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Algebraic identities

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1 1.बीजीय सर्वसमिकाओं का परिचय (Introduction to Algebraic identities),कक्षा 9 के लिए बीजीय सर्वसमिकाएं (Algebraic Identities for class 9)-

1.बीजीय सर्वसमिकाओं का परिचय (Introduction to Algebraic identities),कक्षा 9 के लिए बीजीय सर्वसमिकाएं (Algebraic Identities for class 9)-

बीजीय सर्वसमिकाएं (Algebraic identities),कक्षा 9 के लिए बीजीय सर्वसमिकाएं (Algebraic Identities for class 9) ऐसी बीजीय समीकरण होती है जो चर के वास्तविक मानों के लिए सत्य होती है।इस आर्टिकल में उन सर्वसमिकाओं का अध्ययन करेंगे जो द्विपदों एवं त्रिपदों के गुणनफलों से सम्बन्धित है।
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2.बीजीय सर्वसमिकाएं (Algebraic identities),कक्षा 9 के लिए बीजीय सर्वसमिकाएं (Algebraic Identities for class 9),चार बीजीय सर्वसमिका क्या हैं? (What are the four algebraic identities?),मैथ्स में कितनी बीजीय सर्वसमिका हैं? (How many algebraic identities are there in maths?),प्रमाण के साथ बीजीय सर्वसमिका (Algebraic identities with proof)-

कक्षा 8 व कक्षा 9 में सामान्यतः निम्न सर्वसमिकाओं का अध्ययन किया जाता है-
सर्वसमिका I:{ (x+y) }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+2xy+{ y }^{ 2 }
सर्लसमिका II:{ (x-y) }^{ 2 }={ x }^{ 2 }-2xy+{ y }^{ 2 }
सर्वसमिका III:{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }=(x+y)(x-y)
सर्वसमिका IV:(x+a)(x+b)={ x }^{ 2 }+(a+b)x+ab
सर्वसमिका V:सर्वसमिका I को त्रिपद x+y+z पर लागू करने पर हम { (x+y+z) }^{ 2 }का अभिकलन करते हैं।
माना x+y=t
{ (x+y+z) }^{ 2 }={ (t+z) }^{ 2 }\\ ={ t }^{ 2 }+2tz+{ z }^{ 2 }[सर्वसमिका I के अनुसार]

={ (x+y) }^{ 2 }+2(x+y)z+{ z }^{ 2 }[t का मान प्रतिस्थापित करने पर]

={ x }^{ 2 }+2xy+{ y }^{ 2 }+2xz+2yz+{ z }^{ 2 }\\ { (x+y+z) }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+2xy+2yz+2xz

सर्वसमिका VI:सर्वसमिका I को { (x+y) }^{ 3 }  ज्ञात करने में उपयोग करने पर-

{ (x+y) }^{ 3 }=(x+y){ (x+y) }^{ 2 }\\ =(x+y)({ x }^{ 2 }+2xy+{ y }^{ 2 })\\ =x({ x }^{ 2 }+2xy+{ y }^{ 2 })+y({ x }^{ 2 }+2xy+{ y }^{ 2 })\\ ={ x }^{ 3 }+2{ x }^{ 2 }y+x{ y }^{ 2 }+{ x }^{ 2 }y+2x{ y }^{ 2 }+{ y }^{ 3 }\\ { (x+y) }^{ 3 }={ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }y+3{ x }^{ 2 }y+{ y }^{ 3 }

सर्वसमिका VII:सर्वसमिका VI में y के स्थान पर -y प्रतिस्थापित करने पर-

{ (x-y) }^{ 3 }={ x }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }y+3{ x }^{ 2 }y-{ y }^{ 3 }

सर्वसमिका VIII:{ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }+{ z }^{ 3 }-3xyz=(x+y+z)({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }-xy-yz-xz)

3.बीजीय सर्वसमिकाएं उदाहरणसहित (Algebraic Identities with Examples)-
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके गुणनफल ज्ञात कीजिए-

