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Integration of irrational algebraic function

1.अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन का परिचय (Introduction to Integration of irrational algebraic function)-

अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of irrational algebraic function) ज्ञात करनाल सीखेंगे। पहले इस आर्टिकल में आए हुए शब्दों बीजीय अपरिमेय संख्याएं तथा अबीजीय अपरिमेय संख्याएं किसे कहते हैं, इसको जानेंगे।
(1.)अपरिमेय संख्या (Irrational Number)-
कोई वास्तविक संख्या जिसे किसी पूर्णांक के भागफल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सके अर्थात् वह संख्या जो परिमेय न हो जैसे।
अपरिमेय संख्या दो प्रकार की होती है।प्रथम बीजीय परिमेय संख्याएं तथा दूसरी अबीजीय परिमेय संख्याएं।
(2.)अपरिमेय फलन-
वह फलन जिसमें चर की घात भिन्नात्मक आती हो,एक अपरिमेय फलन कहलाता है।
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2.अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of irrational algebraic function)-

मानक अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of standard irrational algebraic function)-
(1.)\int { \frac { 1 }{ \sqrt { a{ x }^{ 2 }+bx+c } } dx }
(2.)\int { \frac { px+q }{ \sqrt { a{ x }^{ 2 }+bx+c } } dx }
प्रथम विधि-\int { \frac { 1 }{ \sqrt { a{ x }^{ 2 }+bx+c } } dx } के समाकलन की दो स्थितियां है-
(a) जब a>0 तो

I=\frac { 1 }{ \sqrt { a } } \int { \frac { 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+\frac { b }{ a } x+\frac { c }{ a } } } dx } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { a } } \int { \frac { 1 }{ \sqrt { { (x+\frac { b }{ 2a } ) }^{ 2 }-(\frac { { b }^{ 2 }-4ac }{ 4{ a }^{ 2 } } ) } } dx }

इसकी तीन स्थितियां हैं
(i ) जब { b }^{ 2 }-4ac>0 तो

I=\frac { 1 }{ \sqrt { a } } \int { \frac { dx }{ \sqrt { { t }^{ 2 }-{ \lambda }^{ 2 } } } } t=x+\frac { b }{ 2a } ,\lambda =\sqrt { \frac { { b }^{ 2 }-4ac }{ 4{ a }^{ 2 } } } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { a } } \log { \left| t+\sqrt { { t }^{ 2 }-{ \lambda }^{ 2 } } \right| } +C

(ii) जब{ b }^{ 2 }-4ac<0\\ I=\frac { 1 }{ \sqrt { a } } \int { \frac { 1 }{ \sqrt { { (x+\frac { b }{ 2a } ) }^{ 2 }-{ (\frac { \sqrt { 4ac-{ b }^{ 2 } } }{ 2a } ) }^{ 2 } } } dx } \\ I=\frac { 1 }{ \sqrt { a } } \int { \frac { dt }{ \sqrt { { t }^{ 2 }+{ \lambda }^{ 2 } } } } t=x+\frac { b }{ 2a } ,\lambda =\frac { \sqrt { 4ac-{ b }^{ 2 } } }{ 2a } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { a } } \log { \left| t+\sqrt { { t }^{ 2 }+{ \lambda }^{ 2 } } \right| } +C

(iii) जब{ b }^{ 2 }-4ac=0
तबI=\frac { 1 }{ \sqrt { a } } \int { \frac { dx }{ x+\frac { b }{ 2a } } } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { a } } \log { \left| x+\frac { b }{ 2a } \right| } +C
(b) जब a<0 मानाa=-\alpha
तबI=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { -\alpha { x }^{ 2 }+bx+c } } dx } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { \alpha } } \int { \frac { 1 }{ \sqrt { { (\frac { { b }^{ 2 }-4c\alpha }{ 4{ \alpha }^{ 2 } } )-(x-\frac { b }{ 2\alpha } ) }^{ 2 } } } dx } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { \alpha } } \int { \frac { dt }{ \sqrt { { \lambda }^{ 2 }-{ t }^{ 2 } } } } t=x-\frac { b }{ 2\alpha } ,\lambda =\frac { { b }^{ 2 }+4a\alpha }{ 4{ \alpha }^{ 2 } } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { \alpha } } \sin ^{ -1 }{ (\frac { t }{ \lambda } ) } +c
द्वितीय विधि-

