Linear Programming Problems Class 12

Mathematics Satyam February 27, 2026 12th Mathematics, JEE MAINS Maths No Comments

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1 1.रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ कक्षा 12 (Linear Programming Problems Class 12),रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ (Linear Programming Problems):

1.1 2.रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ कक्षा 12 के साधित उदाहरण (Linear Programming Problems Class 12 Solved Illustrations):

1.1.1 3.रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Linear Programming Problems Class 12),रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ (Linear Programming Problems) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.1.2 प्रश्न:1.रैखिक प्रोग्रामन विधि अस्तित्व में कैसे आयी? (How Did Linear Programming Method Come into Existence?):

1.1.3 प्रश्न:2.कुछ महत्त्वपूर्ण रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ कौन-सी हैं? (What Are the Some of the Linear Programming Problems?):

1.1.4 प्रश्न:3.रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत क्षेत्र किसे कहते हैं? (What is the Feasible Region of the Linear Programming Problem?):

1.1.4.1 Linear Programming Problems Class 12

2 रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ कक्षा 12(Linear Programming Problems Class 12)

2.1 Linear Programming Problems Class 12

1.रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ कक्षा 12 (Linear Programming Problems Class 12),रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ (Linear Programming Problems):

Linear Programming Problems Class 12

रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ कक्षा 12 (Linear Programming Problems Class 12) के इस आर्टिकल में रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं के कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ कक्षा 12 के साधित उदाहरण (Linear Programming Problems Class 12 Solved Illustrations):

Illustration:6.दो अन्न भण्डारों A और B की भण्डारण क्षमता क्रमशः 100 क्विंटल और 50 क्विंटल है।उन्हें तीन राशन की दुकानों D,E और F पर अन्न उपलब्ध कराना पड़ता है,जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 60,50 और 40 क्विंटल हैं।
भण्डारों से दुकानों की प्रति क्विंटल व्यय निम्न सारणी के अनुसार है:
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{ प्रति क्विंटल } & \text{ परिवहन } & \text{ व्यय (रुपयों में) } \\ \text { को/से } & A & B \\ \hline D & 6 & 4 \\ \hline E & 3 & 2 \\ \hline F & 2.50 & 3 \\ \hline \end{array}$
परिवहन व्यय के न्यूनतमीकरण के लिए आपूर्ति का परिवहन कैसे किया जाए? न्यूनतम परिवहन मूल्य क्या है?
Solution:आकृति द्वारा इस समस्या को निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता हैः
क्विंटल
माना कि अन्न के x क्विंटल और y क्विंटल को भण्डार A से क्रमशः राशन की दुकानों D और E को भेजा गया।तब 100-x-y क्विंटल को राशन की दुकान F तक भेजा जाएगा
अतः $x \geq 0, y \geq 0$ और $100-x-y \geq 0$
अर्थात् $x \geq 0, y \geq 0$ और $x+y \leq 100$
अब राशन की दुकान D की आवश्यकता 60 क्विंटल है।क्योंकि A भण्डार से x राशन की दुकान D को भेजे जा चुके हैं इसलिए भण्डार B से 60-x क्विंटल,राशन की दुकान D को भेजे जाएंगे।स्पष्टतः $60-x \geq 0$ अर्थात् $x \leq 60$ है।
इसी प्रकार 50-y और 50-[(60-x)+(50-y)]=50-60+x-50+y=x+y-60 क्विंटल भण्डार B से क्रमशः राशन की दुकानों E और F को भेजे जाएंगे।अतः
$50-y \geq 0 \Rightarrow y \leq 50 \\ x+y-60 \geq 0 \Rightarrow x+y \geq 60$
सम्पूर्ण परिवहन व्यय जो Z द्वारा दिया गया है निम्न हैः
Min. Z=6x+3y+2.50(100-x-y)+4(60-x)+2(50-y)+3(x+y-60)
=6x+3y+250-2.50x-2.50y+240-4x+100-2y+3x+3y-180
Min. Z=2.50x+1.50y+410
इसलिए समस्या गणितीय रूप में निम्नलिखित रूप से व्यक्त की जा सकती है:

