1.11वीं में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometric Equation in Class 11th),त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometric Equation):

Trigonometric Equation in Class 11th

11वीं में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometric Equation in Class 11th) के इस आर्टिकल में त्रिकोणमितीय समीकरणों के व्यापक हल ज्ञात करने के लिए कुछ विशिष्ट सवालों को हल करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Equation Involving Two Multiple

2.11वीं में त्रिकोणमितीय समीकरण के उदाहरण (Trigonometric Equation in Class 11th Examples):

Example:1.समीकरण \sec ^2 \theta=2 हो,तो \theta का व्यापक मान होगाः
(a) 2 n \pi \pm \frac{\pi}{4} (b) n \pi+(-1)^n \frac{\pi}{4}
(c) n \pi \pm \frac{\pi}{2}    (d)n \pi \pm \frac{\pi}{4}
Solution: \sec ^2 \theta=2 \\ \Rightarrow \sec \theta=\sqrt{2} \\ \Rightarrow \cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \cos \theta=\cos \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta=2 n \pi \pm \frac{\pi}{4}
विकल्प (a) सही है।
Example:2.समीकरण \tan 2 \theta=-\frac{1}{\sqrt{3}} हो,तो \theta का व्यापक मान होगाः
(a) \frac{n \pi}{2}-\frac{\pi}{12} (b) \frac{n \pi}{2}+\frac{\pi}{12}
(c) 2 n \pi \pm \frac{\pi}{12} (d) n \pi+(-1)^n \frac{\pi}{12}
Solution: \tan 2 \theta=-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow \tan 2 \theta=-\tan \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \quad 2 \theta=n \pi-\frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \theta=\frac{n \pi}{2}-\frac{\pi}{12}
विकल्प (a) सही है।
Example:3.समीकरण \tan 3 \theta=\tan \theta हो,तो \theta का व्यापक मान होगा:
(a) \frac{n \pi}{3} (b) \frac{n \pi}{4}  (c) \frac{2 n \pi}{3} (d) \frac{n \pi}{2}
Solution: \tan 3 \theta=\tan \theta \\ \frac{3 \tan \theta-\tan ^3 \theta}{1-3 \tan ^2 \theta}-\tan \theta=0 \\ \Rightarrow \tan \theta\left[\frac{3-\tan ^2 \theta}{1-3 \tan ^2 \theta}-1\right]=0 \\ \Rightarrow \tan \theta\left[\frac{3-\tan ^2 \theta-1+3 \tan ^2 \theta}{1-3 \tan ^2 \theta}\right]=0 \\ \Rightarrow \tan \theta\left(\frac{2+2 \tan ^2 \theta}{1-3 \tan ^2 \theta}\right)=0 \\ \Rightarrow \tan \theta \cdot \frac{2\left(1+\tan ^2 \theta\right)}{1-3 \cdot \tan ^2 \theta}=0 \\ \Rightarrow 2 \tan \theta \cdot \sec ^2 \theta=0 \\ \tan \theta=0 \Rightarrow \theta=n \pi+0 \Rightarrow \theta=n \pi
विकल्पतः \tan 3 \theta-\tan \theta=0 \\ \Rightarrow \frac{\sin 3 \theta}{\cos 3 \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=0 \\ \Rightarrow \frac{\sin 3 \theta \cos \theta-\cos 3 \theta \sin \theta}{\cos 3 \theta \cos \theta} \\ \Rightarrow \sin (3 \theta-\theta)=0 \\ \Rightarrow \sin 2 \theta=0 \\ \Rightarrow 2 \theta=n \pi+(-1)^n 0 \\ \Rightarrow \theta=\frac{n \pi}{2}
विकल्प (d) सही है।
Example:4.यदि \frac{1+\cos 2 \theta}{1-\cos 2 \theta}=3 हो,तो \theta का व्यापक मान होगा:
