1.लघुगणक एमसीक्यूज हल सहित का परिचय (Introduction to Logarithms MCQs with Solution):

लघुगणक एमसीक्यूज हल सहित (Logarithms MCQs with Solution) के इस आर्टिकल में ऐसे सवालों के बारे में अध्ययन करेंगे जो प्रश्न सामान्यतः परीक्षा में नहीं आते हैं,परन्तु कभी-कभी पूछ लिए जाते हैं।

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2.लघुगणक एमसीक्यूज हल सहित (Logarithms MCQs with Solution):

Illustration:1.यदि \log e^x + \log e^{1+x} = 0 हो,तो x का मान होगा:
\text{(a) } -\frac{1}{2} \text{ (b) } 0 \text{ (c) } \frac{1}{2} \text{ (d) } 1 \\ \text{Solution: } \log e^x + \log e^{1+x} = 0 \\ \Rightarrow x\log e + (1+x)\log e = 0 \\ \Rightarrow x(1) + (1+x) \cdot 1 = 0 \text{ } [\because \log e = 1] \\ \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}
विकल्प (a) सही है।
Illustration:2. 2\log\left(\frac{11}{13}\right) + 2\log\left(\frac{130}{23}\right)-\log\left(\frac{4}{9}\right) का मान है:
\text{(a) } 2.4431 \text{ (b) } 2\log 2 \text{ (c) } \log\frac{26}{11} \text{ (d) } 2\log 5 \\ \text{Solution: } 2\log\left(\frac{11}{13}\right) + 2\log\left(\frac{130}{33}\right) - \log\left(\frac{4}{9}\right) \\ = \log\frac{121}{169} + \log\left(\frac{16900}{1089}\right) - \log\left(\frac{4}{9}\right) \\ = \log\left(\frac{121}{169} \times \frac{16900}{1089} \times \frac{9}{4}\right) \\ = \log\left(\frac{100}{9} \times \frac{9}{4}\right) = \log 25 = 2\log 5
विकल्प (d) सही है।
Illustration:3.यदि \log_4(x^2 + 2x) -\log_4(x + 2) = 2 ,तो
\text{(a) } x = 18 \text{ (b) } x = 24 \text{ (c) } x = 16 \text{ (d) इनमें से कोई नहीं} \\ \text{Solution: } \log_4(x^2 + 2x) - \log_4(x + 2) = 2 \\ \Rightarrow \log_4\left(\frac{x^2 + 2x}{x + 2}\right) = 2 \\ \Rightarrow \frac{x^2 + 2x}{x + 2} = 4^2 \\ \Rightarrow x^2 + 2x = 16x + 32 \\ \Rightarrow x^2 - 14x - 32 = 0 \\ \Rightarrow x^2 - 16x + 2x - 32 = 0 \\ \Rightarrow x(x - 16) + 2(x - 16) = 0 \\ \Rightarrow (x + 2)(x - 16) = 0 \Rightarrow x = -2, 16
x=-2 (छोड़ने पर)
विकल्प (c) सही है।
Illustration:4.यदि a^2 + b^2 = 7ab हो,तो \log\left(\frac{a + b}{3}\right) का मान है:
\text{(a) } \frac{1}{2}(\log a - \log b) \text{ (b) } \frac{1}{2}(\log a + \log b) \\ \text{(c) } \log a - \log b \text{ (d) } \log a + \log b \\ \text{Solution: } a^2 + b^2 = 7ab \\ \Rightarrow a^2 + 2ab + b^2 = 9ab \\ \Rightarrow \frac{a^2 + 2ab + b^2}{9} = ab \\ \Rightarrow \left(\frac{a + b}{3}\right)^2 = ab \\ \Rightarrow \log\left(\frac{a + b}{3}\right)^2 = \log(ab) \\ \Rightarrow 2 \cdot \log\left(\frac{a + b}{3}\right) = \log a + \log b \\ \Rightarrow \log\left(\frac{a + b}{3}\right) = \frac{1}{2}(\log a + \log b)
