Linear Combination of Vectors Algebra
1.बीजगणित में सदिशों का एकघात संचय (Linear Combination of Vectors Algebra),रैखिक बीजगणित में सदिशों का एकघात संचय (Linear Combination of vectors in Linear Algebra):
बीजगणित में सदिशों का एकघात संचय (Linear Combination of Vectors Algebra) के इस आर्टिकल में सदिश समष्टि में सदिशों का एकघात संचय के रूप में व्यक्त करना तथा दो उपसमष्टियों का एकघात योग के बारे में अध्ययन करेंगे।
प्रमेय (Theorem):1.यदि S एवं T किसी सदिश समष्टि V(F) की दो उपसमष्टियाँ हैं तब
(i)S+T, V(F) की उपसमष्टि है,
(ii) S+T=\left \{ S \cup T \right \} अर्थात् L(S \cup T)=S+T
(If S and T are Subspaces of the vector space V(F),then
(i)S+T is a subspace of V(F)
(ii)S+T=\left \{ S \cup T \right \} i.e. L(S \cup T)=S+T
उपपत्ति (Proof):(i).माना कि u_1, u_2 \in S ; v_{1},v_{2} \in T
इसलिए S+T की परिभाषानुसार
u_1+v_1, u_2+v_2 \in S+T
दिया हुआ है कि S एवं T दोनों V(F) की उपसमष्टियाँ हैं इसलिए
\alpha, \beta \in F तथा u_1, u_2 \in S \Rightarrow \alpha u_1+\beta u_2 \in S \\ \alpha, \beta \in F तथा v_1, v_2 \in T \Rightarrow \alpha v_1+\beta v_2 \in T
साथ ही \alpha u_1+\beta u_2 \in S, \alpha v_1+\beta v_2 \in T \\ \Rightarrow\left(\alpha u_1+\beta u_2\right)+\left(\alpha v_1+\beta v_2\right) \in S+T \\ \Rightarrow\left(\alpha u_1+\alpha v_1\right) +\left(\beta u_2+\beta v_2\right) \in S+T \\ \Rightarrow \alpha \left(u_1+v_1\right)+ \beta\left(u_2+v_2 \right) \in S+T
अतः \alpha, \beta \in F तथा \left(u_1+v_1\right),\left(u_2+v_2\right) \in S+T \\ \Rightarrow \alpha\left(u_1 +v_1 \right)+\beta\left(u_2+v_2\right) \in S+T
परिणामतः S+T भी V(F) की उपसमष्टि है।
(ii)चूँकि S तथा T,V(F) की उपसमष्टियाँ हैं इसलिए शून्य सदिश O \in S तथा अब O \in T
यदि u \in s \Rightarrow u=u+0 \in S+T [चूँकि O \in T ]
\Rightarrow S \subseteq S+T
इसी प्रकार T \subseteq S+T
अतः S \subseteq S+T, T \subseteq S+T \Rightarrow S \cup T \subseteq S+T \cdots(1)
इसलिए S+T, V(F) का एक ऐसा उपसमष्टि है कि
S \cup T \subseteq S+T
मान लो कि w=u_1+v_1 \in S+T \Rightarrow u_1 \in S, v_1 \in T \\ \Rightarrow u_1, v_1 \in S \cup T
परन्तु u_1+v_1=1 \cdot u_1 + 1 \cdot v_1 जो कि सीमित अवयव u_1, v_1 \in S \cup T का एकघाततः संचय है इसलिए u_1+v_1 \in L(S \cup T) \\ \Rightarrow S+T \subseteq L(S \cup T) \ldots(2)
परन्तु L (S \cup T ), S \cup T को अन्तर्विष्ट करनेवाला V(F) का न्यूनतम उपसमष्टि है तथा (1) से S \cup T \subseteq S+T इसलिए L(S \cup T) \subseteq S + T \cdots(3)
परिणामतः (2) व (3) सेः
S+T=L(S \cup T)=\{S U T\}
प्रमेय (Theorem):2.यदि S तथा T सदिश समष्टि V(F) के उपसमुच्चय हों तो
(If S and T are subsets of a vector space V(F),then)
(i)S \subset L(T) \Rightarrow L(S) \subset L(T)
(ii) S \subset T \Rightarrow L(S) \subset L(T)
(iii)S,V का उपसमष्टि है (S is Subspace of V) \Leftrightarrow L(S)=S