Example-1.(x-5)(x+8)
Solution(x-5)(x+8)\\ ={ x }^{ 2 }+(-5+8)x+(-5)(8)
[(x+a)(x+b)={ x }^{ 2 }+(a+b)x+ab सर्वसमिका से]

={ x }^{ 2 }+3x-40
Example-2.(5-3x)(3+2x)
Solution(5-3x)(3+2x)\\ =5(3+2x)-3x(3+2x)\\ =15+10x-9x-6{ x }^{ 2 }\\ =15+x-6{ x }^{ 2 }
बीजीय सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके गुणनफल ज्ञात कीजिए-
Example-3.104×109
Solution-104\times 109\\ =(100+4)\times (100+9)\\ ={ (100) }^{ 2 }+(4+9)\times 100+4\times 9
[(x+a)(x+b)={ x }^{ 2 }+(a+b)x+ab सर्वसमिका से]
=10000+1300+36
=11336
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके गुणनखंड ज्ञात कीजिए-
Example-4.{ x }^{ 2 }+6xy+9{ y }^{ 2 }
Solution{ x }^{ 2 }+6xy+9{ y }^{ 2 }\\ { x }^{ 2 }+6x\times 3y+{ (3y) }^{ 2 }\\ { (x+3y) }^{ 2 }
[{ (x+y) }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+2xy+{ y }^{ 2 } सर्वसमिका से]
उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग करके निम्नलिखित का विस्तार कीजिए-
Example-5.{ (2a-3b-c) }^{ 2 }
Solution{ (2a-3b-c) }^{ 2 }\\ ={ (2a) }^{ 2 }+{ (-3b) }^{ 2 }+{ (-c) }^{ 2 }+2\times 2a\times (-3b)+2\times (-3b)\times (-c)+2\times 2a\times (-c)\\ =4{ a }^{ 2 }+9{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }-12ab+6bc-4ac
[{ (x+y+z) }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+2xy+2yz+2xz सर्वसमिका से]
Example-6.{ \left( \frac { x }{ y } +\frac { y }{ z } +\frac { z }{ x } \right) }^{ 2 }
Solution{ \left( \frac { x }{ y } +\frac { y }{ z } +\frac { z }{ x } \right) }^{ 2 }\\ ={ \left( \frac { x }{ y } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { y }{ z } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { z }{ x } \right) }^{ 2 }+2\left( \frac { x }{ y } \right) \left( \frac { y }{ z } \right) +2\left( \frac { y }{ z } \right) \left( \frac { z }{ x } \right) +2\left( \frac { z }{ x } \right) \left( \frac { x }{ y } \right) \\ =\frac { { x }^{ 2 } }{ { y }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { z }^{ 2 } } +\frac { { z }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } +2\frac { x }{ z } +2\frac { y }{ x } +2\frac { z }{ y }
गुणनखंड कीजिए
Example-7.9{ x }^{ 2 }+4{ y }^{ 2 }+16{ z }^{ 2 }-12xy-16yz+24xz
Solution9{ x }^{ 2 }+4{ y }^{ 2 }+16{ z }^{ 2 }-12xy-16yz+24xz\\ { \left( 3x \right) }^{ 2 }+{ \left( -2y \right) }^{ 2 }+{ \left( 4z \right) }^{ 2 }+2\times 3x\times \left( -2y \right) +2\times \left( -2y \right) \left( 4z \right) +2\times 3x\times 4z\\ { \left( 3x-2y+4z \right) }^{ 2 }

[{ \left( x+y+z \right) }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+2xy+2yz+2zx सर्वसमिका से]
निम्न घनों का विस्तार कीजिए-
Example-8.{ \left( 3a-2b \right) }^{ 3 }
Solution{ \left( 3a-2b \right) }^{ 3 }\\ { \left( 3a \right) }^{ 3 }+{ \left( -2b \right) }^{ 3 }+3{ \left( 3a \right) }^{ 2 }\left( -2b \right) +3\left( 3a \right) { \left( -2b \right) }^{ 2 }
[{ \left( a+b \right) }^{ 3 }={ a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }+3{ a }^{ 2 }b+3a{ b }^{ 2 } सर्वसमिका से]