विकल्प (b) सही है।
Illustration:5. \log_2 a = 4 - \log_2 4 ,तो a का मान होगा:
\text{(a) } 2 \text{ (b) } 4 \text{ (c) } 1 \text{ (d) } 0 \\ \text{Solution: } \log_2 a = 4 - \log_2 4 \\ \Rightarrow \log_2 a + \log_2 4 = 4 \\ \Rightarrow \log_2 (4a) = 4 \Rightarrow 4a = 2^4 \\ \Rightarrow a = \frac{16}{4} = 4
विकल्प (b) सही है।
Illustration:6.यदि \log 2 = 0.30103 तो \log 200 का मान होगा:
\text{(a) } 13.0103 \text{ (b) } 0.30103 \text{ (c) } 1.30103 \text{(d) } 2.30103 \\ \text{Solution: } \log 200 \\ = \log(2 \times 100) = \log 2 + \log 100 \\ = 0.30103 + 2 = 2.30103
विकल्प (d) सही है।
Illustration:7. \log 2^{(x + 2)} = \log 16 ,तो x का मान होगा:
\text{(a) } 3 \text{ (b) } 2 \text{ (c) } 5 \text{ (d) } 6 \\ \text{Solution: } \log 2^{(x + 2)} = \log 16 \\ \Rightarrow (x + 2)\log 2 = 4\log 2 \\ \Rightarrow x + 2 = 4 \Rightarrow x = 2
विकल्प (b) सही है।
Illustration:8.यदि \log(x^2 - 6x + 45) = 2 हो,तो x का मान है:
\text{(a) } 10, 5 \text{ (b) } 11, -5 \text{ (c) } 6, 9 \text{ (d) } 9, -5 \\ \text{Solution: } \log(x^2 - 6x + 45) = 2 \\ \Rightarrow \log(x^2 - 6x + 45) = \log 100 \\ \Rightarrow x^2 - 6x + 45 = 100 \\ \Rightarrow x^2 - 6x - 55 = 0 \\ \Rightarrow x^2 - 11x + 5x - 55 = 0 \\ \Rightarrow x(x - 11) + 5(x - 11) = 0 \\ \Rightarrow (x + 5)(x - 11) = 0 \\ \Rightarrow x = -5, 11
विकल्प (b) सही है।
Illustration:9. \log x = a + b तथा \log y = a - b, तो \log\left(\frac{10x^2}{y}\right) का a व b के सन्दर्भ में मान होगा:
\text{(a) } 3a + b \text{ (b) } 10(a + b)^2 - (a - b) \\ \text{(c) } a^2 + b^2 + 2ab - a + b \text{ (d) } 1 + a + 3b \\ \text{Solution: } \log\left(\frac{10x^2}{y}\right) \\ = \log(10x^2) - \log y \\ = \log 10 + 2\log x - \log y \\ = 1 + 2(a + b) - (a - b) \\ = a + 3b + 1
विकल्प (d) सही है।
Illustration:10.यदि \log_y x \times \log_x y = y, x^2 + y = 2 ,तो x,y का मान होगा:
\text{(a) } (3, 3) \text{ (b) } (-4, -4) \text{ (c) } (4, 8) \text{ (d) } (1, 1) \\ \text{Solution: } \log_y x \times \log_x y = y \\ \Rightarrow \frac{\log_e x}{\log_e y} \times \frac{\log_e y}{\log_e x} = y \Rightarrow y = 1 \\ x^2 + y = 2 \\ \Rightarrow x^2 + 1 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \\ \therefore (x, y) = (1, 1)
विकल्प (d) सही है।

