Linear Span in Linear Algebra

Q: प्रश्न:1.एकघात विस्तृति परिभाषित कीजिए।(Define Linear Span):

उत्तर:यदि S=\left\{v_1, v_2, \cdots, v_{n}\right\} सदिश समष्टि V(F) का एक अरिक्त उपसमुच्चय है तब S के सीमित अवयवों के सम्पूर्ण एकघाती संचयों का समुच्चय एकघाती विस्तृति कहलाता है,इसे S से जनित समष्टि भी कहते हैं और इसे L(S) से प्रकट करते हैं। अतः L(s)=\left\{\sum_{i=1}^n \alpha_i V_i \mid \alpha_i \in F,i=1,2,3, \ldots,n \right\} रिक्त समुच्चय \{0\} की विस्तृति {0} से परिभाषित करते हैं अर्थात् L(\phi)=\{0\} परन्तु यदि s={v}, v \neq 0 सदिश समष्टि V(F) का एक अवयवी उपसमुच्चय हो तो L(s)=\{\alpha v \mid \alpha \in F\} जो v से निर्धारित रेखा को निरूपित करता है।

Q: प्रश्न:2.आन्तरिक व बाह्य द्विचर संक्रिया को परिभाषित कीजिए। (Define internal and external binary operation):

उत्तरः यदि V एक अरिक्त समुच्चय है तो प्रतिचित्रण f: v \times v \rightarrow v एक आन्तरिक द्विचर संक्रिया कहलाती है। पुनः माना F तथा V दो अरिक्त समुच्चय हैं तो प्रतिचित्रण g : F \times v \rightarrow v एक बाह्य द्विचर संक्रिया कहलाती है इसमें F तथा V के अवयवों का गुणनफल V का अवयव होता है।

Mathematics Satyam October 24, 2022 Abstract Algebra No Comments

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1 1.रैखिक बीजगणित में एकघाती विस्तृति (Linear Span in Linear Algebra),सदिश समष्टि में एकघाती विस्तृति (Space Spanned in Vector Space):

1.1 2.रैखिक बीजगणित में एकघाती विस्तृति के साधित उदाहरण (Linear Span in Linear Algebra Solved Examples):

1.2 3.रैखिक बीजगणित में एकघाती विस्तृति पर आधारित सवाल (Questions Based on Linear Span in Linear Algebra):

1.2.1 4.रैखिक बीजगणित में एकघाती विस्तृति (Linear Span in Linear Algebra),सदिश समष्टि में एकघाती विस्तृति (Space Spanned in Vector Space) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

1.2.2 प्रश्न:1.एकघात विस्तृति परिभाषित कीजिए।(Define Linear Span):

1.2.3 प्रश्न:2.आन्तरिक व बाह्य द्विचर संक्रिया को परिभाषित कीजिए। (Define internal and external binary operation):

1.2.4 प्रश्न:3.सदिश समष्टि को परिभाषित कीजिए।(Define a vector space):

1.2.4.1 Linear Span in Linear Algebra

2 रैखिक बीजगणित में एकघाती विस्तृति (Linear Span in Linear Algebra)

2.1 Linear Span in Linear Algebra

1.रैखिक बीजगणित में एकघाती विस्तृति (Linear Span in Linear Algebra),सदिश समष्टि में एकघाती विस्तृति (Space Spanned in Vector Space):

Linear Span in Linear Algebra

रैखिक बीजगणित में एकघाती विस्तृति (Linear Span in Linear Algebra) के इस आर्टिकल को अध्ययन करने से पूर्व एकघात संचय के आर्टिकल का अध्ययन करना आवश्यक है।
प्रमेय (Theorem):किसी सदिश समष्टि V(F) के उपसमुच्चय S की एकघात विस्तृति L(S), s को अन्त करने वाला V का न्यूनतम उपसमष्टि है अर्थात् L(S)={s}
(The Linear Span L(s) of subset S of a Vector space V(F) is the smallest Subspace of V(F) containing S, i.e. L(S)=S)
उपपत्ति (Proof):माना कि $u, v \in L(s)$ तब

