3.5+5.7+\ldots+(2 n-1)(2 n+1)=\frac{n\left(4 n^2+6 n-1\right)}{3}
माना P(n) : 1.3+3.5+5.7+\ldots+(2 n-1)(2 n+1)=\frac{n\left(4 n^2+6 n-1\right)}{3}
n=1 के लिए

P(1): 1 \cdot 3=1\left[\frac{4 (1)^2+6 \times 1-1}{3}\right] \\ 3=\frac{(4+6-1)}{3} \\ \Rightarrow P(1): 3=3
जो कि सत्य है।
माना उक्त कथन n=k के लिए सत्य है।

P(k)=1 \cdot 3+3 \cdot 5+5 \cdot 7+\ldots+(2 k-1)(2 k+1)=\frac{k\left(4 k^2+6 k-1\right)}{3} \cdots(1)
अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है:

P(k+1): 1 \cdot 3+3 \cdot 5+5 \cdot 7+\ldots+(2 k-1)(2 k+1)+(2 k+1)(2 k+3) =\frac{(k+1) \left[4(k+1)^2 +6(k+1)-1\right]}{3} \\ =\frac{(k+1)\left(4 k^2+8 k+4+6 k+6-1\right)}{3} \\ =\frac{(k+1) \left(4 k^2+14 k+9\right)}{3} \\ \Rightarrow P(k+1): 1 \cdot 3+3 \cdot 5+5 \cdot 7+\ldots+(2 k-1)(2 k+1)+(2 k+1)(2 k+3)=\frac{(k+1)\left(4 k^2+14 k+9\right)}{3} \\ \text{L.H.S.} 1 \cdot 3+3 \cdot 5+5 \cdot 7+ \ldots +(2 k-1)(2 k+1)+(2 k+1)(2 k+3) \\ =\frac{k\left(4 k^2+6 k-1\right)}{3}+(2 k+1)(2 k+3) [(1) के प्रयोग से]

\Rightarrow \frac{4 k^3+6 k^2-k+(6 k+3)(2 k+3)}{3} \\ =\frac{4 k^3+6 k^2-k+12 k^2+24 k+9}{3} \\ =\frac{4 k^3+18 k^2+23 k+9}{3} \\=\frac{4 k^3+4 k^2+14 k^2+14 k+9 k+9}{3} \\ =\frac{4 k^2(k+1)+14 k(k+1)+9(k+1)}{3} \\ =\frac{(k+1)\left(4 k^2+14 k+9\right)}{3}=\text { R.H.S. }
अतः उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध हुआ।
अर्थात् कथन n \in N के प्रत्येक मान के लिए सत्य है।
Example:8. 1 \cdot 2+2 \cdot 2^2+3 \cdot 2^3+\ldots+n \cdot 2^n=(n-1) 2^{n+1}+2
Solution: 1 \cdot 2+2 \cdot 2^2+3 \cdot 2^3+\ldots+n \cdot 2^n=(n-1) 2^{n+1}+2
माना P(n): 1 \cdot 2+2 \cdot 2^2+3 \cdot 2^3+\ldots+n \cdot 2^n=(n-1) 2^{n+1}+2
n=1 के लिए

P(1)=1.2=(1-1) 2^{1+1}+2 \\ P(1): 2=2
जो कि सत्य है।
माना उक्त कथन n=k के लिए सत्य है।

P(k): 1 \cdot 2+2 \cdot 2^2+3 \cdot 2^3+\cdots+k \cdot 2^k=(k-1) 2^{k+1}+2 \cdots(1)
अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है:

P(k+1): 1 \cdot 2+2 \cdot 2^2+3 \cdot 2^3+\ldots+k \cdot 2^k+(k+1) \cdot 2^{k+1}=k \cdot 2^{k+2}+2 \\ \text{L.H.S. } 1 \cdot 2+2 \cdot 2^2+3 \cdot 2^3+\cdots+k \cdot 2^k+(k+1) \cdot 2^{k+1} \\ =(k-1) 2^{k+1}+2+(k+1) 2^{k+1} [(1) के प्रयोग से]

=2^{k+1}(k-1+k+1)+2 \\ =2 k \cdot 2^{k+1}+2 \\ =k \cdot 2^{k+2}+2=\text { R.H.S }
अतः उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध हुआ।
अर्थात् कथन n \in N के प्रत्येक मान के लिए सत्य है।

Example:9. \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}
Solution: \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}
माना P(n) : \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}
n=1 के लिए

P(1): \frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
जो कि सत्य है।
माना उक्त कथन n=k के लिए सत्य है।

P(k) : \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^k}=1-\frac{1}{2^k} \cdots(1)
अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है:

P(k+1): \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}=1-\frac{1}{2^{k+1}} \\ \text { L.H.S. } \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}} \\ =1-\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}} [(1) के प्रयोग से]