=27{ a }^{ 3 }-8{ b }^{ 3 }-54{ a }^{ 2 }b+36a{ b }^{ 2 }

कक्षा 9 के लिए बीजीय सर्वसमिकाओं (Algebraic Identities for class 9) को समझा जा सकता है।

Example-9.{ \left( \frac { 2 }{ 5 } x+3 \right) }^{ 3 }
Solution{ \left( \frac { 2 }{ 5 } x+3 \right) }^{ 3 }\\ { \left( \frac { 2 }{ 5 } x \right) }^{ 3 }+{ \left( 3 \right) }^{ 3 }+3\times { \left( \frac { 2 }{ 5 } x \right) }^{ 2 }\times 3+3\times { \left( \frac { 2 }{ 5 } x \right) }{ \left( 3 \right) }^{ 2 }
[{ \left( a+b \right) }^{ 3 }={ a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }+3{ a }^{ 2 }b+3a{ b }^{ 2 }सर्वसमिका से]

=\frac { 8 }{ 125 } { x }^{ 3 }+27+\frac { 36 }{ 25 } { x }^{ 2 }+\frac { 54 }{ 5 } x
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके मान ज्ञात कीजिए
Example-10.{ \left( 98 \right) }^{ 3 }
Solution{ \left( 98 \right) }^{ 3 }\\ ={ \left( 100-2 \right) }^{ 3 }\\ ={ \left( 100 \right) }^{ 3 }+{ \left( -2 \right) }^{ 3 }+3{ \left( 100 \right) }^{ 2 }\left( -2 \right) +3\left( 100 \right) { \left( -2 \right) }^{ 2 }
[{ \left( a+b \right) }^{ 3 }={ a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }+3{ a }^{ 2 }b+3a{ b }^{ 2 } सर्वसमिका से]
=1000000-8-60000+1200
=941192
Example-11.{ \left( 103 \right) }^{ 3 }
Solution{ \left( 103 \right) }^{ 3 }\\ ={ \left( 100+3 \right) }^{ 3 }\\ ={ \left( 100 \right) }^{ 3 }+{ \left( 3 \right) }^{ 3 }+3{ \left( 100 \right) }^{ 2 }\left( 3 \right) +3\left( 100 \right) { \left( 3 \right) }^{ 2 }
[{ \left( a+b \right) }^{ 3 }={ a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }+3{ a }^{ 2 }b+3a{ b }^{ 2 }  सर्वसमिका से]
=1000000+27+90000+2700
=10922727
गुणनखंड कीजिए-
Example-12.{ x }^{ 3 }+8{ y }^{ 3 }+6{ x }^{ 2 }y+12x{ y }^{ 2 }
Solution{ x }^{ 3 }+8{ y }^{ 3 }+6{ x }^{ 2 }y+12x{ y }^{ 2 }\\ ={ x }^{ 3 }+{ \left( 2y \right) }^{ 3 }+3\times { x }^{ 2 }\times 2y+3\times x\times { \left( 2y \right) }^{ 2 }\\ ={ \left( x+2y \right) }^{ 3 }
[{ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }={ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }y+3x{ y }^{ 2 } सर्वसमिका से]
Example-13.125{ x }^{ 3 }-64{ y }^{ 3 }-300{ x }^{ 2 }y+240x{ y }^{ 2 }
Solution125{ x }^{ 3 }-64{ y }^{ 3 }-300{ x }^{ 2 }y+240x{ y }^{ 2 }\\ { \left( 5x \right) }^{ 3 }+{ \left( -4y \right) }^{ 3 }+3\times { \left( 5x \right) }^{ 2 }\times \left( -4y \right) +3\times 5x\times { \left( -4y \right) }^{ 2 }\\ { \left( 5x-4y \right) }^{ 3 }
[{ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }={ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }y+3x{ y }^{ 2 } सर्वसमिका से]
Example-14.64{ a }^{ 3 }+27{ b }^{ 3 }
Solution64{ a }^{ 3 }+27{ b }^{ 3 }\\ { \left( 4a \right) }^{ 3 }+{ \left( 3b \right) }^{ 3 }\\ =\left( 4a+3b \right) \left[ { \left( 4a \right) }^{ 2 }+{ \left( 3b \right) }^{ 2 }-4a\times 3b \right] \\ =\left( 4a+3b \right) \left[ 16{ a }^{ 2 }+9{ b }^{ 2 }-12ab \right]
[{ a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }=\left( a+b \right) \left( { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-ab \right) सर्वसमिका से]
सत्यापित कीजिए-
Example-15.{ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }+{ z }^{ 3 }-3xyz=\frac { 1 }{ 2 } \left( x+y+z \right) \left[ { \left( x-y \right) }^{ 2 }+{ \left( y-z \right) }^{ 2 }+{ \left( z-x \right) }^{ 2 } \right]
Solution{ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }+{ z }^{ 3 }-3xyz=\frac { 1 }{ 2 } \left( x+y+z \right) \left[ { \left( x-y \right) }^{ 2 }+{ \left( y-z \right) }^{ 2 }+{ \left( z-x \right) }^{ 2 } \right] \\ R.H.S.=\frac { 1 }{ 2 } \left( x+y+z \right) \left[ { \left( x-y \right) }^{ 2 }+{ \left( y-z \right) }^{ 2 }+{ \left( z-x \right) }^{ 2 } \right] \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left( x+y+z \right) \left[ { x }^{ 2 }-2xy+{ y }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-2yz+{ z }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }-2zx+{ x }^{ 2 } \right]
[{ \left( x+y \right) }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+2xy+{ y }^{ 2 }सर्वसमिका से]