(iv) L(S \cup T) = L(S)+L(T)
(v) L{L(s)}=L(s)
उपपत्ति (Proof):(i)दिया हुआ है S \subset L(T)
माना कि U \in L(S) \Rightarrow \exists u_{1,} u_{2}, \cdots \cdots , u_n \in S ; \\ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \cdots \alpha_n \in F ,इस प्रकार कि u=\Sigma \alpha_i u_i \\ u_1, u_2, u_3, \cdots u_n \in L(T) [चूँकि S \subset L(T) ]
\Rightarrow \Sigma_{i=1}^n \alpha_i u_i \in L(T) [चूँकि L(T), V का उपसमष्टि है]
u \in L(T) \Rightarrow L(S) \subset L(T)
(ii)दिया हुआ है S \subset T
मान लो u \in L(S) \Rightarrow \exists u_1, u_2 ; \ldots, u_n \in S ; \alpha_1, \alpha_2 ; \ldots \ldots, \alpha_n \in F इस प्रकार कि \Sigma_{i=1}^n \alpha_i u_i \\ \Rightarrow u=\Sigma_{i=1}^n \alpha_i u_i \in L(T)
[चूँकि S \subset T \Rightarrow u_1, u_2 ; \ldots, u_n \in T
फलतः L(S) \subset L(T)
अतः S \subset T \Rightarrow L(S) \subset L(T)
(iii)प्रथमतः माना कि S,V की उपसमष्टि है तब हम सिद्ध करेंगे कि
L(S) \subset S
माना u \in L(S) \Rightarrow \exists u_1, u_2,\ldots \ldots, u_n \in S , \\ \alpha_1, \alpha_2,\ldots \ldots,\alpha_n \in F इस प्रकार कि u=\Sigma_{i=1}^n \alpha_i u_i \\ u=\Sigma_{i=1}^n \alpha_i u_i \in S
[चूँकि S,V(F) का उपसमष्टि है अतः यह सदिश योग तथा अदिश गुणन के लिए संवृत है]
फलतः L(S) \subset S
परन्तु प्रत्येक स्थिति में S \subset L(S) अतः L(S)=S
विलोमत (Conversely):माना कि L(S)=S है तब हम सिद्ध करेंगे कि S,V का उपसमष्टि है चूँकि L(S),V का उपसमष्टि है इसलिए S भी V का उपसमष्टि है।
(iv)मान लो कि u \in L(S \cup T) \\ \Rightarrow \exists u_1, u_2, \ldots, u_n \in S \cup T ; \alpha_1, \alpha_2, \ldots \ldots ,\alpha_n \in F
इस प्रकार कि u=\Sigma_{i=1}^n \alpha_i u_i=\Sigma_{k=1}^m \alpha_{k} u_k+ \Sigma_{l=m+1}^{n} \alpha_l u_{l}
जहाँ u_k(k=1,2,3,\ldots, m) \in S तथा u_{l} (l=m+1,\ldots, n) \in T
[चूँकि प्रत्येक u_{i} या तो S का या T का या S तथा T दोनों का अवयव है। इसलिए अवयवों u_{i} को S तथा T के अवयवों में विभाजन करने पर]
चूँकि u \in L(S \cup T) \Rightarrow U \in L(S)+L(T)
फलतः L(S \cup T) \subset L(S)+L(T)
पुनः W \in L(S)+L(T) \Rightarrow W=U+V तथा u \in L(S), v \in L(T) \\ \Rightarrow W=\sum_{k=1}^m \alpha_k u_k+\sum_{l=m+1}^n \alpha_i u_i
जहाँ u_k(k=1,2,3,\ldots, m) \in S तथा u_{l} (l=m+1,\ldots, n) \in T \\ \Rightarrow W \in L(S \cup T)
जहाँ \left \{ u_{i} \right \}=\left \{ u_{k} \right \} \cup \left \{ u_{i} \right \} \\ \Rightarrow W \in L(S \cup T)
फलतः L(S)+L(T) \subset L(S \cup T) \cdots(2)
अतः (1) तथा (2) से: L(S \cup T)=L(S)+L(T)
(v)चूँकि L(S),V(F) का एक उपसमष्टि है,अतः (iii) सेः
L{L(S)}=L(S)
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2.बीजगणित में सदिशों का एकघात संचय के साधित उदाहरण (Linear Combination of Vectors Algebra Solved Examples):
