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Quotient Space in Linear Algebra

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1 1.रैखिक बीजगणित में खण्ड समष्टि (Quotient Space in Linear Algebra),सदिश समष्टि की खण्ड समष्टि (Quotient Space of Vector Space):

1.रैखिक बीजगणित में खण्ड समष्टि (Quotient Space in Linear Algebra),सदिश समष्टि की खण्ड समष्टि (Quotient Space of Vector Space):

रैखिक बीजगणित में खण्ड समष्टि (Quotient Space in Linear Algebra) के इस आर्टिकल में खण्ड समष्टि,खण्ड समष्टि की विमा,रैखिक रूपान्तरण का परिसर तथा शून्य समष्टि,रैखिक रूपान्तरण की शून्य समष्टि,रैखिक रूपान्तरण की कोटि एवं शून्यता के बारे में अध्ययन करेंगे।
खण्ड समष्टि (Quotient Space):
मान लो सदिश समष्टि V(F) की एक उपसमष्टि W(F) है,तब (W,+) आबेली ग्रुप (V,+) का उपग्रुप होता है।हम यह भी जानते हैं कि प्रत्येक कि प्रत्येक आबेली ग्रुप का प्रत्येक उपग्रुप एक विशिष्ट उपग्रुप होता है।अतः (W,+) आबेली ग्रुप (V,+) का विशिष्ट उपग्रुप है।V में W के समस्त सहसमुच्चय के समुच्चय को \frac{v}{w} से व्यक्त करते हैं अर्थात् \frac{v}{w}=\{w+v\} v \in w साथ ही \left(\frac{v}{w},+\right) खण्ड ग्रुप होता है।क्योंकि (V, +) आबेली ग्रुप है इसलिए \left(\frac{v}{w},+\right) भी आबेली खण्ड ग्रुप होता है।
यदि W(F) सदिश समष्टि V(F) का उपसमष्टि है और सहसमुच्चय (Cosets) w+v_1, w+v_2 \in \frac{v}{w} यदि सदिश (+) तथा अदिश गुणन (.) को निम्न प्रकार परिभाषित करेंः

\left(w+v_1\right)+\left(w+v_2\right)=w+\left(v_1+v_2\right)
तथा \alpha \cdot(w+v)=w+\alpha \cdot v
तब \frac{V}{w(F)} स्वयं सदिश समष्टि है जिसे V का W के सापेक्ष खण्ड समष्टि कहते हैं।
प्रमेय (Theorem):33.यदि W(F) सदिश समष्टि V(F) का उपसमष्टि है तब W के V में सहसमुच्चय का समुच्चय \frac{v}{w}=\{w+v \mid v \in V\} फील्ड \left(F,+,\bullet \right) पर योग तथा सदिश गुणन संक्रिया के लिए जो कि निम्न प्रकार परिभाषित है, सदिश समष्टि होता हैः
(If W(F) is any subspace of a vactor space V(F),then the set \frac{v}{W} of all cosets W+v, v being an arbitrary element of a vector space over the field F for the addition and scalar multiplication compositions defined as follows \left(w + v_1\right)+\left(w+v_2\right)= w+\left(v_1+v_2\right) \forall v_1 ; v_2 \in v  and \alpha:(w+v)=w+\alpha v ; \alpha \in F, v \in v
उपपत्ति (Proof):सर्वप्रथम हम यह दर्शायेगें कि दी हुई दोनों संक्रियाएँ (योग तथा अदिश गुणन) सुपरिभाषित हैं अर्थात् संक्रियाएँ किसी विशेष चुने हुए सह-समुच्चयों द्वारा प्रतिनिधित्व करने से स्वतन्त्र है।अतः यदि
w+v_1=w+v_1^{\prime} तथा w+v_2=w+v_2^{\prime} ; v_1, v_2, v_1^{\prime} ,v_2^{\prime} \in v
इसमें v_1-v_1^{\prime} \in w तथा v_2-v_2^{\prime} \in w क्योंकि W,V की उपसमष्टि है।

