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vector differential operators

1.सदिश अवकल संकारक का परिचय (Introduction to vector differential operators)-

सदिश अवकल संकारक (vector differential operators) को समझने के लिए हमें आंशिक अवकलन तथा संकारक को समझना आवश्यक है।

(1.)सदिशों का आंशिक अवकलन (partial differention of vectors)-

(i )जब किसी सदिश में दो या दो से अधिक स्वतन्त्र चर विद्यमान हों तो परतन्त्र चर का किसी एक स्वतन्त्र चर के सापेक्ष अवकलन किया जाए तथा अन्य स्वतन्त्र चरों को अचर मान लिया जाए अर्थात् अन्य स्वतन्त्र चरों में कोई परिवर्तन नहीं हो तो इस प्रकार के अवकलन को आंशिक अवकलन कहते हैं।
(ii)एक से अधिक स्वतन्त्र चर वाले किसी सदिश फलन का वह अवकलज जो किसी एक स्वतन्त्र चर के सापेक्ष लिया गया हो और अन्य स्वतन्त्र चरों को अचरों के रूप में रखा गया हो।
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2.सदिश अवकल संकारक (vector differential operators)-

अवकलज संकारक,संकारक D का कोई बहुपद जहां D संक्रिया \frac { d }{ dx } को निरूपित करता है और Dy का अर्थ है \frac { dy }{ dx }
सदिश अवकल संकारक (vector differential operators)\nabla को निम्न प्रकार परिभाषित करते हैं-

\nabla =\left( \hat { i } \frac { \partial }{ \partial x } +\hat { j } \frac { \partial }{ \partial y } +\hat { k } \frac { \partial }{ \partial z } \right)
सदिश संकारक \nabla के गुण,सदिश तथा अवकल संकारक (differential operator) दोनों के है।

3.प्रवणता पर प्रमेय (Theorem on gradient)-

प्रमेय (Theorem)-1.यदि \phi तथा \psi दो अदिश फलन हों तो सिद्ध कीजिए किgrad\left( \phi \pm \psi \right) =grad\phi \pm grad\psi

(If \phi and \psi are two scalar point functions,then prove thatgrad\left( \phi \pm \psi \right) =grad\phi \pm grad\psi
)
प्रमाण (Proof):grad\left( \phi \pm \psi \right) =\left( \hat { i } \frac { \partial  }{ \partial x } +\hat { j } \frac { \partial  }{ \partial y } +\hat { k } \frac { \partial  }{ \partial z } \right) \left( \phi \pm \psi \right) \\ =\hat { i } \frac { \partial }{ \partial x } \left( \phi \pm \psi \right) +\hat { j } \frac { \partial }{ \partial y } \left( \phi \pm \psi \right) +\hat { k } \frac { \partial }{ \partial z } \left( \phi \pm \psi \right) \\ =\hat { i } \frac { \partial \phi }{ \partial x } \pm \hat { i } \frac { \partial \psi }{ \partial x } +\hat { j } \frac { \partial \phi }{ \partial y } \pm \hat { j } \frac { \partial \psi }{ \partial y } +\hat { k } \frac { \partial \phi }{ \partial z } \pm \hat { k } \frac { \partial \psi }{ \partial z } \\ =\left( \hat { i } \frac { \partial \phi }{ \partial x } +\hat { j } \frac { \partial \phi }{ \partial y } +\hat { k } \frac { \partial \phi }{ \partial z } \right) \pm \left( \hat { i } \frac { \partial \psi }{ \partial x } +\hat { j } \frac { \partial \psi }{ \partial y } +\hat { k } \frac { \partial \psi }{ \partial z } \right) \\ \Rightarrow grad\left( \phi \pm \psi \right) =grad\phi \pm grad\psi \\ \Rightarrow \nabla \left( \phi \pm \psi \right) =\nabla \phi \pm \nabla \psi