उद्देश्य फलन Max Z=2.50x+1.50y+410
व्यवरोध $x+y \leq 100, x \leq 60 , y \leq 50, x+y \geq 60, x \geq 0, y \geq 0$
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
x+y=100,x=60,y=50,x+y=60,x=0,y=0
x+y=100 में y=0 रखने पर x=100
अब x=0 रखने पर y=100
अतः यह अक्षों को (100,0) और B(0,100) पर काटती है।
इसी प्रकार x=60 x-अक्ष को D(60,0) पर काटती है और y-अक्ष के समान्तर है।
y=50 y-अक्ष को (0,50) पर काटती है और x-अक्ष के समान्तर है।
x+y=60 में y=0 रखने पर x=60
अब x=0 रखने पर y=60
अतः यह अक्षों को D(60,0) और B(0,60) पर काटती है।
x+y=100 व x=60 और x+y=100 व y=50 का प्रतिच्छेद बिन्दु C(60,40) व B(50,50) है।
x+y=60 व x=60 और x+y=60 व y=50 का प्रतिच्छेद बिन्दु D(60,0) व A(10,50) है।
$x+y \leq 100$ में x=0,y=0 रखने पर $0+0 \leq 100 \Rightarrow 0 \leq 100$ जो कि सत्य है।
$x \leq 60$ में x=0 रखने पर $0 \leq 60$ जो कि सत्य है।
$y \leq 50$ में y=0 रखने पर $0 \leq 50$ जो कि सत्य है।अतः तीनों का हल क्षेत्र मूलबिन्दु की ओर स्थित है।
$x+y \geq 60$ में x=0,y=0 रखने पर $0+0 \geq 60 \Rightarrow 0 \geq 60$ जो कि असत्य है।अतः इसका हल क्षेत्र मूलबिन्दु से विपरीत ओर स्थित है।
$x \geq 0$ का हल क्षेत्र y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर है।
$y \geq 0$ का हल क्षेत्र x-अक्ष पर और x-अक्ष के ऊपर स्थित है।

Linear Programming Problems Class 12

इनसे बना उभयनिष्ठ क्षेत्र बहुभुज ABCD है।जिसे चित्र में छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।बहुभुज ABCD के शीर्षों के निर्देशांक हैं:
A(10,50),B(50,50),C(60,40),D(60,0)
उपर्युक्त शीर्षों पर उद्देश्य फलन (Z) के मानों की गणना निम्न प्रकार हैः
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{ Point } & \text{co-ordinate} & \text{ Value of objective function(z)} \\ & & z=2.50 \times x+1.50 y+410 \\ \hline A & (10,50) & 2.50 \times 10+1.50 \times 50+410=510 \\ B & (50,50) & 2.50 \times 50+1.50 \times 50+410=610 \\ C & (60,40) & 2.50 \times 60+1.50 \times 40+410=620 \\ D & (60,0) & 2.50 \times 60+1.50 \times 0+410=560 \\ \hline \end{array}$
अतः उपर्युक्त तालिका से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन Z का न्यूनतम मान ₹ 510 जब भण्डार A से दुकान D पर 10 क्विटंल और दुकान E को 50 क्विंटल अन्न भेजा जाता है।
इसलिए भण्डार A से दुकान D,E,F को क्रमशः 10,50,40 क्विंटल और भण्डार B से दुकान D,E,F को क्रमशः 60-x=60-10=50,50-y=50-50=0 क्विंटल x+y-60=10+50-60=0 क्विंटल अन्न भेजने से न्यूनतम ₹ 510 होगा।
Illustration:7.एक तेल कारखाने में दो डिपो A तथा B हैं,जिनकी क्षमताएँ क्रमशः 7000 लीटर और 4000 लीटर की हैं।कारखाने द्वारा तीन पेट्रोल पम्पों D,E और F के लिए आपूर्ति करनी है,जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 4500 लीटर,3000 लीटर और 5500 लीटर की है।डिपो से पेट्रोल पम्पों की दूरियाँ (km. में) निम्नांकित सारणी के अनुसार हैः
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{दूरियाँ } & \text{(km. में)} \\ \text { को/से } & A & B \\ \hline D & 7 & 3 \\ \hline E & 6 & 4 \\ \hline F & 3 & 2 \\ \hline \end{array}$
यह मानते हुए कि परिवहन व्यय प्रति 10 लीटर पर प्रति किलोमीटर 1 रुपया है,ज्ञात कीजिए कि कैसी आपूर्ति योजना अपनाई जाए,जिससे परिवहन व्यय का न्यूनतमीकरण हो जाए? न्यूनतम व्यय क्या है?
Solution:आकृति द्वारा इस समस्या को निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता हैः

