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Surface Area of Sphere Class 9

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1 1.गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 9 (Surface Area of Sphere Class 9),ज्यामिति में गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (The surface Area of a Sphere in Geometry):

1.गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 9 (Surface Area of Sphere Class 9),ज्यामिति में गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (The surface Area of a Sphere in Geometry):

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 9 (Surface Area of Sphere Class 9) में गोला एक वृत्त या अर्धवृत्त द्वारा उसके एक व्यास को अक्ष मानकर उसके चारों ओर क्रमशः आधा चक्कर या पूरा एक चक्कर लगाने पर जो ठोस जनित होता है उसे (गोला) कहते हैं।

r त्रिज्या वाले एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=त्रिज्या r वाले चार वृत्तों का क्षेत्रफल

4 \times\left(\pi r^{2}\right)=4 \pi r^{2}
अतः गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi r^{2}
अर्द्धगोले का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल=2 \pi r^{2}
अर्द्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल=3 \pi r^{2}
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2.गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 9 के साधित उदाहरण (Surface Area of Sphere Class 9 Solved Examples):

जब तक अन्यथा न कहा जाए ,\pi=\frac{22}{7} लीजिए।
Example:1.निम्न त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i)10.5 cm
Solution:गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi r^{2} \\ 4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 \\ =\frac{9702}{7} \\ =1386 cm^{2}
(ii)5.6 cm
Solution:गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi r^{2} \\ =4 \times \frac{ 22}{7} \times 5.6 \times 5.6 \\ =\frac{2759.68}{7} \\ =394.24 cm^{2}
(i)14 cm
Solution:गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi r^{2}\\ =4 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \\ =\frac{17248}{7} \\ =2464 cm^{2}
Example:2.निम्न व्यास वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये:
(i)14 cm
Solution:r=\frac{14}{2}=7 cm 
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi r^{2}\\=4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \\=616 cm^{2}
(ii)21 cm
Solution: r=\frac{21}{2} cm
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi r^{2}\\ =4 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2} \\ =1386 cm^{2}
(iii)3.5 cm
Solution: r=\frac{3.5}{2} m
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi r^{2} \\ =4 \times \frac{22}{7} \times \frac{3.5}{2} \times \frac{3.5}{2} \\ =38.5 cm^{2}
Example:3.10 cm त्रिज्या वाले एक अर्द्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।( \pi=3.14 लीजिये।)
Solution:r=10 cm
अर्द्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल=3 \pi r^{2} \\ =3 \times 3.14 \times 10 \times 10 \\ =942 cm^{2}
Example:4.एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर उसकी त्रिज्या 7 cm से 14 cm हो जाती है।इन दोनों स्थितियों में,गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Solution:हवा भरने से पहले गुब्बारे की त्रिज्या r_{1}=7 cm
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi r_{1}^{2} \\ 4 \times \frac{ 22}{7} \times 7 \times 7 \\ \Rightarrow S_{1}=616 cm^{2}
हवा भरने के बाद गुब्बारे की त्रिज्या r_{2}=14 cm
गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल S_{2}=4 \pi r_{2}^{2} \\ =4 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \\ =\frac{17248}{7} \\ \Rightarrow S_{2} =2464
गुब्बारे के दोनों पृष्ठीय क्षेत्रफलों में अनुपात =S_{1}: S_{2} \\ =616: 2464 \\ \Rightarrow S_{1}: S_{2} =1: 4
Example:5.पीतल से बने एक अर्द्धगोलाकार कटोरे का आन्तरिक व्यास 10.5 cm है।16 रुपए प्रति 100 वर्गसेमी की दर से इसके आन्तरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय ज्ञात कीजिये।
Solution:अर्द्धगोलाकार कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या (r)=\frac{10.5}{2} cm
अर्द्धगोलाकार कटोरे का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r^{2} \\ =\frac{2 \times 22}{7} \times \frac{10.5}{2} \times \frac{10.5}{2} \\ =\frac{4851}{28} \\ =173.25 cm^{2}
16 रुपए प्रति 100 वर्गसेमी की दर से इसके आन्तरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय=173.25 \times \frac{16}{100} \\ =\frac{2772}{100}=27.72 रुपए

Example:6.उस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 वर्गसेमी है।
Solution:गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

4 \pi r^{2}=154 cm^{2} \\ \Rightarrow 4 \times \frac{22}{7} \times r^{2}=154 \\ r^{2}=\frac{154 \times 7}{4 \times 22} \\ \Rightarrow r^{2}=\frac{7 \times 7}{4} \\ \Rightarrow r=\sqrt{\frac{7 \times 7}{4}} \\ \Rightarrow r=\frac{7}{2}=3.5 cm
Example:7.चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक चौथाई हैं।इन दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Solution:माना पृथ्वी का व्यास {d}_{1}=2 r_{1}
पृथ्वी की त्रिज्या=r_{1}
चन्द्रमा का व्यास {d}_{2}=\frac{1}{4} d_{1} \\ =\frac{1}{4} \times 2 r_{1} \\ \Rightarrow d_{2} =\frac{r_{1}}{2}
चन्द्रमा की त्रिज्या {r}_{2}=\frac{d_{2}}{2} \\ =\frac{1}{2} \times \frac{r_{1}}{2} \\ \Rightarrow r_{2} =\frac{r_{1}}{4}
पृथ्वी का पृष्ठीय क्षेत्रफल S_{1}=4 \pi r_{1}^{2}
चन्द्रमा का पृष्ठीय क्षेत्रफल S_{2}=4 \pi r_{2}^{2} \\ S_{2} =4 \pi \times\left(\frac{r_{1}}{4}\right)^{2} \\ =\frac{\pi r_{1}^{2}}{4}
दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों में अनुपात