प्रमेय (Theorem)-2.यदि \phi तथा \psi दो अदिश बिन्दु फलन हों तो सिद्ध कीजिए कि
(If \phi and \psi two scalar point function,then show that)

grad\left( \phi \psi \right) =\phi \quad grad\psi +\psi \quad grad\phi \\ \nabla \left( \phi \psi \right) =\phi \nabla \psi +\psi \nabla \phi
प्रमाण (Proof):grad\left( \phi \psi \right) =\nabla \left( \phi \psi \right) \\ \Rightarrow grad\left( \phi \psi \right) =\left( \hat { i } \frac { \partial }{ \partial x } +\hat { j } \frac { \partial }{ \partial y } +\hat { k } \frac { \partial }{ \partial z } \right) \left( \phi \psi \right) \\ =\hat { i } \frac { \partial }{ \partial x } \left( \phi \psi \right) +\hat { j } \frac { \partial }{ \partial y } \left( \phi \psi \right) +\hat { k } \frac { \partial }{ \partial z } \left( \phi \psi \right) \\ =\phi \left( \hat { i } \frac { \partial \psi }{ \partial x } +\hat { j } \frac { \partial \psi }{ \partial y } +\hat { k } \frac { \partial \psi }{ \partial z } \right) +\psi \left( \hat { i } \frac { \partial \phi }{ \partial x } +\hat { j } \frac { \partial \phi }{ \partial y } +\hat { k } \frac { \partial \phi }{ \partial z } \right) \\ =\phi \nabla \psi +\psi \nabla \phi \\ =\phi \left( grad\psi \right) +\psi \left( grad\phi \right)

प्रमेय (Theorem)-3.यदि \phi तथा \psi दो अदिश बिन्दु फलन हैं, तो सिद्ध कीजिए कि
(If \phi and \psi two scalar point functions,then prove that)

\nabla \left( \frac { \phi }{ \psi } \right) =\frac { \psi \nabla \phi -\phi \nabla \psi }{ { \psi }^{ 2 } } ,\psi \neq 0
या (Or)

grad\left( \frac { \phi }{ \psi } \right) =\frac { \psi \quad grad\phi -\phi \quad grad\psi }{ { \psi }^{ 2 } }
प्रमाण (Proof):\nabla \left( \frac { \phi }{ \psi } \right) =\left( \hat { i } \frac { \partial }{ \partial x } +\hat { j } \frac { \partial }{ \partial y } +\hat { k } \frac { \partial }{ \partial z } \right) \left( \frac { \phi }{ \psi } \right) \\ =\hat { i } \frac { \partial }{ \partial x } \left( \frac { \phi }{ \psi } \right) +\hat { j } \frac { \partial }{ \partial y } \left( \frac { \phi }{ \psi } \right) +\hat { k } \frac { \partial }{ \partial z } \left( \frac { \phi }{ \psi } \right)
परन्तु \frac { \partial }{ \partial x } \left( \frac { \phi }{ \psi } \right) =\frac { \psi \frac { \partial \phi }{ \partial x } -\phi \frac { \partial \psi }{ \partial x } }{ { \psi }^{ 2 } } \\ \therefore \nabla \left( \frac { \phi }{ \psi } \right) =\frac { 1 }{ { \psi }^{ 2 } } \left\{ \hat { i } \left( \psi \frac { \partial \phi }{ \partial x } -\phi \frac { \partial \psi }{ \partial x } \right) +\hat { j } \left( \psi \frac { \partial \phi }{ \partial y } -\phi \frac { \partial \psi }{ \partial y } \right) +\hat { k } \left( \psi \frac { \partial \phi }{ \partial z } -\phi \frac { \partial \psi }{ \partial z } \right) \right\} \\ =\frac { 1 }{ { \psi }^{ 2 } } \left\{ \psi \left( \hat { i } \frac { \partial \phi }{ \partial x } +\hat { j } \frac { \partial \phi }{ \partial y } +\frac { \partial \phi }{ \partial z } \hat { k } \right) -\phi \left( \hat { i } \frac { \partial \psi }{ \partial x } +\hat { j } \frac { \partial \psi }{ \partial y } +\frac { \partial \psi }{ \partial z } \hat { k } \right) \right\} \\ =\frac { \psi \nabla \phi -\phi \nabla \psi }{ { \psi }^{ 2 } }

4.सदिश अवकल संकारक से सम्बन्धित सवाल (Question related to vector differential operators)-