माना कि पेट्रोल के x लीटर और y लीटर को डिपो A से क्रमशः पेट्रोल पम्पों D और E को भेजा गया।तब 7000-x-y लीटर को पेट्रोल पम्प F तक भेजा जाएगा।
अतः $x \geq 0, y \geq 0$ और $7000-x-y \geq 0$
अर्थात् $x \geq 0, y \geq 0$ और $x+y \leq 7000$
अब पेट्रोल पम्प D की आवश्यकता 4500 लीटर है।क्योंकि डिपो A से x लीटर D को भेजे जा चुके हैं इसलिए डिपो B से 4500-x लीटर,पेट्रोल पम्प D को भेजे जाएंगा।स्पष्टतः $4500-x \geq 0$ अर्थात् $x \leq 4500$ है।
इसी प्रकार $3000-y \geq 0$ और 4000-[(4500-x)+(3000-y)]=4000-4500+x-3000+y=x+y-3500 लीटर डिपो B से क्रमशः पेट्रोल पम्पों E और F को भेजा जाएंगा।अतः $3000-y \geq 0 \Rightarrow y \leq 3000 \\ x+y-3500 \geq 0 \Rightarrow x+y \geq 3500$
परिवहन व्यय प्रति 10 लीटर प्रति किलोमीटर ₹ 1 है।परिवहन व्यय प्रति लीटर प्रति किलोमीटर ₹ 0.1 है।
सम्पूर्ण परिवहन व्यय जो Z द्वारा दिया गया है निम्न हैः
Min. Z=0.7x+0.6y+0.3(7000-x-y)+0.3(4500-x)+0.4(3000-y)+0.2(x+y-3500)
=0.7x+0.6y+2100-0.3x-0.3y+1350-0.3x+12000-0.4y+0.2x+0.2y-700
$\Rightarrow$ Min. Z=0.3x+0.1y+3950
इसलिए समस्या गणितीय रूप में निम्नलिखित रूप से व्यक्त की जा सकती है:
उद्देश्य फलन Max Z=0.3x+0.1y+3950
व्यवरोध $x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 7000, x \leq 4500, y \leq 3000, x+y \geq 3500$
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
x+y=7000,x=4500,y=3000,x+y=3500,x=0,y=0
x+y=7000 में y=0 रखने पर x=7000
अब x=0 रखने पर y=7000
अतः यह अक्षों को (7000,0) और (0,7000) पर काटती है।
इसी प्रकार x=4500 x-अक्ष को E(4500,0) पर काटती है और y-अक्ष के समान्तर है।
y=3000 y-अक्ष को (0,3000) पर काटती है और x-अक्ष के समान्तर है।
x+y=3500 में y=0 रखने पर x=3500
अब x=0 रखने पर y=3500
अतः यह अक्षों को B(3500,0) और B(0,3500) पर काटती है।
x+y=7000 व x=4500 और x+y=7000 व y=3500 का प्रतिच्छेद बिन्दु C(4500,2500) व B(4000,3000) है।
x+y=3500 व y=3000 का प्रतिच्छेद बिन्दु A(500,3000) है।
$x+y \leq 7000$ में x=0,y=0 रखने पर $0+0 \leq 7000 \Rightarrow 0 \leq 7000$ जो कि सत्य है।
$x \leq 4500$ में x=0 रखने पर $0 \leq 4500$ जो कि सत्य है।
$y \leq 3000$ में y=0 रखने पर $0 \leq 3000$ जो कि सत्य है।अतः तीनों का हल क्षेत्र मूलबिन्दु की ओर स्थित है।
$x+y \geq 3500$ में x=0,y=0 रखने पर $0+0 \geq 3500 \Rightarrow 0 \geq 3500$ जो कि असत्य है।अतः इसका हल क्षेत्र मूलबिन्दु से विपरीत ओर स्थित है।
$x \geq 0$ का हल क्षेत्र y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर है।
$y \geq 0$ का हल क्षेत्र x-अक्ष पर और x-अक्ष के ऊपर स्थित है।