=1-\left(\frac{1}{2^k}-\frac{1}{2^{k+1}}\right) \\ =1-\left[\frac{1}{2^k} \left(1-\frac{1}{2}\right)\right] \\ =1-\left[\frac{1}{2^k} \cdot \frac{1}{2}\right] \\ =1-\frac{1}{2^{k+1}}=\text { R.H.S. }
अतः उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध हुआ।
अर्थात् कथन n \in N के प्रत्येक मान के लिए सत्य है।
Example:10. \frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\cdots+\frac{1}{(3 n-1)(3 n+2)}=\frac{n}{6 n+4}
Solution: \frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\cdots+\frac{1}{(3 n-1)(3 n+2)}=\frac{n}{6 n+4}
माना P(n): \frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\cdots+\frac{1}{(3 n-1)(3 n+2)}=\frac{n}{6 n+4}
n=1 के लिए

P(1)=\frac{1}{2 \cdot 5}=\frac{1}{6 \times 1+4} \\ \Rightarrow P(1): \frac{1}{10}=\frac{1}{10}
जो कि सत्य है।
माना उक्त कथन n=k के लिए सत्य है।

P(k)=\frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+ \ldots+\frac{1}{(3 k-1)(3 k+2)}=\frac{k}{6 k+4} \cdots(1)
अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है:

P(k+1) : \frac{1}{2\cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\ldots+\frac{1}{3 k-1)(3 k+2)}+\frac{1}{(3 k+2)(3 k+5)}=\frac{k+1}{(6 k+10)} \\ \text { L.H.S. } \frac{1}{2\cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\ldots+\frac{1}{(3 k-1)(3 k+2)}+\frac{1}{(3 k+2)(3 k+5)} \\ =\frac{k}{6 k+4}+\frac{1}{(3 k+2)(3 k+5)} [(1) के प्रयोग से]

= \frac{k(3 k+5)+2}{2(3 k+2)(3 k+5)} \\ =\frac{3 k^2+5 k+2}{2(3 k+2)(3 k+5)} \\ = \frac{3 k^2+3 k+2 k+2}{(3 k+2)(6 k+10)} \\ = \frac{3 k(k+1)+2(k+1)}{(3 k+2)(6 k+10)} \\ = \frac{(3 k+2)(k+1)}{(3 k+2)(6 k+10)} \\ =\frac{k+1}{6 k+10}=\text { R.H.S. }
अतः उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध हुआ।
अर्थात् कथन n \in N के प्रत्येक मान के लिए सत्य है।
Example:11. \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}
Solution: \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}
माना P(n) : \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}
n=1 के लिए

P(1): \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}=\frac{1(1+3)}{4(1+1)(1+2)} \\ \frac{1}{6}=\frac{4}{4 \times 2 \times 3} \\ \Rightarrow P(1): \frac{1}{6}=\frac{1}{6}
जो कि सत्य है।
माना उक्त कथन n=k के लिए सत्य है।

P(k): \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{k(k+3)}{4(k+1)(k+2)} \cdots(1)
अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है:

P(k+1)=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+ \cdots+\frac{1}{k(k+1)(k+2)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}=\frac{(k+1)(k+4)}{4(k+2)(k+3)} \\ \text { L.H.S. } \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\ldots+\frac{1}{k(k+1)(k+2)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)} \\ =\frac{k(k+3)}{4(k+1)(k+2)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)} [(1) के प्रयोग से]

=\frac{1}{(k+1)(k+2)}\left[\frac{k(k+3)}{4}+\frac{1}{k+3}\right] \\ =\frac{1}{(k+1)(k+2)} \left[\frac{k(k+3)^2+ 4}{4(k+3)}\right] \\ =\frac{k^3+6 k^2+9 k+4}{4(k+1)(k+2)(k+3)} \\=\frac{k^3+k^2 +5 k^2+5 k+4 k+4}{4(k+1)(k+2)(k+3)} \\ =\frac{k^2(k+1)+5 k(k+1)+4(k+1)}{4(k+1)(k+2)(k+3)} \\ =\frac{(k+1)\left(k^2+5 k+4\right)}{4(k+1)(k+2)(k+3)} \\ =\frac{(k+1)\left(k^2+4 k+k+4\right)}{4(k+1)(k+2)(k+3)} \\ =\frac{(k+1)[k(k+4)+1(k+4)]}{4(k+1)(k+2)(k+3)} \\ =\frac{(k+1)^2(k+4)}{4(k+1)(k+2)(k+3)} \\ =\frac{(k+1)(k+4)}{4(k+2)(k+3)}=\text { R.H.S. }
अतः उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध हुआ।
अर्थात् कथन n \in N के प्रत्येक मान के लिए सत्य है।
Example:12. a+a r+a r^2+\cdots+a r^{n-1}=\frac{a\left(r^2-1\right)}{r-1}
Solution: a+a r+a r^2+\cdots+a r^{n-1}=\frac{a\left(r^2-1\right)}{r-1}
माना P(n) : a+a r+a r^2+\cdots+a r^{n-1}=\frac{a\left(r^2-1\right)}{r-1}
n=1 के लिए