निम्नलिखित सवालों के हल द्वारा सदिश अवकल संकारक(differential operator) को ठीक प्रकार से समझा जा सकता है-
Question-1.यदि (If)f\left( x,y,z \right) ={ x }^{ 3 }-{ y }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }z बिन्दु (1,-1,2) पर\triangledown f ज्ञात कीजिए।
[Find \triangledown f at the point (1,-1,2)]
Solution-f\left( x,y,z \right) ={ x }^{ 3 }-{ y }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }z\\ \triangledown f=i\frac { \partial f }{ \partial x } +j\frac { \partial f }{ \partial y } +k\frac { \partial f }{ \partial z } \\ =i\left( { 3x }^{ 2 }+2xz \right) +j\left( -3{ y }^{ 2 } \right) +k\left( { x }^{ 2 } \right) \\ { \triangledown f }_{ \left( 1,-1,2 \right) }=i\left[ 3{ \left( 1 \right) }^{ 2 }+2\left( 1 \right) \left( 2 \right) \right] +j\left[ -3{ \left( -1 \right) }^{ 2 } \right] +k{ \left( 1 \right) }^{ 2 }\\ =7i-3j+k

उपर्युक्त उदाहरण के हल द्वारा सदिश अवकल संकारक (vector differential operators) को समझा जा सकता है।

Question-2.यदि (If)\phi \left( x,y \right) =\log { \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } } ,सिद्ध कीजिए (prove that)

grad\phi =\frac { r-\left( \hat { k } .r \right) \hat { k } }{ \left\{ r-\left( \hat { k } .r \right) \hat { k } \right\} \left\{ r-\left( \hat { k } .r \right) \hat { k } \right\} }
Solution-grad\phi =\frac { r-\left( \hat { k } .r \right) \hat { k } }{ \left\{ r-\left( \hat { k } .r \right) \hat { k } \right\} \left\{ r-\left( \hat { k } .r \right) \hat { k } \right\} }

R.H.S\frac { r-\left( \hat { k } .r \right) \hat { k } }{ \left\{ r-\left( \hat { k } .r \right) \hat { k } \right\} \left\{ r-\left( \hat { k } .r \right) \hat { k } \right\} } \\ \left[ \because r=x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \right] \\ =\frac { \left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \right) -\left\{ \hat { k } .\left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \right) \right\} \hat { k } }{ \left[ \left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \right) -\left\{ \hat { k } .\left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \right) \right\} \hat { k } \right] \left[ \left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \right) -\left\{ \hat { k } .\left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \right) \right\} \hat { k } \right] } \\ =\frac { x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } -z\hat { k } }{ \left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } -z\hat { k } \right) \left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } -z\hat { k } \right) } \\ =\frac { x\hat { i } +y\hat { j } }{ \left( x\hat { i } +y\hat { j } \right) \left( x\hat { i } +y\hat { j } \right) } \\ =\frac { x\hat { i } +y\hat { j } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \\ =\frac { x }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \hat { i } +\frac { y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \hat { j } \\ =\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \hat { i } +\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 2y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \hat { j } +\hat { k } \frac { \partial }{ \partial z } \left( 0 \right) \\ =\hat { i } \frac { \partial }{ \partial z } \left\{ \frac { 1 }{ 2 } \log { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) } \right\} +\hat { j } \frac { \partial }{ \partial z } \left\{ \frac { 1 }{ 2 } \log { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) } \right\} +\hat { k } \frac { \partial }{ \partial z } \left\{ \frac { 1 }{ 2 } \log { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) } \right\} \\ =grad\left\{ \frac { 1 }{ 2 } \log { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) } \right\} \\ =grad\left\{ \log { \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } } \right\} \\ =grad\phi
उपर्युक्त उदाहरण के हल द्वारा सदिश अवकल संकारक (vector differential operators) को समझा जा सकता है।
Question-3.यदि (If) F=\left( y\frac { \partial f }{ \partial z } -z\frac { \partial f }{ \partial y } \right) \hat { i } +\left( z\frac { \partial f }{ \partial x } -x\frac { \partial f }{ \partial z } \right) \hat { j } +\left( x\frac { \partial f }{ \partial y } -y\frac { \partial f }{ \partial x } \right) \hat { k } और (and)r=x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k }
प्रदर्शित करो (Show that)

