1.स्टोक्स प्रमेय को कैसे हल करते हैं? (How to solve stokes theorem?)-

How to solve stokes theorem?

• स्टोक्स प्रमेय  को कैसे हल करते हैं? (How to solve stokes theorem?) ,इसके लिए हमें स्टोक्स प्रमेय के कथन (stokes theorem statement) व उपपत्ति को समझना चाहिए। इससे पूर्व हमने गाॅस अपसरण प्रमेय का सत्यापन,गाॅस अपसरण प्रमेय का कार्तीय रूप और गाॅस अपसरण प्रमेय पर आधारित सवालों को हल किया था। इसलिए इस आर्टिकल को पढ़ने से पूर्व उस आर्टिकल को पढ़ना चाहिए।
  
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2.स्टोक्स प्रमेय का कथन क्या है?,स्टोक्स प्रमेय का कथन (what is the statement of stokes theorem?,stoke Theorem statement)-

किसी बन्द वक्र (संवृत्त) वक्र C पर सदिश फलन F का रेखा समाकल परिसीमा वक्र C से घिरे पृष्ठ पर curl F का पृष्ठ समाकल के बराबर होता है।
या
यदि F कोई सतत अवकलनीय सदिश फलन है तथा वक्र C से बन्द पृष्ठ S हो तब

\int _{ c }^{ \quad }{ Fdx } =\int { \int _{ s }^{ \quad }{ \hat { n } .curlFds } }
जहां पृष्ठ S के किसी भी बिन्दु पर \hat { n } एकक अभिलम्ब सदिश है जिसे दक्षिणावर्ती अभिविन्यास में लिया गया है अर्थात् \hat { n },वक्र की रचना के अनुसार घुमाने पर v उस दिशा की ओर दिक्सूचक होता है जिसमें दक्षिणावर्ती पेच घूमता है।

3.स्टोक्स प्रमेय को हल कैसे करते हैं,स्टोक्स प्रमेय की उपपत्ति (How to solve stokes theorem?,stoke Theorem proof)-

समतल पृष्ठ (xy-तल ) पृष्ठ के लिए कार्तीय रूप (Cartesian form for a plane surface xy-plane)-
माना कि पृष्ठ का तल xy-तल है जिसका अभिलम्ब z-अक्ष है।

\int _{ c }^{ \quad }{ Fdr } =\int _{ c }^{ \quad }{ \left( { F }_{ 1 }\hat { i } +{ F }_{ 2 }\hat { j } +{ F }_{ 3 }\hat { k } \right) } .\left( dx\hat { i } +dy\hat { j } +dz\hat { k } \right) \\ =\int _{ c }^{ \quad }{ \left( { F }_{ 1 }dx+{ F }_{ 2 }dy \right) } [\because \hat { n } =k तथाdz=0]
पुनःcurlF=\left| \begin{matrix} i & j & k \\ \frac { \partial }{ \partial x } & \frac { \partial }{ \partial y } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { F }_{ 1 } & { F }_{ 2 } & { F }_{ 3 } \end{matrix} \right| \\ =\left( \frac { \partial { F }_{ 3 } }{ \partial y } -\frac { \partial { F }_{ 2 } }{ \partial z } \right) \hat { i } +\left( \frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial z } -\frac { \partial { F }_{ 3 } }{ \partial x } \right) \hat { j } +\left( \frac { \partial { F }_{ 2 } }{ \partial x } -\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial y } \right) \hat { k } \\ curlF.\hat { n } =\left( \frac { \partial { F }_{ 2 } }{ \partial x } -\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial y } \right) \hat { k } .\hat { k } =\left( \frac { \partial { F }_{ 2 } }{ \partial x } -\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial y } \right) [\because \hat { n } =k]
तथा ds=dxdy
अतः\int _{ s }^{ \quad }{ curlF.\hat { n } ds } =\int { \int _{ s }^{ \quad }{ \left( \frac { \partial { F }_{ 2 } }{ \partial x } -\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial y } \right) dxdy } }
उपपत्ति (proof):स्थिति I
समतल पृष्ठों (सतह) के लिए माना कि पृष्ठ xy-तल में है।अब क्षेत्र S को उपक्षेत्रों { s }_{ i }में इस प्रकार विभाजित किया कि किसी भी निर्देशांक अक्ष के समान्तर कोई भी रेखा सीमक वक्र{ c }_{ i } को अधिक से अधिक दो बिन्दुओं पर काटे।माना कि वक्र{ c }_{ i } रेखा x=a तथा y=b के बीच में है।
माना कि कोई भी रेखा y-अक्ष के समान्तर वक्र { c }_{ i } को P तथा Q बिन्दुओं पर काटती है जहां ‌P तथा Q के निर्देशांक क्रमशः y=\phi \left( x \right) तथा y=\psi \left( x \right) जबकि\psi \left( x \right) \ge \phi \left( x \right) ।इस प्रकार वक्र{ c }_{ i } की सीमा दो { c }_{ 1 }चाप { c }_{ 2 }तथा में विभाजित हो जाती है।