Linear Programming Problems Class 12

इनसे बना उभयनिष्ठ क्षेत्र बहुभुज ADCEB है।जिसे चित्र में छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।बहुभुज ADCEB के शीर्षों के निर्देशांक हैं:
A(500,3000),D(4000,3000),C(4500,2500),E(4500,0),B(3500,0)
उपर्युक्त शीर्षों पर उद्देश्य फलन (Z) के मानों की गणना निम्न प्रकार हैः
$\begin{array}{|l|l|l|}\hline \text{ Point } & \text{co-ordinate} & \text{ Value of objective function(z)} \\ & & 0.3x+0.1y+3950 \\ \hline A & (500,3000) & 0.3 \times 500+0.1 \times 3000+3950=4400 \\ D & (4000,3000) & 0.3 \times 4000+0.1 \times 3000+3950=5450 \\ C & (4500,2500) & 0.3 \times 4500+0.1 \times 2500+3950=5550 \\ E & (4500,0) & 0.3 \times 4500+0.1 \times 0+3950=5300 \\ B & (3500,0) & 0.3 \times 3500+0.1 \times 0+3950=5000 \\ \hline \end{array}$
अतः उपर्युक्त तालिका से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन Z का न्यूनतम मान 4400 जब डिपो A से पेट्रोल पम्प D,E,F को क्रमशः 500,3000,7000-x-y=7000-500-3000=3500 तेल की आपूर्ति करे और डिपो B पेट्रोल पम्प D,E,F को क्रमशः 4500-x=4500-500=4000,3000-y=3000-3000=0 लीटर,x+y-3500=500+3000-3500=0 लीटर तेल की आपूर्ति करे।
Illustration:8.एक फल उत्पादक अपने बाग में दो प्रकार के खादों P ब्राँड और Q ब्राँड का उपयोग कर सकता है।मिश्रण के प्रत्येक थैले में नाइट्रोजन,फास्फोरिक अम्ल,पोटाश और क्लोरीन की मात्रा (kg में) सारणी में दिया गया है।परीक्षण संकेत देते हैं कि बाग को कम से कम 240 kg फास्फोरिक अम्ल,कम से कम 270 kg पोटाश और क्लोरीन की अधिक से अधिक 310 kg की आवश्यकता है।
यदि उत्पादक बाग के लिए मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का न्यूनतमीकरण करना चाहता है तथा प्रत्येक मिश्रण के कितने थैलों का उपयोग होना चाहिए? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की निम्नतम मात्रा क्या है?
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{kg प्रति थैला}\\ & \text{ ब्राँड P} & \text{ ब्राँड Q} \\ \hline \text { नाइट्रोजन } & 3 & 3.5 \\ \text { फास्फोरिक } & 1 & 2 \\ \text { अम्ल पोटाश } & 3 & 1.5 \\ \text { क्लोरीन } & 1.5 & 2 \\ \hline \end{array}$
