1.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Function),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 12 (Inverse Trigonometric Functions Class 12):

Inverse Trigonometric Function

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Function) में हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों पर आधारित उदाहरणों तथा मुख्यमान इत्यादि का अध्ययन कर चुके हैं।इस लेख में कुछ ओर विशिष्ट उदाहरणों का अध्ययन करेंगे।
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2.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Inverse Trigonometric Function):

निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिएः
Example:1. \cos ^{-1}\left(\cos \frac{13 \pi}{6}\right)
Solution: \cos ^{-1}\left(\cos \frac{13 \pi}{6}\right) \\ \frac{13 \pi}{6} \notin[0, \pi]
अतः \cos ^{-1}\left[\cos \left(2 \pi+\frac{\pi}{6}\right)\right] \\ =\cos ^{-1}\left(\cos \frac{\pi}{6}\right) \\=\frac{\pi}{6}
Example:2. \tan ^{-1}\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right)
Solution: \tan ^{-1}\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right) \\\frac{7 \pi}{6} \notin\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)
अतः \tan ^{-1}\left[\tan \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)\right] \\= \tan^{-1} \left[\tan \frac{\pi}{6}\right]=\frac{\pi}{6}
सिद्ध कीजिएः
Example:3. 2 \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{24}{7}\right) 
Solution: 2 \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{24}{7}\right) \\ \text { L.H.S. } 2 \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \\ =\sin ^{-1} 2 \times \frac{3}{5} \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} \\ \left[ \because 2 \sin ^{-1} x=\sin ^{-1}\left(2 x \sqrt{1-x^2}\right)\right] \\ =\sin ^{-1} \frac{6}{5} \sqrt{1-\frac{9}{25}} \\ =\sin ^{-1} \frac{6}{5} \sqrt{\frac{25-9}{25}} \\ =\sin ^{-1} \frac{6}{5} \sqrt{\frac{16}{25}} \\ =\sin ^{-1}\left(\frac{6}{5} \times \frac{4}{5}\right) \\ =\sin ^{-1}\left(\frac{24}{25}\right)
लम्ब=24,कर्ण=25
आधार =\sqrt{(25)^2-(24)^2} \\ =\sqrt{625-576} \\ =\sqrt{49} \\ =7\\ \sin^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) =\tan^{-1} \left(\frac{24}{7}\right)=\text { R.H.S }
Example:4. \sin ^{-1}\left(\frac{8}{17}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{77}{36}\right)
Solution: \sin ^{-1}\left(\frac{8}{17}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{77}{36}\right) \\ \text { L.H.S. } \sin ^{-1}\left(\frac{8}{17}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{8}{15}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \\ \left[\because \sin ^{-1}\left(\frac{8}{17}\right)=\tan^{-1} \left(\frac{8}{15}\right), \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)=\tan^{-1} \left(\frac{3}{4}\right)\right] \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{8}{15}+\frac{3}{4}}{1-\frac{8}{15} \times \frac{3}{14}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{32+45}{60}}{\frac{60-24}{60}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{77}{60}}{\frac{36}{60}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{77}{36}\right)=\text { R.H.S. }
Example:5. \cos^{-1} \left(\frac{4}{5}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)=\cot ^{-1} \left(\frac{33}{65}\right)