$u=\alpha_1 u_1+\alpha_2 u_2+\cdots+\alpha_n u_n=\sum_{i=1}^n \alpha_i u_i$
तथा $v=\beta_1 v_1+\beta_2 v_2+\cdots+\beta_m v_{m}=\Sigma_{j=1}^m \beta_j v_j$
जहाँ $\alpha_i \in F, u_i \in S ; i=1,2,3, \ldots ,n$
तथा $\beta_j=F, v_j \in S ; j=1,2,3, \cdots, m$
यदि $\alpha,\beta$ क्षेत्र F के कोई भी दो अवयव हों तो

$\alpha u+\beta v =\alpha \Sigma_{i=1}^n \alpha_i u_i+\beta \Sigma_{j=1}^m \beta_j v_j \\ =\Sigma_{j=1}^n \alpha\left(\alpha_i u_i\right)+\Sigma_{j=1}^m \beta\left(\beta_{j} v_j\right) \\ =\Sigma_{i=1}^n\left(\alpha \alpha_i \right) u_i+\Sigma_{j=1}^m\left(\beta \beta_j\right) v_j$
जो यह दर्शाता है कि $\alpha u+ \beta v$ को s के परिमित अवयवों के एकघात संचय में व्यक्त किया जा सकता है।फलतः
$\alpha u+ \beta v \in L(s) \\ \therefore \alpha, \beta \in F$ तथा $u, v \in L(s) \Rightarrow \alpha u+\beta v \in L(s)$
अतः L(S) सदिश समष्टि V(F) का एक उपसमष्टि है।साथ ही S का प्रत्येक अवयव u,L(S) का अवयव क्योंकि
$u=L u \Rightarrow u \in L(S)$ [चूँकि $1 \in F$ ]

$\therefore \forall u \in S \Rightarrow u \in L(S) \Rightarrow S \subset L(S)$
अब यदि सदिश समष्टि V(F) का एक उपसमष्टि W इस प्रकार है कि $W \subset S$ , W सदिश योग तथा अदिश गुणन के लिए संवृत है इसलिए L(S) का प्रत्येक अवयव W का भी अवयव है अर्थात्

$L(S) \subset W \subset S$
अतः L(S)={s} अर्थात् L(S), s को अन्तर्विष्ट करनेवाले V का न्यूनतम उपसमष्टि है।
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2.रैखिक बीजगणित में एकघाती विस्तृति के साधित उदाहरण (Linear Span in Linear Algebra Solved Examples):

Example:1.यदि $u_1=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ -1 & 3 \end{array}\right), u_2=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 2 & 4 \end{array}\right), u_3=\left(\begin{array}{ll} 4 & -2 \\0 & -2 \end{array}\right)$ तीन मैट्रिक्स हैं।क्या निम्न मैट्रिक्स $u_{1},u_{2}$ एवं $u_{3}$ मैट्रिक्सों का एकघात संचय है?