Solution:माना फल उत्पादक द्वारा P ब्राँड के x थैले और Q ब्राँड के y थैले मिलाये जाते हैं।स्पष्टतः $x \geq 0, y \geq 0$
हम प्रदत्त आँकड़ों से निम्न सारणी बनाते हैं:
ब्राँड ब्राँड
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{ ब्राँड P} & \text{ ब्राँड Q} & \text{आवश्यकता} \\ & x & y & \\ \hline \text { फास्फोरिक } & 1 & 2 & 240 \\ \text { अम्ल पोटाश } & 3 & 1.5 & 270 \\ \text { क्लोरीन } & 1.5 & 2 & 310 \\ \text { नाइट्रोजन } & 3 & 3.5 & \\ \hline \end{array}$
फास्फोरिक अम्ल x+2y के लिए कम से कम 240 kg की आवश्यकता है।अतः
$x+2 y \geq 240$
पोटाश 3x+1.5y के लिए कम से कम 270 kg की आवश्यकता है।अतः
$3 x+1.5 y \geq 270 \Rightarrow 2 x+y \geq 180$
क्लोरीन 1.5x+2y के लिए अधिक से अधिक 310 kg की आवश्यकता है।अतः
$1.5 x+2 y \leq 310 \Rightarrow 3 x+4 y \leq 620$
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है:
उद्देश्य फलन Min. Z=3x+3.5y
व्यवरोध $x+2y \geq 240,2x+y \geq 180,3x+4y \leq 620 , x \geq 0, y \geq 0$
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
x+2y=240,2x+y=180,3x+4y=620,x=0,y=0
x+2y=240 में y=0 रखने पर x=240
अब x=0 रखने पर y=120
अतः यह अक्षों को A(240,0) और B(0,120) पर काटती है।
इसी प्रकार 2x+y=180 में y=0 रखने पर x=90
अब x=0 रखने पर y=180
अतः यह अक्षों को C(90,0) और D(0,180) पर काटती है।
3x+4y=620 में y=0 रखने पर $x=206 \frac{2}{3}$
अब x=0 रखने पर y=155
अतः यह अक्षों को $E\left(206 \frac{2}{3}, 0\right)$ और F(0,155) पर काटती है।
x+2y=240 व 2x+y=180 और x+2y=240 व 3x+4y=620 का प्रतिच्छेद बिन्दु P(20,140),R(140,50) है।
2x+y=180 तथा 3x+4y=620 का प्रतिच्छेद बिन्दु Q(40,100) है।
$x+2 y \geq 240$ में x=0,y=0 रखने पर $0+2(0) \geq 240 \Rightarrow 0 \geq 240$ जो कि असत्य है।
$2 x+y \geq 180$ में x=0,y=0 रखने पर $2(0)+0 \geq 180 \Rightarrow 0 \geq 180$ जो कि असत्य है।
अतः दोनों का हल क्षेत्र मूलबिन्दु से विपरीत ओर स्थित है।
$3x+4 y \leq 620$ में x=0 ,y=0 रखने पर $3(0)+4(0) \leq 620 \Rightarrow 0 \leq 620$ जो कि सत्य है।अतः इसका हल क्षेत्र मूलबिन्दु की ओर स्थित है।
$x \geq 0$ का हल क्षेत्र y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर है।
$y \geq 0$ का हल क्षेत्र x-अक्ष पर और x-अक्ष के ऊपर स्थित है।

