1.प्राचलिक फलनों के अवकलज के उदाहरण:साधित उदाहरण और सूत्र (Parametric Function Derivative Example:Solved Example and Formula):

Parametric Function Derivative Example

प्राचलिक फलनों के अवकलज के उदाहरण:साधित उदाहरण और सूत्र (Parametric Function Derivative Example:Solved Example and Formula) के सवालों के हल द्वारा जानिए कि प्राचलिक फलन का अवकलन कैसे किया जाता है? स्टेप-बाइ-स्टेप और सरल विधि से इन सवालों के हल कैसे करेंगे,जानें।

2.फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज (Derivatives of Function in Parametric Forms):

Parametric Function Derivative Example

प्राचलिक फलनों के अवकलज के लिए पहले भी तीन आर्टिकल पोस्ट किए हुए हैं जैसे प्राचलिक समीकरण की प्रारम्भिक जानकारी “Derivative of Parametric Functions” में बताई गई है।इसे पढेंगे तो आपको प्रारम्भिक जानकारी प्राप्त होगी।
यदि x=f(t),y=g(t) के रूप व्यक्त सम्बन्ध को,प्राचलिक रूप में व्यक्त सम्बन्ध कहते हैं,जहाँ t एक प्राचल है।
इस रूप में फलनों के अवकलज ज्ञात करने हेतु,श्रृंखला नियम द्वारा
\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}\\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \qquad \left(\text{जब }\frac{dx}{dt}\neq0\right)\\ =\frac{g'(t)}{f'(t)} \quad \left[\therefore \frac{dy}{dt}=g'(t), \text{ तथा } \frac{dx}{dt}=f'(t)\right]

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3.कक्षा 12 के लिए प्राचलिक फलनों के अवकलज साधित सवाल (Solved Parametric Function Derivative Questions for Class 12):

Example:1. x=at^2,y=2at
Solution: x=at^2, y=2at
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dx}{dt}=2at, \frac{dy}{dt}=2a \\ \frac{dy}{dx} =\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\frac{2a}{2at}\\=\frac{1}{t}
Example:2. x=2\cos t-\cos 2t, y=2\sin t-\sin 2t
Solution: x=2\cos t-\cos 2t, y=2\sin t-\sin 2t
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dx}{dt}=-2\sin t+2\sin 2t\\ \frac{dy}{dt} =2\cos t-2\cos 2t\\ \frac{dy}{dx} =\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}\\ =\frac{2\cos t-2\cos 2t}{-2\sin t+2\sin 2t}\\ =\frac{2(\cos t-\cos 2t)}{2(\sin 2t-\sin t)}\\ \Rightarrow \frac{dy}{dx} =\frac{\cos t-\cos 2t}{\sin 2t-\sin t}
Example:3. x=\frac{2t}{1+t^2}, y=\frac{1-t^2}{1+t^2}
Solution: x=\frac{2t}{1+t^2}, y=\frac{1-t^2}{1+t^2}
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dx}{dt}=\frac{(1+t^2)\cdot2-2t\cdot2t}{(1+t^2)^2}\\ =\frac{2+2t^2-4t^2}{(1+t^2)^2}\\ =\frac{2-2t^2}{(1+t^2)^2}\\ \Rightarrow \frac{dx}{dt}=\frac{2(1-t^2)}{(1+t^2)^2} \\ \frac{dy}{dt} =\frac{(1+t^2)(-2t)-(1-t^2)(2t)}{(1+t^2)^2}\\ =\frac{-2t-2t^3-2t+2t^3}{(1+t^2)^2}\\ \Rightarrow \frac{dy}{dt}=\frac{-4t}{(1+t^2)^2} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}\\ =\frac{\dfrac{-4t}{(1+t^2)^2}}{\dfrac{2(1-t^2)}{(1+t^2)^2}}\\ =\frac{-4t}{2(1-t^2)}\\=-\frac{2t}{1-t^2}
Example:4. x=\log_e t, y=e^t+\cos t
Solution: x=\log_e t, y=e^t+\cos t
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dx}{dt}=\frac{1}{t}, \frac{dy}{dt}=e^t-\sin t \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}\\=\frac{e^t-\sin t}{\dfrac{1}{t}}\\ =t(e^t-\sin t)
प्राचलिक समीकरणों के अवकलज की गहराई से जानकारी के लिए “Derivative of Parametric Function” में उदाहरणों द्वारा अच्छी तरह से सयझाया गया है।
Example:5.यदि x=a(\cos t+t\sin t), y=a(\sin t-t\cos t) तो सिद्ध कीजिए कि \frac{dy}{dx}=\tan t
Solution: x=a(\cos t+t\sin t), y=a(\sin t-t\cos t)
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dx}{dt}=a(-\sin t+\sin t+t\cos t)\\ \Rightarrow \frac{dx}{dt}=at\cos t \\ \frac{dy}{dt}=a(\cos t-\cos t+t\sin t)\\ \Rightarrow \frac{dy}{dt}=at\sin t \\ \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}\\=\frac{at\sin t}{at\cos t}\\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\tan t
Example:6.यदि x^2+y^2=t+\frac{1}{t} तथा x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2} तब सिद्ध कीजिए कि x\frac{dy}{dx}+y=0
Solution: x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}\\=t^2-2+\frac{1}{t^2}+2\\ =\left(t-\frac{1}{t}\right)^2+2 \\ x^4+y^4=(x^2+y^2)^2+2\\ \Rightarrow x^4+y^4=x^4+y^4+2x^2y^2+2 \\ \Rightarrow 2(x^2y^2+1)=0\\ \Rightarrow x^2y^2+1=0
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
2x \cdot y^2+x^2\cdot2y\frac{dy}{dx} =0\\ \Rightarrow 2xy\left(y+x\frac{dy}{dx}\right)=0\\ \Rightarrow x\frac{dy}{dx}+y=0