Solution: \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)=\cos ^{-1} \left(\frac{33}{65}\right) \\ \text{L.H.S. } \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) \\ =\cos ^{-1}\left[\frac{4}{5} \times \frac{12}{13}-\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2} \sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}\right] \\ \left[\because \cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y=\cos ^{-1}\left(x y-\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2}\right)\right] \\ =\cos^{-1} \left[\frac{48}{65}-\sqrt{1-\frac{16}{25}} \sqrt{1-\frac{144}{169}}\right] \\ =\cos^{-1} \left[\frac{48}{65}-\sqrt{\frac{25-16}{25}} \sqrt{\frac{(169-144}{169}}\right] \\ =\cos^{-1} \left[\frac{48}{65}-\sqrt{\frac{9}{25}} \sqrt{\left(\frac{25}{169}\right)}\right] \\ =\cos^{-1} \left[\frac{48}{65} - \frac{3}{5} \times \frac{5}{13}\right] \\ =\cos^{-1}\left[\frac{48}{65}-\frac{15}{65}\right] \\ =\cos^{-1} \left(\frac{33}{65}\right)=\text { R.H.S. }
Example:6. \cos ^{-1} \frac{12}{13}+\sin ^{-1} \frac{3}{5}=\sin ^{-1} \frac{56}{65}
Solution: \cos ^{-1} \frac{12}{13}+\sin ^{-1} \frac{3}{5}=\sin ^{-1} \frac{56}{65} \\ \text{L.H.S. } \cos^{-1} \frac{12}{13}+\sin ^{-1} \frac{3}{5} \\ =\sin ^{-1} \frac{5}{13}+\sin ^{-1} \frac{3}{5} \\ \left[\because \cos^{-1} \frac{12}{13}=\sin ^{-1} \frac{5}{13}\right] \\ =\sin ^{-1}\left[\frac{5}{13} \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}+\frac{3}{5} \sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2}\right] \\ =\sin ^{-1}\left[\frac{5}{13} \sqrt{1-\frac{9}{25}}+\frac{3}{5} \sqrt{1-\frac{25}{165}}\right] \\ =\sin ^{-1}\left[\frac{5}{13} \sqrt{\frac{25-9}{25}}+\frac{3}{5} \sqrt{\frac{169-25}{169}}\right] \\ =\sin ^{-1}\left[\frac{5}{13} \times \sqrt{\frac{16}{25}}+\frac{3}{5} \times \sqrt{\frac{144}{169}}\right] \\ =\sin ^{-1}\left[\frac{5}{13} \times \frac{4}{5}+\frac{3}{5} \times \frac{12}{13}\right] \\ =\sin ^{-1}\left[\frac{20}{65}+\frac{36}{65}\right] \\ =\sin ^{-1} \left(\frac{56}{25}\right)=\text { R.H.S. }
Example:7. \tan^{-1} \frac{63}{16}=\sin ^{-1} \frac{5}{13}+\cos ^{-1} \frac{3}{5}
Solution: \tan ^{-1} \frac{63}{16}=\sin ^{-1} \frac{5}{13}+\cos ^{-1} \frac{3}{5} \\ \text{R.H.S. } \sin^{-1} \frac{5}{13}+\cos^{-1} \frac{3}{5} \\ \tan ^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \\ \left[\because \sin ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{5}{12}\right), \cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)=\tan^{-1} \left(\frac{4}{3}\right)\right] \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{5}{12}+\frac{4}{3}}{1-\frac{5}{12} \times \frac{4}{3}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{15+48}{36}}{\frac{36-20}{36}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{63}{16}\right)=\text{L.H.S.}
Example:8. \tan^{-1} \left(\frac{1}{5}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)+\tan \left(\frac{1}{3}\right) +\tan^{-1} \frac{1}{8}=\frac{\pi}{4}
Solution: \tan ^{-1} \frac{1}{8}+\tan ^{-1} \frac{1}{7}+\tan^{-1} \frac{1}{3}+\tan^{-1} \frac{1}{8}=\frac{\pi}{4} \\ \text{L.H.S. } \tan ^{-1} \frac{1}{8}+\tan ^{-1} \frac{1}{7}+\tan ^{-1} \frac{1}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{8} \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{7}}{1-\frac{1}{5} \times \frac{1}{7}}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{3} \times \frac{1}{8}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{7+5}{35}}{\frac{35-1}{35}}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{8+3}{24}}{\frac{24-1}{24}}\right) \\ =\tan^{-1} \left(\frac{\frac{12}{35}}{\frac{34}{35}}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{\frac{11}{24}}{\frac{23}{24}}\right) \\ =\tan^{-1} \left(\frac{12}{34}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{11}{23}\right) \\ =\tan^{-1} \left(\frac{\frac{12}{34}+\frac{11}{23}}{1-\frac{12}{34} \times \frac{11}{23}}\right) \\ =\tan^{-1} \left(\frac{\frac{276+374}{782}}{\frac{782-132}{782}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{650}{650}\right) \\ =\tan ^{-1}(1) \\ =\frac{\pi}{4}=\text { R.H.S. }

