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Vertical motion of particle under resistance

1.प्रतिरोध के अधीन ऊर्ध्वाधर गति (Vertical motion of particle under resistance)-

प्रतिरोध के अधीन ऊर्ध्वाधर गति  (Vertical motion of particle under resistance) का अध्ययन हम पूर्व में कर चुके हैं।इसके पूर्व आर्टिकल में प्रतिरोधी माध्यम में सरल रेखीय गति को थ्योरी और उदाहरणों के द्वारा समझाया गया है। इसलिए इस आर्टिकल को पढ़ने से पूर्व आपको पहले वाला आर्टिकल पढ़ना चाहिए।
इस आर्टिकल में प्रतिरोध के अधीन ऊर्ध्वाधर गति (Vertical motion of particle under resistance) पर आधारित सवाल हल करेंगे।इन सवालों के माध्यम से प्रतिरोध के अधीन ऊर्ध्वाधर गति (Vertical motion of particle under resistance) को ठीक से समझ सकेंगे।
यदि कोई कण निर्वात में गति करता है तो उस पर कोई प्रतिरोध नहीं लगता है। लेकिन यदि कोई पिण्ड वायु,जल इत्यादि माध्यम में गति करता है तो माध्यम के द्वारा उस पर प्रतिरोध बल लगाया जाता है। ज्यों-ज्यों कण की गति बढ़ती जाती है तो प्रतिरोध भी बढ़ता जाता है।
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2.प्रतिरोध के अधीन ऊर्ध्वाधर गति (Vertical motion of particle under resistance) पर आधारित सवाल-

Question-1.एक भारी कण उर्ध्वाधर ऊपर की ओर u वेग से ऐसे माध्यम में फेंका जाता है जिसका प्रतिरोध { (वेग) }^{ 2 } का g{ u }^{ -2 } गुणा हो, जहां \alpha कोई अचर है।सिद्ध कीजिए कि कण प्रक्षेप बिन्दु पर u\cos { \alpha } वेग से (\frac { u }{ g } )\cot { \alpha } \left( \alpha +\log { \{ } \frac { \cos { \alpha } }{ { (1-\sin { \alpha ) } } } \} \right) समय पश्चात् लौटेगा।
(A heavy particle is projected vertically upwards with velocity u in a medium the rasistance of which isg{ u }^{ -2 } times { (velocity) }^{ 2 } where \alpha is some constant.Show that the particle will return to the point of projection with Velocity u\cos { \alpha } after a time(\frac { u }{ g } )\cot { \alpha } \left( \alpha +\log { \{ } \frac { \cos { \alpha } }{ { (1-\sin { \alpha ) } } } \} \right) )
Solution-कण के ऊपर जाते समय गति का समीकरण-

m\frac { { d }^{ 2 }x }{ { dx }^{ 2 } } =-mg-k{ v }^{ 2 }\\ k{ v }^{ 2 }=g{ u }^{ -2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } \\ \Rightarrow v\frac { dv }{ dx } =-g(1+\frac { { v }^{ 2 } }{ { u }^{ 2 } } \tan ^{ 2 }{ \alpha } )...(1)\\ \Rightarrow \frac { vdv }{ { u }^{ 2 }+{ v }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } } =-\frac { g }{ { u }^{ 2 } } dx\\ \Rightarrow -\frac { { u }^{ 2 } }{ g } \frac { vdv }{ { u }^{ 2 }+{ v }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } } =dx\\ \Rightarrow -\frac { { u }^{ 2 } }{ g } .\frac { 1 }{ 2\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \log { ({ u }^{ 2 }+{ v }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } ) } =x+{ c }_{ 1 }
जब v=u,तब x=0

{ c }_{ 1 }=-\frac { { u }^{ 2 } }{ 2g\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \log { { u }^{ 2 }\sec ^{ 2 }{ \alpha } } \\ \Rightarrow -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2g\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \log { ({ u }^{ 2 }+{ v }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } ) } =x-\frac { { u }^{ 2 } }{ 2g\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \log { { u }^{ 2 }\sec ^{ 2 }{ \alpha } } \\ \Rightarrow \frac { { u }^{ 2 } }{ 2g\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \log { { u }^{ 2 }\sec ^{ 2 }{ \alpha } } -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2g\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \log { ({ u }^{ 2 }+{ v }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } ) } =x\\ \Rightarrow \frac { { u }^{ 2 } }{ 2g\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \log { \left( \frac { { u }^{ 2 }\sec ^{ 2 }{ \alpha } }{ { u }^{ 2 }+{ v }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \right) } =x
उच्चतम बिन्दु पर v=0,x=h

