1.त्रिकोणमितीय रूपान्तरण द्वारा अवकलन:कक्षा 12 (Trig Transformation Derivation:Class 12):

Trig Transformation Derivation

त्रिकोणमितीय रूपान्तरण द्वारा अवकलन (Trig Transformation Derivation) के इस आर्टिकल में हम स्टेप-बाइ-स्टेप त्रिकोणमितीय रूपान्तरणों द्वारा अवकलन करना सीखेंगे।कक्षा 12 बोर्ड एग्जाम के लिए महत्वपूर्ण निबन्धात्मक सवाल स्पष्ट Explanation के साथ।
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2.स्टेप-बाइ-स्टेप त्रिकोणमितीय रूपान्तरण द्वारा अवकलज के सूत्र (Step-by-Step Derivation of Trigonometrical Transformation Formulae):

3.कुछ महत्त्वपूर्ण त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन (Some Important Trigonometrical Substitutions):

कुछ महत्त्वपूर्ण प्रतिस्थापन नीचे दिए जा रहे हैं जिनका उपयोग अवकलन में किया जाता है:
\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Function} & \text{Trigonometric Formuale} \\ \hline \sqrt{a^2-x^2} & x =a \sin \theta \text { or } x= a \cos \theta \\ \sqrt{a^2+x^2} & x =a \tan \theta \text { or } x=a \cot \theta \\ \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \text { or } \sqrt{\frac{a+x}{a-x}} & x =a \cos 2 \theta \text { or } x= a \cos \theta \\ \sqrt{x^2-a^2} & x =a \sec \theta \text { or } x=a \operatorname{cosec} \theta \\ \sqrt{\frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}} \text { or } \sqrt{\frac{a^2+x^2}{a^2-x^2}} & x^2 =a^2 \cos 2 \theta \text { or } x^2=a^2 \cos \theta\\ \hline \end{array}

4.कक्षा 12 के लिए महत्त्वपूर्ण निबन्धात्मक सवाल (Important Descriptive Questions for Class 12 Boards):

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
Illustration:1. \cos ^{-1}\left(4 x^3-3 x\right)
Solution: \cos ^{-1}\left(4 x^3-3 x\right)
माना y=\cos ^{-1}\left(4 x^3-3 x\right) \\ x=\cos \theta रखने पर
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\Rightarrow \theta=\cos ^{-1} x \\ y=\cos ^{-1}\left(4 \cos ^3 \theta-3 \cos \theta\right) \\ =\cos ^{-1}(\cos 3 \theta) \\ \Rightarrow y =3 \theta \\ \Rightarrow y=3 \cos ^{-1} x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}
Illustration:2. \tan ^{-1}\left(\frac{2^{x+1}}{1-4^x}\right)
Solution:माना y=\tan ^{-1}\left(\frac{2^{x+1}}{1-4^x}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\left(2 \cdot 2^x\right)}{1-\left(2^x\right)^2}\right) \\ 2^x=\tan \theta रखने पर
\Rightarrow \theta=\tan ^{-1}\left(2^x\right) \\ \Rightarrow y =\tan ^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1-\tan^2 \theta}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\tan 2 \theta\right) \\ \Rightarrow y =2 \theta \\ \Rightarrow y=2 \tan ^{-1}\left(2^x\right)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=2 \frac{d}{d x} \cdot \tan ^{-1}\left(2^x\right) \\ =2 \cdot \frac{1}{1+\left(2^x \right)^2} \frac{d}{d x}\left(2^x\right) \\ =\frac{2}{1+4^x} \cdot 2^x \log _{e} 2 \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{2^{x+1}}{1+4^x} \log _e 2
Illustration:3. \tan ^{-1}\left(\frac{a+x}{1-a x}\right)
Solution:माना y=\tan ^{-1}\left(\frac{a+x}{1-a x}\right) \\ a=\tan \phi \Rightarrow \phi=\tan ^{-1} a \\ x=\tan \theta रखने पर
\Rightarrow \theta=\tan ^{-1}\left(x\right) \\ y=\tan ^{-1}\left(\frac{\tan \phi+\tan \theta}{1-\tan \theta \tan \phi}\right) \\ =\tan ^{-1}[\tan (\theta+\phi)] \\ =\theta+\phi \\ \Rightarrow y=\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} a
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{1+x^2}
Illustration:4. \cos ^{-1} 2 x+2 \cos ^{-1}\left(\sqrt{1-4 x^2}\right)
Solution:माना y=\cos ^{-1} 2 x+2 \cos ^{-1}\left(\sqrt{1-4 x^2}\right) \\ 2 x=\cos \theta रखने पर
\theta=\cos ^{-1}(2x) \\ y=\cos ^{-1}(\cos \theta)+2 \cos ^{-1}\left(\sqrt{1-\cos ^2 \theta}\right) \\ =\theta+2 \cos ^{-1}\left(\sqrt{\sin ^2 \theta}\right) \\ =\theta+2 \cos ^{-1}(\sin \theta) \\ =\theta+2 \cos ^{-1}\left[\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right] \\ =\theta+2\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) \\ =\theta+\pi-2 \theta \\ \Rightarrow y=\pi-\theta \\ \Rightarrow y=\pi-\cos^{-1} (2 x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dy}{dx}=0+\frac{1}{\sqrt{1-(2 x)^2}} \frac{d}{d x}(2 x) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2}{\sqrt{1-4 x^2}}
Illustration:5. \tan ^{-1}\left(\frac{4 x}{1-4 x^2}\right)
Solution:माना y=\tan ^{-1}\left(\frac{4 x}{1-4 x^2}\right) \\ 2x=\tan \theta रखने पर
\Rightarrow \theta=\tan ^{-1}(2 x) \\ y=\tan ^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^2 \theta}\right) \\ =\tan ^{-1}(\tan 2 \theta) \\ \Rightarrow y=2 \theta \\ \Rightarrow y=2 \tan ^{-1}(2 x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=\frac{2}{1+(2 x)^2} \frac{d}{d x}(2 x) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{4}{1+4 x^2}