How to solve stokes theorem?

अब\int { \int _{ { s }_{ i } }^{ \quad }{ \frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial y } } } dxdy=\int _{ a }^{ b }{ \int _{ y=\phi \left( x \right) }^{ y=\psi \left( x \right) }{ \left[ \frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial y } dy \right] } dx } \\ =\int _{ a }^{ b }{ { \left[ { F }_{ 1 }\left( { x }_{ i },y \right) \right] }_{ y=\phi \left( x \right) }^{ y=\psi \left( x \right) } } dx\\ =\int _{ a }^{ b }{ \left[ { F }_{ 1 }\left( { x },\psi \left( x \right) \right) -{ F }_{ 1 }\left( { x },\phi \left( x \right) \right) \right] } dx\\ =\int _{ a }^{ b }{ { F }_{ 1 }\left( { x },\psi \left( x \right) \right) } dx-\int _{ a }^{ b }{ { F }_{ 1 }\left( { x },\phi \left( x \right) \right) } dx\\ =-\int _{ a }^{ b }{ { F }_{ 1 }\left( { x },\psi \left( x \right) \right) } dx-\int _{ a }^{ b }{ { F }_{ 1 }\left( { x },\phi \left( x \right) \right) } dx\\ =-\int _{ { c }_{ 2 } }^{ \quad }{ { F }_{ 1 }\left( { x },y \right) dx } -\int _{ { c }_{ 2 } }^{ \quad }{ { F }_{ 1 }\left( { x },y \right) dx } \\ =-\int _{ { c }_{ i } }^{ \quad }{ { F }_{ 1 }\left( { x },y \right) dx } ...(1)

इसी प्रकार यह प्रदर्शित किया जा सकता है

\int { \int _{ { s }_{ i } }^{ \quad }{ \frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial y } } } dxdy=\int _{ { c }_{ i } }^{ \quad }{ { F }_{ 2 }\left( { x },y \right) dy } ....(2)
अतः (1)‌ व (2) से

\int _{ { c }_{ i } }^{ \quad }{ \left( { F }_{ 1 }dx+{ F }_{ 2 }dy \right) } =\int { \int _{ { s }_{ i } }^{ \quad }{ \left( \frac { \partial { F }_{ 2 } }{ \partial x } -\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial y } \right) dxdy } } ...(3)
अब इस प्रमेय को प्रत्येक उपक्षेत्र में प्रयोग में लेने पर तथा संगत फलनों का योग करने पर-

\int _{ c }^{ \quad }{ \left( { F }_{ 1 }dx+{ F }_{ 2 }dy \right) } =\int { \int _{ s }^{ \quad }{ \left( \frac { \partial { F }_{ 2 } }{ \partial x } -\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial y } \right) dxdy } }
अर्थात्

