1.प्रत्यक्ष रीति से प्रमाप विचलन (Standard Deviation by Direct Method),सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation in Statistics):

Standard Deviation by Direct Method

प्रत्यक्ष रीति से प्रमाप विचलन (Standard Deviation by Direct Method):प्रमाप विचलन के विचार का प्रतिपादन कार्ल पियर्सन (Karl Pearson) ने 1893 में किया था।यह अपकिरण को मापने की सबसे लोकप्रिय और वैज्ञानिक रीति है।प्रमाप विचलन की गणना केवल समान्तर माध्य के प्रयोग से ही की जाती है।किसी समंक समूह का प्रमाप विचलन निकालने हेतु उस समूह के समान्तर माध्य से विभिन्न पद मूल्यों के विचलन ज्ञात किए जाते हैं।माध्य विचलन की भाँति विचलन लेते समय बीजगणितीय चिन्हों को छोड़ा नहीं जाता है।इन विचलनों के वर्ग ज्ञात कर लिए जाते हैं।प्राप्त वर्गो के योग में कुल मदों की संख्या का भाग देकर वर्गमूल निकाल लेते हैं, इस प्रकार जो अंक प्राप्त होता है उसे प्रमाप विचलन कहते हैं।
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(1.)प्रत्यक्ष रीति से प्रमाप विचलन का सूत्र (Standard Deviation Formula by Direct Method):
(i)व्यक्तिगत श्रेणी (Individual Series):

S D (\sigma)=\sqrt{\left(\frac{\Sigma d^{2}}{N}\right)}
यहाँ \sigma=प्रमाप विचलन (Standard Deviation)
\Sigma d^{2}=माध्य से लिए गए विचलनों के वर्गों का योग (The total of squares of deviations taken from mean)
(ii)खण्डित श्रेणी (Discrete Series):

S D (\sigma)=\sqrt{\frac{\Sigma f d^{2}}{N}}
\sigma=प्रमाप विचलन (Standard Deviation)
\Sigma f d^{2}=विचलन वर्गों व सम्बन्धित आवृत्तियों के गुणनफलों का योग (Total of Product of Squares of Deviations and Frequencies)
N=आवृत्तियों का योग (Total Number of Frequencies)
(2.)लघुरीति (Shortcut Method):

(i)व्यक्तिगत श्रेणी (Individual Series):

\sigma=\sqrt{\frac{\sum d^{2} x}{x}-(\bar{X}-A)}
\sigma=प्रमाप विचलन (Standard Deviation)
\Sigma dx=कल्पित समान्तर माध्य से लिए गए विचलनों के योग (Sum of Deviations from Assumed Mean):
\Sigma d^{2} x=कल्पित समान्तर माध्य से लिए गए विचलनों के वर्गों का योग (Sum of Squares of Deviations from Assumed Mean)
N=मदों की कुल संख्या (Total Number of Items)
A=कल्पित माध्य (Assumed Arithmetic Mean)
वैकल्पिक रीति (Alternative Method):

\sigma=\sqrt{\frac{\sum X^{2}}{N}-\left(\frac{\sum X}{N}\right)^{2}}
(ii)खण्डित श्रेणी (Discrete Series)

\sigma=\sqrt{\frac{\sum f d^{2} x}{N}-\left(\frac{\sum f d x}{N}\right)^{2}} \\ \sigma= \sqrt{\frac{\sum f d^{2} x}{N}-(\bar{X}-A)}
वैकल्पिक रीति (Alternative Method):

\sigma=\sqrt{\frac{\sum X^{2} f}{N}-(\bar{X})^{2}}
(iii)सतत् श्रेणी (Continuous Series):

\sigma= \sqrt{ \frac{ \Sigma f d^{2} x}{N}-\left(\frac{\Sigma d x}{N}\right)^{2}}
(a)लघुरीति (Shortcut Method):
(b)पदविचलन रीति (Step Deviation Method):