Parametric Function Derivative Example

\frac{dy}{dx} का मान ज्ञात कीजिए:
Example:7. x=2at^2,y=at^4
Solution: x=2at^2,y=at^4
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dx}{dt}=4at, \frac{dy}{dt}=4at^3 \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}\\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{4at^3}{4at}\\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=t^2
Example:8. x=\sin t, y=\cos 2t
Solution: x=\sin t, y=\cos 2t
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dx}{dt}=\cos t,\frac{dy}{dt}=-2\sin 2t \\ \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}\\ =\frac{-2\sin 2t}{\cos t}\\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2(2\sin t\cos t)}{\cos t}\\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=-4\sin t
Example:9. x=4t, y=\frac{4}{t}
Solution: x=4t, y=\frac{4}{t}
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dx}{dt}=4,\frac{dy}{dt}=-\frac{4}{t^2} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}\\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-\dfrac{4}{t^2}}{4}\\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{t^2}
Example:10. y=12(1-\cos t), x=10(t-\sin t)
Solution: y=12(1-\cos t), x=10(t-\sin t)
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dy}{dt}=12\sin t, \frac{dx}{dt}=10(1-\cos t) \\ \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}\\ =\frac{12\sin t}{10(1-\cos t)}\\ =\frac{12\cdot2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}{10\cdot \left[ 1-\left( 1-2 \sin^2 \frac{t}{2} \right)\right]} \\=\frac{12}{5} \times\frac{ \sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}{ \left[1-1+2 \sin^2 \frac{t}{2} \right]} \\ =\frac{12}{5} \times \frac{\sin\frac{t}{2} \cos\frac{t}{2}}{2\sin^2\frac{t}{2}} \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{6}{5}\cot\frac{t}{2}
Example:11. x = a\left(\cos t+\log\tan\frac{t}{2}\right),y = a\sin t
Solution: x = a\left(\cos t+\log\tan\frac{t}{2}\right),y = a\sin t
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dx}{dt}= a\left(-\sin t+\frac{1}{\tan\frac{t}{2}}\cdot\frac{\sec^2\frac{t}{2}}{2}\right)\\ = a\left(-\sin t+\frac{\cos\frac{t}{2}}{\sin\frac{t}{2}}\cdot\frac{1}{2\cos^2\frac{t}{2}}\right)\\ = a\left(-\sin t+\frac{1}{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}\right)\\ = a\left(-\sin t+\frac{1}{\sin t}\right)\\ = a\left(\frac{1-\sin^2 t}{\sin t}\right)\\ \Rightarrow \frac{dx}{dt}= \frac{a\cos^2 t}{\sin t} \\ \Rightarrow \frac{dy}{dt} = a\cos t \\ \frac{dy}{dx} = \frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}= \frac{a\cos t}{\dfrac{a\cos^2 t}{\sin t}}\\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}= \frac{\cos t \sin t}{\cos^2 t} \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\tan t
Example:12. y=\tan^{-1}\left(\frac{3t-t^3}{1-3t^2}\right), x=\tan^{-1}t
Solution: y=\tan^{-1}\left(\frac{3t-t^3}{1-3t^2}\right), x=\tan^{-1}t
माना t=\tan\theta \Rightarrow \theta=\tan^{-1}t \\ y =\tan^{-1}\!\left( \frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}\right)\\ =\tan^{-1}(\tan3\theta)\\ =3\theta \\ \Rightarrow y=3\tan^{-1}t, \quad x=\tan^{-1}t
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dy}{dt}=\frac{3}{1+t^2}, \quad \frac{dx}{dt} =\frac{1}{1+t^2} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}\\ =\frac{\dfrac{3}{1+t^2}}{\dfrac{1}{1+t^2}}\\ =\frac{3}{1+t^2} \times (1+t^2) \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=3
Example:13.यदि y=t^4+\frac{1}{t^4}, x=t^2+\frac{1}{t^2} तो बराबर है:
Solution: y=t^4+\frac{1}{t^4}, x=t^2+\frac{1}{t^2}
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dy}{dt}=4t^3-\frac{4}{t^5}, \frac{dx}{dt}=2t-\frac{2}{t^3} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\frac{4t^3-\dfrac{4}{t^5}}{2t-\dfrac{2}{t^3}}\\ =\frac{4t^3\left(1-\dfrac{1}{t^8}\right)}{2t\left(1-\dfrac{1}{t^4}\right)}\\ =\frac{2t^2 \left(1-\dfrac{1}{t^4}\right) \left(1+\dfrac{1}{t^4}\right)}{\left(1-\dfrac{1}{t^4}\right)}\\ =2t^2\left(1+\frac{1}{t^4}\right)\\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=2\left(t^2+\frac{1}{t^2}\right)
प्राचलिक समीकरणों के अवकलज पर विशेष जानकारी के लिए हमने Solved Examples के द्वारा “Derivative of Parametric Equations” में विस्तृत गाइड लाइन के द्वारा प्राचलिक समीकरण क्या हैं,उसके अवकलज का सूत्र क्या है आदि को सरल भाषा में उदाहरणों द्वारा समझाया गया है।इस आर्टिकल का 12th कक्षा के साथ-साथ JEE-Main की दृष्टि से भी महत्त्व है।