Example:1.सदिश समष्टि के सदिश v को सदिश v_1, v_2 तथा v_3 के एकघात संचय में व्यक्त कीजिए जहाँ
(Express the vector v \in v_{3}(R) as a linear combination of the)
Example:1(i).v=(5,9,5) ; v_{1}=(2,1,4), v_2=(1,-1,3),v_{3}=(3,2,6)
Solution:v=(5,9,5) ; v_{1}=(2,1,4), v_2=(1,-1,3),v_{3}=(3,2,6)
माना कि v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3 जहाँ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in F \\ \Rightarrow (5,9,5) =\alpha_1(2,1,4)+\alpha_2(1,-1,3)+\alpha_3(3,2,6) \\ =\left(2 \alpha_1+\alpha_2 +3 \alpha_3, \alpha_1-\alpha_2+2 \alpha_3, 4 \alpha_1+3 \alpha_2+6 \alpha_3\right) \\ 2 \alpha_1+\alpha_2+ 3 \alpha_3=5 \ldots(1) \\ \alpha_1-\alpha_2+2 \alpha_3=9 \ldots(2) \\ 4 \alpha+3 \alpha_2+6 \alpha_3=5 \ldots(3)
(1) व (2) को जोड़ने परः
3 \alpha_1+5 \alpha_3=14 \ldots(4)
समीकरण (2) को 3 से गुणा करके समीकरण (3) में जोड़ने पर:
\begin{matrix} 3 \alpha_1-3 \alpha_2+6 \alpha_3=27 \ldots(5) \\ 4 \alpha_1+3 \alpha_2+6 \alpha_3=5 \ldots(3) \\ \hline 7 \alpha_1+12 \alpha_3=32 \ldots(6) \end{matrix}
समीकरण (4) को 7 से तथा समीकरण (6) को 3 से गुणा करने पर:
\begin{matrix} 21 \alpha_1+35 \alpha_3=98 \ldots(7) \\ 21 \alpha_1+36 \alpha_3=96 \ldots(8)\\ - \quad \quad \quad -\quad \quad - \quad \quad \quad \text{ घटाने पर }\\ \hline -\alpha_3=2 \end{matrix} \\ \Rightarrow \alpha_3=-2
का मान समीकरण (6) में रखने पर:
7 \alpha_1+12(-2)=32\\ \Rightarrow 7 \alpha=32+24\\ \Rightarrow 7 \alpha_1=\frac{56}{7} \\ \Rightarrow \alpha_1=8
\alpha_{1}, \alpha_{3} का मान समीकरण (1) में रखने परः
2(8)+\alpha_2+3(-2)=5 \\ 10+\alpha_2=5 \\ \alpha_2=-5
अतः अभीष्ट एकघात संचय होगाः
v=8 v_1-5 v_2-2 v_3
Example:1(ii).v=(0,4,20) ; v_1=(2,1,-1), v_2=(-1,0,3), v_3=(0,1,5)
Solution:v=(0,4,20) ; v_1=(2,1,-1), v_2=(-1,0,3), v_3=(0,1,5)
माना कि V=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3 जहाँ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in F \\ (0,4,20)= \alpha_1(2,1,-1)+\alpha_2(-1,0,3)+\alpha_3(0,1,5) \\ \Rightarrow \left(0,4,20\right)=\left(2 \alpha_1-\alpha_2\right) \left(\alpha_1+\alpha_3,-\alpha_1+3 \alpha_2+5 \alpha_3\right) \\ 2 \alpha_1-\alpha_2=0 \ldots (1) \\ \alpha_1+\alpha_3=4 \ldots (2) \\ -\alpha_1+3 \alpha_2+5 \alpha_3=20 \cdots(3)
समीकरण (2) को 5 से गुणा करने परः
\begin{matrix} 5 \alpha_1+5 \alpha_3=20 \ldots \text { (4) } \\ -\alpha_1+3 \alpha_2+5 \alpha_3=20 \ldots (3) \\ + \quad \quad \quad - \quad \quad -\text{ घटाने पर }\\ \hline 6 \alpha_1-3 \alpha_2=0 \end{matrix} \\ \Rightarrow 2 \alpha_1-\alpha_2=0 \ldots(5)
(1) व (5) संपाती है अतः
-\alpha_1+3 \alpha_2+5 \alpha_3=20
को सन्तुष्ट करने वाले \alpha_1 , \alpha_2, \alpha_3 के मान:
\alpha_1=1, \alpha_2=2, \quad \alpha_3=3
अतः अभीष्ट एकघात संचय:
v=v_1+2 v_2+3 v_3
Example:1(iii). v=(1,1,1) ; v_1=(1,0,0), v_2(0,1,0), v_3=(0,0,1)
