1.कक्षा 9वीं में समान्तर चतुर्भुज (Parallelogram in Class 9th),समान्तर चतुर्भुज कक्षा 9 (Parallelogram Class 9):

Parallelogram in Class 9th

कक्षा 9वीं में समान्तर चतुर्भुज (Parallelogram in Class 9th) के इस आर्टिकल में समान्तर चतुर्भुज व उसके गुणधर्मों पर आधारित कुछ महत्त्वपूर्ण सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.कक्षा 9वीं में समान्तर चतुर्भुज के साधित उदाहरण (Parallelogram in Class 9th Solved Illustrations):

Illustration:1.एक समान्तर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं जो OA=3 cm और OD=2 cm है,तो AC और BD की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Solution:AC=2 OA=2×3=6 cm
BD=2 OD=2×2=4 cm (समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण आपस में समद्विभाजित करते हैं)
Illustration:2.एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्ब होते हैं।क्या यह कथन सत्य है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
Solution:कथन असत्य है।समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
Illustration:3.क्या कोण 110°,80°,70° और 95° किसी चतुर्भुज के कोण हो सकते हैं? क्यों और क्यों नहीं?
उत्तर:110°+80°+70°+95°=355°
नहीं हो सकते हैं,क्योंकि किसी भी चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है।
Illustration:4.क्या किसी चतुर्भुज के सभी कोण अधिक कोण हो सकते हैं? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
Solution:सभी कोण अधिक कोण नहीं हो सकते हैं क्योंकि सभी कोणों का योग 360° से अधिक हो जाएगा जो चतुर्भुज के लिए सम्भव नहीं है।
Illustration:5.एक चतुर्भुज का एक कोण 108° है तथा अन्य तीनों कोण बराबर हैं।तीनों बराबर कोणों में से प्रत्येक को ज्ञात कीजिए।
Solution:चतुर्भुज के शेष तीनों कोणों का योग=360°-108°=252°
प्रत्येक कोण=\frac{252^{\circ}}{3}=84^{\circ}
Illustration:6.ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB \| DC और \angle A=\angle B=45^{\circ} है।इस समलम्ब के कोण C और D ज्ञात कीजिए।
Solution: \angle A+\angle B=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ} \\ \angle C+\angle D= 360^{\circ}-90^{\circ}=270^{\circ} \\ \Rightarrow \angle C=\angle D=\frac{270^{\circ}}{2}=135^{\circ}
Illustration:7.एक समान्तर चतुर्भुज के एक अधिक कोण के शीर्ष से खींचे गए उस समान्तर चतुर्भुज के दो शीर्षलम्बों के बीच का कोण 60° है।इस समान्तर चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।

Parallelogram in Class 9th

Solution: AF \| BC तथा BF इनको काटती है।
\angle BFA=\angle FBC (एकान्तर कोण)
\angle FBC=90^{\circ}\left(\because \angle BFA=90^{\circ}\right) \\ \Rightarrow \angle FBE+\angle EBC=90^{\circ} \\ \Rightarrow 60^{\circ}+\angle EBC=90^{\circ} \\ \Rightarrow \angle EBC=90^{\circ} -60^{\circ}=30^{\circ} \\ \triangle BCE में
\angle EBC+\angle BEC+\angle C=180^{\circ} \\ 30^{\circ}+90^{\circ}+\angle C=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle C=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ} \\ \angle A=\angle B (स.च. के सम्मुख कोण)
अतः \angle A=\angle B=60^{\circ} \\ \angle A +\angle B=180^{\circ} (स.च. के आसन्न कोण)
60^{\circ}+\angle B=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle B=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ} \\ \angle B=\angle D=120^{\circ} (स.च. के सम्मुख कोण)
अतः समान्तर चतुर्भुज के चारों कोण 60°,120°,60°,120° होंगे।
Illustration:8.एक चतुर्भुज ABCD के तीन कोण बराबर हैं।क्या यह एक समान्तर चतुर्भुज है?
Solution:नहीं,इसका समान्तर चतुर्भुज होना आवश्यक नहीं है।
Illustration:9.चतुर्भुज ABCD में, \angle A+\angle D=180^{\circ} है।इस चतुर्भुज को कौन-सा विशेष नाम दिया जा सकता है?
Solution:समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है।अतः यह समान्तर चतुर्भुज है।
Illustration:10.ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।यदि इसके विकर्ण बराबर हैं,तो का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों,तो वह आयत होता है अतः \angle ABC=90^{\circ}
Illustration:11.एक समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर बराबर और लम्ब होते हैं।क्या यह कथन सत्य है।अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
Solution:यह कथन असत्य है,क्योंकि समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्ब होते हैं,परन्तु बराबर नहीं होते हैं।
Illustration:12.एक चतुर्भुज के सभी कोण बराबर हैं।इस चतुर्भुज को कौन-सा विशेष नाम दिया गया है?
Solution:यह आयत या वर्ग हो सकता है।
Illustration:13.एक आयत के विकर्ण परस्पर बराबर और लम्ब हैं।क्या यह कथन सत्य है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
Solution:यह कथन असत्य है क्योंकि आयत के विकर्ण बराबर तो होते हैं परन्तु लम्ब नहीं होते हैं।
Illustration:14.आकृति में समान्तर चतुर्भुज ABCD के \angle BCD का अर्द्धक AD के मध्य बिन्दु O से गुजरता है।सिद्ध कीजिए कि OB, \angle ABC का अर्द्धक है।
Solution:दिया है (Given):समान्तर चतुर्भुज ABCD में \angle 1=\angle 2 तथा AO=OD