Illustration:11.यदि \log x + \log y = \log (x + y) हो,तो
\text{(a) } x = y \text{ (b) } xy = 1 \text{ (c) } y = \frac{x - 1}{x} \text{ (d) } y = \frac{x}{x - 1} \\ \text{Solution: } \log x + \log y = \log(x + y) \\ \Rightarrow \log(xy) = \log(x + y) \\ \Rightarrow xy = x + y \\ \Rightarrow xy - y = x \Rightarrow y = \frac{x}{x - 1}
विकल्प (d) सही है।
Illustration:12.यदि \log(x^3 - 1) - \log(x^2 + x + 1) = 0 हो,तो x का मान होगा:
\text{(a) } 0 \text{ (b) } 1 \text{ (c) } 2 \text{ (d) } 3 \\ \text{Solution: } \log(x^3 - 1) - \log(x^2 + x + 1) = 0 \\ \Rightarrow \log\left(\frac{x^3 - 1}{x^2 + x + 1}\right) = 0 \\ \Rightarrow \frac{x^3 - 1}{x^2 + x + 1} = 1 \Rightarrow x^3 - 1 = x^2 + x + 1 \\ \Rightarrow (x - 1)(x^2 + x + 1) = x^2 + x + 1 \\ \Rightarrow x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2
विकल्प (c) सही है।
Illustration:13.यदि a^2 \log_2 x = \frac{b}{2} \log_4 x ,तो
\text{(a) } a^2 = b \text{ (b) } 2a^2 = b^2 \text{ (c) } 4a^2 = b \text{ (d) } 2a^2 = b \\ \text{Solution: } a^2 \log_2 x = \frac{b}{2} \log_4 x \\ \Rightarrow a^2 \log_2 x = \frac{b}{4} \log_2 x \quad \left[\because \log_4 x = \frac{1}{2}\log_2 x\right] \\ \Rightarrow \log_2 (x^{a^2}) = \log_2 (x^{\frac{b}{4}}) \\ \Rightarrow x^{a^2} = x^{\frac{b}{4}} \Rightarrow a^2 = \frac{b}{4} \Rightarrow 4a^2 = b
विकल्प (c) सही है।
Illustration:14. [\log\left(\frac{3}{5}\right) + \log\left(\frac{5}{36}\right)] + \log 12 का मान किसके समान है?
\text{(a) } \log 5 \text{ (b) } \log 3 \text{ (c) } \log 2 \text{ (d) } 0 \\ \text{Solution: } [\log\left(\frac{3}{5}\right) + \log\left(\frac{5}{36}\right)] + \log 12 \\ = \log\left(\frac{3}{5} \times \frac{5}{36} \times 12\right) = \log 1 = 0
विकल्प (d) सही है।
Illustration:15. \log m + \log n किसके बराबर है?
\text{(a) } \log\left(\frac{m}{n}\right) \text{ (b) } \log(m \times n) \text{ (c) } \log(m^n) \text{(d) } \log(n^m)
Solution: विकल्प (b) सही है।
Illustration:16.यदि \log_3 x = -2 ,तो x बराबर है:
\text{(a) } -9 \text{ (b) } -6 \text{ (c) } -8 \text{ (d) } \frac{1}{9} \\ \text{Solution: } \log_3 x = -2 \\ \Rightarrow \log_3 x = -2\log_3 3 \\ \Rightarrow \log_3 x = \log_3 3^{-2}\\ \Rightarrow x = 3^{-2} = \frac{1}{9}
विकल्प (d) सही है।
Illustration:17.यदि \log_{10000} x = -\frac{1}{4},तो x बराबर होगाः
\text{(a) } \frac{1}{10} \text{ (b) } \frac{1}{100} \text{ (c) } \frac{1}{1000} \text{ (d) } \frac{1}{10000} \\ \text{Solution: } \log_{10000} x = -\frac{1}{4} \\ \Rightarrow \log_{10000} x = -\frac{1}{4} \log_{10000} 10000 \\ \Rightarrow \log_{10000} x = \log_{10000} (10000^{-\frac{1}{4}}) \\ \Rightarrow x = 10000^{(-\frac{1}{4})} = 10^{(4 \times -\frac{1}{4})} \\ \Rightarrow x = 10^{-1} = \frac{1}{10}
विकल्प (a) सही है।
Illustration:18.यदि \log 2 = x, \log 3 = y \text{तथा } \log 5 = z हो, तो \log 270 का मान होगा:
\text{(a) } 2x + 2y + z \text{ (b) } x + 3y + z \\ \text{(c) } 2x + y + z \text{ (d) } x + y + 2z \\ \text{Solution: } \log 270 = \log(2 \times 3^3 \times 5) \\ = \log 2 + 3\log 3 + \log 5 \\ = x + 3y + z
विकल्प (b) सही है।
Illustration:19. x + \log_{10}(1 + 2^x) =x \log_{10} 5 + \log_{10} 2 के लिए x का मान है:
\text{(a) } 2 \text{ (b) } 1 \text{ (c) } -1 \text{ (d) } 0 \\ \text{Solution: } x + \log_{10}(1 + 2^x) = x \log_{10} 5  + \log_{10} 2 \\ \Rightarrow x \log_{10} 10 + \log_{10}(1 + 2^x) = \log_{10} 5^x + \log_{10} 2 \\ \Rightarrow \log_{10}[10^x \times (1 + 2^x)] = \log_{10}(5^x \times 2) \\ \Rightarrow 10^x \times (1 + 2^x) = 5^x \times 2 \\ \Rightarrow (2 \times 5)^x \times (1 + 2^x) = 2 \times 5^x \\ \Rightarrow 2^x \times 5^x + 2^{x+x} \cdot 5^x = 2 \times 5^x \\ \Rightarrow 5^x (2^x + 2^{x+x}) = 2 \times 5^x \\ \Rightarrow 2^x(1 + 2^x) = 2 \\ \Rightarrow 2^{2x} + 2^x - 2 = 0 \\ \Rightarrow 2^{2x} + 2 \cdot 2^x - 2^x - 2 = 0 \\ \Rightarrow 2^x(2^x + 2) - 1(2^x + 2) = 0 \\ \Rightarrow (2^x - 1)(2^x + 2) = 0 \\ \Rightarrow 2^x - 1 = 0 \Rightarrow 2^x = 1 \Rightarrow 2^x = 2^0 \\ \Rightarrow x = 0 \\ 2^x + 2 = 0 (असम्भव है)
विकल्प (d) सही है।
Illustration:20. \sqrt[3]{3} आधार पर 81 के लघुगणक का मान होगा:
\text{(a) } 4 \text{ (b) } 9 \text{ (c) } 6 \text{ (d) } 12 \\ \text{Solution: } \log_{\sqrt[3]{3}} 81 = \log_{3^{\frac{1}{3}}} 81 \\ = \frac{1}{\frac{1}{3}} \log_3 81 \quad \left[\because \log_{a^b} x = \frac{1}{b}\log_a x\right] \\ = 3 \log_3 3^4 = 3 \times 4 \log_3 3 \\ = 12 \times 1 = 12
विकल्प (d) सही है।