\Rightarrow h=\frac { { u }^{ 2 } }{ 2g\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \log { \sec ^{ 2 }{ \alpha } } ...(2)

पुनः समीकरण (1) से-

\Rightarrow h=\frac { { u }^{ 2 } }{ 2g\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \log { \sec ^{ 2 }{ \alpha } } ...(2)
\frac { dv }{ dt } =-\frac { g }{ { u }^{ 2 } } ({ u }^{ 2 }+{ v }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } )\\ \Rightarrow \frac { dv }{ { u }^{ 2 }+{ v }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } } =-\frac { g }{ { u }^{ 2 } } dt\\ \Rightarrow -\frac { { u }^{ 2 } }{ g } \frac { 1 }{ u\tan { \alpha } } \tan ^{ -1 }{ (\frac { v\tan { \alpha } }{ u } ) } =t+{ c }_{ 2 }\\ \Rightarrow -\frac { u }{ 2\tan { \alpha } } \tan ^{ -1 }{ (\frac { v\tan { \alpha } }{ u } ) } =t+{ c }_{ 2 }

जब v=u ,तब t=0

{ c }_{ 1 }=-\frac { u\alpha }{ 2\tan { \alpha } } \\ \Rightarrow -\frac { u }{ g\tan { \alpha } } \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { v\tan { \alpha } }{ u } \right) } =t-\frac { u\alpha }{ g\tan { \alpha } }
उच्चतम बिन्दु पर v=0,t={ t }_{ 1 }

\Rightarrow 0={ t }_{ 1 }-\frac { u\alpha }{ g\tan { \alpha } } \\ \Rightarrow { t }_{ 1 }=\frac { u\alpha }{ g\tan { \alpha } } ...(3)
कण के नीचे गिरते समय गति का समीकरण-

m\frac { { d }^{ 2 }x }{ { dt }^{ 2 } } =mg-mg{ v }^{ 2 }{ u }^{ -2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }x }{ { dt }^{ 2 } } =g(1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { u }^{ 2 } } \tan ^{ 2 }{ \alpha } )....(4)\\ \Rightarrow v\frac { dv }{ dx } =\frac { g }{ { u }^{ 2 } } ({ u }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } )\\ \Rightarrow \frac { { u }^{ 2 } }{ g } .\frac { vdv }{ { u }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } } =dx
समाकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { { u }^{ 2 } }{ g } \int { \frac { vdv }{ { u }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } } } =\int { dx } \\ \Rightarrow -\frac { { u }^{ 2 } }{ g } \frac { 1 }{ 2\tan { \alpha } } \log { { (u }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } ) } =x+{ c }_{ 3 }
जब v=0 तब x=0

{ c }_{ 3 }=-\frac { { u }^{ 2 } }{ 2g\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \log { { u }^{ 2 } } \\ \Rightarrow -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2g\tan { \alpha } } \log { { (u }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } ) } =x-\frac { { u }^{ 2 } }{ 2g\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \log { { u }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { { u }^{ 2 } }{ 2g\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \log { { u }^{ 2 } } -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2g\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \log { { (u }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } ) } =x\\ \Rightarrow \frac { { u }^{ 2 } }{ 2g\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \log { \left( \frac { { u }^{ 2 } }{ { (u }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \right) } =x

जब v={ v }_{ 1 } तब x=h

\Rightarrow \frac { { u }^{ 2 } }{ 2g\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \log { (\frac { { u }^{ 2 } }{ { u }^{ 2 }-{ v }_{ 1 }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } } ) } =h....(5)
पुनः समीकरण (4) से

\frac { dv }{ dt } =\frac { g }{ { u }^{ 2 } } { (u }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } )\\ \frac { { u }^{ 2 } }{ g } \frac { dv }{ { (u }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } ) } =dt
समाकलन करने पर-

\frac { { u }^{ 2 } }{ g } \int { \frac { dv }{ { (u }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } ) } } =\int { dt } \\ \Rightarrow \frac { { u }^{ 2 } }{ g } .\frac { 1 }{ 2u\tan { \alpha } } \log { (\frac { u+v\tan { \alpha } }{ u-v\tan { \alpha } } ) } =t+{ c }_{ 4 }
जब v=0, तोt=0

