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Simple Harmonic Motion Formula

1.सरल आवर्त गति सूत्र (Simple Harmonic Motion Formula),सरल आवर्त गति (Simple Harmonic Motion)-

  • सरल आवर्त गति सूत्र (Simple Harmonic Motion Formula),सरल आवर्त गति (Simple Harmonic Motion)-जब कोई कण एक सरल रेखा में एक ऐसे बल के अधीन गमन करे जो सरल रेखा पर स्थित किसी स्थिर बिन्दु से कण की दूरी के समानुपाती हो तथा जो सदैव उस बिन्दु की ओर दिष्ट हो तो कण की गति को सरल आवर्त गति कहते हैं।इसे संक्षेप में स.आ.ग.(S.H.M.) लिखते हैं।स्थिर बिन्दु गति केन्द्र कहलाता है।
    (1.)सरल आवर्त गति परिभाषा (Simple Harmonic Motion Definition),सरल आवर्त गति को परिभाषित करो (Simple Harmonic Motion Define)-
  • जब किसी वस्तु को स्थायी साम्यावस्था की स्थिति से अल्पविस्थापन (रैखिक,कोणीय चाप या ऐंठन) देकर छोड़ दिया जाता है तो वह साम्यावस्था के इधर-उधर (ऊपर-नीचे) दोलन गति करने लगती है।स्थायी साम्य से अल्प विस्थापन के कारण रैखिक प्रत्यानयन बल या रैखिक प्रत्यापन बल आघूर्ण के प्रभाव में साम्य-अवस्था के इर्द-गिर्द होने वाली दोलन गति को सरल आवर्त गति कहते हैं।
  • रैखिक प्रत्यानयन बल के कारण होने वाली दोलन गति को रैखिक सरल आवर्त गति (Linear S.H.M.) तथा रैखिक प्रत्यानयन बल आघूर्ण के कारण वृत्त के चाप पर होने वाली दोलन गति को कोणीय आवर्त गति (Angular S.H.M.) कहते हैं।
  • उदाहरणार्थ-स्प्रिंग में रैखिक स.आ.ग. होती है जबकि सरल लोलक,पिण्ड लोलक या मरोड़ी लोलक में कोणीय सरल आवर्त गति होती है।
  • एक कण सरल रेखा पर विराम में किसी बिन्दु से प्रस्थान करता है,यदि उसका त्वरण सदैव बल केन्द्र की ओर दिष्ट हो और बल केन्द्र से कण की दूरी का अनुपाती हो तो गति का निश्चय करना।
  • (A particle moves in a straight line starting from rest at any point and moving with an acceleration which is always directed towards center of force and varies as the distance from center of force; to find the motion.)
    (2.)कण की गति का समीकरण-
  • v= \pm \sqrt{\mu\left(a^{2}-x^{2}\right)}
    जब कण बल केन्द्र की ओर गतिमान है तो v=-\sqrt{\mu\left(a^{2}-x^{2}\right)}
  • जब कण बल केन्द्र से किसी बिन्दु की ओर गति करता है तो v=\sqrt{\mu\left(a^{2}-x^{2}\right)}
    [यहां a आयाम,x कण की बल केन्द्र से दूरी,अचर है]
  • जब v=-\sqrt{\mu\left(a^{2}-x^{2}\right)}
    तो x=a \cos \sqrt{\mu}
    तथा जब v=\sqrt{\mu \left(a^{2}-x^{2}\right)}
    तो x=a \sin \sqrt{\mu} t

(3.)सरल आवर्त गति का आवर्त काल (Periodic Time of S.H.M.)-

T= \frac{2 \pi }{ \sqrt{\mu} }

(4.)आवृत्ति (n)-

\frac{1}{T} = \frac{ \sqrt{\mu} } {2 \pi }

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2.सरल आवर्त गति सूत्र के उदाहरण (Examples of Simple Harmonic Motion Formula),सरल आवर्त गति के उदाहरण (Simple Harmonic Motion Examples)-

