Approximation in Class 12
1.कक्षा 12 में सन्निकटन (Approximation in Class 12),गणित में सन्निकटन (Approximation in Mathematics):
कक्षा 12 में सन्निकटन (Approximation in Class 12) के इस आर्टिकल में हम कुछ राशियों के सन्निकटन मान को ज्ञात करने के लिए अवकलजों का प्रयोग करेंगे।
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2.कक्षा 12 में सन्निकट के साधित उदाहरण (Approximation in Class 12 Solved Examples):
Example:1.f(2.01) का सन्निकटन मान ज्ञात कीजिए जहाँ f(x)=4 x^2+5 x+2 है।
Solution: f(x)=4 x^2+5 x+2
माना x=2 और \Delta x=0.01 \\ f(x+\Delta x)=4(x+\Delta x)^2+5(x+\Delta x)+2 \\ \Rightarrow f(2.01)= f(x+\Delta x)=4(x+\Delta x)^2+5(x+\Delta x)+2 \\ \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x) \\ \Rightarrow f(x+\Delta x)=f(x)+\Delta y \\ =f(x)+f^{\prime}(x) \Delta x\left[\Delta y=\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x\right] \\ =4 x^2+5 x+2+(8 x+5) \Delta x \\ \Rightarrow f(2.01)=4(2)^2+5 \times 2+2+(8 \times 2+5)(0.01) \\ =16+10+2+21 \times 0.01 \\ =28+0.21 \\ \Rightarrow f(2.01)=28.21
Example:2.f(5.001) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ f(x)=x^3-7 x^2+15 है।
Solution:f(x)=x^3-7 x^2+15
माना x=5 और \Delta x=0.001 \\ f(x+\Delta x)=(x+\Delta x)^3-7(x+\Delta x)^2+15 \\ f(5.001)= f(x+\Delta x)=(x+\Delta x)^3-7(x+\Delta x)^2+15 \\ \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x) \\ \Rightarrow f(x+\Delta x)=f(x)+\Delta y \\ \Rightarrow f(x+\Delta x)=f(x)+f^{\prime}(x) \Delta x \quad\left[\Delta y=\left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x\right] \\ =x^3-7 x^2+15+\left(3 x^2-14 x\right) \Delta x \\ \Rightarrow f(5.001)=(5)^2-7(5)^2+15+\left(3 \times 5^2-14 \times 5\right)(0.001) \\ =125-175+15+(75-70)(0.001) \\ =-35+0.005 \\ \Rightarrow f(5.00)=-34.995
Example:3.x m भुजा वाले घन की भुजा में 1% वृद्धि के कारण घन के आयतन में होने वाला सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
Solution: \Delta x=x \times \frac{1}{100}=0.01 x
घन का आयतन V=x^3 \\ dv=3 x^2 \Delta x \\ =3x^2(0.01 x) \\ \Rightarrow d v =0.03 x^3 \mathrm{~m}^3
Example:4.x m भुजा वाले घन की भुजा में 1% ह्रास के कारण घन के पृष्ठ क्षेत्रफल में होने वाले सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
Solution: \Delta x=x \times\left(-\frac{1}{100}\right)=-0.01 x
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल S=6 x^2 \\ ds=\left(\frac{d s}{d x}\right) \Delta x \\ =(12 x) \Delta x \\ =12 \times x \times-0.01 x \\ \Rightarrow d s =-0.12 x^2 \mathrm{~m}^2
Example:5.एक गोले की त्रिज्या 7 m मापी जाती है जिसमें 0.02 m की त्रुटि है।इसके आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
Solution:r=7 m ,\Delta r=0.02 m
गोले का आयतन V=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ d r =\left(\frac{d V}{d r}\right) \Delta r \\ =\left(\frac{4}{3} \times 3 \pi r^2\right) \Delta r \\ =4 \pi(7)^2 \times 0.02 \mathrm{~m}^3 \\ \Rightarrow dV=3.92 \pi m^3
Example:6.एक गोले की त्रिज्या 9 m मापी जाती है जिसमें 0.03 m की त्रुटि है।इसके पृष्ठ क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
Solution:r=9 m तथा \Delta r=0.03 m
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S=4 \pi r^{2} \\ ds=\left(\frac{d s}{d r}\right) \Delta r \\ =(8 \pi r) \Delta r \\ =8 \pi \times 9 \times 0.03 \mathrm{~m}^2 \\ \Rightarrow d s =2.16 \pi \mathrm{m}^2