\therefore v_1-v_1^{\prime} \in w, v_2-v_2^{\prime} \in w \\ \Rightarrow\left(v_1-v_1^{\prime} \right)+ \left(v_2 -v_2^{\prime}\right) \in w \\ \Rightarrow\left(v_1+v_2\right)-\left(v_1^{\prime}+ v_2^{\prime} \right) \in w \\ \Rightarrow w+\left(v_1+v_2 \right)=w+\left(v_1^{\prime}+ v_2^{\prime} \right) \\ \Rightarrow \left(w+ v_1\right)+\left(w+v_2\right)= \left(w+v_1^{\prime} \right)+\left(w+ v_2{\prime}\right)
जो कि यह दर्शाता है कि \frac{v}{w}  में योग संक्रिया सुपरिभाषित है।
पुनः \alpha \in F, v_1-v_1^{\prime} \in W \Rightarrow \alpha\left(v_1-v_1^{\prime}\right) \in W \\ \Rightarrow\left(\alpha \cdot v_1-\alpha \cdot v_1^{\prime}\right) \in W \\ \Rightarrow w+\alpha \cdot v_1=w+\alpha \cdot v_1^{\prime} \\ \Rightarrow \alpha \cdot\left(w+v_1\right)=\alpha \cdot\left( w+v_1^{\prime}\right)
जो कि यह दर्शाता है \frac{v}{w} में अदिश गुणन संक्रिया सुपरिभाषित है।
अब यदि v_1, v_2, v_3 \in V तथा \alpha, \beta \in F है तो
(i) योग के लिए क्रमविनिमेयः
यदि w+v_1, w+v_2 \in \frac{v}{w} \\ =w+\left(v_1+v_2\right)=\left(w+v_2\right)+\left(w+v_1\right)
(ii) योग के लिए साहचर्यताः
यदि w+v_1, w+v_2 ; w+v_3 ; \frac{V}{W} के कोई तीन अवयव हैं तब

(w+v_{1})+\left[\left(w+v_2\right)+\left(w+v_3\right)\right] \\ =\left(w+v_1\right)+\left[w+\left( v_2+ v_3 \right)\right] \\ =w+\left[v_1+\left(v_2+v_3\right)\right] \\ =w+\left[\left(v_1+v_2\right) +v_3\right] \\=\left[w+\left(v_1+v_2\right)\right]+\left(w+v_3\right) \\=\left[\left(w+v_1\right)+ \left(w+v_2 \right)\right]+\left(w+v_3\right)
(iii) योग के लिए तत्समक अवयव का अस्तित्व (Existence of Additive Identity):
यदि V का शून्य सदिश है तब w+v=w \in \frac{V}{W}

अब यदि \frac{V}{W} का कोई अवयव W+v हो,तब
(W+0)+(W+v)=W+(0+v)=W+v
\therefore W+0=W, \frac{V}{W}  का योग संक्रिया के लिए तत्समक अवयव है।
(iv) योग संक्रिया के लिए प्रतिलोम का अस्तित्व (Existence of Additive Inverse):
माना v \in V \Rightarrow W \cdot v \in \frac{V}{W}
अब यह माना कि W+x इस प्रकार है कि
(W+v)+(W+x)=W=W=(W+x)+(W+v)

\Rightarrow W+(v+x)=W=W+0 \Rightarrow v+x=0 \Rightarrow x=-v
परन्तु अब v \in V \Rightarrow-v \in V अतः x \in V \\ \therefore W+x=W-v \in \frac{v}{W}
अतः W+v का योग संक्रिया के लिए विलोम W-v है।
फलतः \frac{V}{W} का योग संक्रिया के सापेक्ष आबेली ग्रुप है।अब हम सदिश समष्टि की बची हुई अभीगृहीतों को सिद्ध करेंगे।
यदि \alpha, \beta \in F तथा w+v_1, w+v_2 \in \frac{v}{W} तब 