Example-1.प्रदर्शित कीजिए कि सरल आवर्त गति करने वाले कण को अधिकतम विस्थापन की स्थिति से आधे आयाम तक के विस्थापन तक पहुंचने में आवर्तकाल के  \frac{1}{6} भाग की आवश्यकता पड़ती है।
(Show that the particle executing S.H.M. requires \frac{1}{6} times of its period to move from the position of maximum displacement to one which the displacement is half the amplitude.)
Solution-a=a \cos \sqrt{\mu} t
जब x=\frac{1}{2} a \\ \Rightarrow \frac{1}{2} a=a \cos \sqrt{\mu} t \\ \Rightarrow \frac{1}{2}=\cos \sqrt{\mu} t \\ \Rightarrow \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos \sqrt{\mu} t \\ \Rightarrow \sqrt{\mu} t=\frac{ \pi }{3} \\ \Rightarrow t =\frac{ \pi }{3 \sqrt{\mu}} \\ \Rightarrow t=\frac{1}{6} (\frac{2 \pi}{\sqrt{\mu}}) \\ \Rightarrow t=\frac{1}{6}(period of S.H.M)
Example-2.एक कण विरामावस्था से त्वरण k x^{2} के अधीन एक नियत बिन्दु की दिशा में चलना प्रारम्भ करता है तथा t समय पश्चात् दूसरा कण उसी बिन्दु से उसी त्वरण के अधीन उसी प्रकार चलना प्रारम्भ करता है।प्रदर्शित करो कि कण आपस में,पहले कण के गति करने के \frac{\pi}{k}+\frac{t}{2} समय पश्चात् टकरायेंगे यदि t<\frac{2 \pi}{ k}
(A particle starts from rest under an acceleration k x^{2} directed towards a fixed point and after time t another particle starts from the same positions under the same acceleration.Show that the particle will collide at time \frac{\pi}{k}+\frac{t}{2} after starts of the first particle, provided t<\frac{2 \pi}{ k}.)
Solution-माना कि प्रथम कण के प्रारम्भ होने के t_{1} समय पश्चात् आपस में टकरायेंगे अतः दूसरे कण द्वारा तक लिया गया समय t_{1}-t है।
गति का समीकरण-

\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-k^{2} x=-\mu x \\ \Rightarrow \mu=k^{2} \\ \Rightarrow \sqrt{\mu}=K \\ x=a \cot (\sqrt{\mu} t) \\ \Rightarrow a \cos\left(k t_{1})=a \cos k(t_{1}-t\right)...(1) \\ \Rightarrow a \cos\left(k t_{1})=a \cos \left\{2 \pi-k\left(t_{1}-t\right)\right\}\right)...(2)

From (1) and (2)
k t_{1}=k(t_{1}-t) या k t_{1}=2 \pi -k(t_{1}-t)
प्रथम स्थिति संभव नहीं है क्योंकि t=0 तथा द्वितीय स्थिति से-

k t_{1}=2 \pi-t_{1} k+k t \\ \Rightarrow 2 k t_{1}=2 \pi+k t \\ \Rightarrow t_{1}=\frac{2 \pi}{2 k}+\frac{k t}{2 k} \\ \Rightarrow t_{1}=\frac{\pi}{k}+\frac{t}{2}
तथा \frac{2\pi}{ \sqrt{\mu} }=\frac{2\pi}{k} अर्थात् यह भी कहा जा रहा है कि आवर्तकाल \frac{2\pi}{k} निर्दिष्ट करता है t<\frac{2 \pi}{ k} कि दूसरा कण पहले कण के शुरू होने से पहले एक पूर्ण दोलन पूरा कर लेता है।
Example-3.एक पिण्ड एक सरल रेखा OAB पर स.आ.ग. से गतिमान है। यह A तथा B पर विरामावस्था में है जिसकी O से दूरी क्रमशः a तथा b है और उसका वेग v है जब वह उनके मध्य बिन्दु पर है।प्रदर्शित कीजिए कि \frac{\pi(b-a)}{v} पूर्ण आवर्तकाल है।
(A body moving in a straight line OAB with S.H.M. has zero velocity when at points A and B whose distances from O are a and b respectively and has a Velocity v when half way between them.Show that the complete period is \frac{\pi(b-a)}{v}.)
Solution-A और B बिन्दु पर वेग शून्य है और वे तात्क्षणिक विरामावस्था की स्थिति है
AB=OB-OA=b-a
आयाम (A)=\frac{1}{2} A B \\ =\frac{1}{2}(b-a)=A
सरल आवर्त गति से-

v^{2}=\mu \left(A^{2}-x^{2}\right)
केन्द्र पर x=0 तथा V=v

v^{2}=\mu [ \frac{1}{4} (b-a)^{2}-0 ] \\ \Rightarrow \mu=\frac{4v^{2}}{(b-a)^{2}} \\ \Rightarrow \sqrt{\mu} =\frac{2v}{b-a}
आवर्तकाल (Periodic Time) 