\sigma=i \times \sqrt{\frac{\Sigma f d^{2} x^{\prime}}{N}-\left(\frac{\Sigma f d x^{\prime}}{N}\right)^{2}}
(c)आकलन या योग रीति (Summation Method):
वर्ग विस्तार समान होने पर आकलन रीति द्वारा भी प्रमाप विचलन की गणना की जा सकती है।पहले आवृत्तियों को संचयी आवृत्तियों में परिवर्तित कर cf ज्ञात किया जाता है।इसे प्रथम संचयी योग (First Cumulation Total=\Sigma Cf_{1}) कहते हैं।इस प्रथम संचयी योग में कुल आवृत्तियों (N) का भाग देकर F_{1} ज्ञात किया जाता है
F_{1}=\frac{\Sigma Cf_{1}}{N} या \frac{\text{प्रथम संचयी योग}}{\text{आवृत्तियों का योग}}
प्रथम संचयी आवृत्तियों के आधार पर द्वितीय संचयी योग (Sum of Second Cumulation=\Sigma Cf_{1}) ज्ञात किया जाता है।द्वितीय संचयी योग प्रथम संचयी योग को संचित (Cumulate) करके ज्ञात किया जाता है।द्वितीय संचयी योग में आवृत्तियों के योग (N) का भाग देकर F_{2} ज्ञात किया जाता है इसे सूत्र रूप में निम्न प्रकार लिखा जाता है:
F_{2}=\frac{\Sigma Cf_{2}}{N} या  \frac{\text{द्वितीय संचयी योग}}{\text{आवृत्तियों का योग}}
अन्त में प्रमाप विचलन ज्ञात करने के लिए निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता है

\sigma=i \times \sqrt{2 F_{2}-F_{1}-\left(F_{1}\right)^{2}}
i=Class interval (वर्ग विस्तार)
F_{1}=First Cumulation Total of Items (प्रथम संचयी योग में मदों की संख्या का भाग देने पर ज्ञात प्रतिफल)
F_{2}=Second Cumulation Total Divided by Total Number of Items (द्वितीय संचयी मदों की संख्या का भाग देने पर प्राप्त प्रतिफल
प्रमाप विचलन गुणांक सूत्र (Coefficient of Standard Deviation Formula):
प्रमाप विचलन गुणांक (Coefficient of Standard Deviation)=\frac{\sigma}{\bar{x}}

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2.प्रत्यक्ष रीति से प्रमाप विचलन के साधित उदाहरण (Standard Deviation by Direct Method Solved Examples):

Example:1.निम्न संख्याओं के समूहों का प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए:
(Find standard deviation of the following set of numbers):

Solution:Series I

Series II

Series III

Series I

Series II

Series III

\bar{X}_{3}=\frac{\Sigma Z}{N}\\ =\frac{20650}{10}\\ \Rightarrow \bar{X}_{3}=2065\\ \sigma_{3} =\sqrt{\frac{\Sigma d_{3}^{2}}{N}}\\ =\sqrt{\frac{8250}{10}}\\ =\sqrt{825}\\ =28.722\\ \Rightarrow \sigma_{3} \approx 28.72
Example:2.राजस्थान के 20 फार्मों में प्रति एकड़ में गन्ने के उत्पादन (टनों में) सम्बन्धी समंक निम्नवत् है।समान्तर माध्य,प्रमाप विचलन तथा इसके गुणांक की परिगणना कीजिए।
(Data regarding yield of sugarcane in tons per acre on 20 farms in Rajasthan are as follows.Calculate arithmetic mean, standard deviation and its coefficient):
18 15 28 20 17 23 16 16 20 19 19 25 16 13 21 23 21 27 18 22
Solution:

\bar{X} =\frac{\Sigma X}{N} \\=\frac{397}{20} \\ \Rightarrow \bar{X} =19.85 \\ \sigma =\sqrt{\frac{\Sigma d^{2}}{N}} \\ =\sqrt{\frac{302.55}{20}} \\ =\sqrt{15.1275} \\ =3.8894 \\ \Rightarrow \sigma \approx 3.89
Example:3.निम्न समंकों के आधार पर दो श्रेणियों A और B के प्रमाप विचलन की परिगणना कीजिए तथा यह बतलाइए कि कौनसी श्रेणी में विचरणता अधिक है?
(Calculate standard deviation from the data given below for two series A and B and comment which is more variable):

Solution:-Series A

Series B

Series A

Coefficient of \sigma_{A} =\frac{\sigma_{A}}{\bar{X}} \\ =\frac{43.05}{251.7} \\ =0.17103 \\ \approx 0.171

Series B

coefficient of \sigma_{B}=\frac{\sigma_{B}}{\bar{Y}}\\ =\frac{15.44}{106.4}\\ =0.14511\\ \approx 0.145