1) \alpha \cdot\left[\left(w+v_1\right)+\left(w+v_2\right)\right]=\alpha\left[w+\left(v_1 +v_2\right) \right] \\ =w+ \alpha \cdot\left(v_1+v_2\right) \\ =\left(w+\alpha \cdot v_1\right)+\left(w+\alpha \cdot v_2\right) \\ = \alpha \cdot\left(w+v_1\right)+\alpha \left(w+v_2\right)

2) \left(\alpha+\beta \right) \cdot \left( w+v_1\right) \\ =w+\left( \alpha+ \beta\right) v_1 \\ =w+\left( \alpha \cdot v_1+\beta \cdot v_1\right) \\ =\left(w+\alpha \cdot v_1\right)+\left(w+\beta \cdot v_1\right) \\ =\alpha \cdot\left(w+v_1\right)+\beta \cdot \left(w+v_1\right)

3)(\alpha \beta) \cdot\left(w+v_1\right)=w+(\alpha \beta) \cdot v_1=w+\alpha\left(\beta v_1\right) \\ =\alpha \cdot\left(w+\beta \cdot v_1\right)=\alpha \cdot\left[\beta \cdot\left(w+v_1\right)\right]
4) 1 \cdot\left(w+v_1\right)=w+1 \cdot v_1=w+v_1
अतः फील्ड F पर इन दो संक्रियाओं के लिए सदिश समष्टि है जिसे खण्ड समष्टि कहते हैं।
प्रमेय (Theorem):34.यदि W किसी सदिश समष्टि V(F) की एक उपसमष्टि है तो सिद्ध कीजिए कि विभाग समष्टि \frac{V}{W} ;V का एक समाकारी प्रतिबिम्ब है;जिसका समष्टि W है।
(If W is a subspace of a vector space V(F) ;then prove that the quotient space \frac{V}{W} is a homomorphic image of V with kernel W.)
उपपत्ति (Proof):दिया हुआ है कि W सदिश समष्टि V(F) की उपसमष्टि है तो प्रतिचित्रण

f=V \rightarrow \frac{V}{W}
जहाँ f(v)=w+v, \forall v \in V द्वारा परिभाषित किया गया है।
f एक सदिश समष्टि समाकृतिकता अथवा रैखिक रूपान्तरण है क्योंकि
f(V+W)=W+(v+w); v,w \in V
=(W+v)+(W+w)=f(v)+f(w)
एवं f(\alpha v)=w+\alpha v, \alpha \in F \\ =\alpha(w+v)=\alpha f v)
अब f की अष्टि के लिए
f की अष्टि=\{v \mid v \in V, f(v)=w\} \\ =\{v \mid W+v=W\} \\ =\{v \mid v \in W\}=W
अतः f की अष्टि W है।
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2.रैखिक बीजगणित में खण्ड समष्टि के साधित उदाहरण (Quotient Space in Linear Algebra Solved Examples):

Example:1.यदि f: R^4 \rightarrow R^3 निम्न प्रकार से परिभाषित है f\left(x_1\right)=f(x_{3})=(1,1,1), f\left(x_2\right)=(1,1,0) तथा f\left(x_4\right)=(0,0,0) जहाँ \alpha=\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right) \in R^4,तब N_{f} की विमा अर्थात् f की शून्यता ज्ञात कीजिए।
(If f: R^4 \rightarrow R^3 defined as follows:
f\left(x_1\right)=f(x_{3})=(1,1,1), f\left(x_2\right)=(1,1,0)  and f\left(x_4\right)=(0,0,0) where \alpha=\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right) \in R^4
find the dimension of i.e. the nullity of the linear transformation f):
Solution: \alpha=\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=x_1(1,0,0,0)+x_2(0,1,0,0)+x_3(0,0,1,0)+x_4(0,0,0,1) \\ f(\alpha)=f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=f\left[x_1(1,0,0,0)+x_2(0,1,0,0)+x_3(0,0,1,0)+x_4(0,0,0,1)\right] \\ =x_1 f(1,0,0,0)+x_2 f(0,1,0,0)+x_3 f(0,1,1,0) +x_4 f(0,0,0,1) \\=x_1(1,1,1)+x_2(1,1,0)+x_3(1,1,1)+ x_4(0,0,0)\\ =\left(x_1+x_2+x_3, x_1+x_2+x_2, x_1+x_3\right)
इसका गुणांक मैट्रिक्स