Solution: v=(1,1,1) ; v_1=(1,0,0), v_2(0,1,0), v_3=(0,0,1)
माना कि v_1 v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3 जहाँ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in F \\ ( 1,1,1)=\alpha_1(1,0,0)+\alpha_2(0,1,0)+\alpha_3(0,0,1) \\ \Rightarrow(1,1,1)= \left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right) \\ \alpha_1=1, \alpha_2=1, \alpha_3=1
अतः अभीष्ट एकघात संचय:
v=v_1+v_2+v_3
Example:1(iv).v=(0,0,0), v_1=(12,3), v_2=(4,1,5) ,v_3=(-4,6,2)
Solution: v=(0,0,0), v_1=(12,3), v_2=(4,1,5) ,v_3=(-4,6,2)
माना कि v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3 जहाँ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in F \\ (0,0,0)=\alpha_1(12,3)+\alpha_2(4,1,5)+\alpha_3(-4,6,2) \\ \Rightarrow(0,0,0)=\left(\alpha_1+4 \alpha_2-4 \alpha_3, 2 \alpha_1+\alpha_2+6 \alpha_3, 3 \alpha_1+5 \alpha_2+2 \alpha_3\right) \\ \alpha_1+4 \alpha_2-4 \alpha_3=0 \quad \cdots(1) \\ 2 \alpha_1+2 \alpha_2+6 \alpha_3=0 \ldots(2) \\ 3 \alpha_1+5 \alpha_2+2 \alpha_3=0 \ldots(3)
(1),(2) व (2),(3) को हल करने परः \alpha_1=-2 \alpha_2
समीकरण (1) में रखने पर: \alpha_2=2 \alpha_3
यदि \alpha_2=2 तो \alpha_{4}=-4, \alpha_3=1
अतः अभीष्ट एकघात संचय:
v=-4 v_1+2 v_2+ v_3
Example:1(v). v=(1,-2,5) ; v_1=(1,1,1), v_2=(1,2,3), v_{3}=(2,-1,1)
Solution: v=(1,-2,5) ; v_1=(1,1,1), v_2=(1,2,3), v_{3}=(2,-1,1)
माना कि V=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3 \\ (1,-2,5)=\alpha_1(1,1,1)+\alpha_2(1,2,3)+ \alpha_3(2,-1,1) \\ \Rightarrow (1,-2,5)=\left(\alpha_1+\alpha_2 +2 \alpha_3, \alpha_1+2 \alpha_2-\alpha_3, \alpha_1+3 \alpha_2+\alpha_3\right) \\ \alpha_1+\alpha_2+2 \alpha_3=1 \ldots(1) \\ \alpha_1+2 \alpha_2-\alpha_3=-2 \ldots(2) \\ \alpha_1+3 \alpha_2+\alpha_3=5 \ldots \text { (3) }
समीकरण (2) को 2 से गुणा करने परः
\begin{matrix}2 \alpha_1+4 \alpha_2-2 \alpha_3=-4 \ldots(4) \\ \alpha_1+\alpha_2+2 \alpha_3=1 \ldots \text { (1) } \text{ जोड़ने पर }\\ \hline 3 \alpha_1+5 \alpha_2=-3 \ldots(3) \end{matrix}
(2) व (3) को जोड़ने परः
2 \alpha_1+5 \alpha_2=3 \ldots(6)
(5) में से (6) घटाने परः
3 \alpha_1+5 \alpha_2=-3 \ldots(5) \\ 2 \alpha_1+5 \alpha_2=3 \ldots(6) \\ -\alpha_1=-6
का मान समीकरण (6) में रखने परः
2 \times -6+5 \alpha_2=-3 \\ 5 \alpha_2=3+12 \\ \Rightarrow 5 \alpha_2=15 \\ \Rightarrow \alpha_2=3
व का मान समीकरण (1) में रखने परः
-6+3+2 \alpha_3=1 \\ \Rightarrow-3+2 \alpha_3=1 \\ \Rightarrow 2 \alpha_3=4 \\ \Rightarrow \alpha_3=2 \\ \alpha_1=-6, \alpha_2=3, \alpha_3=2
अतः अभीष्ट एकघात संचय होगाः
Example:2.सदिश समष्टि के सदिश (10,15,-13) को सदिश (4,3,-2) तथा (2,-6,7) के एकघात संचय में व्यक्त कीजिए।
(In the vector space, express the vector (10,15,-13) as a linear combination of (4,3,-2) and (2,-6,7).)