I=\int { \frac { px+q }{ \sqrt { a{ x }^{ 2 }+bx+c } } dx }

माना px+q=A\frac { d }{ dx } (a{ x }^{ 2 }+bx+c)+B\\ px+q=A(2ax+b)+B

तुलना करने पर-

A=\frac { p }{ 2a } ,B=q-\frac { bp }{ 2a }

तबI=\frac { p }{ 2a } \int { \frac { 2ax+b }{ \sqrt { a{ x }^{ 2 }+bx+c } } } dx+(q-\frac { bp }{ 2a } )\int { \frac { 1 }{ \sqrt { a{ x }^{ 2 }+bx+c } } } dx
जहां प्रथम समाकलन में मानकर व द्वितीय समाकल को पूर्व स्थिति-I के द्वारा हल करते हैं।

3.अपरिमेय फलनों के उदाहरणों का समाकलन, अपरिमेय फलनों उदाहरण (Integration of irrational functions examples,Irrational functions examples)-

Example-1.\int { \frac { 1 }{ \sqrt { 4{ x }^{ 2 }-5x+1 } } dx }
Solution-I=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { 4{ x }^{ 2 }-5x+1 } } dx } \\ I=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-\frac { 5 }{ 4 } x+\frac { 1 }{ 4 } } } dx } \\ I=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-\frac { 5 }{ 4 } x+{ (\frac { 5 }{ 8 } ) }^{ 2 }-{ (\frac { 5 }{ 8 } ) }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 4 } } } dx } \\ =\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 1 }{ \sqrt { { (x-\frac { 5 }{ 8 } ) }^{ 2 }-\frac { 25 }{ 64 } +\frac { 1 }{ 4 } } } dx } \\ =\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 1 }{ \sqrt { { (x-\frac { 5 }{ 8 } ) }^{ 2 }+\frac { 16-25 }{ 64 } } } dx } \\ =\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 1 }{ \sqrt { { (x-\frac { 5 }{ 8 } ) }^{ 2 }+\frac { 9 }{ 64 } } } dx } \\ =\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 1 }{ \sqrt { { (x-\frac { 5 }{ 8 } ) }^{ 2 }+{ (\frac { 3 }{ 8 } ) }^{ 2 } } } dx } \\ =\frac { 1 }{ 2 } \log { \left| x-\frac { 5 }{ 8 } +\sqrt { { (x-\frac { 5 }{ 8 } ) }^{ 2 }+{ (\frac { 3 }{ 8 } ) }^{ 2 } } \right| } +C\\ =\frac { 1 }{ 2 } \log { \left| x-\frac { 5 }{ 8 } +\sqrt { { x }^{ 2 }-\frac { 5 }{ 4 } x+\frac { 1 }{ 4 } } \right| } +C