A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \\ R_3 \rightarrow R_3-R_1 संक्रिया सेः
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \\ R_2 \rightarrow R_2 \rightarrow R_1 संक्रिया सेः

A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
यह इकोहेलन रूप (Echelon Form) है।
अतः उपर्युक्त मैट्रिक्स के अशून्य सदिशों का समुच्चय {(1,1,1),(0,0,-1)} है।
अतः dim R_{f}=f का परास समष्टि की विमा=2=f की कोटि

f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=\left(x_1+x_2+x_3, x_1+x_2+x_3, x_1+x_3\right)=\left(0,0,0\right) \\ x_1+x_2 +x_3=0 \\ x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+0 . x_2+x_3=0
गुणांक मैट्रिक्स
\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1 \\1 & 0 & 1\end{array}\right] \\ R_3 \rightarrow R_3 \rightarrow R_1, R_2 \rightarrow R_2-R_1 संक्रिया सेः

\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\0 & 0 & 0 \\0 & -1 & 0\end{array}\right] \\  R_{2} \Leftrightarrow R_{3} \\ \sim -\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\0 & -1 & 0 \\0 & 0 & 0\end{array}\right] \\ C_{2} \Leftrightarrow C_{3} \\ \sim\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
यह मैट्रिक्स इकोहेलन रूप (Echelon Form) है।

x_1+x_2+x_3=0 \\ -x_3=0 \\ 0=0 \\ \therefore x_1=-x_2 \\ x_3=0
मुक्त चर दो हैं 0, x_2 अतः शून्यता f=2=N_{f}=2
Example:2.माना f: R^3 \rightarrow R^3 एक रैखिक रूपान्तरण है जो निम्न प्रकार परिभाषित है
f(x,y,z)=(x+2y-z,y+z,x+y-2z)
f की कोटि तथा शून्यता ज्ञात कीजिए।
(Let f: R^3 \rightarrow R^3 be a linear transformation defined as
f(x,y,z)=(x+2y-z,y+z,x+y-2z)
Find the rank and nullity of f.)
Solution:f(x,y,z)=(x+2y-z,y+z,x+y-2z)
f(1,0,0)=(1,0,1),f(0,1,0)=(2,1,1),f(0,0,1)=(-1,1,-2)… (1)

R^3=f(1,0,0)+f(0,1,0)+f(0,0,1) \\ R(f)=x_1 f(1,0,0)+x_2 f(0,1,0)+x_3 f(0,01) \\ R(f)=x_1(1,0,1) +x_2(2,1,1)+ x_3(-1,1,-2) \\ =\left(x_1+2 x_2-x_3, x_2+x_3, x_1+x_2-2 x_3\right) \\ R(f)=\left(x_1+2 x_2-x_3, x_2+x_3, x_1+x_2-2 x_3\right)=(0,0,0) \cdots(1) \\ f(1,0,0)=(1,0,1), f(0,1,0)=(2,1,1),f(0,0,1)=(-1,1,-2)
(1) सेः
\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{array}\right] \\ R_2 \rightarrow R_2+2 R_3 संक्रिया सेः
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\0 & 3 & -3 \\ -1 & 1 & -2 \end{array}\right] \\R_3 \rightarrow R_3+R_1 संक्रिया सेः
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right] \\ R_2 \rightarrow R_2-3 R_3  संक्रिया सेः
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right] \\ R_2 \Leftrightarrow R_3 संक्रिया सेः
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0 \end{array}\right] \\ C_2 \Leftrightarrow C_3 संक्रिया से