A is more than Variable C

Standard Deviation by Direct Method

Example:4.एक फैक्ट्री में कार्यरत श्रमिकों सम्बन्धी आवृत्ति वितरण से समान्तर माध्य, माध्य विचलन तथा प्रमाप विचलन की गणना कीजिए:
(Compute the arithmetic mean, mean deviation and standard deviation of the following frequency distribution of wage earners working in a factory):

Solution:

Hint:- 9-19.42=-10.42,12-19.42=-7.42,15-19.42=-4.42,18-19.42=-1.42,21-19.42=1.58,24-19.42=4.58,27-19.42=7.58,30-19.42=10.58

\bar{X} =\frac{\sum f x}{N} \\=\frac{17280}{890} \\ =19.4157 \\ \bar{X} \approx 19.42
माध्य विचलन (Mean Deviation):

\delta_{\bar{x}} =\frac{\Sigma f \mid d \bar{x} \mid}{N} \\ =\frac{3339.4}{890} \\ =3.752 \\ \delta_{\bar{X}} \approx 3.752 \\ \sigma =\sqrt{\frac{\Sigma f d^{2}}{N}} \\ =\sqrt{\frac{19276.196}{890}} \\ =\sqrt{21.658647} \\=4.6538 \\ \sigma \approx 4.65
Example:5.निम्न आवृत्ति वितरण से समान्तर माध्य, माध्य विचलन, प्रमाप विचलन तथा उनके गुणकों का परिकलन कीजिए।
(Calculate arithmetic mean, mean deviation, standard deviation and their coefficient from the following frequency distribution):

Solution:

Hint:- 0-3=-3,1-3=-2,2-3=-1,3-3=0,4-3=1,5-3=2,6-3=3,7-3=4,8-3=5,9-3=6,10-3=7,11-3=8,12-3=9

\bar{X} =\frac{\Sigma f x}{N} \\ =\frac{340}{100} \\ \Rightarrow \bar{X} =3
माध्य विचलन (Mean Deviation):

coefficient of \delta_{\bar{X}}=\frac{\delta_{\bar{X}}}{\bar{X}} \\ =\frac{2.02}{3}=0.673 \approx 0.67

coefficient of \sigma=\frac{\sigma}{\bar{X}} \\ \frac{2.65}{3} =0.883 \approx 0.88
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रत्यक्ष रीति से प्रमाप विचलन (Standard Deviation by Direct Method),सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation in Statistics) को समझ सकते हैं।

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3.प्रत्यक्ष रीति से प्रमाप विचलन पर आधारित सवाल (Questions Based on Standard Deviation by Direct Method):

Standard Deviation by Direct Method

(1.)एक रेडियो सेट के विशिष्ट माॅडल का विभिन्न दुकानों पर विक्रय मूल्यों का प्रमाप विचलन व उसका गुणक ज्ञात कीजिए।
(Calculate standard deviation and its coefficient of the following prices of a particular model of radio set at different shops):
Rs.210,220,225,225,225,235,240,250,270,290
(2.)निम्न सारणी में प्रस्तुत समंक बी.काॅम की एक परीक्षा के लिए क्रमांक 1 से 10 तक के विद्यार्थियों के प्राप्तांकों से सम्बन्धित हैं।प्रमाप विचलन तथा उसके गुणक की परिगणना कीजिए।
(The table given below shows the marks obtained by 10 students of B.com from roll numbers 1 to 10 in an examination.Calculate standard deviation and its coefficient.)

उत्तर (Answers):(1 .) \bar{X}=Rs. 239, \sigma=Rs. 23.43 c of \sigma=0.10

(2 .) \sigma=13.26
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रत्यक्ष रीति से प्रमाप विचलन (Standard Deviation by Direct Method),सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation in Statistics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रत्यक्ष रीति से प्रमाप विचलन (Standard Deviation by Direct Method),सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation in Statistics) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रत्यक्ष रीति से प्रमाप विचलन (Standard Deviation by Direct Method):प्रमाप विचलन के
विचार का प्रतिपादनकार्ल पियर्सन (Karl Pearson) ने 1893 में किया था।यह अपकिरण को
मापने की सबसे लोकप्रिय और वैज्ञानिक रीति है।