Solution: V=(10,15,-13) V_1=(4,3,-2), V_{2}=(2,-6,7)
माना कि v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2 जहाँ \alpha_1 \alpha_2 \in F \\ (10,15,-13)=\alpha_1(4,3,-2) +\alpha_2(2,-6,7) \\ =\left(u \alpha_1+2 \alpha_2 ; 3 \alpha_1-6 \alpha_2,-2 \alpha_1+7 \alpha_2\right) \\ 4 \alpha_1+2 \alpha_2=10 \\ 2 \alpha_1+\alpha_2=5 \ldots(1) \\ 3 \alpha_1-6 \alpha_2=15 \\ \alpha_1-2 \alpha_2=5 \ldots(2) \\ -2 \alpha_1+7 \alpha_2=-13 \ldots(3)
समीकरण (1) व (3) को जोड़ने परः
8 \alpha_2=-8 \\ \Rightarrow \alpha_2 =-1
\alpha_2 का मान (1) में रखने परः
2 \alpha_1-1=5 \\ 2 \alpha_1=6 \Rightarrow \alpha_1=3
अतः अभीष्ट एकघात संचयः
v=3 v_1-v_2+K v_3, K \in R
Example:3(a).क्या सदिश सदिशों (1,-3,2) तथा (2,-1,1) का एकघात संचय है?
(Is the vector, a linear combination of the vectors (1,-3,2) and (2,-1,1)?)
Solution: v=(2,-5,4) ; v_1=(1,-3,2), v_2=(2,-1,1)
माना v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2 \\ (2,-5,4)=\alpha_1(1,-3,2)+\alpha_2(2,-1,1) \\ (2,-5,4)=\left(\alpha_1+2 \alpha_2,-3 \alpha_1 \alpha_2, 2 \alpha_1+\alpha_2\right) \\ \alpha_1+2 \alpha_2=2 \cdots(1) \\ -3 \alpha_1-\alpha_2=-5 \Rightarrow 3 \alpha_1+\alpha_2=5 \ldots(2) \\ 2 \alpha_1+\alpha_2=4 \cdots(3)
समीकरण (2) में से (3) घटाने परः
\alpha_1=1
का मान समीकरण (2) में रखने परः
3(1)+\alpha_2=5 \Rightarrow \alpha_2=5=3 \Rightarrow \alpha_2=2,\alpha_1=1, \alpha_2=2
समीकरण (1) को सन्तुष्ट नहीं करते हैं अतः निकाय विरोधी अर्थात् एकघात संचय नहीं है।
Example:3(b).क्या सदिश (3,9,-4) \in v_{4}(R) निम्न सदिशों का एकघात संचय है?
(Is the vector (3,9,-4) \in v_{4}(R), a linear combination of the following vectors?)
(1,2,0,3),(3,9,-4,2) तथा (and) (2,1,2,1)
Solution:माना कि v=(3,9,-4,2), v_1=(1,2,0,3), v_2=(2,3,0,-1), v_3=(2,1,2,1) \\ v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3 \\ (3,9,-4,2)=\alpha_1(1,2,0,3)+\alpha_2(2,3,0,-1) +\alpha_3(2,1,2,1) \\ \Rightarrow (3,9,-4,2)=\left(\alpha_1+2 \alpha_2+2 \alpha_3, 2 \alpha_1+3 \alpha_2+\alpha_3,2 \alpha_3, 3 \alpha_1-\alpha_2+\alpha_3\right) \\ \Rightarrow \alpha_1+2 \alpha_2+2 \alpha_3 =3 \cdots(1) \\ 2 \alpha_1+3 \alpha_2+\alpha_3 =9 \ldots(2) \\ 2 \alpha_3=-4 \Rightarrow \alpha_3=-2 \cdots(3) \\ 3 \alpha_1-\alpha_2+\alpha_3 =2 \ldots(4)
का मान (1),(2),(4) में रखने परः
\alpha_1+2 \alpha_2+2 x-2=3 \Rightarrow \alpha_1+2 \alpha_2=7 \cdots(5) \\ 2 \alpha_1+3 \alpha_2-2=9 \Rightarrow 2 \alpha_1+3 \alpha_2=11 \cdots(6) \\ 3 \alpha_1-\alpha_2-2=2 \Rightarrow 3 \alpha_1-\alpha_2=4 \cdots(7)
समीकरण (7) को 2 से गुणा करने परः
\begin{matrix} 6 \alpha_1-2 \alpha_2=8 \ldots(8) \\ \alpha_1+2 \alpha_2=7 \cdots(5) \text{ जोड़ने पर } \\ \hline 7 \alpha_1=15 \end{matrix} \\ \alpha_1=\frac{15}{7}
\alpha_1 का मान समीकरण (5) में रखने परः
\frac{15}{7}+2 \alpha_2=7 \\ \Rightarrow 2 \alpha_2=7-\frac{15}{7} \\ \Rightarrow 2 \alpha_2= \frac{49-15}{7} \\ \Rightarrow \alpha_2=\frac{34}{7} \times \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha_2 =\frac{17}{7}
का मान समीकरण (6) में रखने परः
2\left(\frac{15}{7}\right)+3 \times\left(\frac{17}{7}\right) \neq 11 \\ \frac{30}{7}+\frac{51}{7} \neq 11 \\ \frac{81}{7} \neq 11
\alpha_1, \alpha_2 के मान समीकरण (6) को सन्तुष्ट नहीं करते हैं अतः निकाय विरोधी अर्थात् एकघात संचय नहीं है।
Example:3(c).क्या सदिश निम्न सदिशों का एकघात संचय है?