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सिद्ध करना है (To Prove): \angle 5=\angle 6
उपपत्ति (Proof): BC \| AD तथा CO इन्हें काटती है।
\therefore \angle 1=\angle 3 (एकान्तर कोण)
लेकिन \angle 1=\angle 2 (दिया है)
\because CO, \angle C का अर्द्धक है।
\therefore \angle 2=\angle 3 \Rightarrow DC=OD \cdots(1) \\ \because DC=A B  (स. च. की सम्मुख भुजाएँ)… (2)
तथा OD=OA  (दिया है)  ….. (3)
\therefore (1),(2),(3) से OA=OB \\ \Rightarrow \angle 4=\angle 5 \cdots(4)
लेकिन \angle 4=\angle 6 (एकान्तर कोण) …..(5)
(4) तथा (5) से:
\angle 5=\angle 6 \\ \Rightarrow OB, \angle ABC का अर्द्धक है।
Illustration:15.आकृति में,ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।X और Y क्रमशः भुजाओं AB और CD के मध्य बिन्दु हैं तो सिद्ध कीजिए कि AXCY एक समान्तर चतुर्भुज है।
Solution:दिया है (Given):ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।X और Y क्रमशः भुजाओं AB और CD के मध्य बिन्दु हैं।XC और AY को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है (To Prove):AXCY एक समान्तर चतुर्भुज है।

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उपपत्ति (Proof):AB=CD (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
तथा AB \| CD (दिया हुआ है)
\therefore AX=CY
और AX \| CY
अतः AXCY एक समान्तर चतुर्भुज होगा।
Illustration:16.आकृति में,ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।B से CD पर लम्ब BE खींचा गया है जो CD को E पर मिलता है। सिद्ध कीजिए ABED एक समलम्ब चतुर्भुज होगा।
Solution:दिया है (Given):आकृति में ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।B से लम्ब BE भुजा CD को E पर मिलता है।
सिद्ध करना है (To Prove):ABED एक समान्तर चतुर्भुज है।

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उपपत्ति (Proof): AB \| CD (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
\therefore AB \| ED \\ \because DA \| BC अतः AD,BE के समान्तर नहीं है।
\therefore भुजाओं का युग्म समान्तर है।
अतः ABED एक समलम्ब चतुर्भुज है।
Illustration:17.यदि समान्तर चतुर्भुज का एक विकर्ण,उसके एक कोण को समद्विभाजित करता है तो वह दूसरे कोण को भी समद्विभाजित करेगा।और तब दोनों विकर्ण एक-दूसरे पर लम्ब होंगे,सिद्ध कीजिए।
Solution:दिया है (Given):ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा \angle ABO=\angle CBO, \angle ADO=\angle CDO
सिद्ध करना है (To Prove): AC \perp BD

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उपपत्ति (Proof): \angle B=\angle D (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)……..(1)
\angle ABO=\angle CBO तथा \angle ADO=\angle CDO (दिया है)………..(2)
(1) व (2) से:
\angle ABO=\angle CBO=\angle ADO=\angle CDO \cdots(3)
अतः AB=AD (बराबर कोण की अभिमुख भुजाएँ) ……..(4)
\triangle ABO तथा \triangle ADO में
AB=AD (सिद्ध किया है)
OA=OA (उभनिष्ठ भुजा है)
BO=DO (स.च. के विकर्ण आपस में समद्विभाजित करते हैं)
SSS सर्वांगसमता नियम से
\triangle ABO \cong \triangle ADO
\angle AOB=\angle AOD (CPCT से)
परन्तु \angle AOB+\angle AOD=180^{\circ} (रैखिक कोण युग्म)……..(6)
(5) व (6) से:
\angle AOB=\angle AOD=90^{\circ}
अतः AO \perp BD
फलतः AC \perp BD
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 9वीं में समान्तर चतुर्भुज (Parallelogram in Class 9th),समान्तर चतुर्भुज कक्षा 9 (Parallelogram Class 9) को समझ सकते हैं।

Parallelogram in Class 9th

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3.कक्षा 9वीं में समान्तर चतुर्भुज (Frequently Asked Questions Related to Parallelogram in Class 9th),समान्तर चतुर्भुज कक्षा 9 (Parallelogram Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 9वीं में समान्तर चतुर्भुज (Parallelogram in Class 9th) के इस आर्टिकल में समान्तर चतुर्भुज
व उसके गुणधर्मों पर आधारित कुछ महत्त्वपूर्ण सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।