उपर्युक्त सवाल के हल द्वारा अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of irrational algebraic function) को समझा जा सकता है।
Example-2.\int { \frac { 1 }{ \sqrt { 5x-6-{ x }^{ 2 } } } dx }
Solution-I=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { 5x-6-{ x }^{ 2 } } } dx } \\ I=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { -6-({ x }^{ 2 }-5x) } } dx } \\ I=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { -6-\{ { x }^{ 2 }-5x+{ (\frac { 5 }{ 2 } ) }^{ 2 }-{ (\frac { 5 }{ 2 } ) }^{ 2 }\} } } dx } \\ =\int { \frac { 1 }{ \sqrt { -6+\frac { 25 }{ 4 } -({ x }^{ 2 }-5x+{ (\frac { 5 }{ 2 } ) }^{ 2 }) } } dx } \\ =\int { \frac { 1 }{ \sqrt { \frac { -24+25 }{ 4 } -{ (x-\frac { 5 }{ 2 } ) }^{ 2 } } } dx } \\ =\int { \frac { 1 }{ \sqrt { \frac { 1 }{ 4 } -{ (x-\frac { 5 }{ 2 } ) }^{ 2 } } } dx } \\ =\int { \frac { 1 }{ \sqrt { { { (\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 2 }-(x-\frac { 5 }{ 2 } ) }^{ 2 } } } dx } \\ =\sin ^{ -1 }{ (\frac { x-\frac { 5 }{ 2 } }{ \frac { 1 }{ 2 } } ) } +c\\ =\sin ^{ -1 }{ (2x-5) } +c
Example-3.\int { \frac { 1 }{ \sqrt { 4+3x-2{ x }^{ 2 } } } dx }
Solution-I=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { 4+3x-2{ x }^{ 2 } } } dx } \\ I=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } \sqrt { 2+\frac { 3 }{ 2 } x-{ x }^{ 2 } } } dx } \\ I=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \int { \frac { 1 }{ \sqrt { 2-({ x }^{ 2 }-\frac { 3 }{ 2 } x) } } dx } \\ I=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \int { \frac { 1 }{ \sqrt { 2-\{ { x }^{ 2 }-\frac { 3 }{ 2 } x+{ (\frac { 3 }{ 4 } ) }^{ 2 }-{ (\frac { 3 }{ 4 } ) }^{ 2 }\} } } dx } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \int { \frac { 1 }{ \sqrt { 2+{ (\frac { 3 }{ 4 } ) }^{ 2 }-({ x }^{ 2 }-\frac { 3 }{ 2 } x+{ (\frac { 3 }{ 4 } ) }^{ 2 }) } } dx } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \int { \frac { 1 }{ \sqrt { \frac { 2 }{ 1 } +\frac { 9 }{ 16 } -{ (x-\frac { 3 }{ 4 } ) }^{ 2 } } } dx } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \int { \frac { 1 }{ \sqrt { \frac { 32+9 }{ 16 } -{ (x-\frac { 3 }{ 4 } ) }^{ 2 } } } dx } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \int { \frac { 1 }{ \sqrt { \frac { 41 }{ 16 } -{ (x-\frac { 3 }{ 4 } ) }^{ 2 } } } dx } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \int { \frac { 1 }{ \sqrt { { { (\frac { \sqrt { 41 } }{ 4 } ) }^{ 2 }-(x-\frac { 3 }{ 4 } ) }^{ 2 } } } dx } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \sin ^{ -1 }{ (\frac { x-\frac { 3 }{ 4 } }{ \frac { \sqrt { 41 } }{ 4 } } ) } +c\\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \sin ^{ -1 }{ (\frac { 4x-3 }{ \sqrt { 41 } } ) } +c

उपर्युक्त सवाल के हल द्वारा अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of irrational algebraic function) को समझा जा सकता है।
Example-4.\int { \frac { x+2 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-2x+4 } } dx }
Solution-I=\int { \frac { x+2 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-2x+4 } } dx } \\ x+2=A\frac { d }{ dx } ({ x }^{ 2 }-2x+4)+B\\ \Rightarrow x+2=A(2x-2)+B\\ \Rightarrow x+2=2Ax+B-2A
दोनों पक्षों की तुलना करने पर-

\Rightarrow 2A=1,-2A+B=2\\ \Rightarrow A=\frac { 1 }{ 2 } ,-2(\frac { 1 }{ 2 } )+B=2\\ I=\int { \frac { \frac { 1 }{ 2 } (2x-2)+3 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-2x+4 } } dx } \\ I=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 2x-2 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-2x+4 } } dx } +\int { \frac { 3 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-2x+4 } } dx } \\ =\frac { 1 }{ 2 } { I }_{ 1 }+3{ I }_{ 2 }....(1)\\ { I }_{ 1 }=\int { \frac { 2x-2 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-2x+4 } } dx } \\ put\quad { x }^{ 2 }-2x+4=t\\ (2x-2)dx=dt\\ { I }_{ 1 }=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { t } } dt } \\ =2\sqrt { t } +{ C }_{ 1 }\\ =2\sqrt { { x }^{ 2 }-2x+4 } \\ { I }_{ 2 }=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-2x+4 } } dx } \\ { I }_{ 2 }=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { { (x-1) }^{ 2 }+{ (\sqrt { 3 } ) }^{ 2 } } } dx } \\ { I }_{ 2 }=\log { \left| (x-1)+\sqrt { { (x-1) }^{ 2 }+{ (\sqrt { 3 } ) }^{ 2 } } \right| } +{ C }_{ 2 }\\ { I }_{ 2 }=\log { \left| (x-1)+\sqrt { { x }^{ 2 }-2x+4 } \right| }
का मान समीकरण (1) में रखने पर-