Inverse Trigonometric Function

सिद्ध कीजिएः
Example:9. \tan^{-1} \sqrt{x}=\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(\frac{1-x}{1-x}\right),x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)
Solution: \tan^{-1} \sqrt{x}=\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(\frac{1-x}{1-x}\right) \\ \text{Put } x=\tan ^2 \theta \Rightarrow \theta=\tan^{-1} \sqrt{x} \\ \text{R.H.S. } \frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \\ =\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(\frac{1-\tan ^2 \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right) \\ =\frac{1}{2} \cos ^{-1}(\cos 2 \theta) \quad\left[\because \frac{1-\tan ^2 \theta}{1+\tan ^2 \theta}=\cos 2 \theta\right] \\ =\frac{1}{2} \times 2 \theta \\ =\theta \\ =\tan^{-1} \sqrt{x}=\text{L.H.S.}
Example:10. \cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right] =\frac{x}{2} ,x \in \left ( 0,\frac{\pi}{4} \right)
Solution: \cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right]=\frac{x}{2} \\ \cot^{-1} \left[\frac{\sqrt{\cos ^2 \frac{x}{2}+\sin ^2 \frac{x}{2}+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}+\sqrt{\sin ^2 \frac{x}{2}+\cos ^2 \frac{x}{2}}-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\sqrt{\sin ^2 \frac{x}{2}+\cos ^2 \frac{x}{2}+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}-\sqrt{\sin^{2} \frac{x}{2}+\cos ^2 \frac{x}{2}-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}} \right ] \\ =\cot^{-1} \left[\frac{\sqrt{\left(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\right)^2+} \sqrt{\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)^2}}{\sqrt{\left(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\right)^2}-\sqrt{\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)^2}}\right] \\ =\cot^{-1} \left[\frac{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}}\right] \\ =\cot^{-1} \left[\frac{2 \cos \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2}}\right] \\ =\cot ^{-1}\left[\cot \frac{x}{2}\right] \\ =\frac{x}{2}=\text { R.H.S. }
Example:11. \tan^{-1} \left[\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right]=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \cos ^{-1} x , -\frac{1}{\sqrt{2}}<x \leq 1
Solution: \tan^{-1} \left[\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right]=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \cos ^{-1} x \\ \text{L.H.S.}= \tan^{-1} \left[\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right] \\ \text{Put } x=\cos \theta \Rightarrow \theta=\cos ^{-1} x \\ = \tan^{-1} \left[\frac{\sqrt{1+\cos \theta}-\sqrt{1-\cos \theta}}{\sqrt{1+\cos \theta}+\sqrt{1-\cos \theta}}\right] \\ =\tan ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1+2 \cos ^2 \frac{\theta}{2}-1}-\sqrt{1-\left(1-2 \sin ^2 \frac{\theta}{2}\right)}}{\sqrt{1+2 \cos ^2 \theta-1}+\sqrt{1-\left(1-2 \sin ^2 \frac{\theta}{2}\right)}}\right] \\ =\tan^{-1} \left[\frac{\sqrt{2 \cos ^2 \frac{\theta}{2}}-\sqrt{1-1+2 \sin ^2 \frac{\theta}{2}}}{\sqrt{2 \cos ^2 \frac{\theta}{2}}+\sqrt{1-1+2 \sin ^2 \frac{\theta}{2}}}\right] \\ =\tan^{-1} \left[\frac{\cos \frac{\theta}{2}-\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}+\sin \frac{\theta}{2}}\right] \\ =\tan^{-1} \left[\frac{1-\tan \frac{\theta}{2}}{1+\tan \frac{\theta}{2}}\right] \\ =\tan^{-1} \left[\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan \frac{\theta}{2}}{1+\tan \frac{\pi}{4} \tan \frac{\theta}{2}}\right] \\ =\tan ^{-1}\left[\tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\right)\right] \\ =\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2} \\ =\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \cos ^{-1} x=\text { R.H.S. }
Example:12. \frac{9 \pi}{8}-\frac{9}{4} \sin ^{-1} \frac{1}{3}=\frac{9}{4} \sin ^{-1} \frac{2 \sqrt{2}}{3}
Solution: \frac{9 \pi}{8}-\frac{9}{4} \sin ^{-1} \frac{1}{3}=\frac{9}{4} \sin ^{-1} \frac{2 \sqrt{2}}{3} \\ \text { L.H.S. } \frac{9 \pi}{8}-\frac{9}{4} \sin ^{-1} \frac{1}{3} \\ =\frac{9}{4}\left[\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1} \frac{1}{3}\right] \\ =\frac{9}{4} \cos ^{-1} \frac{1}{3}\left[\because 2 \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}\right]
आधार=1,कर्ण=3