=\frac { 1 }{ 2 } \left( x+y+z \right) \left[ { 2x }^{ 2 }+2{ y }^{ 2 }+2{ z }^{ 2 }-2xy-2yz-2zx \right] \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left( x+y+z \right) 2\left[ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }-xy-yz-zx \right] \\ =\left( x+y+z \right) \left[ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }-xy-yz-zx \right] \\ ={ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }+{ z }^{ 3 }-3xyz
[{ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }+{ z }^{ 3 }-3xyz=\left( x+y+z \right) \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }-xy-yz-zx \right) सर्वसमिका से]
उपयुक्त बीजीय सर्वसमिकाओं (Algebraic identities) का प्रयोग करते हुए गणना कीजिए-
Example-16.{ \left( 30 \right) }^{ 3 }+{ \left( 20 \right) }^{ 3 }+{ \left( -50 \right) }^{ 3 }
Solution{ \left( 30 \right) }^{ 3 }+{ \left( 20 \right) }^{ 3 }+{ \left( -50 \right) }^{ 3 }
माना x=30,y=20,z=-50

\Rightarrow x+y+z=30+20-50\\ \Rightarrow x+y+z=0\\ \Rightarrow \left[ { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }+{ z }^{ 3 }-3xyz=\left( x+y+z \right) \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }-xy-yz-zx \right) \right] \\ \Rightarrow { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }+{ z }^{ 3 }-3xyz=0\\ \Rightarrow { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }+{ z }^{ 3 }=3xyz\\ \Rightarrow { \left( 30 \right) }^{ 3 }+{ \left( 20 \right) }^{ 3 }+{ \left( -50 \right) }^{ 3 }=3\left( 30 \right) \left( 20 \right) \left( -50 \right) =-90000

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बीजीय सर्वसमिकाओं (Algebraic identities),कक्षा 9 के लिए बीजीय सर्वसमिकाओं (Algebraic Identities for class 9) को समझा जा सकता है।