$\left(\begin{array}{cc}6 & -1 \\-8 & -8\end{array}\right)$
Solution:माना कि $u=\left(\begin{array}{cc}6 & -1 \\-8 & -8\end{array}\right)$
तथा $u=\alpha u_1+\beta u_2+\gamma u_3 ; \alpha, \beta, \gamma \in F$ (फील्ड)
अर्थात् $\left(\begin{array}{cc}6 & -1 \\-8 & -8\end{array}\right) =\alpha\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\-1 & 3\end{array} \right) +\beta\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\2 & 4\end{array}\right)+ \gamma \left(\begin{array}{ll}4 & -2 \\0 & -2\end{array}\right) \\=\left(\begin{array}{cc} \alpha & 2 \alpha \\ -\alpha & 3 \alpha \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} 0 & \beta \\2 \beta & 4 \beta\end{array} \right)+\left(\begin{array}{cc} 4 \gamma & -2 \gamma \\0 & -2 \gamma \end{array}\right) \\ \Rightarrow \left(\begin{array}{cc} 6 & -1 \\ -8 & -8 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc}\alpha+4 \gamma & 2 \alpha+\beta -2 \gamma \\ -\alpha+2 \beta & 3 \alpha+4 \beta-2 \gamma \end{array}\right) \\ \alpha+4 \gamma=6 \ldots(1) \\ 2 \alpha+\beta-2 \gamma=-1 \ldots(2) \\ -\alpha+2 \beta=-8 \ldots(3) \\ 3 \alpha+4 \beta-2 \gamma=-8 \ldots(4)$
(1) व (2) सेः
$\begin{array}{cc} 2 \alpha+8 \gamma=12 \ldots(5) \\ 2 \alpha+\beta-2 \gamma=-1 \ldots(2) \\ - \quad - \quad + \quad \quad + \quad \quad \text{ घटाने पर } \\ \hline \end{array} \\ -\beta+10 \gamma=13 \ldots(6)$
(1) व (3) सेः
$\begin{array}{cc} \alpha+4 \gamma =6 \ldots(1) \\ -\alpha+2 \beta =-8 \ldots(3) \text{ जोड़ने पर }\\ \hline \end{array} \\ 2 \beta+4 \gamma =-2 \\ \begin{array}{cc} \beta+2 \gamma=-1 \ldots(7)\\ -\beta+10 \gamma=13 \ldots(6) \text { जोड़ने पर } \\ \hline \end{array} \\ 12 \gamma=12 \\ \Rightarrow \gamma=1 \\ \gamma$ का मान (7) में रखने परः

$\beta+2=-1\\ \beta=-3 \\ \alpha,\beta$ का मान (2) में रखने परः

$2 \alpha-3-2 \times 1=-1 \\ \Rightarrow 2 \alpha-3-2=-1 \\ \Rightarrow 2 \alpha=5-1 \\ \Rightarrow \alpha=\frac{4}{2} \\ \Rightarrow \alpha=2 \\ \alpha=2, \beta=-3, \gamma=1$ के मान समीकरण (4) में रखने परः

$3 \alpha+4 \beta-2 \gamma=-8 \\ \Rightarrow 3(2)+4(-3)-2 \times 1=-8 \\ \Rightarrow 6-12-2=-8 \\ \Rightarrow 6-14=-8 \\ \Rightarrow -8=-8$
अतः (1),(2),(3) समीकरण निकाय अविरोधी है तथा $\alpha, \beta, \gamma$ के मान क्षेत्र F के अवयव हैं।अतः सदिश u को $u_1, u_2, u_3$ के एकघाततः संचय में व्यक्त कर सकते हैं।
फलतः $u=2 u_1-3 u_2+u_3$ अभीष्ट एकघात संचय है।
Example:2.क्या निम्न सदिश $V_3(R)$ की विस्तृति करते हैं? (Is the following vectors span $V_3(R)$ ?)
(1,3,3),(1,3,4),(1,4,3) तथा (and) (6,2,1)
Solution:हमें सिद्ध करना है कोई भी सदिश (u,v, w) का एकघात संचय है।

$(u, v, w): u_1, u_2, u_3, u_4$
माना $(u, v, w)=\alpha u_1+\beta u_2+\gamma u_3+\phi u_u \\ =\alpha(1,3,3)+\beta(1,3,4)+\gamma (1, 4, 3) +\phi(6,2,1) \\ =(\alpha+\beta+\gamma+6 \phi, 3 \alpha+3 \beta+4 \gamma+2 \phi, 3 \alpha+ 4 \beta+3 \gamma+\phi) \\ \alpha+\beta+\gamma+6 \phi=u \ldots(1) \\ 3 \alpha+3 \beta+4 \gamma+2 \phi=v \ldots(2) \\ 3 \alpha+4 \beta+3 \gamma+\phi=w \ldots(3)$
(1) को 3 से गुणा करने परः
$\begin{array}{cc} 3 \alpha+3 \beta+3 \gamma+18 \phi=3 u \ldots(4) \\ 3 \alpha+3 \beta+4 \gamma+2 \phi=v \ldots(2) \\ - \quad \quad -\quad \quad -\quad \quad -\text { घटानेपर } \\ \hline \end{array} \\ -\gamma+16 \phi=3 u-v \ldots(5) \\ \begin{array}{cc} 3 \alpha+3 \beta+3 \gamma+18 \phi=3u \ldots(4) \\ 3 \alpha+4 \beta+3 \gamma+\phi=w \ldots(3)\\ - \quad \quad -\quad \quad -\quad \quad -\text { घटाने पर } \\ \hline \end{array} \\ -\beta+17 \phi=3 u-w \ldots(6) \\ \begin{array}{cc}3 \alpha+3 \beta+4 \gamma+2 \phi=V \ldots(2)\\ 3 \alpha+4 \beta+3 \gamma+\phi=w \ldots(3)\\ - \quad \quad -\quad \quad -\quad \quad -\text { घटाने पर } \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{cc}-\beta+\gamma+\phi=v-w \ldots(7)\\ -\gamma+16 \phi=3 u-v \ldots(5) \text { जोड़ने पर } \\ \hline \end{array} \\ -\beta+17 \phi=3 u-w$
माना $\gamma=v, \quad-v+16 \phi=34-v \\ \Rightarrow 16 \phi=3 u \\ \Rightarrow \phi=\frac{34}{16} \\ \gamma$ व $\phi$ का मान (7) में रखने परः