(i)F.\nabla f=0  (ii)F=r\times \nabla f

(iii)F.r=0
Solution-(i)F.\nabla f=0

R.H.S F.\nabla f=\left[ \left( y\frac { \partial f }{ \partial z } -z\frac { \partial f }{ \partial y } \right) \hat { i } +\left( z\frac { \partial f }{ \partial x } -x\frac { \partial f }{ \partial z } \right) \hat { j } +\left( x\frac { \partial f }{ \partial y } -y\frac { \partial f }{ \partial x } \right) \hat { k } \right] .\left( \hat { i\frac { \partial f }{ \partial x } } +\hat { j } \frac { \partial f }{ \partial y } +\hat { k } \frac { \partial f }{ \partial z } \right) \\ =\left( y\frac { \partial f }{ \partial z } -z\frac { \partial f }{ \partial y } \right) \frac { \partial f }{ \partial x } +\left( z\frac { \partial f }{ \partial x } -x\frac { \partial f }{ \partial z } \right) \frac { \partial f }{ \partial y } +\left( x\frac { \partial f }{ \partial y } -y\frac { \partial f }{ \partial x } \right) \frac { \partial f }{ \partial z } \\ =y\frac { \partial f }{ \partial z } .\frac { \partial f }{ \partial x } -z\frac { \partial f }{ \partial y } .\frac { \partial f }{ \partial x } +z\frac { \partial f }{ \partial x } .\frac { \partial f }{ \partial y } -x\frac { \partial f }{ \partial z } .\frac { \partial f }{ \partial y } +x\frac { \partial f }{ \partial y } .\frac { \partial f }{ \partial z } -y\frac { \partial f }{ \partial x } .\frac { \partial f }{ \partial z } \\ F.\nabla f=0=R.H.S

(ii)F=r\times \nabla f

R.H.S r\times \nabla f=\left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \right) \times \left( \hat { i } \frac { \partial f }{ \partial x } +\hat { j } \frac { \partial f }{ \partial y } +\hat { k } \frac { \partial f }{ \partial z } \right) \\ =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ x & y & z \\ \frac { \partial f }{ \partial x } & \frac { \partial f }{ \partial y } & \frac { \partial f }{ \partial z } \end{matrix} \right| \\ =\left( y\frac { \partial f }{ \partial z } -z\frac { \partial f }{ \partial y } \right) \hat { i } +\left( z\frac { \partial f }{ \partial x } -x\frac { \partial f }{ \partial z } \right) \hat { j } +\left( x\frac { \partial f }{ \partial y } -y\frac { \partial f }{ \partial x } \right) \hat { k } \\ =F=L.H.S

(iii)F.r=0

L.H.S F.r\\ =\left[ \left( y\frac { \partial f }{ \partial z } -z\frac { \partial f }{ \partial y } \right) \hat { i } +\left( z\frac { \partial f }{ \partial x } -x\frac { \partial f }{ \partial z } \right) \hat { j } +\left( x\frac { \partial f }{ \partial y } -y\frac { \partial f }{ \partial x } \right) \hat { k } \right] .\left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \right) \\ =\left( y\frac { \partial f }{ \partial z } -z\frac { \partial f }{ \partial y } \right) x+\left( z\frac { \partial f }{ \partial x } -x\frac { \partial f }{ \partial z } \right) y+\left( x\frac { \partial f }{ \partial y } -y\frac { \partial f }{ \partial x } \right) z\\ =xy\frac { \partial f }{ \partial z } -xz\frac { \partial f }{ \partial y } +yz\frac { \partial f }{ \partial x } -xy\frac { \partial f }{ \partial z } +xz\frac { \partial f }{ \partial y } -yz\frac { \partial f }{ \partial x } \\ =0=R.H.S

उपर्युक्त उदाहरण के हल द्वारा सदिश अवकल संकारक (vector differential operators) को समझा जा सकता है।

Question-4.grad\left( a.r \right) =a
Solution-grad\left( a.r \right) =a

L.H.S. grad\left( a.r \right) \\ =grad\left[ \left( { a }_{ 1 }\hat { i } +{ a }_{ 2 }\hat { j } +{ a }_{ 3 }\hat { k } \right) .\left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \right) \right] \\ =grad\left[ { a }_{ 1 }x+{ a }_{ 2 }y+{ a }_{ 3 }z \right] \\ =\left( \hat { i\frac { \partial  }{ \partial x } } +\hat { j } \frac { \partial }{ \partial y } +\hat { k } \frac { \partial  }{ \partial z } \right) \left( { a }_{ 1 }x+{ a }_{ 2 }y+{ a }_{ 3 }z \right) \\ ={ a }_{ 1 }\hat { i } +{ a }_{ 2 }\hat { j } +{ a }_{ 3 }\hat { k } \\ =a=R.H.S
इस प्रकार उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा सदिश अवकल संकारक (vector differential operators) को समझा जा सकता है।

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