3.छात्र-छात्राओं के लिए प्रैक्टिस प्रोब्लम्स (Practice Problems for Students):

Parametric Function Derivative Example

(1.)यदि x^2+y^2=t-\frac{1}{t}, x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2} तो सिद्ध कीजिए कि \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^2y}
(2.)यदि x=a(\cos t+t\sin t) एवं y=a(\sin t-t\cos t) तो t=\frac{\pi}{4} पर \frac{dy}{dx} का मान होगा:
उत्तर (Answer):(2.) \left(\frac{dy}{dx}\right)_{\left(t=\frac{\pi}{4}\right)} =1

4.लेख के नमूने के लिए सारणी (Table of Sample Questions for the Article):

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*”यह आर्टिकल **Satyam Mathematics** ब्लॉग पर **Satyam Coaching Centre** के द्वारा तैयार किया गया है।”*

5.प्राचलिक फलनों के अवकलज के उदाहरण:साधित उदाहरण और सूत्र (Frequently Asked Questions Related to Parametric Function Derivative Example:Solved Example and Formula) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

**छात्र-छात्राओं से आज का सवाल (Today’s Question to Student)** 
\begin{array}{|l|} \hline \\  \text{"Q:एक वर्ग का परिमाप और क्षेत्रफल का संख्यात्मक मान समान है }\\ \text{ तो वर्ग की भुजा बताओ।"} \\ \text{दिनांक 05.06.2026 के प्रश्न का उत्तर:} \\ \text{Solution:माना भिन्नात्मक संख्या x है।} \\  5+x=5x \Rightarrow 4x=5 \Rightarrow x=\frac{5}{4} \\ \hline \end{array}