$-\beta+v+\frac{3 u}{16}=v-w \\ \Rightarrow -\beta=-\frac{3 u}{16}-w \\ \Rightarrow \beta=\frac{3 u}{16}+w \\ \beta,\gamma,\phi$ का मान (1) में रखने परः

$\alpha+\frac{3 u}{16}+w+v+6 \times \frac{3 u}{16}=u \\ \Rightarrow \alpha=u-\frac{3 u}{16}-\frac{9 u}{8}-w \\ \Rightarrow \alpha=-\frac{5 u}{16}-w, \beta=\frac{3 u}{16}+w, \gamma=v$
निकाय अविरोधी है।अतः $u_1, u_2, u_3 ; V_3(R)$ को जनित अथवा विस्तृति करता है।
Example:3.सिद्ध कीजिए कि निम्न सदिश,सदिश समष्टि $R^3$ को विस्तृति करते हैंः
(Show that the following vectors span the vector space $R^3$ ):
(1,1,1),(2,2,0),(3,0,0)
Solution:हमें सिद्ध करना है कोई भी सदिश (u,v, w) $u_1, u_2, u_3$ का एकघात संचय है।

माना $(u, v, w)=\alpha u_1+\beta u_2+\gamma u_3 \\ =\alpha(1,1,1)+\beta(2,2,0)+\gamma(3,0,0) \\ \Rightarrow(u, v, w) =(\alpha+2 \beta+3 \gamma, \alpha+2 \beta, \alpha) \\ \alpha=w \cdots(1) \\ \alpha+2 \beta=v \cdots(2) \\ \alpha+2 \beta+3 \gamma=u \ldots(3)$
उक्त निकाय सोपानक रूप (echelon) रूप है तथा अविरोधी है।निकाय का हलः

$\alpha=w, \beta=\frac{1}{2}(v-w), \gamma=\frac{1}{3}(u-v)$
अतः $u_1, u_2, u_3 ; V_3(R)$ को जनित अथवा विस्तृति करता है।

Linear Span in Linear Algebra

Example:4.क्या सदिश समष्टि $V_{4}(R)$ का सदिश (3,-1,0,-1) सदिश (2,-1,3,2),(-1,1,1,-3) तथा (1,1,9,-5) द्वारा विस्तृति होता है?
(Is the vector (3,-1,0,1) in the subspace of spanned by the vectors (2,-1,3,2),(-1,1,1,-3) and (1,1,9,-5)?)
Solution:माना u=(3,-1,0,-1)