I=\sqrt { { x }^{ 2 }-2x+4 } +3\log { \left| (x-1)+\sqrt { { x }^{ 2 }-2x+4 } \right| } +C

उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of irrational algebraic function) को समझा जा सकता है।

4.अपरिमेय फलनों की समस्याओं का समाकलन (Integration of irrational functions problems) कीजिए-

उपर्युक्त उदाहरणों के हल तथा समस्याओं के समाधान द्वारा आप अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of irrational algebraic function) को आसानी से समझ सकते हैं।

(1)\frac { 1 }{ \sqrt { { 1-x-x }^{ 2 } } }

(2)\frac { 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-x+1 } }

(3)\frac { x+3 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+2x+1 } }

(4)\frac { x+3 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+2x+2 } }

(5)\sqrt { secx-1 }

(6)\sqrt { \frac { sin(x-\alpha ) }{ sin(x+\alpha ) } }

5.परिमेय बीजीय फलन का समाकलन (Integration of rational algebraic function)-

P (x) Q (x) = F (x) + R (x) Q (x),जहां F (x) एक बहुपद है, R (x) Q (x) एक उचित परिमेय फलन है। एक उचित परिमेय फलन को एकीकृत करने के लिए, हम आंशिक भिन्नों में वियोजन की विधि को लागू कर सकते हैं।
इस विधि का वर्णन पिछले आर्टिकल में किया गया है, इसलिए इसको समझने के लिए उस आर्टिकल को देखना चाहिए।

6.परिमेय और अपरिमेय फलनों का समाकल (Integrals of rational and irrational functions)-

एक उचित प्रतिस्थापन करके परिमेय फलनों के समाकल अंग में कमी।
समाकल के ऐसे परिवर्तनों को इसके परिमेयकरण कहा जाता है।
इस विषय में, हम कुछ उपयोगी बारीकियों को देखते हैं जो अपरिमेय समाकल के साथ मदद कर सकते हैं।
केस 1. इंटीग्रल x के आंशिक घातों को शामिल करना
एक फ़ंक्शन को समाकलन करने के लिए जिसमें फॉर्म { x }^{ \frac { m }{ n } } की केवल एक अपरिमेय अभिव्यक्ति होती है, हम प्रतिस्थापन u = { x }^{ \frac { 1 }{ n } } बनाते हैं।
यदि एक अपरिमेय फलन में x की एक से अधिक परिमेय घात होती है, तो हम प्रतिस्थापन u = { x }^{ \frac { 1 }{ n } } का उपयोग करते हैं, जहाँ n, x की सभी भिन्नात्मक घातों के हर के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है।

7.परिमेय फलन तालिका का समाकल (Integrals of rational functions table),integration formula-

एक फ़ंक्शन या अंश को परिमेय कहा जाता है यदि इसे दो बहुपद के अनुपात के रूप में दर्शाया जाता है।एक परिमेय फ़ंक्शन को उचित कहा जाता है यदि अंश में बहुपद की घात हर में बहुपद की घात से कम हो।नीचे हम परिमेय फलनों के सबसे आम समाकल की एक सूची पर विचार करते हैं।