Illustration:21. \log_2 3 \times \log_3 4 \times \log_4 5 \times \log_5 6 \times \log_6 7 \times \log_7 8 का मान हैं:
\text{(a) } 8 \text{ (b) } 3 \text{ (c) } 2 \text{ (d) } 1 \\ \text{Solution: } \log_2 3 \times \log_3 4 \times \log_4 5 \times \log_5 6 \times \log_6 7 \times \log_7 8 \\ = \frac{\log_e 3}{\log_e 2} \times \frac{\log_e 4}{\log_e 3} \times \frac{\log_e 5}{\log_e 4} \times \frac{\log_e 6}{\log_e 5} \times \frac{\log_e 7}{\log_e 6} \times \frac{\log_e 8}{\log_e 7} \\ = \frac{\log_e 8}{\log_e 2} = \frac{3 \log_e 2}{\log_e 2} = 3
विकल्प (b) सही है।
Illustration:22.यदि \log_b a \times \log_y x = \log_c a तब x और y के मान क्रमशः हैं:
\text{(a) } b \text{ और } c \text{ (b) } c \text{ और } b \text{ (c) } c \text{ और } a \text{(d) } b \text{ और } a \\ \text{Solution: } \log_b a \times \log_y x = \log_c a \\ \Rightarrow \frac{\log_e a}{\log_e b} \times \frac{\log_e x}{\log_e y} = \frac{\log_e a}{\log_e c} \\ \Rightarrow \frac{\log_e x}{\log_e y} = \frac{\log_e b}{\log_e c} \Rightarrow \log_y^x = \log_c^b
x=b व y=c
विकल्प (a) सही है।
Illustration:23. \frac{\log_a x}{\log_{ab} x} का मान बराबर है:
\text{(a) } 1 + \log_a b \text{ (b) } 1 + \log_b a \text{ (c) } b \text{ (d) } \log\left(\frac{1}{b}\right) \\ \text{Solution: } \frac{\log_a x}{\log_{ab} x} = \frac{\frac{\log_e x}{\log_e a}}{\frac{\log_e x}{\log_e ab}} \\ = \frac{\log_e x}{\log_e a} \times \frac{\log_e ab}{\log_e x} = \frac{\log_e ab}{\log_e a} \\ = \frac{\log_e a + \log_e b}{\log_e a} = 1 + \frac{\log_e b}{\log_e a} \\ = 1 + \log_a^b
विकल्प (a) सही है।
Illustration:24.यदि \log y = 2 + n\log x ,तो का मान होगा:
\text{(a) } y = n\log x^2 \text{ (b) } y = 100x^n \\ \text{(c) } y = \log x^{2+n} \text{ (d) } y = 2nx^2 \\ \text{Solution: } \log y = 2 + n\log x \\ \Rightarrow \log y = 2\log_e 10 + \log x^n \quad [\because \log 100 = 2] \\ \Rightarrow \log y = \log 100 + \log x^n \\ \Rightarrow \log y = \log(100x^n) \\ \Rightarrow y = 100x^n
विकल्प (b) सही है।
Illustration:25.यदि a,b,c क्रमिक संख्याएँ हों,तो \log(1 + ac) बराबर है:
\text{(a) } \log b + 2 \text{ (b) } 2\log b \text{ (c) } \log b - 2 \\ \text{(d) } \frac{1}{2}\log b \\ \text{Solution: } a, b, c \text{ क्रमिक संख्याएँ हैं।} \\ b = a + 1, c = b + 1 = a + 1 + 1 = a + 2 \\ \log(1 + ac) = \log[1 + (b - 1)(b + 1)] \\ = \log(1 + b^2 - 1) = \log b^2 \\ \Rightarrow \log(1 + ac) = 2\log b
विकल्प (b) सही है।
Illustration:26. \log_b a \times \log_c b \times \log_a c का मान हैं:
\text{(a) } 2 \text{ (b) } 3 \text{ (c) } 1 \text{ (d) } abc \\ \text{Solution: } \log_b a \times \log_c b \times \log_a c \\ = \frac{\log_e a}{\log_e b} \times \frac{\log_e b}{\log_e c} \times \frac{\log_e c}{\log_e a} = 1
विकल्प (c) सही है।
Illustration:27. \log 8 + \log\frac{1}{8} का मान है:
\text{(a) } 1 \text{ (b) } 8 \text{ (c) } 2 \text{ (d) } 0 \\ \text{Solution: } \log 8 + \log\frac{1}{8} = \log 8 + \log 1 - \log 8 \\ = 0
विकल्प (d) सही है।
Illustration:28.\log_2 64 का मान किसके बराबर है?
\text{(a) } 2 \text{ (b) } 4 \text{ (c) } 6 \text{ (d) इनमें से कोई नहीं} \\ \text{Solution: } \log_2 64 = \log_2 2^6 = 6\log_2 2 = 6
विकल्प (c) सही है।
Illustration:29.यदि \log(x^2 - 4x + 5) = 0 ,तब x का मान होगा:
\text{(a) } 2 \text{ (b) } 3 \text{ (c) } 1 \text{ (d) } 0 \\ \text{Solution: } \log(x^2 - 4x + 5) = 0 \\ \Rightarrow \log[x^2 - 4x + 5] = \log 1 \\ \Rightarrow x^2 - 4x + 5 = 1 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Rightarrow (x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2
विकल्प (a) सही है।
Illustration:30.यदि \log_{10} 2 = 0.3010 तो \log 4[/katex] है:
\text{(a) } 3.3220 \text{ (b) } 5 \text{ (c) } 0.3322 \text{ (d) } 0.6020 \\ \text{solution: } \log_{10} 2 = 0.3010, \ \log 4 = 2\log 2 \\ \Rightarrow 2 \times 0.3010 = 0.6020
विकल्प (d) सही है।