\int _{ c }^{ \quad }{ F.dr } =\int _{ s }^{ \quad }{ curlF.\hat { n } ds }
यह परिणाम समतल पर ग्रीन प्रमेय भी कहलाता है।
स्थिति II
आकाश में सतह (या पृष्ठों) के लिए (For surface in space):
माना कि समाकल्य की सतह S है तथा समाकल्य का समीकरण r=f(u,v) है जहां u-अक्ष तथा v-अक्ष कार्तीय समकोणीय अक्ष हैं।
तब\int { \int _{ s }^{ \quad }{ curlF.\hat { n } ds } } =\int { \int _{ s }^{ \quad }{ \left( \frac { \partial { F }_{ 3 } }{ \partial y } -\frac { \partial { F }_{ 2 } }{ \partial z } \right) dydz } } \\ +\int { \int _{ s }^{ \quad }{ \left( \frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial z } -\frac { \partial { F }_{ 3 } }{ \partial x } \right) dxdz } } +\int { \int _{ s }^{ \quad }{ \left( \frac { \partial { F }_{ 2 } }{ \partial x } -\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial y } \right) dxdy } } \\ =\int { \int _{ D }^{ \quad }{ \left( \frac { \partial { F }_{ 3 } }{ \partial y } -\frac { \partial { F }_{ 2 } }{ \partial z } \right) } } \frac { \partial \left( y,z \right) }{ \partial \left( u,v \right) } +\left( \frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial z } -\frac { \partial { F }_{ 3 } }{ \partial x } \right) \frac { \partial \left( z,x \right) }{ \partial \left( u,v \right) } \\ +\left( \frac { \partial { F }_{ 2 } }{ \partial x } -\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial y } \right) \frac { \partial \left( x,y \right) }{ \partial \left( u,v \right) } ]dudv....(1)
जबकि सतह S किसी क्षेत्र D का uv-तल में प्रतिबिम्ब इस प्रकार है कि प्रत्येक बिन्दु (u,v) के लिए संगत एक ओर केवल एक ही S का बिन्दु है।
(1) से समाकल्य का पद जिसमें { F }_{ 1 } है,यह निम्न है।

\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial z } \frac { \partial \left( z,x \right) }{ \partial \left( u,v \right) } -\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial y } \frac { \partial \left( x,y \right) }{ \partial \left( u,v \right) } =\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial z } \frac { \partial \left( x,z \right) }{ \partial \left( u,v \right) } -\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial y } \frac { \partial \left( x,y \right) }{ \partial \left( u,v \right) } -\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial x } \frac { \partial \left( x,y \right) }{ \partial \left( u,v \right) } \\ =-\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial z } \left[ \frac { \partial x }{ \partial u } .\frac { \partial z }{ \partial v } -\frac { \partial x }{ \partial v } .\frac { \partial z }{ \partial u } \right] -\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial y } \left[ \frac { \partial x }{ \partial u } .\frac { \partial y }{ \partial v } -\frac { \partial x }{ \partial v } .\frac { \partial y }{ \partial u } \right] \\ -\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial x } \left[ \frac { \partial x }{ \partial u } .\frac { \partial x }{ \partial v } -\frac { \partial x }{ \partial v } .\frac { \partial x }{ \partial u } \right] \\ =-\frac { \partial x }{ \partial u } \left[ \frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial z } .\frac { \partial z }{ \partial v } +\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial y } .\frac { \partial y }{ \partial v } +\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial x } .\frac { \partial x }{ \partial v } \right] \\ +\frac { \partial x }{ \partial v } \left[ \frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial x } .\frac { \partial x }{ \partial u } +\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial y } .\frac { \partial y }{ \partial u } +\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial z } .\frac { \partial z }{ \partial u } \right] \\ =-\frac { \partial x }{ \partial u } .\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial v } +\frac { \partial x }{ \partial v } .\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial u } +\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial u } .\frac { \partial x }{ \partial v } -\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial v } .\frac { \partial x }{ \partial u }
उपर्युक्त प्रकार वह पद जिसमें क्रमशः { F }_{ 2 } तथा { F }_{ 3 } है,वह निम्न है