P(1)=a=\frac{a\left(r^{1}-1\right)}{r-1} \\ \Rightarrow P(1) : a=a
जो कि सत्य है।
माना उक्त कथन n=k के लिए सत्य है।

P(k): a+a r+a r^2+\ldots+ a r^{k-1}=\frac{a\left(r^k-1\right)}{r-1} \cdots(1)
अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है:

P(k+1): a+a r+a r^2+ \ldots+a r^{k-1}+a r^k=\frac{a\left(r^{k+1}-1\right)}{r-1} \\ \text { L.H.S. } a+a r+a r^2+\cdots+a r^{k-1}+a r^k \\ =\frac{a\left(r^k-1\right)}{r-1}+a r^k [(1) के प्रयोग से]

=\frac{a r^k-a+a r^{k-1}-a r^k}{r-1} \\ =\frac{a r^{k+1}-a}{r-1} \\=\frac{a\left(r^{k+1}-1\right)}{r-1}=\text { R.H.S. }
अतः उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध हुआ।
अर्थात् कथन n \in N के प्रत्येक मान के लिए सत्य है।
Example:13. \left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{3}\right) \ldots \left(1+\frac{(2 n+1)}{n^2}\right)=(n+1)^2
Solution: \left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{3}\right) \ldots \left(1+\frac{(2 n+1)}{n^2}\right)=(n+1)^2
माना P(n) : \left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{3}\right) \ldots \left(1+\frac{(2 n+1)}{n^2}\right)=(n+1)^2
n=1 के लिए

P(1) : \left(1+\frac{3}{1^2}\right)=\left(1+1\right)^2 \\ \Rightarrow P(1): 4=4
जो कि सत्य है।
माना उक्त कथन n=k के लिए सत्य है।

P(k):\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots \left(1+\frac{2 k+1}{k^2}\right)=(k+1)^2
अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है:

P(k+1) : \left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots \left(1+\frac{(2 k+1)}{k^2}\right)\left(1+\frac{(2 k+3)}{(k+1)^2}\right)=(k+2)^2 \\ \text{L.H.S.} \left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right)\left(1+\frac{(2 k+1)}{k^2}\right)\left(1+\frac{(2 k+3)}{(k+1)^2}\right) \\ =(k+1)^2\left(1+\frac{(2 k+3)}{(k+1)^2}\right) [(1) के प्रयोग से]
=(k+1)^2\left[\frac{(k+1)^2+2k+3}{(k+1)^2}\right] \\ =k^2+2 k+1+2 k+3 \\ =k^2+4 k+4 \\ =(k+2)^2=\text { R.H.S }
अतः उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध हुआ।
अर्थात् कथन n \in N के प्रत्येक मान के लिए सत्य है।
Example:14. \left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right) \ldots \left(1+\frac{1}{3}\right)=n+1
Solution: \left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right) \ldots \left(1+\frac{1}{3}\right)=n+1
माना P(n):\left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right) \ldots \left(1+\frac{1}{3}\right)=n+1
n=1 के लिए

P(1) : (1+1)=1+1 \\ \Rightarrow P(1): 2=2
जो कि सत्य है।
माना उक्त कथन n=k के लिए सत्य है।

P(k):\left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right) \ldots \left(1+\frac{1}{k}\right)=(k+1) \cdots(1)
अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है:

P(k+1) : \left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right) \ldots \left(1+\frac{1}{k}\right)\left(1+\frac{1}{k+1}\right)=(k+2) \\ \text { L.H.S. }(1+\frac{1}{1})\left(1+\frac{1}{2}\right) \left(1+\frac{1}{3}\right) \ldots \left(1+\frac{1}{k}\right)\left(1+\frac{1}{k+1}\right) \\ =(k+1)\left(1+\frac{1}{k+1}\right) [(1) के प्रयोग से]

=(k+1) \frac{(k+1+1)}{k+1} \\ =K+2=\text { R.H.S. }
अतः उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध हुआ।
अर्थात् कथन n \in N के प्रत्येक मान के लिए सत्य है।
Example:15. 1^2+3^2+5^2+\cdots+(2 n-1)^2=\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}
Solution: 1^2+3^2+5^2+\cdots+(2 n-1)^2=\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}
माना P(n) : 1^2+3^2+5^2+\cdots+(2 n-1)^2 \equiv \frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}
n=1 के लिए