Trig Transformation Derivation

Illustration:6. \cos ^{-1}\left[\sqrt{\frac{1}{2}(1+x)}\right]
Solution:माना y=\cos ^{-1}\left[\sqrt{\frac{1}{2}(1+x)}\right] \\ x=\cos \theta रखने पर
\Rightarrow \theta=\cos ^{-1} x \\ y=\cos ^{-1}\left[\sqrt{\frac{1}{2}(1+\cos \theta)}\right] \\ =\cos \left[\sqrt{\frac{1}{2}\left(1+2 \cos ^2 \frac{\theta}{2}-1\right)}\right] \\ =\cos ^{-1}\left[\sqrt{\frac{1}{2} \times 2 \cos ^2 \frac{\theta}{2}}\right] \\ =\cos^{-1}\left(\cos \frac{\theta}{2}\right) \\ \Rightarrow y=\frac{\theta}{2} \\ \Rightarrow y=\frac{1}{2} \cos ^{-1} x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{2 \sqrt{\left(1-x^2\right)}}
Illustration:7. \cot ^{-1}\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)
Solution:माना y=\cot ^{-1}\left(\sqrt{1+x^2}+x\right) \\ x=\tan \theta रखने पर \Rightarrow \theta=\tan ^{-1} x \\ y=\cot ^{-1}\left(\sqrt{\left(1+\tan^2 \theta\right)}+\tan \theta\right) \\ =\cot^{-1}\left(\sqrt{\sec ^2 \theta}+\tan \theta\right) \\ =\cot^{-1}(\sec \theta+\tan \theta) \\ =\cot^{-1}\left(\frac{1}{\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right) \\ =\cot ^{-1} \left( \frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\right) \\ =\cot ^{-1}\left(\frac{\sin ^2 \frac{\theta}{2}+\cos ^2 \frac{\theta}{2}+2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2}-\sin^2 \frac{\theta}{2}}\right) \\ =\cot^{-1} \left[\frac{\left(\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}\right)^2}{\left(\cos \frac{\theta}{2}-\sin \frac{\theta}{2}\right)\left(\cos \frac{\theta}{2}+\sin \frac{\theta}{2}\right)}\right] \\ =\cot^{-1} \left(\frac{\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}-\sin \frac{\theta}{2}}\right)
अंश व हर में \cos \frac{\theta}{2} का भाग देने परः
=\cot^{-1} \left(\frac{\frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}+\frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}}{\frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}- \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}}\right) \\ =\cot ^{-1}\left(\frac{1+\tan \frac{\theta}{2}}{1-\tan \frac{\theta}{2}}\right) \\ =\cot ^{-1}\left(\frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan \frac{\theta}{2}}{1-\tan \frac{\pi}{4} \tan \frac{\theta}{2}}\right)\left( \because \tan \frac{\pi}{4}=1\right) \\ =\cot ^{-1}\left[\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\theta}{2}\right)\right]\\ \Rightarrow y=\cot \left[\cot \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\right)\right] \\ \Rightarrow y=\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2} \\ \Rightarrow y=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{2\left(1+x^2\right)}
Illustration:8. \cot^{-1} \left(\frac{\sqrt{1+x^2}+1}{x}\right)
Solution:माना y=\cot ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+1}{x}\right) \\ x=\tan \theta रखने पर