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3.छात्र-छात्राओं के लिए लघुगणक एमसीक्यूज हल सहित की प्रैक्टिस प्रोब्लम्स (Practice Problems of Logarithms MCQs with Solution for Students):

(1.)यदि \log_a 81 = 4 ,तब a का मान है:
(a)1 (b)2 (c)3 (d) 4
(2.)यदि  \log_9 2187 का मान है:
(a) 1 (b) 2 (c) 7 (d) \frac{7}{2}
उत्तर (Answers):(1.)(d) (2.)(d)
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4.लघुगणक एमसीक्यूज हल सहित (Frequently Asked Questions Related to Logarithms MCQs with Solution) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

**छात्र-छात्राओं से आज का प्रश्न**

*”संख्यात्मक मान में एक आयताकार खेत का परिमाप,क्षेत्रफल से 2490 कम है।यदि चौड़ाई को दोगुना कर दिया जाए,तो परिमाप क्षेत्रफल से 5100 कम हो जाता है।यदि खेत की लम्बाई को चार गुना कर दिया जाए,तो परिमाप,क्षेत्रफल से संख्यात्मक मान में कितना कम होगा?”*
**Today’s Question to Students**
*”The perimeter of a rectangular field in numerical value is 2490 less than the area. If the width is doubled, the perimeter is reduced by 5100 from the area. If the length of the field is quadrupled, then the perimeter will be reduced by the numerical value from the area?”*
*पिछली प्रश्नोत्तरी का उत्तर*
कुल भागीदार=\frac{8}{3.5} \times 1540

*”Previous Quiz Solution”*
Total Participants=\frac{8}{3.5} \times 1540
*”यह आर्टिकल **Satyam Mathematics** ब्लॉग पर **Satyam Coaching Centre** के द्वारा तैयार किया गया है।”*