Linear Programming Problems Class 12

इनसे बना उभयनिष्ठ क्षेत्र त्रिभुज PQR है।जिसे चित्र में छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।त्रिभुज PQR के शीर्षों के निर्देशांक हैं:
P(20,140),Q(40,100),R(140,50)
उपर्युक्त शीर्षों पर उद्देश्य फलन (Z) के मानों की गणना निम्न प्रकार हैः
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{ Point } & \text{co-ordinate} & \text{ Value of objective function(z)} \\ & & Z=3 x+3.5 y \\ \hline P & (20,140) & 3 \times 20+3.5 \times 140=550 \\ Q & (40,100) & 3 \times 40+3.5 \times 100=470 \\ R & (140,50) & 3 \times 140+3.5 \times 50=595 \\ \hline \end{array}$
अतः उपर्युक्त तालिका से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन Z का न्यूनतम मान 470 जबकि P ब्राँड के 40 थैले तथा Q ब्राँड के 100 थैले मिलाए जाएं।अतः नाइट्रोजन की न्यूनतम मात्रा 470 kg है।
Illustration:9.उपर्युक्त प्रश्न 8 पर ध्यान दीजिए।यदि उत्पादक बाग में मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का अधिकतमीकरण चाहता है तो मिश्रण के कितने थैलों को मिलाया जाना चाहिए? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा क्या है?
Solution:उपर्युक्त प्रश्न 8 की तालिका से स्पष्ट है कि Z का अधिकतम मान 595 बिन्दु R(140,50) पर है।
अतः नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा 595 kg है जबकि P ब्राँड के 140 थैले तथा Q ब्राँड के 50 थैले मिलाए जाते हैं।
Illustration:10.एक खिलौना कम्पनी,A और B दो प्रकार के गुड़ियों का निर्माण करती है।मार्किट परीक्षण तथा उपलब्ध संसाधनों से संकेत मिलता है कि सम्मिलित उत्पादन स्तर प्रति सप्ताह 1200 गुड़ियों से अधिक नहीं होना चाहिए और B प्रकार की गुड़ियों की अधिक से अधिक माँग A प्रकार की गुड़ियों की आधी है।इसके अतिरिक्त A प्रकार की गुड़ियों का उत्पादन स्तर दूसरे प्रकार की गुड़ियों के उत्पादन स्तर के तीन गुने से 600 नग अधिक है।यदि कम्पनी A और B प्रत्येक गुड़िया पर क्रमशः Rs.12 और Rs.16 का लाभ कमाती है,लाभ का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक के कितने नगों का साप्ताहिक उत्पादन करना चाहिए।
Solution:माना A प्रकार की x और B प्रकार की y गुड़ियों का उत्पादन करती है।स्पष्टतः $x \geq 0, y \geq 0$
हम प्रदत्त आँकड़ों से निम्न सारणी बनाते हैं:
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline &\text{A प्रकार} & \text{B प्रकार} & \text{संख्या } \\ & \text{की गुड़िया} & \text{की गुड़िया} & \\ \hline \text{गुड़ियों की } & x & y & 1200 \\ \text{कुल संख्या} & & & \\ \text{गुड़ियों में } & x & 3y & \text{B के तीन } \\ \text{अन्तर} & & & \text{ गुने से } \\ & & & \text{600 अधिक} \\ \text{ गुड़ियों } & \frac{x}{2} & y & \text{अधिकतम B } \\ \text{की माँग} & & & \text{ की माँग A } \\ & & & \text{की आधी} \\ \text{लाभ} & 12 & 16 & \\ \hline \end{array}$
गुड़ियों की संख्या x+y है जो 1200 से अधिक नहीं है।अतः
$x+y \leq 1200$
गुड़ियों में अन्तर x-3y जो 600 से अधिक नहीं है।अतः
$x-3 y \leq 600$
गुड़ियों की माँग
$y \leq \frac{x}{2} \Rightarrow x-2 y \geq 0$
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है:
$x+y \leq 1200 , x-3 y \leq 600 , x-2 y \geq 0 , x \geq 0, y \geq 0$
उद्देश्य फलन Max. Z=12x+16y
व्यवरोध $x+y \leq 1200 ,x-3 y \leq 600 , x-2 y \geq 0 , x \geq 0 , y \geq 0$
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
x+y=1200,x-3y=600,x-2y=0,x=0,y=0
x+y=1200 में y=0 रखने पर x=1200
अब x=0 रखने पर y=1200
अतः यह अक्षों को A(1200,0) और B(0,1200) पर काटती है।
इसी प्रकार x-3y=600 में y=0 रखने पर x=600
अब x=0 रखने पर y=-200
अतः यह अक्षों को C(600,0) और D(0,-200) पर काटती है।
x-2y=0 मूलबिन्दु से होकर तथा प्रथम व तृतीय चतुर्थांश से होकर गुजरती है।
x+y=1200 व x-3y=600 और x+y=1200 व x=2y का प्रतिच्छेद बिन्दु क्रमशः Q(1050,150),P(800,400) है।
$x+y \leq 1200$ में x=0,y=0 रखने पर $0+ 0 \leq 1200 \Rightarrow 0 \leq 1200$ जो कि सत्य है।
$x-3 y \leq 600$ में x=0,y=0 रखने पर $0-3(0) \leq 600 \Rightarrow 0 \leq 600$ जो कि सत्य है।अतः दोनों का हल क्षेत्र मूलबिन्दु की ओर स्थित है।
$x-2 y \geq 0$ में x=600,y=0 रखने पर $600-2(0) \geq 0 \Rightarrow 600 \geq 0$ जो कि सत्य है।अतः इसका हल क्षेत्र C बिन्दु की ओर स्थित है।
$x \geq 0$ का हल क्षेत्र y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर है।
$y \geq 0$ का हल क्षेत्र x-अक्ष पर और x-अक्ष के ऊपर स्थित है।