\Rightarrow { c }_{ 4 }=0\\ \Rightarrow \frac { u }{ 2g\tan { \alpha } } \log { (\frac { u+v\tan { \alpha } }{ u-v\tan { \alpha } } ) } =t

जब v={ v }_{ 1 }, तो t={ t }_{ 1 }

\Rightarrow \frac { u }{ 2g\tan { \alpha } } \log { (\frac { u+{ v }_{ 1 }\tan { \alpha } }{ u-{ v }_{ 1 }\tan { \alpha } } ) } ={ t }_{ 1 }….(6)
समीकरण (2) व (5) से-

\frac { { u }^{ 2 } }{ 2g\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \log { \sec ^{ 2 }{ \alpha } } =\frac { { u }^{ 2 } }{ 2g\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \log { \left( \frac { { u }^{ 2 } }{ { u }^{ 2 }-{ v }_{ 1 }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \right) } \\ \Rightarrow \sec ^{ 2 }{ \alpha } =\frac { { u }^{ 2 } }{ { u }^{ 2 }-{ v }_{ 1 }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \\ \Rightarrow { u }^{ 2 }\sec ^{ 2 }{ \alpha } -{ v }_{ 1 }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } \sec ^{ 2 }{ \alpha } ={ u }^{ 2 }\\ \Rightarrow { u }^{ 2 }\sec ^{ 2 }{ \alpha } -{ u }^{ 2 }={ v }_{ 1 }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } \sec ^{ 2 }{ \alpha } \\ \Rightarrow { v }_{ 1 }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } \sec ^{ 2 }{ \alpha } ={ u }^{ 2 }(\sec ^{ 2 }{ \alpha } -1)\\ \Rightarrow { v }_{ 1 }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } \sec ^{ 2 }{ \alpha } ={ u }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \alpha } \\ \Rightarrow { v }_{ 1 }^{ 2 }\sec ^{ 2 }{ \alpha } ={ u }^{ 2 }\\ \Rightarrow { v }_{ 1 }^{ 2 }=\frac { { u }^{ 2 } }{ \sec ^{ 2 }{ \alpha } } \\ \Rightarrow { v }_{ 1 }=u\cos { \alpha } …..(7)
समीकरण (6) में का मान रखने पर-

{ t }_{ 1 }=\frac { u }{ 2g\tan { \alpha } } \log { \left( \frac { u+u\cos { \alpha } \tan { \alpha } }{ u-u\cos { \alpha } \tan { \alpha } } \right) } \\ \Rightarrow { t }_{ 1 }=\frac { u }{ 2g\tan { \alpha } } \log { \left( \frac { 1+\sin { \alpha } }{ 1-\sin { \alpha } } \right) } \\ \Rightarrow { t }_{ 1 }=\frac { u }{ 2g\tan { \alpha } } \log { \left( \frac { (1+\sin { \alpha } )(1-\sin { \alpha } ) }{ { (1-\sin { \alpha } ) }^{ 2 } } \right) } \\ \Rightarrow { t }_{ 1 }=\frac { u }{ 2g\tan { \alpha } } \log { \left( \frac { (1-{ sin }^{ 2 }\alpha ) }{ { (1-\sin { \alpha } ) }^{ 2 } } \right) } \\ \Rightarrow { t }_{ 1 }=\frac { u }{ 2g\tan { \alpha } } \log { \left( \frac { \cos ^{ 2 }{ \alpha } }{ { (1-\sin { \alpha } ) }^{ 2 } } \right) } \\ \Rightarrow { t }_{ 1 }=\frac { u }{ 2g\tan { \alpha } } \log { { \left( \frac { \cos { \alpha } }{ { 1-\sin { \alpha } } } \right) }^{ 2 } } \\ \Rightarrow { t }_{ 1 }=\frac { 2u }{ 2g\tan { \alpha } } \log { { \left( \frac { \cos { \alpha } }{ { 1-\sin { \alpha } } } \right) } } \\ \Rightarrow { t }_{ 1 }=\frac { u }{ g\tan { \alpha } } \log { { \left( \frac { \cos { \alpha } }{ { 1-\sin { \alpha } } } \right) } } …(8)
समीकरण (3) व (8) को जोड़ने पर-