\frac { \partial { F }_{ 2 } }{ \partial u } .\frac { \partial y }{ \partial v } -\frac { \partial { F }_{ 2 } }{ \partial v } .\frac { \partial y }{ \partial u }

तथा \frac { \partial { F }_{ 3 } }{ \partial u } .\frac { \partial z }{ \partial v } -\frac { \partial { F }_{ 3 } }{ \partial v } .\frac { \partial z }{ \partial u }

अतः(1) के R.H.S. से 

\int { \int _{ D }^{ \quad }{ \left[ \begin{matrix} \left( \frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial u } .\frac { \partial x }{ \partial v } -\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial v } .\frac { \partial x }{ \partial u } \right) +\left( \frac { \partial { F }_{ 2 } }{ \partial u } .\frac { \partial y }{ \partial v } -\frac { \partial { F }_{ 2 } }{ \partial v } .\frac { \partial y }{ \partial u } \right) \\ +\left( \frac { \partial { F }_{ 3 } }{ \partial u } .\frac { \partial z }{ \partial v } -\frac { \partial { F }_{ 3 } }{ \partial v } .\frac { \partial z }{ \partial u } \right) \end{matrix} \right] } dudv }
समतल में स्टोक प्रमेय से,द्वि-समाकलन का प्रथम भाग

\int { \int _{ D }^{ \quad }{ \left[ \left( \frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial u } .\frac { \partial x }{ \partial v } -\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial v } .\frac { \partial x }{ \partial u } \right) \right] } dudv } =\int _{ { c }_{ i } }^{ \quad }{ \left( { F }_{ 1 }\frac { \partial x }{ \partial u } .du+{ F }_{ 1 }\frac { \partial x }{ \partial v } .dv \right) } =\int _{ { c }_{ i } }^{ \quad }{ { F }_{ 1 }dx }
उपर्युक्त प्रकार से द्वि-समाकलन का दूसरा तथा तीसरा भाग निम्न है
अतः\int _{ { c }_{ i } }^{ \quad }{ curlF.\hat { n } ds } =\int _{ { c }_{ i } }^{ \quad }{ \left( { F }_{ 1 }dx+{ F }_{ 2 }dy+{ F }_{ 3 }dz \right) } \\ =\int _{ { c }_{ i } }^{ \quad }{ F.dr }
अब इस प्रमेय को प्रत्येक उपखण्ड में प्रयोग करने पर तथा संगत फलनों को जोड़ने पर-

\int _{ s }^{ \quad }{ curlF.\hat { n } ds } =\int _{ { c } }^{ \quad }{ F.dr }

यह stokes theorem formula है।

उपर्युक्त द्वारा (How to solve stokes theorem?)स्टोक्स प्रमेय को भली भांति समझा जा सकता है।

4.स्टोक्स प्रमेय को कैसे हल करते हैं? (How to solve stokes theorem?) पर आधारित उदाहरण,स्टोक्स प्रमेय उदाहरण (stoke Theorem example)-

How to solve stokes theorem?