Example:8.यदि f(x)=3 x^2+15 x+5 हो तो f(3.02) का सन्निकट मान हैंः
(A)47.66 (B)57.66 (C)67.66 (D)77.66
Solution: f(x)=3 x^2+15 x+5
माना x=3 और \Delta x=0.02 \\ f(x+\Delta x)=3(x+\Delta x)^2+15(x+\Delta x)+5 \\ f(3.02)=f(x+\Delta x)=3\left(x+\Delta x\right)^2+15(x+\Delta x)+5 \\ \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x) \\ \Rightarrow f(x+\Delta x)=f(x)+\Delta y \\ =f(x)+f^{\prime}(x) \Delta x \quad\left[\Delta y=\frac{dy}{dx} \Delta x\right] \\ =3 x^2+15 x+5+(6 x+15) \Delta x \\ \Rightarrow f(3.02)=3(3)^2+15 \times 3+5+(6 \times 3+15) \times 0.02 \\ =27+45+5+(18+15) \times 0.02 \\ =77+33 \times 0.02 \\ =77+0.66 \\ \Rightarrow f(3.02)=77.66
(D)77.66 Answer
Example:9.भुजा में 3% वृद्धि के कारण भुजा x के घन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन हैः
\text { (A) } 0.06 x^3 \mathrm{~m}^3(B) 0.6 x^3 \mathrm{~m}^3(C) 0.09 x^3 \mathrm{~m}^3 \text { (D) } 0.9 x^3 \mathrm{~m}^3
Solution: \Delta x=x \times \frac{3}{100}=0.03 x \mathrm{~m}
घन का आयतन V=x^3 \\ dv=\left(\frac{d v}{d x}\right) \Delta x \\ =\left(3 x^2\right) \Delta x \\ =3 x^2 \times 0.03 x \mathrm{~m}^3 \\ \Rightarrow dV=0.09 x^3 \mathrm{~m}^3
3.कक्षा 12 में सन्निकटन पर आधारित सवाल (Questions Based on Approximation in Class 12):
(1.)एक घनाकार सन्दूक के आयतन की गणना में प्रतिशत त्रुटि ज्ञात कीजिए यदि घन की कोर की लम्बाई में त्रुटि 5 प्रतिशत त्रुटि होती है।
(2.)अवकलज का प्रयोग करके \log _{e} {4.04} निकटतम मान ज्ञात कीजिए जबकि \log _e 4=1.3863
उत्तर (Answer):(1.) 15% (2.)1.008686
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4.कक्षा 12 में सन्निकटन (Frequently Asked Questions Related to Approximation in Class 12),गणित में सन्निकटन (Approximation in Mathematics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः
प्रश्नः1.परतन्त्र चर तथा स्वतन्त्र चर में वृद्धि किसके समान है? (The Increment in Dependent Variable and Independent Variable is Equal to):
उत्तरःपरतन्त्र चर (Dependent Variable) का अवकल चर की वृद्धि के समान नहीं है जबकि स्वतन्त्र चर (Independent Variable) का अवकल चर की वृद्धि के समान है।अर्थात् d x=\Delta x
परन्तु d y=\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x
प्रश्नः2.सन्निकटन की मुख्य बातें लिखिए। (Write Down HIGHLIGHTS of Approximation):
उत्तर:(1.)मान लीजिए y=f(x) और \Delta x, x में छोटी वृद्धि है और x की वृद्धि के संगत y में छोटी वृद्धि \Delta y है अर्थात् \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x) तब
dy=f'(x)dx या dy=\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x
(2.)जब d x=\Delta x अपेक्षाकृत बहुत छोटा है तो यह \Delta y का एक अच्छा सन्निकटन है।इसे हम d y=\Delta y द्वारा निरूपित करते हैं।
प्रश्नः3.क्या अवकल गुणांक एक भिन्न है? (Is Differential Coefficient a Fraction?):
उत्तरः(1.)\frac{\delta y}{\delta x} एक भिन्न है का अर्थ \delta y-\delta x है।
(2.)\frac{d y}{d x} एक भिन्न नहीं है।जबकि तो केवल \lim _{\delta x \rightarrow 0} \frac{\delta y}{\delta x} का संकेत मात्र है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा कक्षा 12 में सन्निकटन (Approximation in Class 12),गणित में सन्निकटन (Approximation in Mathematics) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Satyam
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