Simultaneous Linear Equation 10th
1.युगपत रैखिक समीकरण कक्षा 10 (Simultaneous Linear Equation 10th),युगपत रैखिक समीकरण का हल (Solution of Simultaneous Linear Equation):
युगपत रैखिक समीकरण कक्षा 10 (Simultaneous Linear Equation 10th) के इस आर्टिकल में दो रैखिक समीकरणों का हल ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करेंगे और उन्हें समझेंगे।
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2.युगपत रैखिक समीकरण कक्षा 10 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Simultaneous Linear Equation 10th):
Example:1.समीकरण 5y-3x-10=0 में y को x के रूप में व्यक्त कीजिए।वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जहाँ समीकरण 5y-3x-10=0 द्वारा निरूपित y रेखा y-अक्ष को काटती है।
Solution: 5 y-3 x-10=0 \\ \Rightarrow 5 y=3 x+10 \Rightarrow y=\frac{3 x+10}{5}
y-अक्ष को काटेगी यदि x=0
y=\frac{3(0)+10}{5}=\frac{10}{5}=2
अतः वह बिन्दु (0,2) है।
Example:2.निम्न युगपत समीकरणों का हल ज्ञात कीजिए:
0.5x+0.6y=2.3; 0.2x+0.7y=2.3
Solution: 0.5 x+0.6 y=2.3 \\ \Rightarrow \quad \frac{5}{10} x+\frac{6}{10} y=\frac{23}{10} \Rightarrow 5 x+6 y=23 \cdots(1) \\ 0.2 x+0.7 y=2.3 \\ \Rightarrow \frac{2 x}{10}+\frac{7}{10} y=\frac{23}{10} \\ \Rightarrow 2 x+7 y=23 \\ \Rightarrow 2 x=23-7y \\ \Rightarrow x=\frac{23-7 y}{2} \cdots(2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने परः
5\left(\frac{23-7 y}{2}\right)+6 y=23 \\ \Rightarrow \frac{115-35 y}{2}+\frac{6 y}{1}=23 \\ \Rightarrow \frac{115-35 y+12 y}{2}=23 \\ \Rightarrow 115-23 y=46 \\ \Rightarrow -23 y=46-115 \\ \Rightarrow-23 y=-69 \Rightarrow y=\frac{-69}{-23}=3
y का मान समीकरण (2) में रखने परः
x=\frac{23-7 \times 3}{2}=\frac{23-21}{2}=\frac{2}{2}=1 \\ \Rightarrow x=1,y=3
Example:3.समीकरण निकाय \frac{1}{2 x}-\frac{1}{y}=-1 ; \frac{1}{x}+\frac{1}{2 y}=8 ; x \neq 0, y \neq 0 का हल ज्ञात कीजिए।
Solution: \frac{1}{2 x}-\frac{1}{y}=-1 \cdots(1) \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{2} y=8 \cdots(2)
समीकरण (1) को \frac{1}{2} से गुणा करने परः
\begin{array}{c} \frac{1}{4 x}-\frac{1}{2 y}=-\frac{1}{2} \cdots(3) \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{2 y}=8 \cdots(2) \\ \hline \quad \quad \quad \quad \quad \quad \text{जोड़ने परः } \\ \frac{1}{4 x}+\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}+8 \end{array}\\ \Rightarrow \frac{1+4}{4 x}=\frac{-1+16}{2} \\ \Rightarrow \frac{5}{4 x}=\frac{15}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{5}{4} \times \frac{2}{15}=\frac{1}{6}
x का मान समीकरण (1) में रखने परः
\frac{1}{2 \times \frac{1}{6}}-\frac{1}{y}=-1 \\ \Rightarrow 3-\frac{1}{y}=-1 \\ \Rightarrow-\frac{1}{y}=-1-3 \\ \Rightarrow -\frac{1}{y}=-4 \Rightarrow \frac{1}{y}=4 \\ \Rightarrow x=\frac{1}{6}, y=\frac{1}{4}
Example:4.दो संख्याएँ इस प्रकार की हैं कि यदि छोटी संख्या में 7 जोड़ दिया जाय तो योग बड़ी संख्या से दुगुना हो जाता है तथा यदि बड़ी संख्या में 4 जोड़ दिया जाय तो योग छोटी संख्या से तिगुना हो जाता है।दोनों संख्याओं को ज्ञात कीजिए।
Solution:माना छोटी संख्या=x,बड़ी संख्या=y
(x+7)=2 y \quad \Rightarrow x-2 y+7=0 \cdots(1)\\ 3 x=y+4 \quad \Rightarrow 3 x-y-4=0 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) को वज्र-गुणन विधि से हल करने परः