निम्न उदाहरण द्वारा (How to solve stokes theorem?)स्टोक्स प्रमेय को भली भांति समझा जा सकता है:-

Example-1.स्टोक की प्रमेय द्वारा निम्न का मान ज्ञात कीजिए
(Evaluate by stoke's Theorem)

\int _{ { c } }^{ \quad }{ \left( xydx+x{ y }^{ 2 }dy \right) }

Solution-F=xy\hat { i } +x{ y }^{ 2 }\hat { j } \\ curlF=i\times \frac { \partial F }{ \partial x } +j\times \frac { \partial F }{ \partial y } +k\times \frac { \partial F }{ \partial z } \\ =k\left( { y }^{ 2 }-x \right) \\ curlF.\hat { n } =\left( { y }^{ 2 }-x \right) \hat { k } .\hat { k } ={ y }^{ 2 }-x
तथा ds=\frac { dxdy }{ nk } =dxdy\\ \int _{ \quad }^{ \quad }{ F.dr } =\int _{ \quad }^{ \quad }{ curlF.\hat { n } ds } \\ =\int _{ -1 }^{ 1 }{ \int _{ -1 }^{ 1 }{ \left( { y }^{ 2 }-x \right) dxdy } } \\ =\int _{ -1 }^{ 1 }{ \left( \frac { { y }^{ 3 } }{ 3 } -xy \right) dx } \\ =\int _{ -1 }^{ 1 }{ 2\left( \frac { 1 }{ 3 } -x \right) dx } \\ =2{ \left[ \frac { x }{ 3 } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] }_{ -1 }^{ 1 }\\ =2\left( \frac { 2 }{ 3 } -0 \right) =\frac { 4 }{ 3 }

इस प्रकार उपर्युक्त उदाहरण द्वारा (How to solve stokes theorem?)स्टोक्स प्रमेय को भली भांति समझा जा सकता है।

Example-2.स्टोक प्रमेय द्वारा निम्न का मान ज्ञात कीजिए:
(Evaluate by stoke's Theorem)

\int _{ { c } }^{ \quad }{ \left( { e }^{ x }dx+2ydy-dz \right) }
जहां वक्र C (where C is the curve) { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=4,z=2है।
Solution-F={ e }^{ x }\hat { i } +2y\hat { j } -\hat { k } \\ curlF=i\times \frac { \partial F }{ \partial x } +j\times \frac { \partial F }{ \partial y } +k\times \frac { \partial F }{ \partial z } \\ =\hat { i } \times \left( { e }^{ x }\hat { i } \right) +\hat { j } \times 2\hat { j } -\hat { k } \times 0\\ =0\\ r=x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k }
स्टोक प्रमेय से \int _{ \quad }^{ \quad }{ F.dr } =\int _{ \quad }^{ \quad }{ curlF.\hat { n } ds } =0

इस प्रकार उपर्युक्त उदाहरण द्वारा (How to solve stokes theorem?)स्टोक्स प्रमेय को भली भांति समझा जा सकता है।

Example-3.स्टोक प्रमेय को सत्यापित कीजिए जबकि

F=\left( 2x-y \right) \hat { i } -y{ z }^{ 2 }\hat { j } -{ y }^{ 2 }z\hat { k }
तथा पृष्ठ S गोले { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }=1 का xy-तल के ऊपर का भाग है व C इसकी सीमा है।
(Verify stoke's Theorem when)

F=\left( 2x-y \right) \hat { i } -y{ z }^{ 2 }\hat { j } -{ y }^{ 2 }z\hat { k }
(and surface S is the upper half surface of the sphere{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }=1 and C is its boundary)
Solution-\int _{ { c } }^{ \quad }{ F.dr } =\int _{ \quad }^{ \quad }{ \left( { F }_{ 1 }dx+{ F }_{ 2 }dy+{ F }_{ 3 }dz \right) } \\ =\int { \left( 2x-y \right) dx-y{ z }^{ 2 }dy-{ y }^{ 2 }zdz }