T=\frac{2 \pi}{\sqrt{\mu}} \\ =\frac{2 \pi }{\frac{2 V}{(b-a)}} \\ T =\frac{\pi(b-a)}{v}

Example-4.एक कण स.आ.ग. में गतिमान है।एक सिरे से केन्द्र को जाते हुए यह पाया गया कि लगातार तीन सैकण्डों पर कण की केन्द्र x_{1},x_{2},x_{3}  से दूरी है।प्रदर्शित कीजिए कि एक पूर्ण आवर्तकाल \frac{2 \pi}{\theta} है; जहां \cos \theta=\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2 x_{2}}\right)
(A particle is moving with S.H.M. from an extremity of path towards the centre is observed to be at distances x_{1},x_{2},x_{3}  from the centre at the end of a complete oscillation is \frac{2 \pi}{\theta} where \cos \theta=\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2 x_{2}}\right) .)
Solution- माना कि दो विरामावस्था के बिन्दुओं के बीच दूरी 2a है तथा मध्य बिन्दु O है,तब t समय पश्चात् बिन्दु O से दूरी का सूत्र

x=a \cos \sqrt{\mu}t \\ x_{1}=a \cos \sqrt{\mu}...(1) \\ x_{2}=a \cos 2 \sqrt{\mu}...(2) \\ x_{3}=a \cos 3\sqrt{\mu}....(3)
समीकरण (1) व (3) को जोड़ने पर-

x_{1}+x_{3}=a \cos \sqrt{\mu}+a \cos 3 \sqrt{\mu} \\ \Rightarrow\left(x_{1}+x_{3}\right)=a[\cos \sqrt{\mu}+\cos 3\sqrt{\mu} ]  \\ \Rightarrow x_{1}+x_{3}=a.2 \cos \left(\frac{\sqrt{\mu}+3 \sqrt{\mu}}{2}\right) \cos \left(\frac{3 \sqrt{\mu}-\sqrt{\mu}}{2}\right) \\ \Rightarrow x_{1}+x_{3}=2 a \cos (2 \sqrt{\mu}) \cos (\sqrt{\mu})
समीकरण (2) से मान रखने पर-

\Rightarrow x_{1}+x_{3}=2 x_{2} \cos (\sqrt{\mu}) \\ \Rightarrow \cos \sqrt{\mu}=\frac{x_{1}+x_{3}}{2 x_{2}} \\ \Rightarrow \sqrt{\mu}= \cos^{-1}(\frac{x_{1}+x_{3}}{2 x_{2}}) \\ \theta=\cos^{-1}(\frac{x_{1}+x_{3}}{2 x_{2}})
आवर्तकाल (Periodic Time) \Rightarrow T=\frac{2 \pi}{\sqrt{H} } \\ \Rightarrow T=\frac{2 \pi}{\theta}
Example-5. एक कण का वेग v ,जो कि OX अक्ष के अनुदिश चल रहा है,सम्बन्ध v^{2}=n^{2}\left(8 a x-x^{2}-12 a^{2}\right) द्वारा दिया गया है।सिद्ध करो कि वह सरल आवर्त गति से चल रहा है और इसका आवर्तकाल \frac{2 \pi}{ n } है।यह भी सिद्ध करो कि इसका आयाम 2a है।
(The speed v of a paricle a paricle moving along the axis of OX is given by the relation v^{2}=n^{2}\left(8 a x-x^{2}-12 a^{2}\right).Prove that the motion is simple harmonic and its period is \frac{2 \pi}{ n }.Prove also that its amplitude is 2a )
Solution-v^{2}=n^{2}\left(8 a x-x^{2}-12 a^{2}\right)
Differentiating w.r.t. x,we get