{ t }_{ 1 }+{ t }_{ 2 }=\frac { u\alpha }{ g\tan { \alpha } } +\frac { u }{ g\tan { \alpha } } \log { { \left( \frac { \cos { \alpha } }{ { 1-\sin { \alpha } } } \right) } } \\ \Rightarrow t=\frac { u }{ g\tan { \alpha } } \left[ \alpha +\log { { \left( \frac { \cos { \alpha } }{ { 1-\sin { \alpha } } } \right) } } \right] \\ \Rightarrow t=\frac { u\cot { \alpha } }{ g } \left[ \alpha +\log { { \left( \frac { \cos { \alpha } }{ { 1-\sin { \alpha } } } \right) } } \right]

उपर्युक्त सवाल के हल द्वारा प्रतिरोध के अधीन ऊर्ध्वाधर गति (Vertical motion of particle under resistance) को समझा जा सकता है।
Question-2.एक कण विरामावस्था से एक ऐसे माध्यम में गिरने दिया जाता है जिसका प्रतिरोध उसके वेग के वर्ग समानुपाती है।जब यह कण ‌a दूरी गिर लेता है तब इसी प्रकार का एक कण उसी बिन्दु से गिराया जाता है।प्रदर्शित कीजिए कि इन दोनों के मध्य अन्तत: b दूरी है, जहां \frac { ag }{ { u }^{ 2 } } =\log { \cosh { { \left( \frac { bg }{ { u }^{ 2 } } \right) } } } एवं इस माध्यम में प्रत्येक कण का अन्तिम वेग u है।
(A particle is allowed to fall from rest in a medium the rasistance of which varies as the square of the velocity, when it has fallen through a distance a, precisely similar particle is released from the same point as the first.Show that the ultimate distance between the particles is b where \frac { ag }{ { u }^{ 2 } } =\log { \cosh { { \left( \frac { bg }{ { u }^{ 2 } } \right) } } } ,where u is the terminal Velocity for either of particles in the medium.)
Solution-माना कण को विरामावस्था से उस माध्यम में गिराया जाता है जिसका प्रतिरोध वेग के वर्गानुपाती है।
यह भी माना कि t समय पर कण की स्थिति p है जहां op=x तथा P पर वेग v=\frac { dx }{ dt } तथा त्वरण \frac { dv }{ dt } =\frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } }
अब कण पर कार्यशील बल निम्न हैं-
(1.)कण का भार mg उर्ध्वाधर ऊपर की ओर
(2.) प्रतिरोधी बल mk{ v }^{ 2 } उर्ध्वाधर ऊपर की ओर
अतः t समय पर कण की गति का समीकरण होगा-

m\frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =mg-mk{ v }^{ 2 }\\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =g-k{ v }^{ 2 }…(1)

यदि कण का अन्तिम वेग u है तो

0=g-k{ u }^{ 2 }\quad \quad \Rightarrow k=\frac { g }{ { u }^{ 2 } }
अतः कण की गति का समीकरण होगा-

\frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =g-\frac { g }{ { u }^{ 2 } } { v }^{ 2 }\\ \frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =\frac { g }{ { u }^{ 2 } } ({ u }^{ 2 }-{ v }^{ 2 })\\ \Rightarrow \frac { dv }{ dt } =\frac { g }{ { u }^{ 2 } } ({ u }^{ 2 }-{ v }^{ 2 })
दोनों पक्षों के चर पृथक कर समाकलन करने पर-

{ u }^{ 2 }\int { \frac { dv }{ { u }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } } } =\int { gdt } \\ { u }^{ 2 }.\frac { 1 }{ 2u } \log { \frac { u+v }{ u-v } } =gt+{ c }_{ 1 }
प्रारम्भ में v=u,t=0,{ c }_{ 1 }=0
\log { \frac { u+v }{ u-v } } =\frac { 2gt }{ u } \\ \Rightarrow \frac { u+v }{ u-v } ={ e }^{ \frac { 2gt }{ u } }\\ \Rightarrow \frac { u+v }{ u-v } =\frac { { e }^{ ^{ \frac { gt }{ u } } } }{ { e }^{ ^{ \frac { -gt }{ u } } } } \\ \Rightarrow \frac { u+v-(u-v) }{ u-v+u-v } =\frac { { e }^{ ^{ \frac { gt }{ u } } }-{ e }^{ ^{ \frac { -gt }{ u } } } }{ { e }^{ ^{ \frac { -gt }{ u } } }+{ e }^{ ^{ \frac { gt }{ u } } } } [योगान्तरानुपात से]