(Is the vector, a linear combination of the following vectors?)
(1,-2,0,3),(2,3,0,-1) तथा (and) (2,-1,2,1)
Solution: v=(3,-9,-4,2), v_1=(1,-2,0,3),v_2=(2,3,0,-1), v_3=(2,-1,2,1)
माना कि v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3 \\ (3,-9,-4,2)=\alpha_1(1,-2,0,3) +\alpha_2(2,3,0,-1) + \alpha_3 (2,-1,2,1) \\ \Rightarrow(3,-9,-4,2)= \left(\alpha_1+2 \alpha_2+2 \alpha_3,-2 \alpha_1+3 \alpha_2-\alpha_3 ,2 \alpha_3, 3 \alpha_1-\alpha_2+\alpha_3\right) \\ \Rightarrow \alpha_1+2 \alpha_2+2 \alpha_3=3 \ldots(1)\\ -2 \alpha_1+3 \alpha_2-\alpha_3=-9 \ldots{ (2) }\\ 2 \alpha_3=-4 \Rightarrow \alpha_3=-2 \ldots(3)\\ 3 \alpha_1-\alpha_2+\alpha_3=2 \ldots(4)
का मान समीकरण (1),(2) व (4) में रखने परः
\alpha_1+2 \alpha_2+2 x-2=3 \Rightarrow \alpha_1+2 \alpha_2=7 \ldots(5) \\ -2 \alpha_1+3 \alpha_2-(-2)=-9 \Rightarrow-2 \alpha_1+3 \alpha_2=7 \ldots(6) \\ 3 \alpha_1-\alpha_2-2=2 \Rightarrow 3 \alpha_1-\alpha_2=4 \cdots(7)
समीकरण (5) को 2 से गुणा करने परः
\begin{matrix} 2 \alpha_1+4 \alpha_2=14 \ldots \text { (8) } \\ -2 \alpha_1+3 \alpha_2=-7 \ldots (6) \text{ जोड़ने पर } \\ \hline 7 \alpha_2=7 \end{matrix} \\ \Rightarrow \alpha_2=1
का मान समीकरण (5) में रखने परः
\alpha_1+2 \times 1=7 \Rightarrow \alpha_1=5 \\ \alpha_1=5, \alpha_2=1 समीकरण (7) में रखने परः
-2 \times 5-1 \neq 4 \Rightarrow-11 \neq 4
\alpha_1, \alpha_2 के मान समीकरण (7) को सन्तुष्ट नहीं करते हैं अतः निकाय विरोधी अर्थात् एकघात संचय नहीं है।
Example:4.यदि u_{1}=\left(\begin{array}{rr}1 & 2 \\ -1 & 3\end{array}\right) , u_{2}= \left(\begin{array}{rr}0 & 1 \\ 2 & 4\end{array}\right), u_{3}=\left(\begin{array}{rr}-4 & -2 \\ 0 & -2\end{array}\right) तीन मैटिक्स हैं।निम्न में से कौन-कौनसी मैट्रिक्स u_{1},u_{2} एवं u_{3} मैट्रिक्सों का एकघात संचय है?
(If u_{1}=\left(\begin{array}{rr}1 & 2 \\ -1 & 3\end{array}\right) , u_{2}=\left(\begin{array}{rr}0 & 1 \\ 2 & 4\end{array}\right), u_{3}=\left(\begin{array}{rr}-4 & -2 \\ 0 & -2\end{array}\right) are three matrices,which of the following matrices are linear combination of u_{1},u_{2} and u_{3} ?)