\Rightarrow \theta=\tan ^{-1}(x) \\ y=\cot \left(\frac{\sqrt{1+\tan ^2 \theta}+1}{\tan ^2 \theta} \right) \\ =\cot ^{-1}\left(\frac{\sqrt{\sec ^2 \theta}+1}{\tan \theta}\right) \\ =\cot ^{-1}\left(\frac{\sec \theta+1}{\tan \theta}\right) \\ =\cot^{-1} \left(\frac{1+\cos \theta}{\cos \theta}\right) \\ =\cot^{-1} \left( \frac{1+\cos \theta}{\cos \theta}\right) \\ =\cot^{-1} \left(\frac{1+2 \cos ^2 \frac{\theta}{2}-1}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}\right) \\ =\cot ^{-1}\left(\frac{2 \cos ^2 \frac{\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}\right) \\ =\cot ^{-1}\left(\frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}\right) \\ \Rightarrow y=\cot ^{-1}\left(\cot \frac{\theta}{2}\right) \\ \Rightarrow y=\frac{\theta}{2} \\ \Rightarrow y=\frac{1}{2} \tan ^{-1} x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2\left(1+x^2\right)}
Illustration:9. \tan ^{-1}\left[\sqrt{\left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)}\right]
Solution:माना y=\tan ^{-1}\left[\sqrt{\left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)}\right] \\ =\tan ^{-1}\left[\sqrt{\frac{1-\left(1-2 \sin ^2 \frac{x}{2}\right)}{1+2 \cos ^2 \frac{x}{2}-1}}\right] \\ =\tan ^{-1}\left[\sqrt{\frac{1-1+2 \sin ^2 \frac{x}{2}}{2 \cos ^2 \frac{x}{2}}}\right] \\ =\tan ^{-1}\left[\sqrt{\frac{2 \sin ^2 \frac{x}{2}}{2 \cos ^2 \frac{x}{2}}}\right] \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\tan \frac{x}{2}\right) \\ \Rightarrow y=\frac{x}{2}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2}
Illustration:10. \tan ^{-1} \left(\frac{3 a^2 x-x^3}{a\left(a^2-3 x^2\right)}\right)
Solution:माना y=\tan ^{-1} \left(\frac{3 a^2 x-x^3}{a\left(a^2-3 x^2\right)}\right) \\ x=a \tan \theta रखने पर
\Rightarrow \theta=\tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \\ y=\tan ^{-1}\left(\frac{3 a^3 \tan \theta-a^3 \tan ^3 \theta}{a^3-3 a^3 \tan ^2 \theta}\right) \\=\tan^{-1} \left(\frac{a^3(3 \tan \theta-\tan ^3 \theta)}{a^3\left(1-3 \tan ^2 \theta\right)}\right)\\ =\tan ^{-1}(\tan 3 \theta) \\ \Rightarrow y=3 \theta \\ \Rightarrow y=3 \tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=3 \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2} \frac{d}{d x}\left(\frac{x}{a}\right) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{3}{\frac{a^2+x^2}{a^2}} \cdot \frac{1}{a} \\ =\frac{3 a^2}{a^2+x^2} \cdot \frac{1}{a} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{3 a}{a^2+x^2}

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा त्रिकोणमितीय रूपान्तरण द्वारा अवकलन:कक्षा 12 (Trig Transformation Derivation:Class 12) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

5.त्रिकोणमितीय रूपान्तरण द्वारा अवकलन प्रोब्लम्स (Trig Transformation Derivation Problems):

Trig Transformation Derivation

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
(1.)\tan^{-1}(\sec x+\tan x)
(2.)\sin^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)
(3.)\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right)
(4.)\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)
उत्तर (Answers): (1.) \frac{1}{2}  (2.) \pm \frac{2}{1+x^2}
(3.)-\frac{1}{2\left(\sqrt{a^2-x^2}\right)}
(4.) \frac{1}{2\left(1+x^2\right)}

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6.त्रिकोणमितीय रूपान्तरण द्वारा अवकलन:कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Trig Transformation Derivation:Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

त्रिकोणमितीय रूपान्तरण द्वारा अवकलन (Trig Transformation Derivation) के इस
आर्टिकल में हम स्टेप-बाइ-स्टेप त्रिकोणमितीय रूपान्तरणों द्वारा अवकलन करना सीखेंगे।
कक्षा 12 बोर्ड एग्जाम के लिए महत्वपूर्ण निबन्धात्मक सवाल स्पष्ट Explanation के साथ।