लम्ब=\sqrt{(3)^2-(1)^2}=\sqrt{9-1}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} \\ =\frac{9}{4} \sin (2 \sqrt{2})\left[\because \cos ^{-1} \frac{1}{3}=\sin ^{-1}(2 \sqrt{2})\right] \\ =\text{R.H.S.}
निम्नलिखित समीकरणों को सरल कीजिएः
Example:13. 2 \tan ^{-1}(\cos x)=\tan ^{-1}(2 \operatorname{cosec} x)
Solution: 2 \tan ^{-1}(\cos x)=\tan ^{-1}(2 \operatorname{cosec} x) \\ \Rightarrow \tan^{-1} \left(\frac{2 \cos x}{1-\cos x}\right)=\tan^{-1} (2 \operatorname{cosec} x) \\ \Rightarrow \frac{2 \cos x}{1-\cos ^2 x}=2 \operatorname{cosec} x \\ \Rightarrow \frac{\cos x}{\sin ^2 x}=\operatorname{cosec} x \\ \Rightarrow \cos x=\operatorname{cosec} x \cdot \sin ^2 x \\ \Rightarrow \cos x=\sin x \\ \Rightarrow \tan x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}
Example:14. \tan ^{-1} \frac{1-x}{1+x}=\frac{2}{2} \tan ^{-1} x,(x>0)
Solution: \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\frac{1}{2} \tan ^{-1} x \\ 2 \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\tan ^{-1} x \\ \Rightarrow 2 \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)-\tan ^{-1} x=0 \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)+\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{1-x}{1+x}-x}{1+\left(\frac{1-x}{1+x}\right)x}\right]=0 \\ \Rightarrow \tan^{-1} \left(\frac{1-x}{1+x}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{ 1-x-x-x^2}{1+x}}{\frac{1+x+x-x^{2}}{1+x}}\right)=0 \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1-2 x-x^2}{1+2x-x^2}\right)=0 \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left[\frac{\frac{1-x}{1+x}+\frac{1-2 x-x^2}{1+2x-x^2}}{1-\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\left(\frac{1-2 x-x^2}{1+2 x-x^2}\right)}\right]=0 \\ \Rightarrow \frac{1-x}{1+x}+\frac{1-2 x-x^2}{1+2 x-x^2}=0 \\ \Rightarrow 1+2 x-x^2-x-2 x^2+x^3+12 x-x^2+x-2 x^2 -x^3=0 \\ \Rightarrow-6 x^2+2=0 \Rightarrow x^2=\frac{2}{6} \Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{3}}
Example:15. \sin \left(\tan ^{-1} x\right),|x|<1 बराबर होता है:

(A) \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} (B) \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (C) \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} (D) \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
Solution: \sin \left(\tan ^{-1} x\right) \\ \Rightarrow \sin \left[\sin ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right] \\ =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
अतः विकल्प (D) सही है।
Example:16.यदि \sin ^{-1}(1-x)-2 \tan ^{-1} x=\frac{\pi}{2}, तो x का मान बराबर हैः

(A) 0, \frac{1}{2} (B)1,\frac{1}{2} (C) 0 (D) \frac{1}{2}
Solution: \sin ^{-1}(1-x)-2 \tan ^{-1} x=\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow-2 \tan ^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1}(1-x) \\ \Rightarrow-2 \tan ^{-1} x=\cos ^{-1}(1-x)\left[\because \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}\right] \\ \Rightarrow-\tan^{-1} \left(\frac{-2 x}{1-x^2}\right )=\tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{1-x^2+2 x}}{1-x}\right) \\ \Rightarrow \frac{-2 x}{1-x^2}=\frac{\sqrt{1-x^2+2 x}}{1-x} \\ \Rightarrow 4 x^2=-x^2-2 x^3-x^4+2 x+4 x^2+2 x^{3} \\ \Rightarrow x^4+x^2-2 x=0 \\ \Rightarrow x\left(x^3+x-2\right)=0 \\ \Rightarrow x=0
अतः विकल्प (C) सही है।
Example:17. \tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{x+y}\right) का मान हैः

(A) \frac{\pi}{2} (B) \frac{\pi}{3} (c) \frac{\pi}{4} (D)-\frac{3 \pi}{4}
Solution: \tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{x+y}\right) \\ \Rightarrow \tan^{-1} \left[\frac{\left(\frac{x}{y}\right)-\frac{x-y}{x+y}}{1+\frac{x}{y}\left(\frac{x-y}{x+y}\right)}\right] \\ \Rightarrow \tan^{-1}\left[\frac{x^2+x y-x y+y^2}{x y+y^2+x^2-x y}\right] \\ \Rightarrow \tan ^{-1} \left(\frac{x^2+y^2}{y^2+x^2}\right) \\ \Rightarrow \tan ^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}
अतः विकल्प (C) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Function),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 12 (Inverse Trigonometric Functions Class 12) को समझ सकते हैं।

3.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के सवाल (Inverse Trigonometric Function Questions):

Inverse Trigonometric Function

(1.) \sin 2\left[\cos ^{-1}\{\cot (2 \tan^{-1} x)\}\right]=0
(2.) \sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y=\frac{2 \pi}{3} ; \cos ^{-1} x-\cos ^{-1} y=\frac{\pi}{3}

उत्तर (Answers): (1.) x= \pm 1, \pm(1 \pm \sqrt{2})
(2.) x=\frac{1}{2}, y=1
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Function),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 12 (Inverse Trigonometric Functions Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Frequently Asked Questions Related to Inverse Trigonometric Function),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 12 (Inverse Trigonometric Functions Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Function) में हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय
फलनों के गुणधर्म,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों पर आधारित उदाहरणों तथा मुख्यमान इत्यादि का

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