\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\0 & -1 & 1 \\0 & 0 & 0\end{array}\right]
यह मैट्रिक्स इकोहेलन रूप (Echelon Form) हैह
अतः उपर्युक्त मैट्रिक्स के अशून्य सदिशों का समुच्चय {(1,1,0),(0,-1,1)} है।
अतः dim R_{f}=f का परास समष्टि की विमा=2=f की कोटि
पुनः (2) से गुणांक मैट्रिक्स
x_1+2 x_2-x_3=0 \\0 x_1+x_2+x_3=0 \\x_1+x_2-2 x_3=0 \\ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2\end{array}\right] \\ R_3 \rightarrow R_3-R_1 संक्रिया सेः
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & -1 & -1\end{array}\right] \\ R_3 \rightarrow R_3+R_2  संक्रिया सेः

\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \\ x_1+2 x_2-x_3=0 \Rightarrow x_1=3 x_3 \\ x_2+x_3=0 \Rightarrow x_2=-x_3 \\ 0=0
मुक्त चर एक x_3 है तथा x_1, x_2 मान पर निर्भर है।
अतः शून्यता f=1=N_f=1

Example:3.यदि T: V_4(R) \rightarrow V_3(R) एक रैखिक रूपान्तरण है, जो किसी के लिए निम्न से परिभाषित हैः
T(a,b,c,d)=(a-b+c+d,a+2c-d,a+b+3c-3d) तो पुष्टि कीजिए कि कोटि T+शून्यता T=विमा V_4(R)
(If T: V_4(R) \rightarrow V_3(R) is a linear transformation defined by T(a,b,c,d)==(a-b+c+d,a+2c-d,a+b+3c-3d) for, then verify that Rank T+Nullity T= dim V_4(R)
Solution:हम जानते हैं कि समुच्चय A=(e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}) ,V_4(R) का आधार समुच्चय है।
जहाँ e_3=(0,0,1,0) इत्यादि।
T(a,b,c,d)=(a-b+c+d,a+2c-d,a+b+3c-3d)

T_{e_1} =T(1,0,0,0)=(1,1,1),\text{put } a=1, b=c=d=0 \\ T_{e_2}=T(0,1,0,0)=(-1,0,1) \text { put } b=1, a=c= d=0  \\ T_{e_3}=T(0,0,1,0)=(1,2,3) \text { put } c=1, a=b=d=02 \\ T_{e_4}=T(0,0,0,1)=(1,-1,-3) \text { put } d=1, a=b=c=0
अब \alpha \in V_4(R)=a_1 e_1+a_2 e_2+a_3 e_3+a_4 e_4, A का आधार समुच्चय है

\beta \in R(T)=T(\alpha)=T\left(a_1 e_1+a_2 e_2+a_3 e_3+a_4 e_4\right) \\ =a_1 T\left(e_1\right) +a_2 T\left(e_2\right)+a_3 T\left(e_3\right)+a_4 T\left(e_4\right) [T की रैखिकता से]
= a_1(1,1,1)+a_2(-1,0,1)+a_3(1,2,3)+a_4(1,-1,-3) \\ \beta \in R(T) का एकघात संचय के चार सदिश में व्यक्त किया जा सकता है \in  V_3(R) \\ B=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\-1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & -3\end{array}\right]
मैट्रिक्स इकोहेलन रूप (Echelon Form) में परिवर्तित करने परः
R_2 \rightarrow R_2+R_1, R_3 \rightarrow R_3 R_{1,}, R_4 \rightarrow R_4-R_1 संक्रिया सेः

B \sim\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & -4\end{array}\right]
पुनः R_4 \rightarrow R_4+2 R_3, R_3 \rightarrow R_3-R_2 संक्रिया सेः