  1. Integral of a constant
    ∫adx=ax+C
  2. Integral of x
    \int { xdx } =\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +C
  3. Integral ofx2
    \int { { x }^{ 2 }dx } =\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +C
  4. Integral of the power function
    \int { { x }^{ p }dx } =\frac { { x }^{ p+1 } }{ p+1 } +C,p\neq 1
  5. Integral of a linear function raised to nth power
    \int { { (ax+b) }^{ n }dx } =\frac { { { (ax+b) } }^{ n+1 } }{ a(n+1) } +C
  6. Integral of the reciprocal function
    \int { \frac { dx }{ x } } =\log { \left| x \right| } +C
  7. Integral of a rational function with a linear denominator
    \int { \frac { dx }{ (ax+b) } } =\frac { 1 }{ a } \log { \left| ax+b \right| } +C
  8. Integral of a linear fractional function
    \int { \frac { ax+b }{ cx+d } dx } =\frac { a }{ c } x+\frac { bc-ad }{ { c }^{ 2 } } \log { \left| cx+d \right| } +c
  9. \int { \frac { dx }{ (x+a)(x+b) } } =\frac { 1 }{ a-b } \log { \left| \frac { x+b }{ x+a } \right| } +C,a\neq b
  10. \int { \frac { dx }{ a+bx } } =\frac { 1 }{ { b }^{ 2 } } (a+bx-a\log { \left| a+bx \right| } )+C
  11. \int { \frac { { x }^{ 2 }dx }{ a+bx } } =\frac { 1 }{ { b }^{ 3 } } (\frac { 1 }{ 2 } { (a+bx) }^{ 2 }-2a(a+bx)+{ a }^{ 2 }\log { \left| a+bx \right| } )+C
  12. \int { \frac { dx }{ x(a+bx) } } =\frac { 1 }{ a } \log { \left| \frac { a+bx }{ x } \right| } +C
  13. \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }(a+bx) } } =-\frac { 1 }{ ax } +\frac { b }{ { a }^{ 2 } } \log { \left| \frac { a+bx }{ x } \right| } +C
  14. \int { \frac { xdx }{ { (a+bx) }^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ { b }^{ 2 } } (\log { \left| a+bx \right| } +\frac { a }{ a+bx } )+C
  15. \int { \frac { { x }^{ 2 }dx }{ { (a+bx) }^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ { b }^{ 3 } } (a+bx-2a\log { \left| a+bx \right| } -\frac { { a }^{ 2 } }{ a+bx } )+C
  16. \int { \frac { dx }{ { x(a+bx) }^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ { a(a+bx) } } +\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } \log { \left| \frac { a+bx }{ x } \right| } +C
  17. \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-1 } } =\frac { 1 }{ 2 } \log { \left| \frac { x-1 }{ x+1 } \right| } +C
  18. \int { \frac { dx }{ 1-{ x }^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ 2 } \log { \left| \frac { 1+x }{ 1-x } \right| } +C
  19. \int { \frac { dx }{ { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ 2 } \log { \left| \frac { a+x }{ a-x } \right| } +C
  20. \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ 2 } \log { \left| \frac { x-a }{ x+a } \right| } +C
  21. \int { \frac { dx }{ 1+{ x }^{ 2 } } } =\tan ^{ -1 }{ x } +C
  22. \int { \frac { dx }{ { a }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } } =\tan ^{ -1 }{ \frac { x }{ a } } +C
  23. \int { \frac { xdx }{ { a }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ 2 } \log { ({ x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }) } +C
  24. \int { \frac { dx }{ a+b{ x }^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ \sqrt { ab } } \tan ^{ -1 }{ (x\sqrt { \frac { b }{ a } } ) } +C,ab>0
  25. \int { \frac { xdx }{ a+b{ x }^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ 2b } \log { \left| { x }^{ 2 }+\frac { a }{ b } \right| } +C
  26. \int { \frac { dx }{ x(a+b{ x }^{ 2 }) } } =\frac { 1 }{ 2a } \log { \left| \frac { { x }^{ 2 } }{ a+b{ x }^{ 2 } } \right| } +c
  27. \int { \frac { dx }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }{ x }^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ 2ab } \log { \left| \frac { { a+bx } }{ a-b{ x } } \right| } +c
  28. Integral of a rational function with a quadratic denominator (the case of a positive discriminant)
    \int { \frac { dx }{ a{ x }^{ 2 }+bx+c } } =\frac { 1 }{ \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } } \log { \left| \frac { 2ax+b-\sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2ax+b+\sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } } \right| } +C,D={ b }^{ 2 }-4ac>0
  29. Integral of a rational function with a quadratic denominator (the case of a negative discriminant)
    \int { \frac { dx }{ a{ x }^{ 2 }+bx+c } } =\frac { 1 }{ \sqrt { { 4ac-b }^{ 2 } } } \tan ^{ -1 }{ \frac { 2ax+b }{ \sqrt { { 4ac-b }^{ 2 } } } } +C,D={ b }^{ 2 }-4ac<0

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