(a) n \pi \pm \frac{\pi}{6} (b)2 n \pi \pm \frac{\pi}{6} (c)n \pi \pm \frac{\pi}{3} (d)2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}
Solution: \frac{1+\cos 2 \theta}{1-\cos 2 \theta}=3 \\ \Rightarrow 1+\cos 2 \theta=3-3 \cos 2 \theta \\ \Rightarrow \cos 2 \theta+3 \cos 2 \theta=3-1 \\ \Rightarrow 4 \cos 2 \theta=2 \\ \Rightarrow \cos 2 \theta=\frac{1}{2} \Rightarrow \cos 2 \theta=\cos \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow 2 \theta=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \theta=n \pi \pm \frac{\pi}{6}
विकल्प (a) सही है।
Example:5.समीकरणों \tan \theta=-1 तथा \cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} को सन्तुष्ट करने वाले \theta का व्यापक मान होगा:
(a) n \pi+\frac{7 \pi}{4} (b)n \pi+(-1)^4 \frac{7 \pi}{4} (c) 2 n \pi+\frac{7 \pi}{4} (d)2 n \pi-\frac{7 \pi}{4}
Solution: \tan \theta=-1 \\ \Rightarrow \tan \theta=-\tan \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta=-\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4} \cdots(1) \\ \cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \cos \theta=\cos \frac{\pi}{4} \\ \theta=\frac{\pi}{4}, \frac{7 \pi}{4} \cdots(2)
(1) व (2) में से उभयनिष्ठ मान लेने परः
\theta= \frac{7 \pi}{4}
\therefore \theta का व्यापक मान=2 n \pi \pm \frac{7 \pi}{4}
विकल्प (c) सही है।
Example:6.यदि \operatorname{cosec}^2 \theta=2 \cot \theta ,तो \theta का व्यापक मान ज्ञात कीजिए।
Solution: \operatorname{cosec}^2 \theta=2 \cot \theta \\ \Rightarrow 1+\cot ^2 \theta=2 \cot \theta \\ \Rightarrow \cot ^2 \theta-2 \cot \theta+1=0 \\ \Rightarrow(\cot \theta-1)^2=0 \\ \Rightarrow \cot \theta-1=0 \Rightarrow \cot \theta=1 \\ \Rightarrow \tan \theta=1 \Rightarrow \tan \theta=\tan \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta=n \pi+\frac{\pi}{4}, n \in I
Example:7.यदि \sin ^3 \theta+\cos ^3 \theta=0 ,तो \theta का व्यापक मान ज्ञात कीजिए।
Solution: \sin^3 \theta+\cos ^3 \theta=0 \\ \Rightarrow(\sin \theta+\cos \theta)\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta-\cos \theta \sin \theta\right)=0 \\ \Rightarrow \sin \theta+\cos \theta=0,\left(\sin ^2 \theta+ \cos ^2 \theta-\cos \sin \theta\right)=0 \\ \Rightarrow \sin \theta=-\cos \theta \\ \Rightarrow \tan \theta=-1 \\ \tan \theta=-\tan \frac{\pi}{4} \Rightarrow \tan \theta=\tan \left( -\frac{\pi}{4} \right) \\ \Rightarrow \theta=n \pi-\frac{\pi}{4}, n \in I
Example:8.यदि 4 \sin \theta \cos \theta=\sqrt{3} ,तो \theta का व्यापक मान ज्ञात कीजिए।
Solution: 4 \sin \theta \cos \theta=\sqrt{3} \\ \Rightarrow 2 \sin \theta \cos \theta=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow \sin 2 \theta=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sin 2 \theta=\sin \frac{n}{3} \\ \Rightarrow 2 \theta=n \pi+(-1)^n \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \theta=\frac{n \pi}{2}+(-1)^n \frac{\pi}{6}, n \in I