\frac{x}{-2 \times-4-7 \times-1}=\frac{y}{3 \times 7-1 \times-4}=\frac{1}{1 \times-1-3 \times-2} \\ \Rightarrow \frac{x}{8+7}=\frac{y}{21+4}=\frac{1}{-1+6} \\ \Rightarrow \frac{x}{15}=\frac{y}{25}=\frac{1}{5} \\ \frac{x}{15}=\frac{1}{5} \Rightarrow x=\frac{15}{5}=3 \\ \frac{y}{25}=\frac{1}{5} \Rightarrow y=\frac{25}{5}=5 \\ x=3, y=5
Example:5.किसी भिन्न का अंश,हर से 4 कम है।यदि अंश में से 2 घटा दिया जाए तथा हर में 1 जोड़ दिया जाए तो हर,अंश का 8 गुणा हो जाता है।भिन्न ज्ञात कीजिए।
Solution:माना भिन्न का अंश=x,भिन्न का हर=y
भिन्न=\frac{x}{y} \\ x-y=-4 \cdots(1) \\ 8(x-2)=y+1 \Rightarrow 8 x-y=17 \cdots(2)
समीकरण (1) में से (2) घटाने पर:
(x-y)-(8 x-y)=-4-17 \\ \Rightarrow x-y-8 x+y=-21 \\ \Rightarrow-7 x=-21 \Rightarrow x=\frac{-21}{-7}=3
x का मान समीकरण (1) में रखने परः
3-y=-4 \\ \Rightarrow-y=-4-3 \\ \Rightarrow y=7
भिन्न=\frac{x}{y}=\frac{3}{7}
Example:6.5 पुस्तकों तथा 7 कलमों का कुल मूल्य 79 रु. है जबकि 7 पुस्तकों तथा 5 कलमों का कुल मूल्य 77 रु. है।1 पुस्तक तथा 2 कलमों का कुल मूल्य ज्ञात कीजिए।
Solution:माना 1 पुस्तक का मूल्य=x तथा 1 कलम का मूल्य=y
5 x+7 y=79 \\ x=\frac{79-7 y}{5} \cdots(1) \\ 7 x+5 y=77 \\ x=\frac{77-5 y}{7} \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) की तुलना करने परः
\frac{77-5 y}{7}=\frac{79-7 y}{5} \\ \Rightarrow 385-25 y=553-49 y \\ \Rightarrow-25 y+49 y=553-385 \\ \Rightarrow 24 y=168 \Rightarrow y=\frac{168}{24}=7
y का मान समीकरण (1) में रखने परः
x=\frac{79-7 \times 7}{5}=\frac{79-49}{5}=\frac{30}{5}=6
1 पुस्तक का मूल्य+2 कलमों का मूल्य=6+2×7=20
Example:7.दो अंकों की एक संख्या इस प्रकार की है कि जब इसे 9 से गुणा किया जाए तो वह उस संख्या की दुगुनी हो जाएगी जो मूल संख्या के अंकों के स्थान परस्पर बदलने से बनती है।यदि संख्या के दोनों अंकों का अन्तर 7 हो,तो संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution:माना इकाई का अंक=x,दहाई का अंक=y
संख्या=x+10y
9(x+10 y)=2(10 x+y) \\ \Rightarrow 9 x+90 y=20 x+2 y \\ \Rightarrow 20 x-9 x+2 y-90 y=0 \\ \Rightarrow 11 x-88 y=0 \\ \Rightarrow 11(x-8 y)=0 \\ \Rightarrow x-8 y=0 \\ \Rightarrow x=8y \cdots(1)\\ x-y=7 \cdots(2)
x का मान समीकरण (1) से (2) में रखने परः
8y-y=7 \Rightarrow 7y=7 \Rightarrow y=1
y का मान समीकरण (1) में रखने परः
x=8×1=8
संख्या=18
Example:8.एक भिन्न का हर अंश से 3 अधिक है।यदि अंश और हर दोनों में एक-एक जोड़ दें अथवा अंश में से 1 और हर में से 3 घटा दिये जायें तो नई भिन्न बनेगी वे परस्पर बराबर होगी।भिन्न ज्ञात कीजिए।
Solution:माना भिन्न का अंश=x,हर=y
\frac{x}{y} \\ x-y=-3 \cdots(1) \\ \frac{x+1}{y+1}=\frac{x-1}{y-3} \\ \Rightarrow(x+1)(y-3)=(x-1)(y+1) \\ \Rightarrow x y-3 x+y-3=x y+x-y-1 \\ \Rightarrow-3 x-x+y+y=3-1 \\ \Rightarrow -2x+2y=+2 \\ \Rightarrow -x+y=+1 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने परः
-x=-2 \Rightarrow x=2
x का मान समीकरण (1) में रखने परः
2-y=-3 \\ \Rightarrow-y=-3-2 \\ \Rightarrow y=5
भिन्न=\frac{x}{y}=\frac{2}{5}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा युगपत रैखिक समीकरण कक्षा 10 (Simultaneous Linear Equation 10th),युगपत रैखिक समीकरण का हल (Solution of Simultaneous Linear Equation) को समझ सकते हैं।
3.युगपत रैखिक समीकरण कक्षा 10 के सवाल (Simultaneous Linear Equation 10th Questions):
(1.)ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण संगत है या असंगत।यदि संगत है तो हल ज्ञात कीजिए।
2y-5=-3x;11-4x=7y
(2.)निम्न समीकरण निकाय की संगतता की जाँच कीजिए तथा सम्भव हो तो इसके हल भी ज्ञात कीजिए।