S_{2}=S_{1} =\frac{\pi r_{1}^{2}}{4} : 4 \pi r_{1}^{2} \\ \Rightarrow S_{2}: S_{1} =1: 16
Example:8.एक अर्द्धगोलाकार कटोरा 0.25 cm मोटी स्टील से बना है।इस कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या 5 cm है।कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या r_{2}=5 cm
कटोरे की मोटाई=0.25 cm
कटोरे की बाहरी त्रिज्या r_{1}=5+0.25 cm =5.25 cm
अर्द्धगोलाकार कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r_{1}^{2} \\ =2 \times \frac{22}{7} \times(5.25)^{2} \\ =\frac{2 \times 22}{7} \times 5.25 \times 5.25 \\ =\frac{1212.75}{7} \\ =173.25 cm^{2}
Example:9.एक लम्बवृत्तीय बेलन त्रिज्या r वाले एक गोले को पूर्णतया घेरे हुए है (देखिए आकृति)।ज्ञात कीजिए।
(i)गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 
(ii)बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(iii)ऊपर (i) और (ii) से प्राप्त क्षेत्रफलों का अनुपात

Solution:(i)गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S_{1}=4 \pi r^{2}
(ii)बेलन के आधार की त्रिज्या=r
बेलन की ऊँचाई=2r
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल S_{2} =2 \pi r h \\ =2 \pi r(2 r) \\ \Rightarrow S_{2} =4 \pi r^{2}
(iii)गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में अनुपात

S_{1}: S_{2}=4 \pi r^{2}: 4 \pi r^{2} \\ \Rightarrow S_{1}: S_{2}=1: 1
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 9 (Surface Area of Sphere Class 9),ज्यामिति में गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (The surface Area of a Sphere in Geometry) को समझ सकते हैं।

3.गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 9 पर आधारित सवाल (Questions Based on Surface Area of Sphere Class 9):

(1.)12 सेमी व्यास का एक बेलनाकार पात्र जल से अंशत भरा हुआ है।यदि उसमें 6 सेमी व्यास का एक गोला पूर्णतः डूबा दिया जाता है।ज्ञात कीजिए कि बेलनाकार पात्र में जल की सतह कितनी ऊँचाई तक उठ जाएगी।
(2.)5 सेमी त्रिज्या के सीसे के गोले को पिघलाकर एक 20 सेमी ऊँचाई का लम्बवृत्तीय शंकु बनाया जाता है।शंकु के आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)1 सेमी (2.)6 सेमी
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 9 (Surface Area of Sphere Class 9),ज्यामिति में गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (The surface Area of a Sphere in Geometry) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 9 (Surface Area of Sphere Class 9),ज्यामिति में गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (The surface Area of a Sphere in Geometry) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.गोला किसे कहते हैं? (What is the Sphere Called?):

उत्तर:एक वृत्ताकार चकती (disc) के एक व्यास के अनुदिश एक डोरी चिपका दें और इसे वैसे ही घुमाए जैसे चारों ओर घुमाया जाता है।यह एक ठोस की आकृति बनाता है।यह एक गोला (sphere) कहलाता है।गोला एक त्रिविमीय आकृति (Three dimensional figure) (ठोस आकृति) है जो आकाश (स्पेस) (space) में स्थित उन सभी बिन्दुओं से मिलकर बनी है जो एक निश्चित बिन्दु से (जो गोले का केंद्र कहलाता है) से एक अचर या निश्चित दूरी पर होते हैं (जो गोले की त्रिज्या कहलाती है)।गोला एक गेंद की पृष्ठ की तरह होता है।ठोस गोला उस ठोस के लिए प्रयोग होता है जिसका पृष्ठ एक गोला हो।

प्रश्न:2.अर्द्धगोला किसे कहते हैं? (What is called a hemisphere?):

Surface Area of Sphere Class 9

उत्तर:एक ठोस गोला लें और इसे बीच से इसके केन्द्र से जाते हुए, एक तल द्वारा दो भागों में काट लें।यह दो बराबर भागों में विभाजित हो गया है (देखिए आकृति)।प्रत्येक आधा भाग अर्धगोला (hemisphere) कहलाता है (क्योंकि hemi का अर्थ आधा होता है।)।

प्रश्न;3.दैनिक जीवन से सम्बन्धित गोले का उदाहरण दीजिये। (Give an example of a Sphere related to daily life):

उत्तर:गेंद (Ball),कांच की गोलियां (Glass pills),फुटबॉल (Football),क्रिकेट की बाल (Cricket Ball) इत्यादि।

प्रश्न:4.गोले की त्रिज्या किसे कहते हैं? (What is the radius of the sphere called?):

उत्तर:गोले के केन्द्र से गोले के पृष्ठ के किसी बिन्दु की दूरी को गोले की त्रिज्या कहते हैं।उस रेखाखण्ड को जो गोले के केन्द्र से गुजरता है और जिसके दोनों सिरे गोले पर हों गोले का व्यास कहलाता है।गोले के सभी व्यास लम्बाई में समान होते हैं।गोले की त्रिज्या उसके व्यास की आधी होती है।गोले के केन्द्र से गुजरने वाला समतल गोले को दो अर्द्धगोलों में विभाजित करता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 9 (Surface Area of Sphere Class 9),ज्यामिति में गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (The surface Area of a Sphere in Geometry) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 9
(Surface Area of Sphere Class 9)

Surface Area of Sphere Class 9

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 9 (Surface Area of Sphere Class 9) में गोला एक वृत्त
या अर्धवृत्त द्वारा उसके एक व्यास को अक्ष मानकर उसके चारों ओर क्रमशः आधा चक्कर
या पूरा एक चक्कर लगाने पर जो ठोस जनित होता है उसे (गोला) कहते हैं।

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