\Rightarrow 2v \frac{d v}{d x}=n^{2}(8 a-2 x) \\ \Rightarrow v \frac{d v}{d x}=-n^{2}(x-4 a) \\ \Rightarrow \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-n^{2}(x-4 a) \\ put x-4a=y \\ \therefore \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-n^{2} y=-\mu y
जो कि सरल आवर्त गति है।बल केन्द्र पर y=0 i.e. x=4a
आवर्तकाल (Periodic Time) \Rightarrow T=\frac{2 \pi}{ \sqrt{\mu} } \\ \Rightarrow T=\frac{2 \pi}{ n }
पुनः v=0 तब 

8ax-x^{2}=12 a^{2}=0 \\ \Rightarrow x^{2}-8 a x+12 a^{2}=0 \\ \Rightarrow x^{2}-6 a x-2 a x+12 a^{2}=0 \\ \Rightarrow x(x-6 a)-2 a(x-6a)=0 \\ \Rightarrow(x-2 a)(x-6 a)=0 \\ \Rightarrow x=2a,6a

y=x-4a

y=6a-4a
y=2a जहां वेग शून्य हो जाता है तथा y=0 बल केन्द्र है। अतः आयाम=2a
Example-6. एक कण सरल रेखा में स.आ.ग. में गतिमान है। विरामावस्था से गति प्रारम्भ होने के प्रथम सेकण्ड में a दूरी तथा अगली सेकण्ड में b दूरी एक ही दिशा में तय करता है।सिद्ध करो कि गति का आयाम \left(\frac{2 a^{2}}{3 a-b}\right) तथा इसका आवर्तकाल \frac{2 \pi}{ \cos^{-1}(\frac{b-a}{2 a}) } होगा।
(A particle moves with S.H.M. in a straight line.In the first second after starting from rest it travel a distance a and in the next second it travels a distance b in the same direction.Prove that the amplitude of motion is \left(\frac{2 a^{2}}{3 a-b}\right) and its period is \frac{2 \pi}{ \cos^{-1}(\frac{b-a}{2 a}) }.)
Solution-कण बल केन्द्र की ओर गति करता है तो
x=A \cos \sqrt{\mu}t(जहां A आयाम है)
जब t=1 तो कण दूरी तय करता है x=A-a
जब t=2 तो कण दूरी तय करता है x=A-(a+b)

\therefore A-a=A \cos \sqrt{\mu}...(1) \\ A-(a+b)=A \cos (2 \sqrt{\mu})...(2) \\ \Rightarrow A-(a+b)=A\left[2 \cos ^{2} \sqrt{\mu-1}\right]
समीकरण (1) से मान रखने पर-

\Rightarrow A-(a+b)=A\left[2 .\frac{(A-a)^{2}}{A^{2}}-1]\right. \\ \Rightarrow A-a-b=A \cdot \frac{\left[2\left(A^{2}-2 a A+a^{2}\right)-A^{2}\right]}{A^{2}} \\ \Rightarrow A-a-b=\frac{2 A^{2}-4 a A+2 a^{2}-A^{2}}{A} \\ \Rightarrow A^{2}-A a-A b=A^{2}-4 a A+2 a^{2} \\ \Rightarrow -A a-A b=-4 a A+2 a^{2} \\ \Rightarrow 4 a A-A a-A b=2 a^{2} \\ \Rightarrow 3 a A-A b=2 a^{2} \\ \Rightarrow A(3 a-b)=2 a^{2} \\ \Rightarrow A=\frac{2 a^{2}}{3a-b}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सरल आवर्त गति सूत्र (Simple Harmonic Motion Formula),सरल आवर्त गति (Simple Harmonic Motion) को समझ सकते हैं।

3.सरल आवर्त गति सूत्र की समस्याएं (Problems of Simple Harmonic Motion Formula)-

(1.)एक क्षैतिज पटल आधा सैकण्ड आवर्तकाल वाली सरल आवर्त गति में उर्ध्वाधर दिशा में चल रहा है।इसका अधिकतम आयाम ज्ञात कीजिए जिससे उस पर रखी हुई कोई पुस्तक सर्वदा इसके सम्पर्क में सके।
(A horizontal shelf moving up and down with S.H.M. of period half second.What is the greatest amplitude admissible in order that a book placed on the shelf may not be jerked off?)

