Triple Integral

त्रि-समाकल का परिचय (Introduction to Triple Integral):

Triple Integral

• त्रि-समाकल (Triple Integral):इसके द्वारा आयतन का मान आसानी से ज्ञात किया जा सकता है।आयतन त्रिविम समष्टि का क्षेत्र होता है इसलिए इसमें तीन बार समाकलन करके आयतन का मान ज्ञात किया जाता है।नीचे त्रि-समाकल का अर्थ बताया गया है।
  
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त्रि-समाकल (Triple Integral):

Triple Integral

• त्रि-समाकल का अर्थ (Meaning of a Triple Integral)
  माना कि त्रिविम समष्टि (Three Dimensional space) में V कोई क्षेत्र है।मानलो फलन f(x,y,z) क्षेत्र V के प्रत्येक बिन्दु पर परिभाषित है।क्षेत्र V को n प्रारम्भिक आयतनों (elementary volumes) \delta{V_{1}},\delta{V_{2}},....,\delta{V_{n}} में विभाजित कीजिए।प्रत्येक उपभाग \delta{V_{k}} में कोई स्वेच्छ बिन्दु (arbitrary point) (x_{k},y_{k},z_{k}) लो।निम्न योगफल पर विचार करते हैं
  \Sigma_{k=1}^{n}f(x_{k},y_{k},z_{k})\delta{V_{k}} ….(1)
  विभाजित क्षेत्रों की संख्या n इस प्रकार अनन्त (infinity) होने दो कि \delta{A_{n}} की अधिकतम सीमा शून्य की ओर अग्रसर हो।यदि इन प्रतिबन्धों के साथ सीमा का अस्तित्व
  \lim_{n\longrightarrow{\infin}}\Sigma_{k=1}^{n}f(x_{k},y_{k},z_{k})\delta{V_{k}}…(2)
  (existence) हो,जो विभाजित क्षेत्रों के उपविभाजन की विधि (mode of subdivision) से स्वतन्त्र हो तो उस सीमा को क्षेत्र V पर f(x,y,z) का त्रि-समाकलन (triple Integral) कहते हैं और इसे निम्न प्रकार प्रकट करते हैं:
  \int{\int{\int}}_{V}f(x,y,z)dV
  अतः \int{\int{\int}}_{V}f(x,y,z)\\dV\lim_{n\longrightarrow{\infin}}\Sigma_{k=1}^{n}f(x_{k},y_{k},z_{k})\delta{V_{k}}
  यह दिखाया जा सकता है कि सीमा का अस्तित्व होगा यदि क्षेत्र V की सीमा (Boundary) पर या भीतर सभी बिन्दुओं पर f(x,y,z) संतत (continuous) हो या खण्डशः संतत (piecewise continuous) हो।

Triple Integral

• उपर्युक्त आर्टिकल में समाकलन गणित में त्रि-समाकल (Triple Integral) के बारे में बताया गया है।