Linear Programming Problems Class 12

इनसे बना उभयनिष्ठ क्षेत्र बहुभुज OCQP है।जिसे चित्र में छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।बहुभुज OCQP के शीर्षों के निर्देशांक हैं:
O(0,0),C(600,0),Q(1050,150),P(800,400)
उपर्युक्त शीर्षों पर उद्देश्य फलन (Z) के मानों की गणना निम्न प्रकार हैः
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{ Point } & \text{co-ordinate} & \text{ Value of objective function(z)} \\ & & Z=12 x+16 y \\ \hline O & (0,0) & 12 \times 0+16 \times 0=0 \\ \hline C & (600,0) & 12 \times 600+16 \times 0=7200 \\ \hline Q & (1050,150) & 12 \times 1050+16 \times 150=15000 \\ \hline P & (800,400) & 12 \times 800+16 \times 400=16000 \\ \hline \end{array}$
अतः उपर्युक्त तालिका से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन Z का अधिकतम मान ₹ 16000 पाने के लिए A प्रकार की 800 और B प्रकार की 400 गुड़ियों का उत्पादन करना चाहिए।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ कक्षा 12 (Linear Programming Problems Class 12),रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ (Linear Programming Problems) को समझ सकते हैं।

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3.रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Linear Programming Problems Class 12),रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ (Linear Programming Problems) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.रैखिक प्रोग्रामन विधि अस्तित्व में कैसे आयी? (How Did Linear Programming Method Come into Existence?):

उत्तर:द्वितीय विश्व युद्ध में,जब युद्ध संचालन की योजना बनी,जिससे की शत्रुओं को न्यूनतम व्यय पर अधिकतम हानि पहुँचे,रैखिक प्रोग्रामन विधि अस्तित्व में आई।

प्रश्न:2.कुछ महत्त्वपूर्ण रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ कौन-सी हैं? (What Are the Some of the Linear Programming Problems?):

उत्तर:महत्त्वपूर्ण रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ निम्नलिखित हैं:
(1.)आहार सम्बन्धी समस्या (2.)उत्पादन सम्बन्धी समस्या (3.)परिवहन समस्या

प्रश्न:3.रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत क्षेत्र किसे कहते हैं? (What is the Feasible Region of the Linear Programming Problem?):

उत्तर:सभी व्यवरोधों और ऋणेतर व्यवरोधों द्वारा निर्धारित उभयनिष्ठ क्षेत्र,एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत क्षेत्र (या हल समुच्चय) कहलाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ कक्षा 12 (Linear Programming Problems Class 12),रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ (Linear Programming Problems) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ कक्षा 12
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