Trigonometric Equation in Class 11th

Example:9.यदि \tan ^2 \theta+\cot ^2 \theta=2 ,तो \theta का व्यापक मान ज्ञात कीजिए।
Solution: \tan ^2 \theta+\cot ^2 \theta=2 \\ \Rightarrow \tan ^2 \theta-2+\cot ^2 \theta=0 \\ \Rightarrow(\tan \theta-\cot \theta)^2=0 \\ \Rightarrow \tan \theta-\cot \theta=0 \\ \Rightarrow \tan \theta=\cot \theta \\ \Rightarrow \frac{\tan \theta}{\cot \theta}=1 \Rightarrow \tan ^2 \theta=1 \\ \Rightarrow \tan ^2 \theta=\tan ^2 \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta=n \pi \pm \frac{\pi}{4}, n \in I
निम्नलिखित समीकरणों का हल ज्ञात कीजिए:
Example:10. 3 \cos ^2 \theta-2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta -3 \sin ^2 \theta=0
Solution: 3 \cos ^2 \theta-2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta-3 \sin ^2 \theta=0 \\ \Rightarrow 3 \cos ^2 \theta-3 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta-3 \sin ^2 \theta=0 \\ \Rightarrow 3 \cos \theta(\cos \theta-\sqrt{3} \sin \theta)+\sqrt{3} \sin \theta(\cos \theta-\sqrt{3} \sin \theta)=1 \\ \Rightarrow(\cos \theta-\sqrt{3} \sin \theta)(3 \cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta)=0 \\ \Rightarrow \cos \theta-\sqrt{3} \sin \theta=0,3 \cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta=0 \\ \Rightarrow \cos \theta=\sqrt{3} \sin \theta \\ \Rightarrow \tan \theta=\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \tan \theta=\tan \frac{\pi}{6} \\ \theta=n \pi+\frac{\pi}{6} \\ 3 \cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta=0 \\ \Rightarrow \sqrt{3} \sin \theta=-3 \cos \theta \\ \Rightarrow \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=-\frac{3}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow \tan \theta=-\sqrt{3} \Rightarrow \tan \theta=-\tan \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \theta=n \pi-\frac{\pi}{3} \\ \theta=n \pi-\frac{\pi}{3}, n \pi+\frac{\pi}{6}, n \in I
Example:11. (\sec \theta-1)=(\sqrt{2}-1) \tan \theta
Solution: (\sec \theta-1)=(\sqrt{2}-1) \tan \theta \\ \Rightarrow \frac{1}{\cos \theta}-1=(\sqrt{2}-1) \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\ \Rightarrow \frac{1-\cos \theta}{\cos \theta}=(\sqrt{2}-1) \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\ \Rightarrow \cos \theta(1-\cos \theta)=(\sqrt{2}-1) \sin \theta \cos \theta \\ \Rightarrow \cos \theta(1-\cos \theta)-(\sqrt{2}-1) \sin \theta \cos \theta=0 \\ \Rightarrow \cos \theta \left[ 1-\cos \theta-(\sqrt{2}-1) \sin \theta \right]=0 \\ \Rightarrow \cos \theta=0 \Rightarrow \cos \theta=\cos \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \\ 1-\cos \theta-(\sqrt{2}-1) \sin \theta=0 \\ \Rightarrow 1-\cos \theta=(\sqrt{2}-1) \sin \theta \\ \Rightarrow \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}=\sqrt{2}-1 \\ \Rightarrow \frac{1-\left(1-2 \sin ^2 \frac{\theta}{2}\right)}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}=\sqrt{2}-1 \\ \Rightarrow \frac{2 \sin^2 \frac{\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}=\sqrt{2}-1 \\ \Rightarrow \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}=\sqrt{2}-1 \\ \Rightarrow \tan \frac{\theta}{2}=\sqrt{2}-1 \\ \Rightarrow \tan \frac{\theta}{2}=\tan \frac{\pi}{8} \\ \Rightarrow \frac{\theta}{2}=n \pi+\frac{\pi}{8} \\ \Rightarrow \theta=2 n \pi+\frac{\pi}{4} \\ \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, 2 n \pi+\frac{\pi}{4}, n \in I
Example:12. \tan \theta+\tan 2 \theta+\tan 3 \theta=0