$u_1=(2,-1,3,2), u_2=(-1,1,1, -3), u_3-(1,1,9,-5) \\ u=2 u_1+\beta u_2+\gamma u_3 \\(3,-1,0,-1)= \alpha(2,-1,3,2)+\beta(-1,1,1,-3)+ \gamma(1,1,9,-5) \\ (3,-1,0,-1)=(2 \alpha-\beta+\gamma,-\alpha+\beta+\gamma, 3 \alpha+\beta+9 \gamma,2 \alpha-3 \beta-5 \gamma) \\ 2 \alpha-\beta+\gamma=3 \ldots(1) \\ -\alpha+\beta+\gamma=-1 \ldots(2)\\ 3 \alpha+\beta+9 \gamma=0 \cdots(3) \\ 2 \alpha-3 \beta-5 \gamma=-1 \ldots(4)$
समीकरण (1) व (2) सेः

$\begin{array}{cc} 2 \alpha-\beta+\gamma=3 \ldots(1) \\ -\alpha+\beta+\gamma=-1 \cdots(2) \\ \hline \end{array} \\ \alpha+2 \gamma=2 \ldots(5)$
(2) व (3) सेः
$\begin{array}{cc} -\alpha+\beta+\gamma=-1 \cdots(2) \\ 3 \alpha+\beta+9 \gamma=0 \ldots(3) \\ - \quad - \quad \quad - \text{ घटाने पर }\\ \hline \end{array} \\ -4 \alpha-8 \gamma=-1 \\ \Rightarrow \alpha+2 \gamma=\frac{1}{4} \ldots(6)$
समीकरण (5) व (6) विरोधी है।अतः समीकरण (1),(2),(3) तथा (4) विरोधी (असंगत) निकाय है।इसलिए u को $u_1, u_2, u_3$ के एकघात संचय के रूप में व्यक्त करना सम्भव नहीं है।फलतः u,सदिश समष्टि $V_{3}(R)$ द्वारा विस्तृति नहीं होता।
Example:5.निम्न में से कौन से $u=\sin ^2 x, v=\cos ^2 x$ से विस्तृति समष्टि में अन्तर्विष्ट है?
(Which of the following are contained in the spanned space of $u=\sin ^2 x, v=\cos ^2 x$ )
Example:5(i). $7+x^3$
Solution: $W=7+x^3, u=\sin ^2 x, v=\cos ^2 x , W=\alpha u+\beta v \\ 7+x^2=\alpha \sin ^2 x+\beta \cos ^2 x \\ W, \alpha u+\beta v$ रूप का नहीं है।अतः $W,\alpha u+\beta v$ से विस्तृति समष्टि में अन्तर्विष्ट नहीं है।
Example:5(ii). $W=\cos x, u=\sin ^2 x, v=\cos ^2 x$
Solution: $W=\alpha u+\beta v \\ \cos x=\alpha \sin ^2 x+\beta \cos ^2 x \\ W, \alpha u+\beta v$ के रूप का नहीं है अतः $W, \alpha u+\beta v$ से विस्तृति समष्टि में अन्तर्विष्ट नहीं है।
Example:5(iii). $W=\cos 2 x, u=\sin ^2 x, v=\cos ^2 x$
Solution: $W=\alpha u+\beta v \\ \cos 2 x=\alpha \sin ^2 x+\beta \cos ^2 x \\ \cos ^2 x-\sin ^2 x=\alpha \sin^2 x+\beta \cos ^2 x \\ \alpha=-1, \beta=1$ जो कि वास्तविक संख्या है।
अतः $W, \alpha u+\beta v$ से विस्तृति समष्टि में अन्तर्विष्ट है।
Example:5(iv). $W=\alpha u+\beta V$
Solution: $W=1, u=\sin ^2 x, v=\cos ^2 x \\ W=\alpha u+\beta v \\ 1=\alpha \sin ^2 x+\beta \cos ^2 x \\ \sin ^2 x+\cos ^2 x=\alpha \sin ^2 x+\beta \cos ^2 x \\ \alpha=1, \beta=1$ जो कि वास्तविक संख्या है।
अतः $W, \alpha u+\beta v$ से विस्तृति समष्टि में अन्तर्विष्ट है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक बीजगणित में एकघाती विस्तृति (Linear Span in Linear Algebra),सदिश समष्टि में एकघाती विस्तृति (Space Spanned in Vector Space) को समझ सकते हैं।

3.रैखिक बीजगणित में एकघाती विस्तृति पर आधारित सवाल (Questions Based on Linear Span in Linear Algebra):