P(1)=1^2=\frac{1(2 \times 1-1)(2 \times 1+1)}{3} \\ \Rightarrow P(1) : 1=1
जो कि सत्य है।
माना उक्त कथन n=k के लिए सत्य है।

P(k)=1^2+3^2+5^2+\cdots+(2 k-1)^2=\frac{k(2 k-1)(2 k+1)}{3} \cdots(1)
अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है:

P(k+1)=1^2+3^2+5^2+ \ldots+(2 k-1)^2+(2 k+1)^2=\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3} \\ \text{L.H.S. } 1^2+3^2+5^2+ \ldots+(2 k-1)^2+(2 k+1)^2 \\ =\frac{k(2 k-1)(2 k+1)}{3}+(2 k+1)^2 [(1) के प्रयोग से]

=(2 k+1)\left[\frac{k(2 k-1)}{3}+2 k+1\right] \\ =(2 k+1)\left[\frac{2 k^2-k+6 k+3}{3}\right] \\ =(2 k+1) \frac{\left(2 k^2+5 k+3\right)}{3} \\ =(2 k+1) \frac{\left[2 k^2+3 k+2 k+3\right]}{3} \\ =\frac{(2 k+1)[k(2 k+3)+1(2 k+3)]}{3} \\ =\frac{(k+1)(2 k+1)(2 k+3)}{3}=\text { R.H.S. }
अतः उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध हुआ।
अर्थात् कथन n \in N के प्रत्येक मान के लिए सत्य है।
Example:16. \frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 10}+\cdots+\frac{1}{(3 n-2)(3 n+1)}=\frac{n}{3 n+1}
Solution: \frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 10}+\cdots+\frac{1}{(3 n-2)(3 n+1)}=\frac{n}{3 n+1}
माना P(n) : \frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 10}+\cdots+\frac{1}{(3 n-2)(3 n+1)}=\frac{n}{3 n+1}
n=1 के लिए

P(1): \frac{1}{1 \cdot 4} =\frac{1}{3 \times 1+1} \\ \Rightarrow P(1): \frac{1}{4} =\frac{1}{4}
जो कि सत्य है।
माना उक्त कथन n=k के लिए सत्य है।

P(k): \frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7} +\frac{1}{7 \cdot 10}+\ldots+\frac{1}{(3 k-2)(3 k+1)}=\frac{k}{(3 k+1)} \cdots(1)
अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है:

P(k+1)=\frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7} +\frac{1}{7 \cdot 10}+\ldots+\frac{1}{(3 k-2)(3 k+1)}+\frac{1}{(3 k+1)(3 k+4)}=\frac{k+1}{(3 k+4)} \\ \text { L.H.S. } \frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7} +\frac{1}{7 \cdot 10}+\ldots+\frac{1}{(3 k-2)(3 k+1)}+\frac{1}{(3 k+1)(3 k+4)} \\ =\frac{k}{3 k+1}+\frac{1}{(3 k+1)(3 k+4)} [(1) के प्रयोग से]

=\frac{1}{3 k+1}\left[k+\frac{1}{3 k+4}\right] \\ =\frac{1}{(3 k+1)}\left[\frac{3 k^2+4 k+1}{3 k+4}\right] \\ =\frac{3 k^2+3 k+k+1}{(3 k+1)(3 k+4)} \\ =\frac{3 k(k+1)+1(k+1)}{(3 k+1)(3 k+4)} \\ =\frac{(3 k+1)(k+1)}{(3 k+1)(3 k+4)} \\ =\frac{k+1}{3 k+4}=\text { R.H.S. }
अतः उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध हुआ।
अर्थात् कथन n \in N के प्रत्येक मान के लिए सत्य है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गणितीय आगमन कक्षा 11 (Mathematical Induction Class 11),गणितीय आगमन का सिद्धान्त कक्षा 11 (Principle of Mathematical Induction Class 11) को समझ सकते हैं।

3.गणितीय आगमन कक्षा 11 पर आधारित सवाल (Questions Based on Mathematical Induction Class 11):

गणितीय आगमन विधि से सिद्ध कीजिए कि \forall n \in N \\ (1.) 1 \cdot 3+2 \cdot 4+3 \cdot 5+\cdots+n(n+2)=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \\ (2.) \frac{1}{1 \cdot 2 }+\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गणितीय आगमन कक्षा 11 (Mathematical Induction Class 11),गणितीय आगमन का सिद्धान्त कक्षा 11 (Principle of Mathematical Induction Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Trigonometric Equations Class 11

4.गणितीय आगमन कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Mathematical Induction),गणितीय आगमन का सिद्धान्त कक्षा 11 (Principle of Mathematical Induction Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

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