3y-7=-x;2x=14-6y
उत्तर (Answers):(1.)निकाय संगत है,x=1,y=1 (2.)निकाय संगत है,x=k,k एक यादृच्छिक वास्तविक संख्या है।
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4.युगपत रैखिक समीकरण कक्षा 10 (Frequently Asked Questions Related to Simultaneous Linear Equation 10th),युगपत रैखिक समीकरण का हल (Solution of Simultaneous Linear Equation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.युगपत समीकरणों को तुलनात्मक विधि से कैसे हल करते हैं? (How Are Simultaneous Equations Solved in a Comparison Method?):
उत्तर:इस विधि द्वारा युगपत समीकरण को हल करने के लिए प्रत्येक समीकरण से एक ही अज्ञात राशि x अथवा y का मान दूसरी अज्ञात राशि के पदों में ज्ञात कर लेते हैं।इस प्रकार दोनों समीकरणों से प्राप्त एक राशि के मानों को बराबर रखने पर उसका विलोपन हो जाता है तथा समीकरण केवल दूसरी अज्ञात राशि के लिए हल किया जाता है।
प्रश्न:2.समान गुणांक वाले युगपत समीकरणों को कैसे हल करें? (How to Solve Simultaneous Equations with Equal Coefficients?):
उत्तर:यदि दिए हुए युगपत समीकरणों में x या y के गुणांक दोनों समीकरणों में बराबर हैं,तो उन्हें समान गुणांक वाले युगपत समीकरण कहा जा सकता है।इस स्थिति में समीकरणों को गुणांकों के चिन्ह के अनुसार जोड़कर या एक-दूसरे में से घटाकर एक ऐसा समीकरण प्राप्त किया जाता है जिसमें केवल एक ही अज्ञात राशि हो।फिर उस समीकरण को हल करके किसी एक मूल समीकरण से दूसरी अज्ञात राशि का मान ज्ञात कर लिया जाता है।
प्रश्न:3.असमान गुणांकों वाले युगपत समीकरणों को कैसे हल करें? (How to Solve Simultaneous Equations with Unequal Coefficients?):
उत्तर:यदि x या y के गुणांक समान नहीं हैं तो समीकरण (या समीकरणों) को ऐसी संख्या (या संख्याओं) से गुणा करते हैं जिससे दोनों समीकरणों में किसी एक अज्ञात राशि x या y के गुणांक समान हो जावें।यदि ये समान गुणांक विपरीत चिन्हों के हैं तो दोनों समीकरणों को जोड़ देते हैं।ऐसा करने से एक अज्ञात राशि वाला समीकरण प्राप्त होता है।इसको हल करने के पश्चात इस राशि का मान किसी एक मूल समीकरण में रखकर दूसरी अज्ञात राशि का मान ज्ञात कर लेते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा युगपत रैखिक समीकरण कक्षा 10 (Simultaneous Linear Equation 10th),युगपत रैखिक समीकरण का हल (Solution of Simultaneous Linear Equation) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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(Simultaneous Linear Equation 10th)
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युगपत रैखिक समीकरण कक्षा 10 (Simultaneous Linear Equation 10th) के इस आर्टिकल
में दो रैखिक समीकरणों का हल ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करेंगे और उन्हें समझेंगे।
About Author
Satyam
Lekhak Ke Baare Mein (About the Author) **Satyam Narain Kumawat** **Website Name:Satyam Mathematics** *Owner:satyamcoachingcentre.in* *Sthan:Manoharpur,Jaipur (Rajasthan)* **Teaching Mathematics aur Anya Anubhav** ***Shiksha:**B.sc.,B.Ed.,(M.sc. star Ke Mathematics Ko Padhane ka Anubhav),B.com.,M.com. Ke vishayon Ko Padhane ka Anubhav,Philosophy,Psychology,Religious,sanskriti Mein Gahri Ruchi aur Adhyayan ***Anubhav:**phichale 23 varshon se M.sc.,M.com.,Angreji aur Vigyan Vishayon Mein Shikshaka Ka Lamba Anubhav ***Visheshagyata:*Maths,Adhyatma (spiritual),Yog vishayon ka vistrit Gyan* ****In Brief:I have read about M.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 23 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