\Rightarrow v=u\tanh { \left( \frac { gt }{ u } \right) } \\ \Rightarrow \frac { dx }{ dt } =u\tanh { \left( \frac { gt }{ u } \right) }
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { dx } =u\int { \tanh { \left( \frac { gt }{ u } \right) } dt } \\ \Rightarrow x=\frac { { u }^{ 2 } }{ g } \log { \cosh { { \left( \frac { gt }{ u } \right) } } +{ c }_{ 2 } }
प्रारम्भ में t=0,x=0,{ c }_{ 2 }=0

x=\frac { { u }^{ 2 } }{ g } \log { \cosh { \left( \frac { gt }{ u } \right) } } ….(2)
दूसरा कण गिरने के बाद दूरी तय करेगा=a …….(3)
पहला कण सीमान्त वेग u से दूरी तय करेगा=b
अतः त्वरण शून्य होगा।फलत: रैखिक गति से
समय=दूरी/चाल

t=\frac { b }{ u } …..(4)
समीकरण (2),(3),(4) से-

\frac { ag }{ { u }^{ 2 } } =\log { \cosh { { \left( \frac { g }{ u } \times \frac { b }{ u } \right) } } } \\ \Rightarrow \frac { ag }{ { u }^{ 2 } } =\log { \cosh { { \left( \frac { gb }{ { u }^{ 2 } } \right) } } }

उपर्युक्त सवाल के हल द्वारा प्रतिरोध के अधीन ऊर्ध्वाधर गति (Vertical motion of particle under resistance) को समझा जा सकता है।

Question-3.एक छोटे m द्रव्यमान के पत्थर को आरम्भिक वेग { v }_{ 0 } से उर्ध्वाधर ऊपर फेंका जाता है।यदि वायु का प्रतिरोध v चाल पर mk{ v }^{ 2 } है, जहां k धनात्मक अचर हैं तो सिद्ध करो कि पत्थर आरम्भिक बिन्दु पर चाल { v }_{ 0 }{ \left( 1+\frac { k{ v }_{ 0 }^{ 2 } }{ g } \right) }^{ \frac { -1 }{ 2 } } से लौट आता है।
(A small stone of mass m is thrown vertically upwards with initial velocity { v }_{ 0 }.If the air resistance at speed v is mk{ v }^{ 2 }.where k is positive constant.Show that the Stone returns to its starting point with speed { v }_{ 0 }{ \left( 1+\frac { k{ v }_{ 0 }^{ 2 } }{ g } \right) }^{ \frac { -1 }{ 2 } })
Solution-प्रतिरोध=mk{ v }^{ 2 }
गति का समीकरण (ऊपर की ओर)

m\frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =-mg-mk{ v }^{ 2 }\\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =-g\left( 1+\frac { k }{ g } { v }^{ 2 } \right) \\ \Rightarrow v\frac { dv }{ dx } =-g\left( 1+\frac { k }{ g } { v }^{ 2 } \right) \\ \Rightarrow -\frac { 1 }{ g } \left( \frac { vdv }{ 1+\frac { k }{ g } { v }^{ 2 } } \right) =dx
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर-

\Rightarrow -\frac { 1 }{ g } \int { \frac { vdv }{ 1+\frac { k }{ g } { v }^{ 2 } } } =\int { dx } \\ \Rightarrow -\frac { 1 }{ 2k } \log { \left( 1+\frac { k }{ g } { v }^{ 2 } \right) } =x+{ c }_{ 1 }
जब x=0,तो v={ v }_{ 0 }

\quad \Rightarrow { c }_{ 1 }=-\frac { 1 }{ 2k } \log { \left( 1+\frac { k }{ g } { v }_{ 0 }^{ 2 } \right) } \\ \Rightarrow -\frac { 1 }{ 2k } \log { (1+\frac { k }{ g } { v }^{ 2 }) } =x-\frac { 1 }{ 2k } \log { \left( 1+\frac { k }{ g } { v }_{ 0 }^{ 2 } \right) } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 2k } \log { \frac { \left( 1+\frac { k }{ g } { v }_{ 0 }^{ 2 } \right) }{ \left( 1+\frac { k }{ g } { v }^{ 2 } \right) } } =x
उच्चतम बिन्दु पर v=0,x=h