Linear Span in Linear Algebra

(1.)सदिश $R^3(R)$ में माना $\alpha=(1,2,1), \beta=(3,1,5), \gamma=(3,-4,7)$ तो सिद्ध करो कि $S=\{\alpha, \beta\}$ तथा $T=\{\alpha, \beta, \gamma\}$ द्वारा समान विस्तृति होता है।
(In the vector space $R^3(R)$ let $\alpha=(1,2,1), \beta=(3,1,5), \gamma=(3,-4,7)$ Prove that the subspaces spanned by $S=\{\alpha, \beta\}$ and $T=\{\alpha, \beta, \gamma\}$ are the same.)
(2.)यदि $\alpha=(1,2,-1), \beta=(2,-3,2),\gamma=(4,1,3)$ तथा $\delta=(-3,1,2) R^3(R)$ के सदिश है तो सिद्ध करो $L(\alpha, \beta) \neq L(\gamma, \delta)$
(If $\alpha=(1,2,-1), \beta=(2,-3,2),\gamma=(4,1,3)$ and $\delta=(-3,1,2)$ be the vectors in $R^3(R)$ show that) $L(\alpha, \beta) \neq L(\gamma, \delta)$
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रैखिक बीजगणित में एकघाती विस्तृति (Linear Span in Linear Algebra),सदिश समष्टि में एकघाती विस्तृति (Space Spanned in Vector Space) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.रैखिक बीजगणित में एकघाती विस्तृति (Linear Span in Linear Algebra),सदिश समष्टि में एकघाती विस्तृति (Space Spanned in Vector Space) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

प्रश्न:1.एकघात विस्तृति परिभाषित कीजिए।(Define Linear Span):

उत्तर:यदि $S=\left\{v_1, v_2, \cdots, v_{n}\right\}$ सदिश समष्टि V(F) का एक अरिक्त उपसमुच्चय है तब S के सीमित अवयवों के सम्पूर्ण एकघाती संचयों का समुच्चय एकघाती विस्तृति कहलाता है,इसे S से जनित समष्टि भी कहते हैं और इसे L(S) से प्रकट करते हैं।
अतः $L(s)=\left\{\sum_{i=1}^n \alpha_i V_i \mid \alpha_i \in F,i=1,2,3, \ldots,n \right\}$
रिक्त समुच्चय $\{0\}$ की विस्तृति {0} से परिभाषित करते हैं अर्थात् $L(\phi)=\{0\}$
परन्तु यदि $s={v}, v \neq 0$ सदिश समष्टि V(F) का एक अवयवी उपसमुच्चय हो तो
$L(s)=\{\alpha v \mid \alpha \in F\}$
जो v से निर्धारित रेखा को निरूपित करता है।

प्रश्न:2.आन्तरिक व बाह्य द्विचर संक्रिया को परिभाषित कीजिए। (Define internal and external binary operation):

उत्तरः यदि V एक अरिक्त समुच्चय है तो प्रतिचित्रण $f: v \times v \rightarrow v$ एक आन्तरिक द्विचर संक्रिया कहलाती है।
पुनः माना F तथा V दो अरिक्त समुच्चय हैं तो प्रतिचित्रण $g : F \times v \rightarrow v$ एक बाह्य द्विचर संक्रिया कहलाती है इसमें F तथा V के अवयवों का गुणनफल V का अवयव होता है।

प्रश्न:3.सदिश समष्टि को परिभाषित कीजिए।(Define a vector space):

उत्तरःएक ऐसे बीजीय निकाय जो एक बाह्य संक्रिया के अन्तर्गत ग्रुप तथा फील्ड के समायोजन से प्राप्त होता है जिसे सदिश समष्टि (Vector Space) या रैखिक समष्टि (Linear Space) कहते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा रैखिक बीजगणित में एकघाती विस्तृति (Linear Span in Linear Algebra),सदिश समष्टि में एकघाती विस्तृति (Space Spanned in Vector Space) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Linear Span in Linear Algebra

रैखिक बीजगणित में एकघाती विस्तृति
(Linear Span in Linear Algebra)