Example:4(i). u=\left(\begin{array}{rr}-1 & 7 \\ 5 & 1\end{array}\right)
Solution:माना कि u=\alpha u_1+\beta u_2+\gamma u_3 जहाँ \alpha,\beta, \gamma \in F \\ \left(\begin{array}{cc}-1 & 7 \\ 5 & 1\end{array}\right)=\alpha\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -1 & 3\end{array}\right)+ \beta\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 2 & 4\end{array}\right)+\gamma\left(\begin{array}{ll}4 & -2 \\ 0 & -2\end{array}\right) \\ \Rightarrow\left(\begin{array}{cc} -1 & 7 \\ 5 & 1 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ll} \alpha+4 \gamma & 2\alpha+\beta-2 \gamma \\ -\alpha+2 \beta & 3 \alpha+43-2 \gamma \end{array}\right) \\ \alpha+4 \gamma=-1 \cdots(1) \\ 2 \alpha+\beta-2 \gamma=7 \cdots(2) \\ -\alpha+2 \beta=5 \ldots(3) \\ -3 \alpha+4 \beta-2 \gamma=1 \cdots (4)
(1) व (3) को जोड़ने परः
2 \beta+4 \gamma=4 \\ \Rightarrow \beta +2 \gamma =2 \ldots(5)
समीकरण (3) को 2 से गुणा करने परः
\begin{matrix} -2 \alpha+4 \beta=10 \ldots \text { (6) } \\ 2 \alpha+\beta-2 \gamma=7 \ldots(2) \text{ जोड़ने पर } \\ \hline 5 \beta-2 \gamma=17 \ldots \text { (7) } \end{matrix}
समीकरण (5) को 5 से गुणा करने परः
\begin{matrix} 5 \beta+10 \gamma =10 \ldots(8) \\ 5 \beta-2 \gamma=17 \ldots(7)\\ - \quad \quad + \quad \quad - \quad \quad \text{ घटाने पर } \\ \hline 12 \gamma=-7 \end{matrix} \\ \Rightarrow \gamma=-\frac{7}{12}
\gamma का मान (5) में रखने परः
\beta+2 \times-\frac{7}{12}=2 \Rightarrow \beta=2+\frac{7}{6}=\frac{19}{6}
\gamma का मान (1) में रखने परः
\alpha+4(-\frac{7}{12})=-1 \Rightarrow \alpha=-1+\frac{7}{3}=\frac{4}{3}
\alpha,\beta, \gamma का मान समीकरण (4) में रखने परः
3\left(\frac{4}{3}\right)+4\left(\frac{19}{6}\right)-2(-7 / 12) \\ \Rightarrow \frac{4}{1}+\frac{38}{3}+\frac{7}{6} \neq 1 \\ \Rightarrow \frac{24+76+7}{6} \neq 1 \\ \Rightarrow \frac{107}{6} \neq 1
के मान समीकरण (4) को सन्तुष्ट नहीं करते हैं अतः निकाय विरोधी अर्थात् एकघात संचय नहीं है।
Example:4(ii). u=\left(\begin{array}{ll}6 & 3 \\0 & 8\end{array}\right)
Solution:माना कि u=\alpha u_1+\beta u_2+\gamma u_3 जहाँ \alpha, \beta, \gamma \in F \\ \left(\begin{array}{ll} 6 & 3 \\0 & 8 \end{array}\right)=\alpha\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 3\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\2 & 4\end{array}\right)+\gamma\left(\begin{array}{ll}4 & -2 \\0 & -2\end{array}\right) \\ \Rightarrow \alpha+4 \gamma=6 \ldots(1) \\ 2 \alpha+\beta-2 \gamma=3 \\ -\alpha+2 \beta=0 \ldots(3) \\ \quad 3 \alpha+4 \beta-2 \gamma=8 \ldots(4)
(1) व (3) को जोड़ने परः
2 \beta+4 \gamma=6 \Rightarrow \beta+2 \gamma=3 \ldots(5)
समीकरण (3) को 2 से गुणा करने परः
\begin{matrix}-2 \alpha+4 \beta=0 \cdots(6) \\ 2 \alpha+\beta-2 \gamma=3 \cdots(2) \text{ जोड़ने पर } \\ \hline 5 \beta-2 \gamma=3 \cdots(7) \end{matrix}
(5) व (1) को जोड़ने परः
6 \beta=6 \Rightarrow \beta=1
\beta का मान समीकरण (5) में रखने परः \gamma=1
\beta का मान (1) में रखने परः \alpha=2
\alpha,\beta, \gamma का मान समीकरण (4) में रखने परः
3×2+4×1-2×1=8
\alpha,\beta, \gamma का मान समीकरण (4) को सन्तुष्ट करते हैं अतः निकाय अविरोधी है अर्थात् एकघात संचय है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बीजगणित में सदिशों का एकघात संचय (Linear Combination of Vectors Algebra),रैखिक बीजगणित में सदिशों का एकघात संचय (Linear Combination of vectors in Linear Algebra) को समझ सकते हैं।