\Rightarrow h=\frac { 1 }{ 2k } \log { (1+\frac { k }{ g } { v }_{ 0 }^{ 2 }) } …(1)
गति का समीकरण (नीचे की ओर)

m\frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =mg-mk{ v }^{ 2 }\\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =g-k{ v }^{ 2 }\\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =g(1-\frac { k }{ g } { v }^{ 2 })\\ \Rightarrow v\frac { dv }{ dx } =g(1-\frac { k }{ g } { v }^{ 2 })\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ g } \frac { vdv }{ \left( 1-\frac { k }{ g } { v }^{ 2 } \right) } =dx
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { 1 }{ g } \int { \frac { vdv }{ 1+\frac { k{ v }^{ 2 } }{ g } } } =\int { dx } \\ \Rightarrow -\frac { 1 }{ 2k } \log { (1-\frac { k }{ g } { v }^{ 2 }) } =x+{ c }_{ 2 }
जब v=0, तो x=0,{ c }_{ 2 }=0

\Rightarrow -\frac { 1 }{ 2k } \log { (1-\frac { k }{ g } { v }^{ 2 }) } =x
प्रक्षेप बिन्दु परv={ v }_{ 1 },x=h

\Rightarrow h=-\frac { 1 }{ 2k } \log { \left( 1-\frac { k }{ g } { v }_{ 1 }^{ 2 } \right) } …..(2)
समीकरण (1) व (2) से-

\Rightarrow \frac { 1 }{ 2k } \log { (1+\frac { k }{ g } { v }_{ 0 }^{ 2 }) } =-\frac { 1 }{ 2k } \log { \left( 1-\frac { k }{ g } { v }_{ 1 }^{ 2 } \right) } \\ \Rightarrow \log { (1+\frac { k }{ g } { v }_{ 0 }^{ 2 }) } =-\log { \left( 1-\frac { k }{ g } { v }_{ 1 }^{ 2 } \right) } \\ \Rightarrow \log { (1+\frac { k }{ g } { v }_{ 0 }^{ 2 }) } =\log { \frac { 1 }{ \left( 1-\frac { k }{ g } { v }_{ 1 }^{ 2 } \right) } } \\ \Rightarrow (1+\frac { k }{ g } { v }_{ 0 }^{ 2 })=\frac { 1 }{ \left( 1-\frac { k }{ g } { v }_{ 1 }^{ 2 } \right) } \\ \Rightarrow (1+\frac { k }{ g } { v }_{ 0 }^{ 2 })(1-\frac { k }{ g } { v }_{ 1 }^{ 2 })=1\\ \Rightarrow 1-\frac { k }{ g } { v }_{ 1 }^{ 2 }+\frac { k }{ g } { v }_{ 0 }^{ 2 }-\frac { { k }^{ 2 } }{ { g }^{ 2 } } { v }_{ 0 }^{ 2 }{ v }_{ 1 }^{ 2 }=1\\ \Rightarrow \frac { k }{ g } { v }_{ 1 }^{ 2 }+\frac { { k }^{ 2 } }{ { g }^{ 2 } } { v }_{ 0 }^{ 2 }{ { v }_{ 1 }^{ 2 } }=\frac { k }{ g } { v }_{ 0 }^{ 2 }\\ \Rightarrow \frac { k }{ g } { v }_{ 1 }^{ 2 }(1+\frac { k }{ g } { v }_{ 0 }^{ 2 })=\frac { k }{ g } { v }_{ 0 }^{ 2 }\\ \Rightarrow { v }_{ 1 }^{ 2 }(1+\frac { k }{ g } { v }_{ 0 }^{ 2 })={ v }_{ 0 }^{ 2 }\\ \Rightarrow { v }_{ 1 }^{ 2 }=\frac { { v }_{ 0 }^{ 2 } }{ \left( 1+\frac { k }{ g } { v }_{ 0 }^{ 2 } \right) } \\ \Rightarrow { v }_{ 1 }={ v }_{ 0 }{ \left( 1+\frac { k }{ g } { v }_{ 0 }^{ 2 } \right) }^{ \frac { -1 }{ 2 } }
उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा प्रतिरोध के अधीन ऊर्ध्वाधर गति (Vertical motion of particle under resistance) को समझा जा सकता है।

3.वेग के वर्ग समानुपाती प्रतिरोध के अधीन एक कण की उर्ध्वाधर गति (vertical motion of particle under resistance varies as squre of velocity)-