\therefore B \sim\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
अतः उपर्युक्त मैट्रिक्स के अशून्य सदिशों का समुच्चय {(1,1,1),(0,2,1)} है। जो समुच्चय R(T) को जनित करता है।
Verification: \alpha \in V_{4}\left(R\right)=(a, b, c, d) \\ B \in R(T)=T(\alpha)=(a-b+c+d, a+2 c-d ; a+b+3 c-3 d) \\ =(a-b+c+d)(1,1,1)+(b+c-2 d)(0,1,2) \\ =K_1(1,1,1)+K_2(0,1,2)
एकघात संचय है अतः{(1,1,1),(0,1,2)} ,R(T) का आधार समुच्चय है।
dim R(T) i.e. T की कोटि=2…. (1)
T की शून्य समष्टि के लिए आधार

\alpha \in N(T) यदि T(\alpha)=0
T(a,b,c,d)=(a-b+c+d,a+2c-d,a+b+3c-3d)=(0, 0,0)
a+b+c+d=0
a+2c-d=0
a+b+3c-3d=0
गुणांक मैट्रिक्स

\left[\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 3 & -3\end{array}\right] \\ R_2 \rightarrow R_2-R_1  तथा R_3 \rightarrow R_3-R_1 संक्रिया सेः

\sim\left[\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 2 & -4 \end{array}\right] \\ R_3 \rightarrow R_3-2 R_1  संक्रिया सेः

\sim \left[\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
यह इकोहेलन रूप (Echelon Form) है।
समीकरणों का समतुल्य निकाय
a-b+c+d=0
b+c-2d=0
0=0
b=2d-c
a=-2c+d
मुक्त चरों की संख्या दो c व d है तथा a,b का मान c व d पर निर्भर है।
अतः T की शून्यता=dim N(T)=मुक्त चरों की संख्या=2
c=1,d=0,a=-2,b=-1 लेने पर
c=0,d=1,a=1,b=2 लेने पर
{(-2,-1,1,0),(1,2,0,1)}
N(T) को आधार लेने पर उपर्युक्त निकाय एकघात संचय है।
Dim V_4(R)=4,Dim {R(T)}=2,Dim [N(T)]=2
Rank T+Nullity T= dim V_4(R)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक बीजगणित में खण्ड समष्टि (Quotient Space in Linear Algebra),सदिश समष्टि की खण्ड समष्टि (Quotient Space of Vector Space) को समझ सकते हैं।

3.रैखिक बीजगणित में खण्ड समष्टि के सवाल (Quotient Space in Linear Algebra Questions):

(1.)यदि एक रैखिक रूपान्तरण T: R^3 \rightarrow R^2 निम्न प्रकार परिभाषित हैःT(1,0,0)=(1,2);T(0,1,0)=(1,-1); एवं T(0,0,1)=(1,1), तब किसी स्वेच्छ सदिश \alpha=\left(x_1, x_2, x_3\right) \in R^3 के लिए ज्ञात कीजिए।रूपान्तरण T का परिसर तथा शून्य समष्टि और उसकी कोटि एवं शून्यता भी ज्ञात कीजिए।सिल्वेस्टर के शून्यता नियम का परीक्षण कीजिए।
(If a linear transformation T: R^3 \rightarrow R^2 is defined as T(1,0,0)=(1,2);T(0,1,0)=(1,-1); and T(0,0,1)=(1,1), then for an arbitrary vector \alpha=\left(x_1, x_2, x_3\right) \in R^3, find also the range and null space of T and also its rank and nullity. Verify sylvester’s law of nullity.)
(2.)सिद्ध कीजिए कि से में परिभाषित निम्न प्रतिचित्रण एक रैखिक रूपान्तरण है।निम्न (i) तथा (ii) में इसका परास कोटि एवं शून्य अष्टि,शून्यता ज्ञात कीजिए।