3.बीजगणित में सदिशों का एकघात संचय के सवाल (Linear Combination of Vectors Algebra Questions):
(1.)यदि \alpha=(3,5,2) \in v_3 तो निम्न सदिशों को एकघात संचय के रूप में व्यक्त करो।
(If \alpha=(3,5,2) \in v_3 the express as a linear combination of the vectors)
\alpha_1=(3,2,1), \alpha_2=(2,1,0) \text { and } \alpha_3=(1,0,0)
(2.)सदिश \alpha=(2,-5,3) \in V को सदिशों के एकघात संचय के रूप में लिखो।
(Write the vector \alpha=(2,-5,3) \in V as a linear combination of the vectors)
\alpha=(1,-3,2), \alpha_2=(2,4,-1), \alpha_3=(1,5,7)
उत्तर (Answers):(1) \alpha=2 \alpha_1+\alpha_2+5 \alpha_3
(2.)एकघात संचय नहीं है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बीजगणित में सदिशों का एकघात संचय (Linear Combination of Vectors Algebra),रैखिक बीजगणित में सदिशों का एकघात संचय (Linear Combination of vectors in Linear Algebra) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.बीजगणित में सदिशों का एकघात संचय (Linear Combination of Vectors Algebra),रैखिक बीजगणित में सदिशों का एकघात संचय (Linear Combination of vectors in Linear Algebra) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.एकघात संचय की परिभाषा लिखिए। (Write Definition of Linear Combination):
उत्तर:मान लो V फील्ड F पर एक सदिश समष्टि है। यदि तब V के किसी भी अवयव (सदिश) v इस प्रकार है कि v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_n v_n जहाँ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \ldots,\alpha_n \in F को v_1, v_2, v_3, \ldots, v_n का फील्ड F पर एकघात संचय कहते हैं।
प्रश्न:2.क्या अदिशों के विभिन्न मानों के संगत कई एकघात संचय प्राप्त किए जा सकते हैं? (Can multiple linear combination corresponding to different values of scalars be obtained?):
उत्तर:सदिश समष्टि की परिभाषा से स्पष्ट है कि V के सदस्यों (सदिशों) का प्रत्येक एकघात संचय V का ही सदस्य है साथ ही \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \ldots,\alpha_n के विभिन्न मानों के संगत दिए गए n सदिश v_1, v_2, v_3, \ldots, v_n के कई एकघात संचय प्राप्त किए जा सकते हैं।
प्रश्न:3.दो उपसमष्टियों का एकघात योग की परिभाषा लिखिए। (Write Definition of Linear Sum of Two Subspaces):
उत्तर:यदि S तथा T किसी सदिश समष्टि V(F) की दो उपसमष्टियाँ हैं तब इनका एकघाती योग जिसे S+T से दर्शाते हैं उन सभी योग u+v का समुच्चय है जहाँ u \in S, v \in T
अर्थात् S+T={u+v \mid u \in S, v \in T}
चूँकि 0 (शून्य) सदिश S तथा T दोनों का अवयव है इसलिए यदि
u \in S, 0 \in T \Rightarrow u+0=u \in S+T \\ u \in S \Rightarrow U \in S+T \Rightarrow S \subseteq S+T
इसी प्रकार V \in T \Rightarrow V \in S+T \Rightarrow T \subseteq S+T
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा बीजगणित में सदिशों का एकघात संचय (Linear Combination of Vectors Algebra),रैखिक बीजगणित में सदिशों का एकघात संचय (Linear Combination of vectors in Linear Algebra) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Linear Combination of Vectors Algebra
बीजगणित में सदिशों का एकघात संचय
(Linear Combination of Vectors Algebra)
Linear Combination of Vectors Algebra
बीजगणित में सदिशों का एकघात संचय (Linear Combination of Vectors Algebra) के इस
आर्टिकल में सदिश समष्टि में सदिशों का एकघात संचय के रूप में व्यक्त करना
तथा दो उपसमष्टियों का एकघात योग के बारे में अध्ययन करेंगे।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