put z=0

=\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \left( 2x-y \right) \frac { dx }{ dt } .dt } \\ =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \left( 2cost-sint \right) \left( -sint \right) .dt } \\ =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \left( 2cost.sint-\sin ^{ 2 }{ t } \right) dt } \\ ={ \left[ \cos ^{ 2 }{ t } \right] }_{ 0 }^{ 2\pi }+4\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ sintdt } \\ =0+4.\frac { 1 }{ 2 } .\frac { \pi }{ 2 } =\pi
पुनःcurlF=\left| \begin{matrix} i & j & k \\ \frac { \partial }{ \partial x } & \frac { \partial }{ \partial y } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ 2x-y & -y{ z }^{ 2 } & -{ y }^{ 2 }z \end{matrix} \right| \\ =\hat { i } \left( -2yz+2yz \right) -\hat { j } \left( 0-0 \right) -\hat { k } \left( 0+1 \right) =\hat { k } \\ curlF.\hat { n } =\hat { k } .\hat { n } =\hat { n } .\hat { k } \\ \int _{ s }^{ \quad }{ curlF.\hat { n } ds } =\int _{ s }^{ \quad }{ \hat { n } .\hat { k } ds } =\int { \int _{ R }^{ \quad }{ n.k\frac { dxdy }{ n.k } } }
जहां R ,xy-समतल में S पर प्रक्षेप है

\int _{ x=-1 }^{ 1 }{ \int _{ y=-\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } }^{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } }{ dxdy } } =4\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ 0 }^{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } }{ dxdy } } \\ =4\int _{ 0 }^{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } }{ dx } \\ =4{ \left[ \frac { x }{ 2 } \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } \sin ^{ -1 }{ x } \right] }_{ 0 }^{ 1 }\\ =4\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) .\frac { \pi }{ 2 } =\pi \\ \int _{ s }^{ \quad }{ curlF.\hat { n } ds } =\int _{ c }^{ \quad }{ F.dr }

इस प्रकार उपर्युक्त उदाहरण द्वारा (How to solve stokes theorem?)स्टोक्स प्रमेय को भली भांति समझा जा सकता है।
Example-4.स्टोक प्रमेय को सत्यापित कीजिए जबकि

F=y\hat { i } +z\hat { j } +x\hat { k }
तथा पृष्ठ S गोले { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }=1 का xy-तल के ऊपर का भाग है तथा C इसकी सीमा है।
(Verify stoke's Theorem when)

F=y\hat { i } +z\hat { j } +x\hat { k }
(and surface S is the part of the square { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }=1  above the xy-plane and C is the boundary)

Solution:-\int _{ c }^{ \quad }{ F.dr } =\int _{ s }^{ \quad }{ curls.\hat { n } ds } =\int _{ s }^{ \quad }{ A.\hat { n } ds } \\ \int _{ { c } }^{ \quad }{ F.dr } =\int _{ c\quad }^{ \quad }{ \left( { F }_{ 1 }dx+{ F }_{ 2 }dy+{ F }_{ 3 }dz \right) } \\ =\int _{ c }^{ \quad }{ \left( ydx+zdy+xdz \right) }
C,{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=1 वृत्त है xy-समतल में
\therefore z=0 तथा dz=0

\int _{ { c } }^{ \quad }{ F.dr } =\int { ydx } =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ y\frac { dx }{ dt } .dt }

जहाँ x=cost,y=sint\quad \therefore \frac { dx }{ dt } =-sint\\ \int _{ { c } }^{ \quad }{ F.dr } =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \left( sint \right) \left( -sint \right) .dt } \\ =-4\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \left( \sin ^{ 2 }{ t } \right) dt } \\ =-4.\frac { 1 }{ 2 } .\frac { \pi }{ 2 } =-\pi
पुनःA=curlF=\left| \begin{matrix} i & j & k \\ \frac { \partial }{ \partial x } & \frac { \partial }{ \partial y } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ y & { z } & x \end{matrix} \right| =-i-j-k\\ grad\phi =\sum { i } \frac { \partial \phi }{ \partial x } =2x\hat { i } +2y\hat { j } +2z\hat { k }
\hat { n } =एकांक अभिलम्ब सदिश=\frac { grad\phi }{ \left| grad\phi \right| } \\ \hat { n } =\frac { 2x\hat { i } +2y\hat { j } +2z\hat { k } }{ \sqrt { \left( 4{ x }^{ 2 }+4{ y }^{ 2 }+4{ z }^{ 2 } \right) } } \\ =x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \\ A.\hat { n } =\left( -\hat { i } -\hat { j } -\hat { k } \right) \left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \right) \\ =-\left( x+y+z \right) \\ curlF.\hat { n } =A.\hat { n } =-\left( x+y+z \right)
गोलीय ध्रुवीय निर्देशांक में 