Solution: \tan \theta+\tan 2 \theta+\tan 3 \theta=0 \\ \Rightarrow \tan \theta+\tan 2 \theta+\tan (\theta+2 \theta)=0 \\ \Rightarrow \tan \theta+\tan 2 \theta+\frac{\tan \theta+\tan 2 \theta}{1-\tan \theta \tan 2 \theta}=0 \\ \Rightarrow(\tan \theta+\tan 2 \theta)\left(1+\frac{1}{1-\tan \theta \tan 2 \theta} \right)=0 \\ \Rightarrow(\tan \theta+\tan 2 \theta)\left(\frac{1-\tan \theta \tan 2 \theta+1}{1-\tan \theta \tan 2 \theta}\right)=0 \\ \Rightarrow(\tan \theta+\tan 2 \theta)(2-\tan \theta \tan 2 \theta)=0 \\ \Rightarrow \tan \theta+\tan 2 \theta=0,2-\tan \theta \tan 2 \theta=0 \\ \Rightarrow \tan \theta=-\tan 2 \theta \Rightarrow \tan \theta=\tan (\pi-2 \theta) \\ \Rightarrow \theta=n \pi+(\pi-2 \theta) \\ \Rightarrow 3 \theta=n \pi+\pi \\ \Rightarrow \theta=\left(\frac{n+1}{3}\right) \pi \\ 2-\tan \theta \tan 2 \theta=0 \\ \Rightarrow \tan \theta \tan 2 \theta=2 \\ \Rightarrow \tan \theta \cdot \frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^2 \theta}=2 \\ \Rightarrow \tan ^2 \theta=1-\tan ^2 \theta \\ \Rightarrow 2 \tan ^2 \theta=1 \Rightarrow \tan ^2 \theta=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \tan ^2 \theta=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \\ \Rightarrow \tan ^2 \theta=(\tan \alpha)^2 \\ \Rightarrow \theta=n \pi \pm \alpha \left[\tan \alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}\right] \\ \Rightarrow \theta=\left(\frac{n+1}{3}\right) \pi, \theta=n \pi \pm\left(\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}\right), n \in I
Example:13. \tan ^2 \theta-(\sqrt{3}+1) \tan \theta+\sqrt{3}=0
Solution: \tan ^2 \theta-(\sqrt{3}+1) \tan \theta+\sqrt{3}=0 \\ \Rightarrow \tan ^2 \theta-\sqrt{3} \tan \theta-\tan \theta+\sqrt{3}=0 \\ \Rightarrow \tan \theta(\tan \theta-\sqrt{3})-1(\tan \theta-\sqrt{3})=0 \\ \Rightarrow(\tan \theta-\sqrt{3})(\tan \theta-1)=0 \\ \Rightarrow \tan \theta-\sqrt{3}=0, \tan \theta-1=0 \\ \Rightarrow \tan \theta=\sqrt{3} \Rightarrow \tan \theta=\tan \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \theta=n \pi+\frac{\pi}{3} \\ \tan \theta-1=0 \Rightarrow \tan \theta=\tan \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta=n \pi+\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta=n \pi+\frac{\pi}{3}, n \pi+\frac{\pi}{4}, n \in I
Example:14. \cos 6 \theta+\cos 4 \theta+\cos 2 \theta+1=0
Solution: \cos 6 \theta+\cos 4 \theta+\cos 2 \theta+1=0 \\ \Rightarrow \cos 6 \theta+\cos 2 \theta+\cos 4 \theta+1=0 \\ \Rightarrow 2 \cos \left(\frac{6 \theta+2 \theta}{2}\right) \cos \left(\frac{6 \theta-2 \theta}{2}\right)+\cos 4 \theta+1=0 \\ \Rightarrow 2 \cos 4 \theta \cos 2 \theta+\cos 4 \theta+1=0 \\ \Rightarrow 2 \cos 4 \theta \cos 2 \theta+2 \cos ^2 2 \theta=0 \\ \Rightarrow 2 \cos 2 \theta(\cos 4 \theta+\cos 2 \theta)=0 \\ \Rightarrow 2 \cos 2 \theta \cdot 2 \cos \left(\frac{4 \theta+2 \theta}{2}\right) \cos \left(\frac{4 \theta-2 \theta}{2}\right)=0 \\ \Rightarrow 4 \cos 2 \theta \cos 3 \theta \cos \theta=0 \\ \Rightarrow \cos 2 \theta=0 \Rightarrow \cos 3 \theta=0, \cos \theta=0  \\ \Rightarrow \cos \theta=0 \Rightarrow \cos \theta=\cos \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \\ \cos 2 \theta=0 \Rightarrow \cos 2 \theta=\cos \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow 2 \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{4} \\ \cos 3 \theta=0 \Rightarrow \cos 3 \theta=\cos \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow 3 \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{6} , n \in I \\ \Rightarrow \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2},(2 n+1) \frac{\pi}{4},(2 n+1) \frac{\pi}{6}, n \in I