4.बीजीय सर्वसमिकाओं के सवाल (Algebraic Identities Questions)-

उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके गुणनफल ज्ञात कीजिए-
(1)(2x+7)(3x-5)\\ (2)({ x }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 5 } )({ x }^{ 2 }-\frac { 3 }{ 5 } )\\ (3)(x+2)(x-5)
बीजीय सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके गुणनफल ज्ञात कीजिए-
(4.)94×97 (5.)103×97
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके गुणनखंड कीजिए-

(6){ x }^{ 2 }-4x+4\\ (7)\frac { { x }^{ 2 } }{ 100 } -{ y }^{ 2 }
उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग करके निम्न का विस्तार कीजिए-

(8){ (2+x-2y) }^{ 2 }\\ (9){ (3a-7b-c) }^{ 2 }
गुणनखंड कीजिए-

(10){ x }^{ 2 }+2{ y }^{ 2 }+8{ z }^{ 2 }+2\sqrt { 2 } xy-8yz-4\sqrt { 2 } xz
निम्न घन का विस्तार कीजिए-

(11){ (1+2x) }^{ 3 }
उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग करके मान ज्ञात कीजिए-

(12){ (999) }^{ 3 }
गुणनखंड कीजिए-

(13)27{ a }^{ 3 }-8{ b }^{ 3 }-54{ a }^{ 2 }b+36a{ b }^{ 2 }\\ (14)27-125{ x }^{ 3 }-125x+225{ x }^{ 2 }\\ (15)125{ x }^{ 3 }-8{ y }^{ 3 }
सत्यापित कीजिए-

(16)27{ a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }+{ c }^{ 3 }=(3a+b+c)[3{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }-3ab-bc-3ac]
उत्तर-(1)6{ x }^{ 2 }+11x-35\\ (2){ x }^{ 2 }-\frac { 9 }{ 25 } \\ (3){ x }^{ 2 }-3x-10\\ (4)9118\\ (5)9991\\ (6){ (x-2) }^{ 2 }\\ (7)(\frac { x }{ 10 } -y)(\frac { x }{ 10 } +y)\\ (8)4+{ x }^{ 2 }+4{ y }^{ 2 }+4x-4xy-8y\\ (9)9{ a }^{ 2 }+49{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }-42ab+14bc-6ac\\ (10){ (x+\sqrt { 2 } y-2\sqrt { 2 } z) }^{ 2 }\\ (11)1+8{ x }^{ 3 }+6x+12{ x }^{ 2 }\\ (12)997002999\\ (13){ (x+2y) }^{ 3 }\\ (14){ (3-5x) }^{ 3 }\\ (15)(5x-2y)(25{ x }^{ 2 }+10xy+4{ y }^{ 2 })
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बीजीय सर्वसमिकाएं (Algebraic identities),कक्षा 9 के लिए बीजीय सर्वसमिकाएं (Algebraic Identities for class 9) ठीक से समझ में आ जाएगी।

5.बीजीय सर्वसमिका क्या हैं? (What are the algebraic identities?)-

एक बीजीय सर्वसमिका (Algebraic Identities) एक समानता है जो इसके चर के किसी भी मूल्य के लिए है। उदाहरण के लिए, सर्वसमिका { (x+y) }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+2xy+{ y }^{ 2 } , x और y के सभी मानों को धारण करती है।

6.बीजीय सर्वसमिका का आविष्कार किसने किया था? (Who invented algebraic identities?)-

मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख़्वारिज़मी 9 वीं शताब्दी के मुस्लिम गणितज्ञ और खगोलशास्त्री थे।उन्हें “बीजगणित के पिता” के रूप में जाना जाता है,यह शब्द उनकी किताब किताब अल-जाबर के शीर्षक से लिया गया है

7.बीजीय सर्वसमिका परिभाषा (Algebraic identities definition)-

बीजीय समीकरण जो उन में चर के सभी मूल्यों के लिए मान्य हैं, बीजीय सर्वसमिकाएं कहलाती हैं।उनका उपयोग बहुपद के गुणनखंड के लिए भी किया जाता है।

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