(i) f(a, b)=(a-b, b-a,-a) \forall a, b \in R
(ii) f(a, b)=(a+b, a-b, b)+a, b \in R
(Prove that the following transformation defined from V_2(R) to V_3(R) is a linear transformation. For each of the following find the range,rank,null space and nullity.)
उत्तर (Answers):(1.)विमा \left(R^3\right)=3, \rho(T)=2 (T की कोटि) \nu(T)=1 (T की शून्यता)
(2.)(i)f का परास= \left\{v \in V_3(R) \mid v=f(u) ; u \in v_2(R)\right\}, f की शून्य समष्टि N_{f}=\{(0,0)\}, f की शून्यता \operatorname{dim} N_f=0, f की कोटि \rho(f)=\operatorname{dim} R_{f}=2
(2.)(ii)f का परास= \left\{V \in V_3(R)\mid v=f(u); u \in V_2(R) \right\}, f की शून्य समष्टि N_f=\left\{u \in V_2(R) \mid f(u)=0,0 \in V_3\right\} \\ N_f=\{(0,0)\}, f की शून्यता=dim N_f=0, f की कोटि=\rho(f)=dim R_{f}=f

परास R_{f}=2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रैखिक बीजगणित में खण्ड समष्टि (Quotient Space in Linear Algebra),सदिश समष्टि की खण्ड समष्टि (Quotient Space of Vector Space) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.रैखिक बीजगणित में खण्ड समष्टि (Frequently Asked Questions Related to Quotient Space in Linear Algebra),सदिश समष्टि की खण्ड समष्टि (Quotient Space of Vector Space) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

प्रश्नः1.रैखिक रूपान्तरण का परिसर की परिभाषा दीजिए। (Give the Definition of Range of a Linear Transformation):

उत्तर:यदि U तथा V एक ही क्षेत्र F पर दो सदिश समष्टियाँ हैं, तथा f : U \rightarrow V एक रैखिक रूपान्तरण है, तब f का परिसर जिसे साधारणतः R_f से व्यक्त किया जाता है, निम्न से परिभाषित होता हैः
R_f={f(x)=x \in U}
टिप्पणीःयह देखा जा सकता है कि R_f सदिश समष्टि V की एक उपसमष्टि होती है।

प्रश्न:2.रैखिक रूपान्तरण की शून्य समष्टि की परिभाषा दीजिए।(Give the Definition of Null Space of a Linear Transformation):

उत्तर:यदि U तथा V एक ही क्षेत्र F पर दो सदिश समष्टियाँ हैं तथा f : U \rightarrow V एक रैखिक रूपान्तरण है तब f की शून्य समष्टि, जिसे साधारणतः N_f से व्यक्त किया जाता है, निम्न से परिभाषित होती हैः N_f={x \in u : f(x)=0}
अर्थात् V के उन सदिशों का उपसमुच्चय जो कि V के शून्य सदिश पर प्रतिबिम्बित होता है, f की शून्य समष्टि कहलाती है।इसको f की अष्टि (kernel) भी कहते हैं।

प्रश्न:3.रैखिक रूपान्तरण की कोटि की परिभाषा दीजिए। (Define the Rank of a Linear Transformation):

उत्तर:यदि U तथा V एक ही क्षेत्र F पर दो सदिश समष्टियाँ हैं तथा f : U \rightarrow V रैखिक रूपान्तरण है तब f के परिसर R_{f} की विमा (Dimension) को यदि वह परिमित है, रैखिक रूपान्तरण f की कोटि कहते हैं तथा इसको सामान्यतः \rho (f)दर्शाते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा रैखिक बीजगणित में खण्ड समष्टि (Quotient Space in Linear Algebra),सदिश समष्टि की खण्ड समष्टि (Quotient Space of Vector Space) को समझ सकते हैं।

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Quotient Space in Linear Algebra

रैखिक बीजगणित में खण्ड समष्टि
(Quotient Space in Linear Algebra)

Quotient Space in Linear Algebra

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