Example:15. 3 \tan \theta+\cot \theta=5 \operatorname{cosec} \theta
Solution: 3 \tan \theta+\cot \theta=5 \operatorname{cosec} \theta \\ \Rightarrow 3 \frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}=\frac{5}{\sin \theta} \\ \Rightarrow 3 \sin ^2 \theta+ \cos ^2 \theta=5 \cos \theta \\ \Rightarrow 3\left(1-\cos ^2 \theta\right)+\cos ^2 \theta=5 \cos \theta \\ \Rightarrow 3-3 \cos ^2 \theta+\cos ^2 \theta=5 \cos \theta \\ \Rightarrow 2 \cos ^2 \theta+5 \cos \theta-3=0 \\ \Rightarrow 2 \cos ^2 \theta+6 \cos \theta-\cos \theta-3=0 \\ \Rightarrow 2 \cos \theta (\cos \theta+3)-1(\cos \theta+3)=0 \\ \Rightarrow(\cos \theta+3)(2 \cos \theta-1)=0 \\ \Rightarrow \cos \theta+3=0 \Rightarrow \cos \theta=-3 (असम्भव है।)
2 \cos \theta-1=0 \Rightarrow \cos \theta=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \cos \theta=\cos \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \theta=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in I
Example:16. 4 \cos \theta-3 \sec \theta=\tan \theta
Solution: 4 \cos \theta-3 \sec \theta=\tan \theta \\ \Rightarrow 4 \frac{\cos \theta}{1}-\frac{3}{\cos \theta}=\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\ \Rightarrow 4 \cos ^2 \theta-3=\sin \theta \\ \Rightarrow 4\left(1-\sin ^2 \theta\right)-3=\sin \theta \\ \Rightarrow 4 \sin ^2 \theta+\sin \theta-1=0 \\ \Rightarrow \sin \theta=\frac{-1 \pm \sqrt{(1)^2-4 \times 4 \times(-1)}}{2 \times 4} \\ \Rightarrow \sin \theta=\frac{-1 \pm \sqrt{1+16}}{8}=\frac{-1 \pm \sqrt{17}}{8} \\ \Rightarrow \theta=n \pi+(-1)^n \alpha जहाँ \sin \alpha=\frac{\sqrt{17}-1}{8} \\ \theta=n \pi+(-1)^n \beta जहाँ \sin \beta=\left(\frac{-\sqrt{17}-1}{8}\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा 11वीं में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometric Equation in Class 11th),त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometric Equation) को समझ सकते हैं।

3.11वीं में त्रिकोणमितीय समीकरण के सवाल (Trigonometric Equation in Class 11th Questions):

Trigonometric Equation in Class 11th

(1.)निम्न समीकरण का हल ज्ञात कीजिए:
\tan \theta+\tan 2 \theta+\sqrt{3} \tan \theta \tan 2 \theta=\sqrt{3}
(2.)यदि \sin \theta, 1, \cos 2 \theta गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) में हो तो \theta का व्यापक मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers): (1.) \theta=\frac{n \pi}{3}+\frac{\pi}{9}, n \in I
(2.) \theta=n \pi-(-1)^n \frac{\pi}{2}, n \in I
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर 11वीं में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometric Equation in Class 11th),त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometric Equation) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Trigonometrical Equation in Class 11th

4.11वीं में त्रिकोणमितीय समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Trigonometric Equation in Class 11th),त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometric Equation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

11वीं में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometric Equation in Class 11th) के इस आर्टिकल
में त्रिकोणमितीय समीकरणों के व्यापक हल ज्ञात करने के लिए कुछ विशिष्ट सवालों को हल करेंगे।