\frac{9}{16} \pi ^{2}
(2.)एक क्षैतिज पटल एक सेकण्ड आवर्तकाल वाली स.आ.ग. से उर्ध्वाधर दिशा में चल रहा है।यदि पूर्णकाल एक सेकण्ड हो तो इसका अधिकतम आयाम सेन्टीमीटर में निकालिए जिससे उस पर रखी हुई पुस्तक जिसका भार 100 ग्राम है,सर्वदा इसके सम्पर्क में रह सके।पटल पर अधिकतम तथा न्यूनतम दबाव भी ज्ञात कीजिए।
(A horizontal shelf moves vertically with S.H.M. .If complete oscillation period is one second,find the greatest amplitude in centimeters that it can have so that a book,weighing 100 gms. and resting on the greatest and least pressures excerted on the shelf.)

Ans:-आयाम =25 सेमी(approx);दबाव=200gm weight;न्यूनतम दबाव=0
(3.)m संहति का एक कण किसी भारहीन तार के लगा हुआ है जो दो स्थिर बिन्दुओं के बीच में T तनाव द्वारा सीधा खींचा हुआ है।यदि तार के सिरों से कण की दूरियां a तथा b हो तो सिद्ध कीजिए कि m के एक छोटे अनुप्रस्थ दोलन का काल होगा:
(A particle of mass m is attached to a light wire which is streched tightly between two fixed points with a tension T.If a,b be the distances of the paricle from the two ends; prove that the period of the small transverse oscillation of m is: 2 \pi \sqrt{ \frac{mab}{T(a+b} })
(4.)यदि सरल आवर्त गति से चलने वाले एक कण के सरल रेखा पर स्थिर बिन्दु से जो बल केन्द्र नहीं है,दूरी a,b,c पर वेग क्रमशः u,v,w हो तो सिद्ध कीजिए कि आवर्तकाल T निम्न समीकरण द्वारा प्राप्त होता है:
(If in a S.H.M. u,v,w be the velocities at distances a,b,c from a fixed point on the straight line which is not the centre of force.Show that the period T is given by the equation \frac{ 4\pi ^{2} }{T ^{2}} (b-c)(c-a)(a-b)= \begin{bmatrix} u^{2}& v^{2}& w^{2} \\a & b & c\\1 & 1& 1\end{bmatrix})
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सरल आवर्त गति सूत्र (Simple Harmonic Motion Formula),सरल आवर्त गति (Simple Harmonic Motion) ठीक से समझा जा सकता है।

4.सरल आवर्त गति से आपका क्या मतलब है?
What do you mean by simple harmonic motion?)-

  • सरल आवर्त गति को एक सीधी रेखा के साथ बिंदु के आवधिक गति के रूप में परिभाषित किया जाता है,जैसे कि इसका त्वरण हमेशा उस रेखा में एक निश्चित बिंदु की ओर होता है और उस बिंदु से इसकी दूरी के लिए आनुपातिक होता है।

5.सरल आवर्त गति समीकरण क्या है? (What is simple harmonic motion equation?)-

  • एक साधारण हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए,किसी वस्तु के गति चक्र को समीकरण x (t) = a cos (2πft) द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

6.सरल आवर्त गति के प्रकार क्या हैं? (What are the types of simple harmonic motion?)-

  • SHM या सरल हार्मोनिक मोशन को दो प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है,
    रैखिक SHM।
    कोणीय SHM।

7.आप सरल आवर्त गति को कैसे हल करते हैं? (How do you solve simple harmonic motion?)-

  • SHM के अवकल समीकरणों के समाधान x = A sinωt,t (यह समाधान जब कण अपनी माध्य स्थिति में होता है। उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर,उदाहरणों तथा सवालों को हल करके सरल आवर्त गति सूत्र (Simple Harmonic Motion Formula),सरल आवर्त गति (Simple Harmonic Motion) को समझ सकते हैं।

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