यहां हम उन समस्याओं पर विचार करते हैं जहां एक बोडी पर एकमात्र बल एक प्रतिरोधक बल होता है जो इसकी गति के वर्ग के समानुपाती होता है। वास्तव में कोई नए सिद्धांत नहीं हैं; यह थोड़ा अधिक कठिन समाकल अंग के साथ अभ्यास का विषय है।
इसकी थ्योरी और सूत्र को हमने पिछले आर्टिकल में पोस्ट किया हुआ है, अतः इसके बारे में अधिक जानकारी के लिए उस आर्टिकल को पढ़ना चाहिए।

4.ऊर्ध्वाधर गति सूत्र क्या है? (What is the vertical motion formula?)-

दो ऊर्ध्वाधर गति मॉडल हैं।सूत्र का उपयोग उस वस्तु के लिए किया जाता है जिसे गिराया जा रहा है।यहाँ, h वस्तु की ऊँचाई का प्रतिनिधित्व करता है, t गति (सेकंड में) में समय का प्रतिनिधित्व करता है, और s प्रारंभिक ऊँचाई (फीट में) का प्रतिनिधित्व करता है।सूत्र का उपयोग उस वस्तु के लिए किया जाता है जिसे फेंका जा रहा है।

5.ऊर्ध्वाधर गति क्या है? (What is vertical motion?)-

ऊर्ध्वाधर गति को गुरुत्वाकर्षण पुल के खिलाफ वस्तु की गति के रूप में जाना जाता है। यह वह गति है जो सीधी या सपाट सतह पर लंबवत होती है। यह एक सीधी ऊपर और नीचे की गति भी हो सकती है लेकिन सही ऊर्ध्वाधर गति आमतौर पर एक सीधी रेखा पथ का पीछा नहीं करती है।

7.आप ऊर्ध्वाधर गति की समस्याओं को कैसे हल करते हैं? (How do you solve vertical motion problems?)-

एक कण विरामावस्था से गुरुत्वाकर्षण के अधीन एक ऐसे माध्यम में होकर गिरता है जिसका प्रतिरोध उसके वेग के वर्ग के समानुपाती होता है।
इस प्रकार की स्थिति में समस्याओं को हल करने के लिए ऊपर प्रेक्टिकल सवालों के हल द्वारा समस्याओं को हल करने का तरीका बताया गया है।
इसी प्रकार की अन्य समस्याओं को सूत्रों की सहायता से हल किया जा सकता है,बस थोड़ा सवाल को समझने की आवश्यकता है।

8.हवा प्रतिरोध सूत्र (air resistance formula)-

यह हवा के घनत्व पर निर्भर करता है, वस्तु का क्षेत्र, जिस वेग से वह आगे बढ़ रहा है, और एक “ड्रैग गुणांक” जो सतह खुरदरापन, और वायुमंडलीय विक्षोभ जैसी वस्तु के अन्य गुणों के लिए जिम्मेदार है।वायु प्रतिरोध को “ड्रैग” भी कहा जाता है, और इस बल के लिए इकाई न्यूटन (एन) है।

9. वायु प्रतिरोध क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक (air resistance horizontal and vertical components)-

एक कण गुरुत्वाकर्षण के अधीन उर्ध्वाधर गति करता है तो हम एक ऐसी स्थिति के बारे में अध्ययन कर रहे हैं जबकि प्रतिरोध वेग के वर्ग के समानुपाती होता है। इसलिए इस स्थिति में वायु के क्षैतिज और उर्ध्वाधर घटक को ज्ञात करने की आवश्यकता नहीं होती है।
वायु के प्रतिरोध के क्षैतिज और उर्ध्वाधर घटक की तब आवश्यकता होती है जब कण अथवा पिण्ड प्रक्षेप (projectile) गति करता है।

10.ऊर्ध्वाधर दिशा में वायु प्रतिरोध नगण्य क्यों है? (why is air resistance negligible in the vertical direction)-

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण स्थिर है, जिसका अर्थ है कि हम किनेमेटिक्स समीकरणों को किसी भी गिरने वाली वस्तु पर लागू कर सकते हैं जहां वायु प्रतिरोध और घर्षण नगण्य हैं।गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण की दिशा नीचे की ओर है (पृथ्वी के केंद्र की ओर)। वास्तव में, इसकी दिशा परिभाषित करती है जिसे हम लंबवत कहते हैं।

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