x=r\sin { \theta } \cos { \phi } \\ y=r\sin { \theta } \sin { \phi } \\ z=r\cos { \theta } \\ r=1\\ \therefore x=\sin { \theta } \cos { \phi } \\ y=\sin { \theta } \sin { \phi } \\ z=\cos { \theta } \\ ds=\sin { \theta } d\theta d\phi \\ curlF.\hat { n } ds=-\int _{ \theta =0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \int _{ \phi =0 }^{ 2\pi }{ \left( \sin { \theta } \cos { \phi } +\sin { \theta } \sin { \phi } +\cos { \theta } \right) } } \sin { \theta } d\theta d\phi \\ =0-\int { sin\theta cos\theta d\theta { \left[ \phi \right] }_{ 0 }^{ 2\pi } } \\ =-2\pi { \left[ \frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } }{ 2 } \right] }_{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }\\ =-\pi \\ \therefore \int _{ s }^{ \quad }{ curlF.\hat { n } ds } =\int _{ c }^{ \quad }{ F.dr }
इस प्रकार उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा स्टोक्स प्रमेय को कैसे हल करते हैं? (How to solve stokes theorem?) को भली भांति समझा जा सकता है।

5.आप स्टोक्स प्रमेय का उपयोग कब कर सकते हैं?(When can you use Stokes Theorem?)-

• इसके विपरीत, यदि आप एक दो आयामी क्षेत्र को एक बंद वक्र से घिरा हुआ देखते हैं, या यदि आप एक एकल समाकल (वास्तव में एक लाइन समाकल) देखते हैं, तो यह स्टोक्स का प्रमेय होना चाहिए जो आप चाहते हैं।

6.स्टोक्स प्रमेय का महत्व क्या है? (What is the importance of Stokes theorem?)-

How to solve stokes theorem?

• स्टोक की प्रमेय सतह से संबंधित एक सतह पर एक सीमा से रेखीय समाकल के साथ समाकल रूप से संबंधित है। वास्तव में, स्टोक्स 'प्रमेय कर्ल की भौतिक व्याख्या में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।
  (Stoke's Theorem relates a surface integral over a surface to a line integral along the boundary curve. In fact, Stokes' Theorem provides insight into a physical interpretation of the curl.)

7.स्टोक्स प्रमेय के अनुप्रयोग (stokes theorem application)-

• स्टोक्स की प्रमेय का उपयोग वेक्टर इंटीग्रल के माध्यम से सतह इंटीग्रल को लाइन इंटीग्रल में बदलने के लिए किया जा सकता है। यह केवल तभी काम करता है जब आप मूल वेक्टर फ़ील्ड को किसी अन्य वेक्टर फ़ील्ड के कर्ल के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। सतह के स्वयं के उन्मुखीकरण के साथ सतह की सीमा रेखाओं के उन्मुखीकरण को सुनिश्चित करें।

8.स्टोक्स के सिद्धांत की व्याख्या (stokes theorem explained)-

How to solve stokes theorem?

• स्टोक की प्रमेय में कहा गया है कि "किसी बंद सतह से बंधी सतह पर किसी फ़ंक्शन के कर्ल की सतह की सतह उस सतह के आसपास विशेष वेक्टर फ़ंक्शन के लाइन इंटीग्रल के बराबर होती है।"
• इस तरह (How to solve stokes theorem?)स्टोक्स प्रमेय को भली भांति समझा |

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